精品解析：湖北孝感市应城市2025－2026学年第一学期期末考试九年级数学试题

应城市(2025-2026)第一学期期末考试九年级 数 学 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 温馨提示： 1．答题前，考生务必将自己所在学校、姓名、考号填写在试卷和答题卡上的指定位置． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效． 3．本试卷满分120分，考试时间 120分钟． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：． 2. 方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次方程的一般形式为（），其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项，将原方程整理为一般形式即可得到对应系数． 【详解】解：∵原方程为， ∴整理为一般形式得， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3. 二次函数 图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先根据顶点式得到顶点坐标，再根据坐标符号判断顶点所在象限即可． 【详解】解：可写为， 该二次函数图象的顶点坐标为， 顶点横坐标，纵坐标， 顶点在第二象限． 4. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和为 B. 一标准大气压下，通常加热到时，水沸腾 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 掷一次骰子，出现的点数为 【答案】C 【解析】 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，判断各选项事件的类型，选出随机事件即可． 【详解】解： A选项，任意三角形的内角和为，任意画一个三角形，其内角和为必然事件，故A选项不符合题意； B选项，在一标准大气压下，通常加热到时，水沸腾，是一定发生的事件，属于必然事件，故B选项不符合题意； C选项，经过有交通信号灯的路口，可能遇到红灯也可能不遇到红灯，是随机事件，故C选项符合题意； D选项，骰子最大点数为，掷一次骰子出现点数为7是一定不发生的事件，属于不可能事件，故D选项不符合题意． 5. 点在函数图像上，下列说法中错误的是( ) A. 它的图象分布在二、四象限 B. 当时，的值随的增大而增大 C. 当时，的值随的增大而减小 D. 它的图象过点 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象性质，先把点代入，求得，根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大，图象既是轴对称图形又是中心对称图形进行判断即可． 【详解】解：把点代入，得 ， 解得：， ∴， A、∵，∴的图象分布在二、四象限，原说法正确，故此选项不符合题意； B、∵，∴当时，的值随的增大而增大，原说法正确，故此选项不符合题意； C、∵，∴当时，的值随的增大而增大，原说法错误，故此选项符合题意； D、∵把代入，得，∴它的图象过点，原说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下移动1个单位长度，所得抛物线的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移问题，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．根据二次函数的平移，根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度， 则新的函数解析式为：． 故选：A． 7. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出． 【详解】解：∵ 由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知， ∴cm， 又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°， 由旋转的性质可知：，且， ∴为等边三角形， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键． 8. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．过作于，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】如图，过作于， 圆的内接正十二边形的圆心角为，， ， ， 这个圆的内接正十二边形的面积为， 故选：C． 9. 如图，四边形内接于的半径为，则弦的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】连接，先由圆内接四边形对角互补求出，再由圆周角定理求出圆心角，再由径、弦、弧关系得出，然后借助圆的半径相等证得是等边三角形，得到弦的长等于圆的半径即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形内接于， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形，则， 的半径为， ． 10. 抛物线 的对称轴是直线，与x轴负半轴的交点坐标为，且 与轴交于点，则下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件得到抛物线的基本参数范围，再结合抛物线的对称性，交点性质和最值性质逐个判断选项． 【详解】解：抛物线过点， ， 对称轴为直线， ， 可得， 抛物线与轴的一个交点满足，对称轴为， 另一个交点满足，可得抛物线开口向下， ， ，， ， 选项A：，，，，故A选项错误； 选项B：与关于对称轴对称，时，即，不满足，故B选项错误； 选项C：抛物线与轴有两个交点，，即，故C选项错误； 对选项D：抛物线开口向下，顶点在对称轴处，对任意，都有，即：，移项整理得：，因式分解得，故D选项正确． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 已知点A关于x轴的对称点B的坐标为(1，﹣2)，则点A的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据“关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数”，求解即可 【详解】解：∵点A关于x轴的对称点B的坐标为(1，﹣2)， ∴点A的坐标为 故答案为： 【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，掌握“关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数”是解题的关键． 12. 一元二次方程 的两根为，则 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到及的值，代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴， ∴． 13. 抛物线 与x轴没有交点，请写出一个符合条件的a的值为________． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【解析】 【分析】由进行求解即可． 【详解】解：抛物线与轴没有交点， ， 解得， 取． 14. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，的夹角为，半径，则弧的长为________． 【答案】##平方厘米 【解析】 【详解】解：外侧两竹条，的夹角为，半径， ． 15. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，，的延长线与交于点，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先由旋转性质得到相关线段及角度相等，进而由直角三角形全等的判定定理得到，，再由平行线的性质得到，等量代换确定，然后根据等腰三角形的判定与性质得出，最后由勾股定理及相关线段关系得到，表示出，代入对应线段长度计算即可． 【详解】解：连接，如图所示： 将绕点逆时针旋转得到，则， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ∴， ， 在中，， 由勾股定理可得， ， 则． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ，，， ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ∴，； 17. 如图是网格，网格中每个小正方形的边长均为，的顶点都在格点上． （1）将绕点顺时针旋转得到，画出； （2）在（1）中，求线段扫过部分的面积． 【答案】（1）如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点、，再顺次连接即可； （2）利用勾股定理求出的长，再根据列式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意可得：， 由旋转可得，， 线段扫过部分的面积为： ． 18. 某校开展了“阳光体育展风采，健康体魄向未来”长跑活动．由于报名参加的人数较多，场地空间有限，活动需分，，三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成，小红和小军已报名参加长跑活动． （1）求小红被分配到组的概率； （2）请用画树状图或列表的方法，求小红和小军被分配到同一组的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的概率计算，包括简单随机事件的概率求解，以及用列表法（或树状图法）求两步随机事件的概率，熟练掌握概率的基本定义和列表法/树状图法的操作步骤是解答本题的关键． （1）直接根据概率的定义，分析所有等可能的结果与目标事件的结果数，计算小红被分配到组的概率； （2）通过列表（或画树状图）的方法，列出小红和小军分组的所有等可能结果，再找出两人被分到同一组的结果数，结合概率公式计算出对应概率． 【小问1详解】 解：根据题意可知：小红可能被分配到：组、组、组三种情况 所以，(小红分到组)； 【小问2详解】 解： 小红 小军 小红和小军分配到同一组的概率为． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根x₁，x₂满足 求k的值． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）判断一元二次方程根的情况，突破口是计算根的判别式，因为一元二次方程，当时总有两个实数根，所以先写出该方程对应的，再计算并证明其非负． （2）突破口是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），因为已知方程的两根，所以先写出和的表达式，再将等式展开，代入​和的表达式得到关于的方程，解方程即可． 【小问1详解】 证明：在方程 中，,,, 则 ． ∵ ∴ ． ∴不论为何值，方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：在方程 中，,,, ∴ ． ∵ ∴, 解得． ∴的值为3． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点， （1）求，，的值； （2）观察图象，直接写出当时，的取值范围； （3）是轴上一点，且满足的面积等于．求点坐标． 【答案】（1），， （2）或 （3）点坐标为或 【解析】 【分析】（1）将点和点分别代入一次函数中，可求出，，进而得到、的坐标，将的坐标代入反比例函数中，即可求出； （2）根据一次函数与反比例函数交于点和点，结合图象，即可求解； （3）先求出，设点，则，得到，结合的面积等于，列方程求出，即可求解． 【小问1详解】 解：已知点和点在一次函数的图象上， ，， ，， 点和点， 又反比例函数的图象过点， ； 【小问2详解】 一次函数与反比例函数交于点和点， 结合图象可得，当时，的取值范围是或； 【小问3详解】 一次函数与轴交于点， 令，得， 解得， ， 设点，则， 的面积可表示为与的面积之和， ， 的面积等于， ， 解得或， 点坐标为或． 21. 如图，为的直径，点为上一点，，垂足为点，点 在的延长线上，连接，满足． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 是的半径， ∴与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由垂直定义得到，根据圆中半径相等得到，等量代换确定，再由已知条件得到，最后根据切线的判定定理即可得证； （2）由已知条件得到相关线段长度，在中，由勾股定理求出，然后结合相似三角形的判定与性质得到，设，则， 数形结合由线段之间的关系列方程求解，从而得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∵， ∴，解得， ∴， ∴． 22. 某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为60元．经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的关系式为．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）． （1）求w关于x的函数解析式； （2）若要获得销售利润为3000元，销售单价应定为多少元/千克? （3）当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大?最大销售利润是多少? 【答案】（1） （2）90元/千克或110元/千克 （3）当绿茶的销售单价是100元/千克时，销售利润最大，最大销售利润是3200元 【解析】 【分析】（1）首先明确每千克利润为销售单价减成本，因为总利润=每千克利润×销售量，所以将已知的销售量y与x的关系式代入，即可得到w关于x的函数解析式． （2）如果利润为3000元，那么令，得到关于x的一元二次方程，求解方程即可得到销售单价的可能取值． （3）因为w是关于x的二次函数，所以可以通过配方法或者二次函数顶点公式，结合二次函数的开口方向，即可求出利润最大值及对应的销售单价． 【小问1详解】 解：已知销售利润w(元)、销售单价x(元/千克)、成本60元/千克，以及销售量y(千克)的关系为， 又∵， ∴． 可得． 答：w关于x的函数解析式为． 【小问2详解】 解：当时，． 化简得．． 可得， 则或， 解得． 答：销售单价应定为90元/千克或110元/千克． 【小问3详解】 解：由， 得： ． ∵二次项系数， ∴该二次函数图象开口向下，有最大值． ∴当时，w有最大值3200． 答：当绿茶的销售单价是100元/千克时，销售利润最大，最大销售利润是3200元． 23. 如图1，在中，，，点D是边上的一点（不与点B，C重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转，得到线段． （1）求证：； （2）如图2，的平分线交于点F． ①试探究三线段，，之间有何数量关系，并予以证明； ②若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①，证明如下： 如图2，连接， ∵的平分线交于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，，利用证明即可得到； （2）①连接，证明可得，利用勾股定理从而可证明结论； ②过A作于H，结合①中的结论得到，进而得到，根据等腰直角三角形的性质得到，在中根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略； ②如图2，过A作于H， 由①得，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的长为． 24. 如图，抛物线（， 为常数，且）交轴于，两点，交轴于点，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线上一动点，连接，当时，求点的坐标； （3）将抛物线沿方向平移个单位长度得到抛物线，点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据点的坐标特征可求得，得到，分两种情况讨论：当点在下方时，根据平行线的性质以及抛物线的对称性求解即可；当点在上方时，设交轴于点，根据角的数量关系可求得点的坐标，进而根据待定系数法可求得直线的解析式，再联立直线和抛物线的解析式即可求得点的坐标； （3）先求出的长，结合平移单位可确定抛物线的平移方式，进而得到平移后抛物线的解析式，设出点的坐标，分三种情况讨论平行四边形：为对角线，为对角线，为对角线，根据平行四边形的对角线互相平分结合中点坐标公式列方程求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线交轴于，两点， ，解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：对于抛物线， 令，得， ， ， ， ， ， ， ， ； 分两种情况讨论： 当点在下方时，如图，过点作 轴交抛物线于点，此时， 对于，对称轴为直线， 根据抛物线的对称性可得，点的坐标为； 当点在上方时，如图，设交轴于点， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 联立， 解得（与点重合，舍去）或， ； 综上，点的坐标为 或 ； 【小问3详解】 解：抛物线，对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设， ，， ， 将抛物线沿方向平移个单位长度得到抛物线，， 抛物线向左平移个单位，向上平移个单位得到抛物线， 平移后抛物线的解析式为， 设，分三种情况讨论平行四边形： 为对角线：中点为，中点与中点重合， ，， 解得， ， 即， 解得， ； 为对角线：中点为，中点与中点重合， ，， 解得， ， 即， 解得， ； 为对角线：中点为，中点与中点重合， ，， 解得， ， 即， 解得， ； 综上，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 应城市(2025-2026)第一学期期末考试九年级 数 学 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 温馨提示： 1．答题前，考生务必将自己所在学校、姓名、考号填写在试卷和答题卡上的指定位置． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效． 3．本试卷满分120分，考试时间 120分钟． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 二次函数 图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和为 B. 一标准大气压下，通常加热到时，水沸腾 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 掷一次骰子，出现的点数为 5. 点在函数图像上，下列说法中错误的是( ) A. 它的图象分布在二、四象限 B. 当时，的值随的增大而增大 C. 当时，的值随的增大而减小 D. 它的图象过点 6. 将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下移动1个单位长度，所得抛物线的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 9. 如图，四边形内接于的半径为，则弦的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4 10. 抛物线 的对称轴是直线，与x轴负半轴的交点坐标为，且 与轴交于点，则下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 已知点A关于x轴的对称点B的坐标为(1，﹣2)，则点A的坐标为_____． 12. 一元二次方程 的两根为，则 的值为______． 13. 抛物线 与x轴没有交点，请写出一个符合条件的a的值为________． 14. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，的夹角为，半径，则弧的长为________． 15. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，，的延长线与交于点，则的长为________． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图是网格，网格中每个小正方形的边长均为，的顶点都在格点上． （1）将绕点顺时针旋转得到，画出； （2）在（1）中，求线段扫过部分的面积． 18. 某校开展了“阳光体育展风采，健康体魄向未来”长跑活动．由于报名参加的人数较多，场地空间有限，活动需分，，三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成，小红和小军已报名参加长跑活动． （1）求小红被分配到组的概率； （2）请用画树状图或列表的方法，求小红和小军被分配到同一组的概率． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根x₁，x₂满足 求k的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点， （1）求，，的值； （2）观察图象，直接写出当时，的取值范围； （3）是轴上一点，且满足的面积等于．求点坐标． 21. 如图，为的直径，点为上一点，，垂足为点，点 在的延长线上，连接，满足． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 22. 某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为60元．经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的关系式为．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）． （1）求w关于x的函数解析式； （2）若要获得销售利润为3000元，销售单价应定为多少元/千克? （3）当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大?最大销售利润是多少? 23. 如图1，在中，，，点D是边上的一点（不与点B，C重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转，得到线段． （1）求证：； （2）如图2，的平分线交于点F． ①试探究三线段，，之间有何数量关系，并予以证明； ②若，，求的长． 24. 如图，抛物线（， 为常数，且）交轴于，两点，交轴于点，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线上一动点，连接，当时，求点的坐标； （3）将抛物线沿方向平移个单位长度得到抛物线，点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $