湖北孝感市应城市2025－2026学年第一学期期末考试九年级数学试题

**基本信息** 应城市九年级期末数学试卷以核心素养为导向，融合刘徽割圆术文化素材与茶庄销售利润等生活实践，通过选择、填空、解答题（含几何综合与函数应用）考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称与中心对称、二次函数顶点、圆内接正多边形|第8题以割圆术考正十二边形面积，体现文化传承| |填空题|5/15|中心对称坐标、一元二次方程根、扇形弧长|第13题开放设问抛物线与x轴交点，培养创新意识| |解答题|9/75|图形旋转面积、概率应用、圆切线证明、二次函数利润、几何综合与抛物线综合|22题销售利润问题构建函数模型，23题旋转综合考查推理能力，24题平移与平行四边形结合考查空间观念|

应城市(2025-2026)第一学期期末考试九年级 数 学 (本卷满分120分，考试时间120分钟) 温馨提示： 1.答题前，考生务必将自己所在学校、姓名、考号填写在试卷和答题卡上的指定位置。 2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效。 3.本试卷满分120分，考试时间 120分钟。 一、选择题(共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) 2.方程 化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A.1,- 2,9 B.1,2,- 9 C.- 1,2,9 D.1,2,9 3.二次函数 图象的顶点所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.下列事件中，是随机事件的是( ) A.任意画一个三角形，其内角和为180° B.通常加热到100℃时，水沸腾 C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D.掷一次骰子，出现的点数为7 5.点(2,- 3)在函数 图象上，下列说法中错误的是( ) A.它的图象分布在二、四象限 B.当x>0时，y的值随x的增大而增大 C.当x<0时，y的值随x的增大而减小 D.它的图象过点(-1, 6) 6.将抛物线 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是( ) A. B. C. D. 7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=1,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C',使点C'落在AB边上,连接BB',则BB'的长度是( ) A.1 B.2 C. D. 8.刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元.某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形.若⊙O的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为( ) A. B. C.3 D.π 9.如图,四边形ABCD内接于⊙O, BC=CD, ∠BCD=120°, ⊙O的半径为3,则弦BC的长为( ) A.3 B. C. D.4 10.抛物线 的对称轴是直线x=1，与x轴负半轴的交点坐标为(x₁，0)，且 与y轴交于点(0，1)，则下列结论中，正确的是( ) A.abc>0 B.4a+2b+c>1 C. D. 二、填空题(共5题，每题3分，共15分) 11.已知点A关于原点成中心对称的点的坐标为(1，—2)，则点A的坐标为 ★ . 12.一元二次方程 的两根为a，b，则 的值为 ★ . 13.抛物线 与x轴没有交点，请写出一个符合条件的a的值为 ★ . 14.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条OA，OB 的夹角为 半径 OA=30cm,则弧AB的长为 ★ . 15.如图,在 Rt△ABC中,将绕点A 逆时针旋转得到△AB'C', AB'∥CB, B'C'的延长线与BC交于点 D,则CD的长为 ★ . 三、解答题(共9题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(6分=3分+3分) 解方程： (2)x(x-2)=-4(x-2). 17.(6分=3分+3分) 如图是10×10网格，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上. (1)将△ABC绕点C顺时针旋转90°;得到△A'B'C,画出 (2)在(1)中，求线段AB扫过部分的面积. 18. (6分=2分+4分) 某校开展了“阳光体育展风采，健康体魄向未来”长跑活动.由于报名参加的人数较多，场地空间有限，活动需分A，B，C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成，小红和小军已报名参加长跑活动. (1)求小红被分配到A组的概率； (2)请用画树状图或列表的方法，求小红和小军被分配到同一组的概率. 19. (8分=4分+4分) 已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根x₁,x₂满足 求k的值. 20. (8分=3分+2分+3分) 如图，在平面直角坐标系中，一次函数.y=x+1与反比例函数 的图象交于点A(2, a)和点B(b, - 2),与x轴交于点 D, (1)求a,b,k的值; (2)观察图象，直接写出当 时，x的取值范围； (3)C是x轴上一点，且满足△ABC的面积等于10.求点C坐标. 21.(8分=4分+4分) 如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，，垂足为点 D，点 E在AB的延长线上，连接CE，满足 (1)求证: CE与⊙O相切; (2)若OD=3,BD=2, 求BE的长. 22. (10分=4分+3分+3分) 某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为60元.经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的关系式为y=-2x+280.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w(元). (1)求w关于x的函数解析式； (2)若要获得销售利润为3000元，销售单价应定为多少元/千克? (3)当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大?最大销售利润是多少? 23.(11分=3分+4分+4分) 如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC边上的一点(不与点B，C重合)，连接AD.将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE. (1)求证: BD=CE ; (2)如图2,∠DAE的平分线交BC于点F. ①试探究三线段 BD，DF，CF之间有何数量关系，并予以证明； ②若BD=4, CF=3,求AF的长. 24. (12分=3分+4分+5分) 如图，抛物线 (a, b为常数,且a≠0)交x轴于A(-1,0),B(3, 0)两点,交y轴于点 C,连接AC,BC. (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上一动点,连接 PC,当∠PCB=∠OBC时,求点P 的坐标; (3)将抛物线沿CA方向平移2个单位长度得到抛物线C₂，点M在抛物线C₁的对称轴上，点N在抛物线上C₂，当以点M，N，B，C为顶点的四边形为平行四边形时，求点 M的坐标. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $湖北孝感市应城市2025-2026学年第 九年级数学答案 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1.D(3分) 2.B(3分) 3.B(3分) 4.C(3分) 5.C(3分) 6.D(3分) 7.B(3分) 8.C(3分) 9.A(3分) 10.B(3分) 二、填空题 11.(-1,2)(3分) 12.0(3分) 13.1(答案不唯一，a>0即可)(3分) 14.25(3分) 15.1(3分) 三、解答题 16.(6分=3分+3分) (1)解：a=2,b=-3,c=-1 △=-32-4×2×-1=9+8=17 x=3±917 2×2 x=3±17 学期期末考试 3亚w3 4 (2)解：x(x-2)-4(x-2)=0 (x-2)(x-4)=0 X-2=0或x-4=0 解得：X1=2,X2=4 17.(6分=2分+4分) r-T-T“TT-7 (1) …(2分) (2)解：根据题意可得：r=BC=AB+AC2=5,n=90° AB扫过面积S=nmr=90×n×5=25元 360 360 4 18.(6分=2分+4分) (1)根据题意可知：小红可能被分配到：A组、B组、C组 所以，P小红分到A组号 (2) 小红 A B 小军 A (A,A) (B,A) B (A,B) (B,B) C (A,C) (B,C) 所以小红和小军分配到同一组得概率：P(同组)=号 93 19.(8分=4分+4分) (1)证明： 三种情况 C (C,A) (C,B) (C,C) 在方程x2-k+1x+k=0中，a=1,b=-k+1,c=k, 则△=-(k+12-4×1×k 乙k+12-4k 乙k2+2k+1-4k 乙k2-2k+1 ik-12。 因为(k-12≥0，所以△≥0。 所以不论k为何值，方程总有两个实数根。(4分) (2)解：在方程x2-k+1x+k=0中，a=1,b=-k+1,c=k, 所以X+%=一k1=1,xX-=k。（2分) 1 因为x1+1x2+1=x1x2+x1+x2+1, 所以k+k+1=8, 解得k=3。 所以k的值为3。 20.(8分=3分+2分+3分) (1)(1)己知点A(2,a)在一次函数y=x+1的图象上， ∴.将x=2代入y=x+1,得a=2+1=3,即A(2,3)。 ,·点B(b,-2)在一次函数y=x+1的图象上， ∴.将y=-2代入y=x+1,得-2=b+1,解得b=-3,即B(-3,-2)。 又：反比例函数y=的图象过点A23, ∴将x=2,y=3代入y=文得3=空解得k=6。 综上，Q=3,b=-3,k=6。 (2)观察图象，当x+1≥k时，x的取值范围： 由一次函数与反比例函数的交点A(2,3)、B(-3,-2), 结合图象可得，x的取值范围是-3≤x<0或x≥2。 (3).一次函数y=x+1与x轴交于点D, ∴.令y=0,得0=x+1,解得x=-1, ∴.D(-1,0)。 设点C的坐标为(m,0),则CD=(m-（-1)V(Vm+1V。 △ABC的面积可表示为△ACD与△BCD的面积之和， SA ABC=S△ACD+S△BCD=2×GCDx3+xlcx2=×lCDl 已知S△ABC=10,所以×Vm+1Vi10,解得m+1V64, 即m+1=4或m+1=-4,解得m=3或m=-5。 所以点C的坐标为(3,0)或(-5,0)。 21.(8分=4分+4分) (1)证明：连接0C。 CD⊥AB ∴.∠CDB=90 .∴.∠B+∠BCD=90° .OB=OC ∴.∠OCB=∠B .∠OCB+∠BCD=90 .'∠BCE=∠BCD .∴.∠OCE=∠OCB+∠BCE=∠OCB+∠BCD=90° ∴.OC⊥CE…(3分) .0C是⊙0的半径 ∴.CE与⊙0相切 (2)解：，OD=3,BD=2 ..OC=OB=OD+BD=3+2=5 3+2= 号xvm+1v2g 在Rt△OCD中，由勾股定理得： CD=V0C2-0D=V52-32=4 .'∠CDE=∠OCE=90°，∠E=∠E .△CDE△OCE 品器 即含器-器 设DE=4k,则CE=5k,OE=25k .'OE=OD+DE :.25k=3+4k 4 解得k-号 ∴.DE=4×4=16 33 .BE=DE-BD=16-2=10 3 3 答：BE的长为 10 3 22.(10分=4分+3分+3分) (1)已知销售利润w(元)、销售单价x(元/千克)、成本60元/千克以及销售量y(千 克)的关系为w=(x-60)y,又因为y=-2x+280,所以w=(x-60)(-2x+280)。 可得：w=-2x2+80x+120x-16800=-2x2+400x-16800。 答：w关于x的函数解析式为w=-2x2+400x-16800。 (2)当0=3000时，可得方程-2x2+400x-16800=3000。 化简得x2-200x+8400=-1500, 移项x2-200x+9900=0。 可得(x-90)(x-110)=0, 则x-90=0或x-110=0, 解得x1=90,x2=110。 答：销售单价应定为90元/千克或110元/千克。 (3)由w=-2x2+400x-16800得：w=-2x2-200x-16800 元-2x-1002+3200. 因为二次项系数-2<0，所以该二次函数图象开口向下，有最大值。 当x=100时，w有最大值3200。 答：当绿茶的销售单价是100元/千克时，销售利润最大，最大销售利润是3200元。 23.(11分=3分+4分+4分) (1)证明：由旋转的性质可知：AD=AE,∠DAE=90°。 ∠BAC=90°， .∴.∠BAC=∠DAE。 ,'LBAC=∠BAD+∠DAC,∠DAE=∠CAE+∠DAC, .∴.∠BAD=∠CAE。 在△ABD和△ACE中， AB=AC {∠BAD=∠CAE AD-AE ∴.△ABD=△ACE(SAS)。 ∴.BD=CE。 (2)①解：BD,DF,CF之间的数量关系为：DF=BD+CF2。 证明如下：过点A作AG⊥BC于点G。 .AB=AC,∠BAC=90°，AG⊥BC, .AG=BG=CG,∠B=∠ACB=45°。 .AF平分∠DAE,∠DAE=90, .∠DAF=∠EAF=45°. 在△ADF和△AEF中， AD=AE {∠DAF=∠EAF AF=AF .∴.△ADF≌△AEF(SAS). ∴.DF=EF。 由(1)知△ABD≌△ACE, ∴.∠ACE=∠B=45°。 ∴.∠FCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°。 在Rt△FCE中，由勾股定理得：EF2=CE2+CF。 .DF=EF,BD=CE. ∴.DF2=BD2+CF2。 ②解：由①得DF2=BD+CF2。 .BD=4,CF=3, ∴.DF2=42+32=25,即DF=5。 ∴.BC=BD+DF+CF=4+5+3=12。 .AG⊥BC,AB=AC, G为BC中点，AG=号BC=6。 2 ∴.BG=6。 ∴.DG=BG-BD=6-4=2。 ∴.FG=DF-DG=5-2=3。 在Rt△AGF中，由勾股定理得： AF=AG+FG2=62+32=45=35。 答：AF的长为35。 24.(12分=3分+4分+5分) (1)已知抛物线C1:y=ax2+bx-V3(a≠0)交x轴于A(-1,0)、B(3,0)两点，将两 点坐标代入解析式： 把A(-1,0)代入，得a·（-1)2+b·（-1)-3=0,即a-b=3: 把B(3,0)代入，得a·32+b·3-3=0,即9a+3b=3。 联立方程组。解0=，：二2里 3。 所以抛物线的解析式为y=x:-23 x-3。 3 3 (2)当∠PCB=∠OBC时，求点P的坐标 首先，求点C的坐标：令x=0,得y=-3,所以C(0,-3) 已知B(3,0,0(0,0,则OB=3,0C=3,an∠0BC=0C=3 OB 3 故∠OBC=30°，即∠PCB=30°。 分两种情况讨论： ①点P在BC上方： 过点C作CP1x轴，此时∠PCB=∠OBC=30°， CP1上的点纵坐标与C相同，为-3。 令y=-3,代入抛物线解析式：3 x223x-3=-3, 3 整理得x2-2x=0, 解得x=0(点C,舍去)或x=2, 故P(2,-3)。 ②点P在BC下方： 设直线CP2的解析式为y=x-3,结合∠PCB=30°， 求得直线CP解析式为y三3+3 联立直线与抛物线解析式：3x:_23 3 x-3=3x-5, 3 3 整理得x2-x=0, 解得x=0(点C,舍去)或x=1, 比y=29,枚P-23. 3 综上，点P的坐标为2，-3)或（1，-23). 3 (3)求点M的坐标 抛物线C,的对称轴为X=-1+3=1,设M1,m)。 2 点A(-1,0),C(0,-3),CAV2,沿CA方向平移2个单位。 抛物线G,的顶点为1，-4。平移后抛物线c,的项点为0，， 3 ,=323 解析式为y=3x 39 设Nn,名3。-子，分三种情况讨论平行四边形 ①BC为对角线： 0中点为号，-盟 MN中点与BC中点重合， 故+n=3,m+yn=-3 2-2’ 2 2 解得n=2,代入yw=3,得m=-23,即M1(1,-2V3)。 ②BM为对角线： BM中点为2，罗)，CN中点与BW中点重合， 放号=2,3m 2 解得n=4,代入得yw= 3×42-3=53. 3 3 故5V3-3=m,m=43,即M2(1,43): ③BN为对角线： Bw中点为空.中点与四中点重合 -分受- 解得n=-2,代入yw=3,得3=m-3,m=23,即 综上，点M的坐标为（1，-23)、(1,43)、(1,23)。 M3(1,2V3)。应城市(2025-2026)第一学期期末考试九年级 数学 (本卷满分120分，考试时间120分钟) 温馨提示： 1.答题前，考生务必将自己所在学校、姓名、考号填写在试卷和答题卡上的指定位置。 2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案必须写 在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效。 3.本试卷满分120分，考试时间120分钟。 一、选择题（共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() 2.方程x2=-2x+9化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是 () A.1,-2,9 B.1,2,-9 C.-1,2,9 D.1,2,9 3.二次函数y=-(x+1)2+4图象的顶点所在的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.下列事件中，是随机事件的是() A.任意画一个三角形，其内角和为180° B.通常加热到100℃时，水沸腾 C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D.掷一次骰子，出现的点数为7 5.点(2，-3)在函数y=图象上，下列说法中错误的是() A.它的图象分布在二、四象限 B.当x>0时，y的值随x的增大而增大 C.当x<0时，y的值随x的增大而减小 D.它的图象过点(-1,6) 6.将抛物线y=x2向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是 () 116 Ay=26x-3)2-1 B.y=(x-3)2+1 C.y-(x+3)2+1 D.y=2(x+3)2-1 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C',使 点C落在AB边上，连接BB,则BB的长度是() A.1 B.2 C.v3 D.2v3 C B (第7题) (第8题) 8.刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数 学发展史上圆周率研究的新纪元.某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正 十二边形.若⊙0的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为() A. B.2V2 C.3 D.n 9.如图，四边形ABCD内接于⊙0，BC=CD,∠BCD=120°，⊙0的半径为3，则弦BC 的长为( ) A.3 B.2v3 C.2√2 D.4 (第9题) 10.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1,与x轴负半轴的交点坐标为(x1,0),且-1< x1<0,与y轴交于点(0,1)，则下列结论中，正确的是() A.abc>O B.4a+2b+c>1 C.b2<4ac D.a(x2-1)+b(x-1)≤0 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11.已知点A关于原点成中心对称的点的坐标为(1，一2)，则点A的坐标为★： 12.一元二次方程x2-4x-2=0的两根为a,b,则a2-4a+ab的值为★. 13.抛物线y=ax2+1与x轴没有交点，请写出一个符合条件的a的值为★. 14.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条0A,0B的夹角为150°，半径0A=30cm,则弧AB的长为 ★： 216 B 兴中 振 华 0 D (第14题) (第15题) 15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4.将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ABC', AB'∥CB,BC'的延长线与BC交于点D,则CD的长为★ 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(6分=3分+3分) 解方程：(1)2x2-3x-1=0; (2)x(x-2)=-4(x-2). 17.(6分=3分+3分) 如图是10×10网格，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上. (1)将△ABC绕点C顺时针旋转90°；得到△A'B'C,画出△A'B'C; (2)在(1)中，求线段AB扫过部分的面积. 18.(6分=2分+4分) 某校开展了“阳光体育展风采，健康体魄向未来”长跑活动.由于报名参加的人数较多，场地空间有 限，活动需分A,B,C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成， 小红和小军已报名参加长跑活动. (1)求小红被分配到A组的概率： 316 (2)请用画树状图或列表的方法，求小红和小军被分配到同一组的概率. 19。(8分=4分+4分) 已知关于x的一元二次方程x2-(k+1)x+k=0. (1)求证：方程总有两个实数根： (2)若该方程的两个实数根x1,X2满足(x1+1)(x2+1)=8,求k的值. 20。(8分=3分+2分+3分) 如图，在平面直角坐标系中，一次函数.y=x+1与反比例函数y=的图象交于点A(2,a)和点B(b, 2),与x轴交于点D, (1)求a,b,k的值； (2)观察图象，直接写出当x+1≥时，x的取值范围； (3)C是x轴上一点，且满足△ABC的面积等于10.求点C坐标. 21.(8分=4分+4分)》 如图，AB为⊙0的直径，点C为⊙0上一点，CDLAB,垂足为点D,点E在AB的延长线上，连接 CE,满足∠BCE=∠BCD (1)求证：CE与⊙0相切； (2)若OD=3,BD=2,求BE的长 4/6 0 D 22.(10分=4分+3分+3分) 某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为60元.经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y(千克) 与销售单价x(元/千克)的关系式为y=-2x+280.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w(元). (1)求w关于x的函数解析式： (2)若要获得销售利润为3000元，销售单价应定为多少元/千克？ (3)当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大？最大销售利润是多少？ 23.(11分=3分+4分+4分) 如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是BC边上的一点（不与点B,C重合），连接AD.将线段 AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE. (1)求证：BD=CE; (2)如图2，∠DAE的平分线交BC于点F. ①试探究三线段BD,DF,CF之间有何数量关系，并予以证明： ②若BD=4,CF=3,求AF的长. B D 图1 图2 5/6 24。(12分=3分+4分+5分) 如图，抛物线C1:y=ax2+bx-V3(a,b为常数，且a≠0)交x轴于A(-1,0),B(3,0)两点，交y轴 于点C,连接AC,BC. (1)求抛物线的解析式： (2)点P为抛物线上一动点，连接PC,当∠PCB=∠OBC时，求点P的坐标； (3)将抛物线沿CA方向平移2个单位长度得到抛物线C2,点M在抛物线C1的对称轴上，点N在抛物 线上C2,当以点M,N,B,C为顶点的四边形为平行四边形时，求点M的坐标. 备用图1 备用图2 6/6