浙江省金华市部分示范高中2025～2026学年高二上学期1月素养检测数学试题

绝密·启用前 2026.1 2025~2026学年度第一学期1月高二素养检测 数学试题 考生注意： 1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑，非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题 区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3所有答案均要答在答题卡上，否则无效。考试结束后只交答题卡。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项 符合题目要求。 1.已知数列-1，√2，-3,2，-√5，.，则该数列的第2025项为（) A.45 B.-45 C.55 D.-55 2.已知点P在抛物线y2=4x上，且点P与点A(3,0)的距离和点P到直线x=-1的距离相等，则 |PA=() A.1 B.2 C.3 D.4 3.过点(0,1)且与直线2x-y+3=0垂直的直线方程为( A=+1B.+1 C.y=2x+1 D.y=-2x+1 4.等差数列{a}的前n项和为S.，若a+a+46=6,则S,的值为（) A.30 B.60 C.45 D.15 5.直线√3x+y+a-3=0与圆C:(x-1)2+(y-2)2=9相交于M,N两点，且∠MCN=120°，则实数a的 值为() A.1 B.5 C.-1或5 D.1或-5 6.已知双曲线云-1的右焦点为r,过点下作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为4.若 a2-b2 OA1oF1(O为坐标原点)，则双曲线的离心率为() A.√2 B.5 C.2 D.5 7.已知等比数列a),4+4+a=9,1+1+1=3,则4=() 4%4 A.3 B.±3 C.±5 D.5 及若：是椭肉号若-0>b0的半焦距，则5的取值范周是() A.(0,2] B.1,√] C.(0,2) D.1,V2) 【数学试题第1页（共4页】 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知圆C:(x-a)2+(y-1)2=4a的半径为2，则() A.a=2 B.点1,4)在圆c的外部 C.圆(x-9)2+(y+5)2=64与圆C外切 D.当直线x+y-2=0平分圆C的周长时，m=-1 10.已知数列{a}的通项公式为a,=3n-12,neN,则下列结论正确的是() A.S3=-18 B.数列{a}是等差数列，且公差d=3 C.对于任意的正整数n,均有a.+a,=3a1成立 D.存在唯一的正整数n,使数列{a,}的前n项和S取得最小值 11.用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛 物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对 称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点 重合.若抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点，一条平行x轴的光线1从点M射入，经过C上 的点Ax,)反射，再经过C上另一点B(x，,)反射后，沿直线射出，则() A.C的准线方程为x=-1 水壶 B.yy2=-4 太阳光 C.若点M2,则4B至 反射镜 D.设直线AO与C的准线的交点为N,则点N不在直线l,上 支架 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等差数列{a,}的各项均为正整数，且a,=2023,则a的最小值是 13.已知圆C:(x+1)2+(y-1)2=1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧AB的中点为M,则过点M 的圆c的切线方程是 14,已知椭圆C普+号1与双曲线卫芳若1有相同的焦点，名，且它们在第二象熙的公共点为 点P,点P与右焦点E的连线交y轴于点Q,且QF平分∠PFE,则双曲线E的离心率为 【数学试题第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知等差数列{a,}的前n项和为S,满足a=6,一· 在①S,=a,;②S,=20；③4，+4，+a=30这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注： 如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明我选”) (1)求{a,}的通项公式； (2)设b,=2+a,求{b}的前n项和T.· 16.(15分)已知圆c的半径为3，圆心C在射线y=-2x(x≥0)上，直线x+y-1=0被圆C截得的弦长为 32. (1)求圆c方程： (2)过圆心的直线1与圆C交于M、N两点，且△OMW的面积是6(O为坐标原点)，求直线1的方程 17.(15分)在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形，AB/1CD, ∠ADC=90°，AD=AB=2,DC=4,△PAD为等边三角形，点E,F分别为AD,AB的中点. (1)证明：BC⊥平面PEF; (2)求平面PEF与平面PCD所成角的余弦值； (3)点M为线段DC上的动点，求直线PM与平面PEF所成角的正弦值的取值范围. P E B 【数学试题第3页（共4页）】 18.(17分)设正项数列{a,}的前n项之和b.=4+4,++a，数列{b,}的前n项之积cn=bb,-b,且 b+Cx=1. (1)求证：)为等差数列，并分别求{a,、也，}的通项公式： (2)设数列ab}的前n项和为3，不等式s>+元-3对任意正整数n恒成立，求正实数九的取 6 值范围. 19.(17分)已知箱铜G等茶-a>6s0过点停马，其中-个熊点在直线+2+5-04 为椭圆的上顶点，直线1：y=+m与椭圆G相交于不同的两点M,N. (1)求椭圆G的方程； (2)若k=1,O为坐标原点，求△ON的面积最大时实数m的值： (3)若直线AM,AW的斜率分别为k,k,且k+k,=2,直线AM,AN与圆C:x2+(y- 交于点P,Q.证明：直线PQ过定点，并求出定点坐标. 【数学试题第4页（共4页）】2025~2026学年度第一学期1月高二素养检测 参考答案、提示与评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B c A A D c D B BC AB ABC 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项 符合题目要求。 1.B【解答】解：根据题意，数列-1，√2，-√5,2，-√，.，其通项公式为a=(1)×n, 则该数列的第2025项(-1)2025×√2025=-45. 2.C【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为FQ,0), 又P在抛物线y2=4x上，且点P与点A(3,0)的距离和点P到直线x=-1的距离相等， 24HPF,x,=143=2,P4HPF=2+X,=1+2=3. 2 2 3.A【解答】解：因为直线2x-y+3=0的斜率为2， 所以过点@)且与直线2-y+3=0垂直的直线的斜率为号，故所求直线方程为y= 2+1. 4.A【解答】解：在等差数列{a}中，设首项为a,公差为d, 因为4，+a,+46=4+d+a+5d+a+15d=6,则a+7d=2,即4=2， 所以8.154+2_15×24=15×2=30. 2 2 5.D【解答】解：己知圆C:(x-1)2+y-2)2=9,则C1,2),半径为3， 又直线√5x+y+a-√5=0与圆c相交于M,N两点，且∠MCN=120°， 则阕心02到直线的距离为3×m0子，即15ta5-专，即a=1或-5. V1+(3)2 2 。【解答】解：设双曲线1的半焦距为c,则右焦点P的坐标为c,0),1OPE© bc 双曲线-X1的浄渐近线方程为x士aw=0,不妨设点4在渐近线体-w=0上，则卫 =b, √b2+d2 所以0AVoP即-1A吓=a,因为0AoF1,所以c=2a,所以8-2，所以双曲线的离心率e=2. 7.D【解答】解：在等比数列a)中，a+a+a=9,1+1+1=3, 4%3a 由等比数列的性质可知，44=a,由上+上+上=3，得a+4,+4=3a, 444 【高一数学参考答案第1页（共7页)】 而a+a+a=9,因此G=3,又4+a,+a>0,且4，a,a同号，则a,>0,所以4，=V3. 8u【解答】解：-601资-11-签-2，当仅当6c时，g号成立。 a2 "2bc 故1<b+c≤√2， 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.Bc【解答】解：根据题意可得4a=4,所以a=1,故A错误； 圆C:(x-1)2+(y-1)2=4,由1-1)2+(4-1)2>4，得点(1,4)在圆C的外部，故B正确： 圆(x-9)2+(y+5)2=64的圆心为M(9,-5),半径为8，因为CM=√64+36=10=2+8， 所以圆(x-9)2+(y+5)2=64与圆C:(x-1)2+(y-1)2=4,外切，故C正确； 圆C的圆心坐标为1,1)，半径为2，若直线x+y-2=0平分圆C的周长，则直线x+y-2=0过点1,1)， 则m+1-2=0,得m=1,故D错误. 10.AB【解答】解：因为a=3n-12,n∈N,所以a1-a.=3n+1)-12-(3n-12)=3为常数， 又4=-9，故数列{a}是以-9为首项，3为公差的等差数列，所以选项B正确；C错误； 又s-a+a_(-9+3n-12-3n,21n,所以8=3x9-21x3-18,所以选项4正确； 2 2 2 2 对于选项D,因为33,2，令y3,2x>0,二次函数的对称轴为x=子35， 2 2 由二次函数的对称性知，当1=3或n=4时，S=3n,2m取到最小值，所以选项D错误. 11.ABC【解答】解：对于A,因为抛物线C:y=4x,则2p=4,即2=1， 2 即其准线方程为x=号=-1，故4正确： M 对于B,F.0,故回设x三w+1,联立4x,则y-4-4=0) 又A,),B(x2,y),故y+%=4,yy2=-4,故B正确： 对于C,若点M(2,),则A(子)，则B4,-4),故AB非x+,+p= 子4+2=至，放c正确： 对于D,由题可得4y=兰x,令x=-1,得w=4×~)=-当：-上4， 4 所以N-1,-4),又由B可知y,=-4,故点N在直线，上，故D错误。 1 【高一数学参考答案第2页（共7页)】 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.7.【解答】解：若等差数列{a}的各项均为正整数， 则数列{a}是严格递增数列，于是公差deN, 因此4=4，-8d=2023-8d为正整数，4关于d单调递减，而2023=252×8+7， 则当d=252时，a取得最小值为7. 13.y=x+2-√2.【解答】解：圆C:(x+)2+(y-1)2=1与x轴切于A点，与y轴切于B点，圆心的坐标 为(-1,1)，半径为1， 如图所示：设点M与圆C相切的直线方程为y=x+b, 利用圆心1D到直线x-y+b=0的距离d=1-+b=1，解得 √2 b=2-√2或2+√2，根据图象b=2+√2不符合题意，故b=2-√2. 故圆的切线方程为y=x+2-√2. 14.3.【解答】解：由椭圆的定义知，PR1+1PR4,KR2,由双曲线的定义知，P-PR2a, 解得1PF=2-a,|PE=2+a,设∠PFE=20,因为点P与右焦点E的连线交y轴于点Q,且Qr平分 ∠P℉E，所以∠QRR=∠QrE=6，在△PRE中，由余弦定理知， cos0=. RP+RP-PR_2+a3+4-2-@_1+2a0, 2 PFFF 2(2+a2 2+a 设1OR曰OE=x,则I POH PF.-OE2+a-x, 由角分线定理知，2，即2a2+a,解得x 4+2a IFFOF 2 4-a 在△00r中，cos∠OnR=cos日=OS14-0②， 10E|x4+2a 由①②得，1+2a=4-0,解得a=2或a=-2(舍)，所以双曲线C,的离心率为上- 2+a4+2a 5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解答】解：(1)设等差数列{a}的首项为4，公差为d 若选择条件①8，=4，则由4=6，得8+246 3a+3d=a+5a'解得8=2 …(4分) 1d=2 ☑=2+20-1）=2…(6分) 【高一数学参考答案第3页（共7页)】 [a+2d=6 若选择条件②S,=20,则由4，=6， 得 4×3d=20 解得4=2 …（4分) 4a+ d=2 g=2+20-1)=2n…(6分) 若选择条件③a,+a+a=30,则由a=6,得 a+2d=6 3a+4d=30’解得 4=2 …………………………… (4分) d=2 a=2+20-1）=2…(6分) (2)由(1)知，选择三个条件中的任何一个，都有a,=21… (7分) .bn=2+=220+2n=4+2n… (9分) 六Z=(4+4+4++4)+20+2+3t+0=40-4+2×0+m-44-D+r+… (13分) 1-4 23 16.【解答】解：(1)设圆心C(a,-2(心0)，则圆c的方程为(x-a)2+(y+2a)2=9, 根据直线x+y-1=0被圆c截得的弦长为3√2， 可知点C到直线x+y-1=0的距离d满足2W2-d=32. (4分) 所以产-}即9a-号解得a= (5分) 2 角a2a2解得a=2XQ=-4不符合愿意，舍去)…(7分》 √2 所以圆心C的坐标为(2，-4)，可知圆C的方程为(x-2)2+（0y+4)2=9… (8分) (2)由题意得1N2r=6,点0到直线1的距离d=2S=12=2, |MN|6 ①当直线1与x轴垂直时，1的斜率不存在时，此时直线1的方程为x=2, 原点O到直线的距离为d=2,满足题意…（9分) ②当直线1与x轴不垂直时，设直线1的方程为y+4=k(x-2),即-y-2k-4=0, 根据原点0到直线1的距离d=一2-4=2，解得k=-3.. (11分) √k2+1 4 y+4=G-2),即3x+4y+10=0 (13分) 综上所述，满足条件的直线1的方程为x=2或3x+4y+10=0… (15分) 17.【解答】解：（1)证明：连接BD,因为点E,F分别为AD,AB的中点，所以EF11BD, 因为四边形ABCD为直角梯形，AB/1CD,∠ADC=90°，AD=AB=2, 所以BD=VAD2+AB2=2V2,∠ADB=∠BDC=45°… (1分) 在△BDC中，由余弦定理可得BC:=BD:+DC:-2BD.DC.cos∠BDC=8+16-2x25×4×58, 2 所以BC2+BD2=DC2,所以BD1BC,所以EF⊥BC·（3分) 【高一数学参考答案第4页（共7页)】 又因为△PAD为等边三角形，点E为AD的中点，所以PE上AD…(4分) 又因为侧面PAD⊥平面ABCD,侧面PAD⌒平面ABCD=AD, 所以PE⊥平面ABCD,又BCC平面ABCD,所以PE⊥BC, 又因为EF∩PE=E,EF,PEc平面PEF,所以BCL平面PEF… (5分) (2)取BC的中点N,连接EN,可得EN⊥AD, 又PE⊥平面ABCD,又ENC平面ABCD,所以PE⊥EN, 以E为坐标原点，EA,EN,EP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(-1,0,0),P(0,0,V3),F1,1,0),C(-1,4,0),E(0,0,0), 则EP=(0,0,V5),EF=1,1,0),Dp=1,0,V5,DC=(0,4,0)…（6分) 、M 设平面PEF的一个法向量为m=(x,y,z）, H 则m上驴，m丽5：=0，令x-1,则y=-1,-0, m1EF’m.EF=x+y=0 则平面PEF的一个法向量为m=,-1,0)…（7分) 设平面PCD的一个法向量为i=(m,n,s), 则nlDp , 则nDP=m+5s=0,令g=,则m=5,n=0, n DC=4n=0 所以平面PCD的一个法向量为元=（←V50,1),则cos<m,i>= mn -√3 …(8分) |m-川1+1x3+14 所以平面PEF与平面PCD所成角的余弦值为 (9分) 4 (3)设DM=DC(0≤1≤1)，则DM=DC=(0,4,0)=(0,42,0), 又PM=DM-D2=(0,4元0)-1,0，V5)=(1,4元，-5) (10分) 又平面PEF的一个法向量为m=4,-1,0),设平面PM与平面PEF所成的夹角为6， 则sin0cos<mPM>|m.2M-1+4入 (12分) Γ|m·PM1V8+32 令=1+4el,,e片，则1+4机 (13分) V8+322 V8+32-32 √2t2-4t+10 、4,10 t”t2 可得/0f0=8,所以 io, (14分) 4,10 4’4 2-+ 所以直线PM与平面PBF所成角的正弦值的取值范围为5，O (15分) 4’4 【高一数学参考答案第5页（共7页)】 18.【解答】(1)证明：由c,=b6b.,知当心2时，b,=C, C-1 代入®，+c,山，得+c,.再由会名解得6。 =1…(2分) Cn-1 C Cn-1 可得}是以2为首项，以1为公差的等差数列， n中’6=1-c,=” 1=n+1,c,= …（4分) n+1 当心2时，a=6-41=”-11 (6分) n+1n(n+1) 当：=1时，求得4号也符合上式，故a 1 ………………………………………… (8分) n(n+1) (2)解：由(1)得0m+Dn+20+2 1n+11 … (10分) S=1+11 1 11 1×32×43×5 1- (n-1)(n+1)n+2)232435n-1n+1nn+2 311t1）………… (14分) 42n+1n+2 由数列的函数特性可知S单调递增，3≥8=}。 (15分) 3 5 固题意得+入8即+又元>0，放的取值范围为兮，2习… (17分) 19.【解答】解：(1)因为焦点在直线x+2y+√2=0上，令y=0,解得x=-c=-√2…（1分) 又因为过点r55,那么可得 55 22 2二1，解得=3，因此椭圆G为+y2=1·(4分) b2=1 3 d2-b2=c2=2 (2)如图，当k=1时，直线1：y=+m0≠0)，设N(x2,y2),M(,), M x2 联立直线1和椭圆方程可得 +少=1，化简得4x2+6mx+3m-3=0, 3 y=x+m 因为根的判别式△=-12m2+48>0,那么可得m∈(-2,0)(0,2)… (6分) 根据韦达定理可得x+x,=-3, 2’55= 3m2-3 4 点o到直线的距离d=%,弦长W=+1G+)-4x:=53 、3m2 4 那么三角形oN的面积s-dv}g反， 3 (7分) 2√2 4 8孚-学的号任9 1 (8分) 2 【高一数学参考答案第6页（共7页）】 当且仅当m2=4-m2,即m=±2时，等号成立，因此m的值为±√2…（9分) (3)如图，根据第一问可知b=1,因此圆C:x2+y2-y=0,又因为k+k=2,因此k4p+k。=2, ①)若直线P9垂直于x轴，A(0,1),设PQ的方程：x=s,Q6,yo),P(S,y), +y2-y=0化简得2-y+2=0… 那么可得=5 (11分) 根的判别式△=1-4s2>0(),且yp+ye=1, 可得k+6-,2,解得=之不满足(9，不合题意 (13分) ()若直线PQ不垂直于x轴， 那么设PQ:y=+n,Qx4,y4)，P(x3,), 那么少=+n +2-=0’化简得0+x+2m-0x+-=0… (15分) n'-n 根的判别式△=2m-一40+-川>0，那么根据韦达定理可得=，与+=- 1+t2 可得+k@-当+1-25+0-G+)_20-m+-0-2m-2（16分) 3x4 n2-n 由于m1,那么2m+1-2m=2m,即m-号 根的判别式A-任+-40+r号专=2r>0,所以t>0 42 所以直线P0方程为：y=+=+>0,所以直线P0过定点(C分0)…(17分) 【高一数学参考答案第7页（共7页）】