浙江省湖州市2026-2027学年高二上学期数学第一次月考阶段练习卷（二）

浙江省湖州市2026-2027学年第一学期高二数学第一次月考阶段练习（二） （参考答案及评分标准） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C A D B B C BCD ABD 题号 11 答案 BC 1．A（5分） 【难度】0.65 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析 【分析】根据空间向量的基底向量的定义，及共面向量的定义逐项分析判断即可． 【详解】对于选项A，假设存在实数，，使得， 则，方程无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底，故A正确； 对于选项B，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故B错误； 对于选项C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故C错误； 对于选项D，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故D错误． 2．C（5分） 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、计算古典概型问题的概率 【详解】，， 若从集合，中各任取一个数，的样本空间 ，共有6个样本点. 则满足为整数的有共4个样本点，则概率为. 3．C（5分） 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、充要条件的证明、已知直线平行求参数 【详解】对于直线，其斜率为，截距为， 对于直线，其斜率为，截距为， 若两直线平行则其斜率相等，即，则有，解得或， 两直线平行则截距不相等，即，则有， 解得,故若两直线平行，则，因此两者互为充要条件. 4．A（5分） 【难度】0.85 【知识点】圆的对称性的应用、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据圆的一般方程得出圆的圆心坐标，再结合圆关于直线对称，将圆心代入直线方程中求解即可. 【详解】因为圆方程为，所以圆心为， 又因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上， 所以，即. 5．D（5分） 【难度】0.65 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、空间共面向量定理的推论及应用、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、求投影向量 【分析】根据空间点面对称性质，空间点共线坐标表示，共面向量定理以及向量投影模长公式逐项分析. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标为，故A错误； 对于B，设点的坐标为，由点， 则， 又，所以， 即，解得：，所以点的坐标为，故B错误； 对于C，当点共面时，对空间任意一点，若， 由共面向量定理可得：，解得：，故C错误； 对于D，由向量，则， 所以向量在向量上的投影向量的模长为： ，故D正确. 6．B（5分） 【难度】0.65 【知识点】平均数的和差倍分性质、计算几个数据的极差、方差、标准差、各数据同时加减同一数对方差的影响、总体百分位数的估计 【分析】根据题意，利用平均数、方差的计算公式，以及百分位数的定义与计算方法，结合选项，逐项分析、求解，即可得到答案. 【详解】对于①，若一组数据的极差为0，可得这组数据都相等，则方差为0，故①正确； 对于②，由，可得样本数据，，，，，，的第分位数为第5个数据，即分位数为7，故②错误； 对于③，由数据，，⋯，的平均数为， 则数据，，⋯，的平均数为，故③正确； 对于④，由数据，，⋯，的平均数，方差， 可得，即， 又由，所以， ， 所以剔除后，则剩余这6个数的平均数为， 方差为，故④错误. 7．B（5分） 【难度】0.7 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】先计算直线AB、AC的斜率，结合图形得到斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的正切关系，结合斜率不存在的特殊情况得到倾斜角的取值范围. 【详解】直线的斜率， 直线的斜率， 结合图形可知，过点的直线与线段有公共点时，斜率满足或，即斜率取值范围为, 设直线的倾斜角为，，由, 当时，，解得；当时，，解得； 当直线斜率不存在时，倾斜角，此时直线方程为，符合要求，故也满足条件; 综上，倾斜角的取值范围为. 8．C（5分） 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】取点，推理证明得，把问题转化为求点到定点B，距离和的最小值. 【详解】如图，点在圆上，取点， 连接、，有， 当点、、不共线时，， 又，故，则有； 当点、、共线时，有； 故恒成立， 则， 当且仅当点是线段与圆的交点时取等号， 所以的最小值为. 9．BCD（6分，每个选项2分） 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、直线截距式方程及辨析、直线过定点问题、求平行线间的距离 【分析】由两条直线垂直的性质、结合平行线间的距离公式、直线的点斜式方程、截距的定义以及逐一判断即可. 【详解】对于，直线的斜率为，若，则直线的斜率为， 则，所以不垂直，故错误； 对于，若，所以可得，则直线， 由两平行直线距离公式可得，故正确； 对于，可化为，所以直线恒过，故正确； 对于，当直线与轴无截距，不满足条件， 当，在两坐标轴的截距相等，分别令， 可求出与轴截距为和轴截距，即，解之可得或，故正确. 10．ABD（6分，每个选项2分） 【难度】0.7 【知识点】已知两点求斜率、由标准方程确定圆心和半径、判断点与圆的位置关系、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据题意转化为圆的标准方程，由圆心坐标可判断A选项；通过点代入圆的方程求得的值，进而由斜率公式可求的斜率并可判断B选项；点与圆的位置关系可判断C选项；利用圆心到的距离可得的取值范围并可判断D选项. 【详解】把转化为标准方程, 则，如图所示，作出符合题意的图形， 对于A：圆心的坐标为，故A正确； 对于B：当点在圆上，则有， 化简得，解得. 即，所以直线的斜率为，故B正确； 对于C：因为，所以点在圆外，故C错误； 对于D：因为， ， 所以，即，故D正确. 11．BC（6分，每个选项3分） 【难度】0.6 【知识点】已知直线平行求参数、将军饮马问题求最值、直线与线段的相交关系求斜率范围、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据两直线平行的条件检验从而判断A，关于轴的对称点为，由对称性得，然后利用平面几何知识求解最大值判断B，用三角换元法求解判断C，利用直线与线段相交时，观察直线的斜率是否有不存在的情形，并计算出的斜率后可得结论从而判断D. 【详解】对于A：时，两直线方程分别为和，平行，时，两直线方程分别为，，两直线方程可以化为相同（如第一个方程两边乘以）， 两直线重合，A错误； 对于B：关于轴的对称点为，则，当是的延长线与轴交点时取等号， 所以的最大值是，B正确； 对于C：方程表示的曲线是圆，其中圆心坐标是，半径是，设，，，，所以时，，C正确； 对于D，，，点横坐标在两点的横坐标之间，过与轴垂直的直线与线段有交点，所以所求的范围是，D错误. 12．（5分） 【难度】0.65 【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间向量数量积的应用、空间向量平行的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据向量夹角为钝角的等价条件：两向量数量积小于0且不反向共线，列不等式求解参数范围. 【详解】由两向量夹角为钝角的必要条件，得， ，解得. 若与共线，则存在实数满足， 即，解得，此时， 故，实数的取值范围为. 13．①③（5分，漏选得2分） 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、直线过定点问题 【分析】对于①，将化为，列方程组即可求出定点；对于②，根据直线的一般式方程判断直线平行的方法即可求解；对于③，根据两直线垂直即可求解；对于④，分为和两种情况，结合直线的图象列不等式组即可求解. 【详解】①可化为，令，解得， 所以直线过定点，故①正确； ②若，则，解得， 当时，：，：，两直线重合，舍去； 当时，：，：，两直线平行，符合题意. 所以，故②错误； ③选项：若，则，解得或者，故③正确； ④：当时，直线：不过第三象限，满足题意； 当时，直线：不过第三象限， 则，解得，综上，故④错误． 14．①②④（5分，漏选得2分） 【难度】0.4 【知识点】点与曲线的位置关系、由方程研究曲线的性质、求平面轨迹方程 【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求 ，故可判断①的正误，结合曲线方程可判断②的正误，利用特例法可判断③的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断④的正误. 【详解】设曲线C上任意一点 ，由题意得， 对于①：因曲线过原点，所以 ，且，所以，故①正确； 对于②：将代入方程得 ，故②正确； 对于③：设 是曲线在第一象限的点， 则有 ，所以， 取，则，故此时， 所以曲线在第一象限内点的纵坐标的最大值大于，故③错误； 对于④：由，所以 ，即， 当时，；当时，因 ，即， 所以成立； 所以当在上时，成立，故④正确. 15．(1)；线段的长为； (2). 【难度】0.67 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量数量积的应用、空间基底表示向量、异面直线夹角的向量求法 【详解】（1）由题意知 ，..............................................................................................3分 ，即线段的长为..................5分 （2）因为，....................................................................................................7分 ，.........................................................9分 又 .....................................................................11分 所以，即直线与所成角的余弦值为.................13分 (评分标准：结果错误扣1分，写出正确得公式得1分） 16．（1）略；(2). 【难度】0.59 【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）利用线面垂直判定定理证明线线垂直；（2）求直线与平面所成角，可采用空间向量法、等体积法或几何定义法求解. 【详解】(1)证明：取中点O，连接，， 由可知：，，.........................................................................................1分 在底面中，由题意可知， ，，，所以四边形是矩形，，................................................3分 又因为，平面，所以平面，.............................................................5分 又平面，所以.....................................................................................................................6分 （2）由（1）可知，又，所以， 若，由，知， 即，又，...............................................................................................................8分 【方法一】以O为原点，，，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 易知：，，，，，..........................................................10分 则有，，....................................................................................11分设平面的法向量为，则 由，令，则，，则.................................................13分 设与面所成角为， 则..........................................................................................................................15分 【方法二】设与面所成角为，点到面的距离为，则， 由，，可知，面....................................................................10分 由，，可得：，即，......12分 在中，，，所以. 所以，.....................................................................................................................15分 【方法三】延长交的延长线于点，取的中点，连接，则有.......................9分 由，，可知，平面， 又平面，故. 又，，故平面，.....................................................................................10分 又平面，所以. 由，可得平面， 过作，交于点，则由平面知. 因为，所以平面， 所以是与面所成角，...............................................................................................................13分 在中，，，，， 所以在中，...................................................................................................15分 17．（1）略；(2)；(3). 【难度】0.62 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、由两条直线垂直求方程、直线过定点问题、已知点到直线距离求参数 【分析】（1）要证明直线过定点，将直线方程转化，通过提出参数，令参数所乘的式子为0建立等式，求出定点坐标； （2）直线外一点到动直线的最大距离为这点与直线上定点的距离，当直线外的点与直线上定点的连线垂直于直线时，可求最大距离； （3）根据与坐标轴的交点坐标可得三角形面积公式，利用二次函数的最值求法得到面积取最小值时参数的值，从而得到直线方程． 【详解】(1)证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即，故直线过定点；.............................................................................4分 （2）当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时，到直线的距离最大， 因为，则； 因为，故，解得；.......................................................................9分 （3）由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故，解得；..............................................................11分 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积取最小值， 此时直线方程为，即，.....................................................................15分 （评分标准：面积最小值没求不扣分） 18．(1)；；(2)周长；面积 (3)外接圆方程；内切圆方程. 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求平面两点间的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）先求出直线及其中垂线的斜率，再求出的中点坐标，即可根据点斜式求出直线方程； （2）根据两点间距离公式分别求出，即可得的周长，根据即可求出的面积； （3）设外接圆的圆心为，根据的中垂线与的中垂线的交点即为外接圆的圆心求出，再求出其半径，即可得外接圆方程；设的内切圆的圆心为，利用三角形的面积公式求出内切圆半径，再根据点到的距离等于，列出方程求出，即可得内切圆方程. 【详解】（1）    因为，所以， 所以直线的方程为，整理可得....................................................2分 因为的中垂线和直线垂直，所以中垂线的斜率为， 又因为的中点，所以直线中垂线的方程为， 整理可得；..............................................................................................................................5分 （2）因为，，.......................6分 所以的周长为，......................................................................................8分 的面积为；.......................................................................................10分 （3）    设外接圆的圆心为，半径为. 由（1）知中垂线的方程为①， 又因为的中垂线方程为，将其代入①可得， 所以外接圆的圆心为. 其外接圆的半径， 所以的外接圆方程为................................................................................13分 (评分标准：圆心1分，半径1分，圆的标准方程1分，写圆的一般方程也得分）    设的内切圆的圆心为，半径为. 由（2）知的周长为20，面积为， 所以的面积 ，解得. 又因为点到的距离等于，则，解得. 所以的内切圆的方程为.....................................................................................17分 (评分标准：圆心2分，半径1分，圆的标准方程1分，写圆的一般方程也得分） 19．(1)略；(2)；(3). 【难度】0.47 【知识点】证明线面垂直、求二面角、面面垂直证线面垂直、空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法、基本不等式的内容及辨析 【分析】（1）【方法一】（几何法）先证翻折前，再由面面垂直的性质定理得平面，从而，结合翻折后，即可由线面垂直判定定理得证；【方法二】（向量法）建立空间直角坐标系，写出、、的坐标，通过计算点积为零证得且，由线面垂直判定定理得证； （2）【方法一】（几何法）取中点，由面面垂直性质得与底面垂直，再取中点，构造二面角的平面角，在直角三角形中计算余弦值；【方法二】（向量法）取底面法向量为，再求平面的法向量，利用两法向量夹角公式计算二面角的余弦值； （3）由四点共面得，将目标式变形为，先用均值不等式处理，再用均值不等式处理关于的三次式，最后确定取等条件． （1）【详解】【方法一】在原矩形中，（E是中点，）， 故为等腰直角三角形，. 同理，为等腰直角三角形，， 因此 ，即，                      已知平面平面，且平面平面， 由面面垂直性质得平面，又平面，所以， 翻折后仍为等腰直角三角形，， 又，且均在平面内，故平面..........................................................5分 【方法二】矩形中，，，为中点，故. 翻折后为等腰直角三角形，，. 已知平面平面，且平面平面. 取中点，则，由面面垂直性质定理，平面 , 以为原点，为轴，过点平行方向为轴，竖直向上为轴建立空间直角坐标系. 各点坐标为：， 所以，，， 所以，所以， ，所以， 又，平面，所以平面..................................................................5分 （2）【方法一】如图，取的中点O，连结.因为，所以，                            又平面平面，且平面平面，所以由面面垂直性质得平面. 因为平面，所以， 取的中点F，连结,，所以， 因为，平面，平面,所以平面, 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角,......................................................................................................9分 在中，求得，， 所以 故二面角的余弦值为........................................................11分 【方法2】由（1）中法2可取底面法向量，.....................................................................6分 又,，设平面法向量, 则，即， 令，得，即平面的一个法向量为，.....................................................8分 令二面角的平面角为，所以.........................................11分 (评分标准：结果错误扣2分，写出正确公式得1分） （3）因点在的内部，且， 根据四点共面的性质得 ， 因为， 对固定，，由均值不等式 ， 当且仅当时取等号，代入：得， ， 当且仅当时等号成立，解得时等号成立，即...................16分 故当时，的最大值为....................................................................................17分 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省湖州市2026-2027学年第一学期高二数学第一次月考阶段练习（二） 考试范围：必修第二册9.1-10.3、选择性必修第一册1.1-2.4 考生须知： 1.本卷考试分值为150分，考试时间为120分钟， 2.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息， 3.请将答案正确填写在答题卡上。 第I卷（选择题）（共58分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（2026·浙江·三模）已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（26-27高二上·四川南充·阶段检测）已知，，若从集合，中各任取一个数，，则为整数的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）直线，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（26-27高二上·四川·期中）圆关于直线对称，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（26-27高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）给出下列命题，其中正确的是（   ） A．点关于平面对称的点的坐标为 B．若点，且满足，则点的坐标为 C．若三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数 D．向量在向量上的投影向量的模长为 6．（26-27高二上·四川南充·阶段检测）下列命题中正确的个数是（    ） ①如果一组数据的极差为0，则这组数据的方差也为0 ②已知样本数据4，5，6，7，8，7，9，则该组数据的分位数为8 ③已知数据，，…，的平均数为3，则数据，，…，的平均数为9 ④已知数据，，…，的平均数，方差，若把剔除，则剩余这6个数的方差不变 A．1 B．2 C．3 D．4 7．（26-27高二上·湖北襄阳·阶段检测）已知三点，，，则过点的直线与线段有公共点时（公共点包含端点），直线的斜率和倾斜角的取值范围分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（25-26高二上·广东广州·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ（，），则点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点M与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．我们来研究与此相关的一个问题：已知圆O：上的动点M和定点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则直线，之间的距离为 C．直线过定点 D．若直线在两坐标轴的截距相等，则或 10．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知圆及点，则下列说法中正确的是（ ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆内 D．若是圆上任一点，则的取值范围为 11．（2026·江苏扬州·模拟预测）解析几何能将原本的几何图形转化为代数运算，在如今的数学解题中被广泛应用，下列命题中，是真命题的是（   ） A．已知直线与平行，则或 B．已知，点为轴上一动点，则的最大值为 C．已知实数满足方程，则的最大值为 D．已知两点，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 第II卷（非选择题）（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（26-27高二上·河南平顶山·阶段检测）已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是______. 13．（26-27高二上·天津南开·阶段检测）已知直线，，则下列说法中：①恒过点；②若，则；③若，则或；④若不经过第三象限，则正确的有___________．（把正确结论的序号填在横线上） 14．（26-27高二上·北京·期中）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分.已知曲线过坐标原点，且曲线上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为.给出下列四个结论正确的是______.（把正确结论的序号填在横线上） ①；②点在上；③曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值为；④当点在上时，. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点G为的中点.    (1)用向量，，表示并求线段的长； (2)直线与所成角的余弦值. 16．（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）如图，四棱锥中，，，，，． (1)求证：； (2)若，求与面所成角的正弦值． 17．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 18．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知为坐标原点． (1)求直线的方程，并求直线中垂线的方程； (2)求的周长与面积； (3)求的外接圆方程与内切圆方程． 19．（26-27高二上·四川南充·阶段检测）如图，在矩形中，，，为中点.将沿翻折得到，且平面平面. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)若点为的内部一动点，且（其中，，均为正实数），求的最大值. （参考公式：已知个正数的算术平均数满足不等关系：，当且仅当时取等号） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $