专题03 解三角形归类（培优题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题03 解三角形归类 题型脑图·核心考法搭建 考法深研·解题技能进阶 题型01 三角形几解求参 判断三角形解的个数有2种： 画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。 ①若无交点，则无解； ②若有一个交点，则有一个解； ③若有两个交点，则有两个解； ④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。 公式法：运用正弦定理进行求解。 ①a＝bsinA，△＝0，则一个解； ②a＞bsinA，△＞0，则两个解； ③a＜bsinA，△＜0，则无解。 1．（25-26高三·云南文山·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，.若，，且该三角形有两解，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因， 则当，即时，三角形有两解， 所以的取值范围是. 2．（24-25陕西榆林·阶段检测）在中，，若解三角形时有两解，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，根据三角形有两个解的条件列式即可求得x的取值范围. 【详解】根据题意作图，如下图所示 当x的值确定以后，以C为圆心，2为半径的圆与c边的交点即为顶点A的位置， 由图可知，两种临界条件分别为： （1）圆与c边所在直线相切，此时，三角形只有一个解， 此时根据正弦定理，，可得； （2）圆过B时，，三角形只有一个解，此时； 所以当时，三角形有两个解， 所以x的取值范围为. 故选：C. 3．（24-25高三·河南南阳·阶段检测）在中，角所对的边分别为，已知，若三角形有两解，则边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理列出关系式，将的值代入表示出，求得角的范围，要使得三角形有两解确定出的范围，利用正弦函数的值域，即可求解. 【详解】因为在中，，由正弦定理，可得， 因为，所以，要使得三角形有两解，可得且，即， 即，解得.故选：C. 4．（24-25高三·全国·阶段检测）在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，若三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解即得. 【详解】依题意，，即，由，得， 所以的取值范围是.故选：C 题型02 判断三角形形状 正余弦定理： 1.化角为边型 若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； 2.化边为角型 若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； 3.边的齐次型问题，一般考虑运用正弦定理化边为角； 4.边或正弦的二次型，一般考虑直接运用余弦定理或化角为边后再用余弦定理； 5.正余弦混合的二次型，一般考虑运用降幂公式降次. 1．（2026高三·全国·专题练习）设△的三边长为，，，若，，则△是（    ）． A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】若三角形各边长为a、b、c且内切圆半径为r， 法一：由内切圆的性质有、，根据边角关系可得或，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系； 法二：由半角正切公式、正弦定理可得或，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状. 【详解】设，△的内切圆半径为r，如图所示，   法一： ∴①；②. ①÷②，得：，即．于是， ，，从而得或， ∴或．故△为等腰三角形或直角三角形， （1）当时，内心I在等腰三角形的底边上的高上，   ，从而得． 又，代入①式，得，即， 上式两边同时平方，得：，化简，即．即△直角三角形， ∴△为等腰直角三角形． （2）当时，易得．代入②式，得，此式恒成立， 综上，△为直角三角形． 法二：利用，及正弦定理和题设条件，得①，②.∴③；④. 由③和④得：，即，， 因为为三角形内角，∴或，即或． （1）若，代入③得：⑤ 又，将其代入⑤，得：． 变形得，即⑥， 由知A为锐角，从而知． ∴由⑥，得：，即，从而，．因此，△为等腰直角三角形． （2）若，即，此时③④恒成立，综上，△为直角三角形． 故选：B 2．（24-25高三·上海浦东新·阶段检测）已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用余弦定理将角化为边整理，即可得三角形的边之间的关系，从而可得此三角形的形状. 【详解】由余弦定理，可得 ， 整理，得，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以或或，故三角形为等腰三角形. 故选：A 3．（2026高三·四川·阶段检测）在△ABC中，，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】C 【解析】原式可化为，然后利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，得出，，的关系. 【详解】解：由得：，且， ∴，且， ∴， ∴， 化简整理得：，即， ∴或，又， ∴△ABC是直角三角形但一定不是等腰三角形. 故选：C. 【点睛】本题考查三角形形状的判定，难度稍大.解答时，利用正、余弦定理进行边角互化是难点. 4．（24-25·陕西咸阳·阶段检测）已知的内角所对的边分别为下列说法正确的是（    ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，则是直角三角形 D．“”是“是等边三角形”的充分不必要条件 【答案】C 【分析】利用正弦定理和余弦定理，将已知式边角互化，根据正弦函数，余弦函数的图象，借助于二倍角公式、降幂公式化简.即可一一判断正误. 【详解】对于A项，由和正弦定理，， 即，故得或， 即或，即是等腰三角形或直角三角形，故A项错误； 对于B项，因，由余弦定理，， 代入化简得，，即得，故是等边三角形，故B项错误； 对于C项，由和正弦定理，,化简得，(*)， 因,则,代入(*),得， 因，，则，故,即C项正确； 对于D项，若是等边三角形，则,即必成立， 故“”是“是等边三角形”的必要条件，故D项错误. 故选：C. 题型03 三角形外接圆 外接圆： 1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。 钝角三角形外心在三角形外。 2.正弦定理：＝＝＝2R，其中R为 外接圆半径 1．（2026·全国专题练习）已知中，的对边长度分别为，已知点为该三角形的外接圆圆心，点分别为边的中点，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图： 在三角形中，AB=c,BC=a,AC=b.，同理， 所以=：：， 由正弦定理，可得=，故选：D. 2．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的外接圆的半径为1，的平分线交圆于点，.当为_______时，的面积取最大值. 【答案】 【分析】设，利用正弦定理得到，然后利用三角形面积公式、和差公式和二倍角公式得到，最后利用导函数分析单调性求最值. 【详解】 设，，则，， 在中，，则，， 同理可得，所以 ，令，， ，，令，解得， 令，解得，令，则在上单调递增，上单调递减，所以在处取得最大值，即当时，的面积取得最大值. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于利用正弦定理得到，从而用表示，然后计算最值. 3．（25-26重庆江津·阶段检测 ）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则的外接圆直径长是________，线段长度的最大值是________． 【答案】 2 【分析】根据写出的向量表达式，平方后转化为与的边b，c有关的表达式，再利用正弦定理将边转化为角，从而求出最大值. 【详解】由正弦定理得， ，所以外接圆直径为； 由得， ， ， 由余弦定理，，代入得，， 即，所以 ， 再由正弦定理，，， 所以 ，其中， 因为，所以当时，取得最大值， ，所以. 4．（24-25高三·安徽·阶段检测）凸四边形的面积为，，，，则最大值为___________；若四边形的外接圆为圆，则所对的圆弧的长为___________． 【答案】 49 【分析】①以角和角为参数表示，在和中分别应用余弦定理化简可以得到，把上述两式平方相加，结合余弦的有界性即可求得最大值②易知四边形的外接圆的直径为，，代弧长公式即可求解 【详解】 在中，由余弦定理知：。 在中，由余弦定理知： ∴①∵② ①2+②2可得即 当时，∴；此时 ∵∴，，故四边形的外接圆的直径为， ∴所对的圆弧的长为．故答案为：； 题型04 三角形内切圆 内切圆：等面积构造法求半径 1．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）在中，，点D满足，，，则的内切圆半径为________． 【答案】 【分析】记，根据已知有，结合余弦定理、二倍角余弦公式得、，最后应用等面积法求内切圆半径即可. 【详解】显然，记，则，所以，可知， 由等腰三角形性质得，即，且为锐角，得， 由余弦定理得， 则，故的内切圆半径． 2．（【讲】专题3三角函数的范围（最值）问题（压轴小题）） 的周长为18，若，则的内切圆半径的最大值为__________ 【答案】 【分析】利用三角恒等变换得到，，作出图形，设出边长，的内切圆半径为，得到等量关系，利用基本不等式求出答案. 【详解】由题意得，因为，所以，即，即，故， 又，分子分母同除以可得， ， 如下图，的内切圆圆心为，且圆与相切于点，与相切于点， 设的内切圆半径为，， 显然，，故，即，，整理可得，，将代入中得，， 因为，即， 所以，故，解得，， 则，当且仅当时，等号成立，故的内切圆半径的最大值为. 故答案为： 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 3．（25-26·江苏无锡·阶段检测）在中，，是边上一点且满足，．若的内切圆与边相切于点，则的长度为_____． 【答案】 【分析】由余弦定理得出，再利用切线长公式计算即可. 【详解】由，得，故， 在中，由已知条件和余弦定理， 联立化简得：， 在中，由余弦定理得，代入， 化简得，故 由于内切圆与相切于，由切线长公式得. 4．（2025·北京·阶段检测）已知是边长为的正的内切圆上的一个动点．则的最小值为__________________． 【答案】 【详解】如图，设内切圆为，取上的点，使. 由正的边长为，知，，∽ .注意到，. 过点作于点.则， .故. 因此，.当动点为与内切圆的交点时，得到最小值. 题型05 图形分析1：角平分线 角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）： 三角形角平分线的处理方法： 1．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．(1)求角A． (2)D为边上一点，且． ①若，求面积的最大值； ②若为角平分线，求的取值范围． 【答案】(1)(2)①    面积的最大值,② 【分析】(1)由正弦定理边化为角，用合一变形公式整理后得求得, (2)①由向量知识可得平方后可得结合面积公式可解， ②在中由正弦定理得都是关于角的函数关系，结合均值不等式可解. 【详解】（1）∴ 由正弦定理得：  ，展开得： 而 ，故等式两边同时除以 得： 故 ． （2）①    如图所示， 当时取等号, 由面积公式： ②    如图所示，为角平分线，在中 由正弦定理得 又当时取等号, 故 2．（25-26·江苏常州·阶段检测）已知的内角所对的边分别为的角平分线交于.(1)若，求的值； (2)若，证明：； (3)若的三条角平分线相交于点的面积为，求. 【答案】(1) (2)因为，所以， 整理得，又，则， 在中，由余弦定理， 整理得，所以，， 则，，， 所以，又，则，所以. (3) (4) 【分析】（1）根据条件，利用与面积之比建立方程组，即可求解； （2）根据条件，利用得到，再由余弦定理可得，，进而求出，即可求解； （3）根据条件，求出内切圆的半径，过作于，即可求解. 【详解】（1）因为是的平分线，则， 则，其中是边上的高，又，所以. （2）略 （3）因为是的三条角平分线的交点，所以是内切圆的圆心， 设内切圆的半径为，则，又的面积为，则，解得， 过作于，则，又，则.    3．（25-26·重庆·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． (3)若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求解； （2）由正弦定理转化为三角函数，利用两角差的正弦公式化简，再由正弦型三角函数求值域即可； （3）由余弦定理及基本不等式求出范围，再由三角形面积公式得出，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理可得：， 因为，所以， 即，由可得，即， 由，可得. （2）因为，所以 ， 由三角形为锐角三角形可知，，解得， 所以，，所以. （3）如图，由余弦定理，， 即，当且仅当时，等号成立，又， 化简可得，，所以，当且仅当时等号成立. 故BD长度的最大值为. 4．（24-25高三·山东阶段检测）中、角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)B的角平分线BD交AC于D， （i）证明：； （ii）若，求的最大值． 【答案】(1)(2)（i）中，由正弦定理得①， AI 同理在中，②， BD是的角平分线，则，则，故得， 由比例的性质得，即，同理得，即， 在中，由余弦定理得③， 中，由余弦定理得④， 又，故，， 由得 ， 则， 即； （ii）【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和与差的正弦公式即可计算求解； （2）（i）先分别在和中利用正弦定理结合和比例的性质得和，接着在和中利用余弦定理结合即可分析计算求解； （ii）先由（1）得，进而得到，，接着由题设结合（i）得，再结合基本不等式即可求解． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得 ， 因为A，，所以，，故；（2）（i）略 （ii）因为，故，则，则，， 由以及（i）知，即，则， 当且仅当，结合，即，时等号成立， 故的最大值为． 题型06 图形分析2：中点与中线 三角形中线的处理方法（如图）： 1.向量法： 2. 双余弦定理法（补角法）： 如图设， 在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得，② 因为，所以 所以①+②式即可 3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形 1．（辽宁名校联盟2026-2027学年高三上学期10月考试数学试卷）记的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)设点在边上，，边上的中线与相交于点． （i）若为定值，且的最大面积为，求； （ii）若，且，证明：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）； （ⅱ）证明：由， 两边平方得，， 又由，所以，即， 又由，有，整理得， 又由，所以，因此为等边三角形，所以. 由（ⅰ）可知，，所以， 在中，，由余弦定理得，. 【分析】（1）由二倍角公式和正弦定理化简等式，即可求得角； （2）（ⅰ）作辅助线，利用三角形中位线，求得线段比例，从而得到面积表达式.由余弦定理和基本不等式求得面积最大值，从而求得的值； （ⅱ）以为基底表示出，由向量的模建立的等量关系，结合余弦定理解得的关系.结合（ⅰ）中的结论，表示出，然后通过余弦定理即可求得. 【详解】（1）由，得。由正弦定理得， 所以，又，故. （2）（ⅰ）如图，由题意可知，为边的中点，过点作，交于点，则为的中位线，所以，， 又，所以，又，所以，则， 因此， 又，所以，则， 由与余弦定理得，，当且仅当时取等号.所以.又的最大面积为，所以，解得. （ⅱ）略 2．（24-25·四川成都·阶段检测）在中，，为边上的中线，点在边上，设． (1)当时，求的值； (2)若为的角平分线，且点也在边上，求的值； (3)在（2）的条件下，若，求为何值时，最短？ 【答案】(1)(2)(3)当为何值时，最短 【分析】（1）由题意可知：，结合数量积的运算律分析求解； （2）利用正弦定理可得，结合长度关系分析求解； （3）设，利用面积关系和余弦定理可得，结合三角恒等变换以及基本不等式分析求解. 【详解】（1）由题意可知：，则， 即， 且，整理可得，即或（舍去），所以的值为. （2）在中，由正弦定理可得，即， 在中，由正弦定理可得，即， 若为的角平分线，则，即， 且，则， 即，可知，则，可知， 又因为，则，所以. （3）由（2）可知：，则，且最短，即为最短， 设，则，，， 可知，可得，由余弦定理可得， 则， ，当且仅当，即时，等号成立， 此时， 由（1）可知：，即， 可得，即（负值舍去）所以当为何值时，最短. 3．（24-25高三·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知且，． (1)求b边的长度； (2)求的面积； (3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点（含端点），线段EF交AD于G，且的面积为面积的，求的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据正弦定理的“角化边”把已知条件中的等式进行转化，再运用余弦定理得出和的关系式，进而求出的长度即可； （2）根据向量的运算性质和两向量的夹角公式求出，进而求出，再根据三角形面积公式求出面积即可； （3）首先设，，（），根据三点共线公式得到， 再根据面积的倍数关系求出，因此求出的表达式后，可以根据函数值域的求解方法解决取值范围即可． 【详解】（1）由已知条件可知： 在中，由正弦定理。得 在中，由余弦定理。得 ，又 （2）设为BC边上中线 则 ① 或。由①，得 （3）设，，（）， 。根据三点共线公式，得。 （，为∠BAC） 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查向量的运算性质以及求函数值域问题，需要一定的分析和解决问题的能力． 4．（25-26高三上·辽宁锦州·阶段检测）已知. (1)求的值域； (2)若，，求； (3)已知中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，求的边的中线AD的长. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用三角恒等变换将变形为，即可得的值域； （2）由求出及的值，即可利用两角差的余弦公式求 ； （3）由求出角，在中，由余弦定理求出，将边的中线表示成，利用向量的数量积求出，即可得解. 【详解】（1）因为 ，所以的值域为； （2）因为，即. 又，则，所以， 所以； （3）因为，所以， 又，所以，所以，则. 在中，，，由余弦定理，可得. 设的边上的中线为，则， 所以，   所以，所以的边上的中线长为. 题型07 图形分析3：垂直与高 三角形高的处理方法： 1.等面积法：两种求面积公式 如 2.三角函数法： 1．（24-25高三上·福建厦门·期中）设三角形的内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若边上的高为，求． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用三角形内角和关系转化，并用诱导公式化简为正弦形式，借助正弦定理将边比转化为对应角的正弦比，求出角. （2）利用三角形面积的表达式建立含与的等式，代入余弦定理公式即可求出. 【详解】（1）在中，，故， ，即，由正弦定理得：，即 又，所以，因为，所以， ，则，故. （2）已知，边上的高，， ，， ，代入，，，得：， 化简整理得：，即， 或(舍去)，故. 2．（25-26·湖北襄阳·阶段检测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，h为边上的高． (1)求证：； (2)求证：； (3)若为锐角三角形，求的取值范围； (4)设，若对给定的正实数k，当a，b，c变化时，始终是锐角三角形，试求满足条件的k的取值范围． 【答案】(1) (2)因为为边上的高，所以，所以， 所以 (3) (4) 【分析】（1）直接用二倍角正余弦公式展开分子分母，约分后即可推导出半角正切公式； （2）借助三角形面积公式表示出高 h，结合正弦定理边化角，拆分后复用第一问结论完成证明； （3）设半角正切为变量，由锐角三角形限定变量范围，结合恒等变换与基本不等式求出目标式的取值区间； （4）按 k 与 1 的大小分类讨论，验证 k≠1 时均存在直角三角形反例，仅 k=1 能保证三角形始终为锐角. 【详解】（1）略．（2）略． （3）由于，则 且． 此时我们令，，则且， 所以，且当，时趋近于； 易知，且当，时趋近于2， 综上 （4）由（3）知若为锐角三角形，则，下面分情况讨论： ①若，则，即． 此时，而，且，所以，． 此时，始终是锐角三角形，符合题意． ②若，此时我们取， 则， 即这种情况下可以是直角三角形，故不符合题意，舍去． ③若，此时我们取，此时， 即这种情况下也可以是直角三角形，故不符合题意，舍去． 综上所述，满足条件的k的取值范围为． 3．（25-26高三上·福建厦门·期中）在中，角的对边分别为，满足为边上的高且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积； 【答案】(1)(2) 【分析】（1）通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角恒等变换求角； （2）结合三角形面积公式、余弦定理和正弦定理，通过边的比例关系求解面积. 【详解】（1）由正弦定理，将转化为， 因为，所以， ，由于，故，又，所以. （2）由（边上的高），得的面积. 又，故，即. 由余弦定理，.已知，代入得：. 设（），则，解得（正根），即. 结合与，可得，，故. 4．（24-25高三·福建·阶段检测）已知锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且， (1)求； (2)若为边上的高，过点分别作边、的垂线，垂足分别为、， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的最大值． 【答案】(1)(2)（ⅰ）因为，即， 由余弦定理，即，所以，则， 所以，又，所以， 所以； （ⅱ） 【分析】（1）依题意可得，利用诱导公式及和差角公式得到，即可得解； （2）（ⅰ）由余弦定理得到，再由已知条件得到，由等面积法得到，从而得证；（ⅱ）设，，在中由余弦定理，由三角形相似得到，，从而得到，，则，再利用换元法及函数的性质求出的最大值，即可求出的最大值. 【详解】（1）因为，所以， 即，即，又，所以， 所以，又，所以，所以，即， 因为，所以. （2）（ⅰ）略 （ⅱ）设，， 在中由余弦定理， 由（ⅰ）可得，， 因为，即，即，且，即，即， 则，所以，，所以，且，， 令，则原式， 且，当且仅当时取等号，所以，又越大则的值越小， 所以，所以当时，取得最大值， 即，所以. 【点睛】关键点点睛：本题的第（ⅱ）问关键是设，，得到，通过条件表示出、，然后通过换元以及基本不等式得到的最大值. 题型08 图形分析4：定比分点双余弦 解三角形定比分点型 如图，若BD=tBC型，称D为定比分点，可以从以下思维入手： 1. 双三角形余弦定理： （1）ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD ADcos （2）ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD ADcos(Π-） 2.向量法： 1．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）在中，角的对边分别为，向量，且，点为上一点． (1)求角的大小； (2)若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； (3)若为上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由向量垂直运算可得边角关系，然后由正弦定理边角互化可得答案； （2）由三角形面积相等及余弦定理可得答案； （3）解法一：设其中一角，然后利用正弦定理可得边角关系，将转化成用所设角表示，利用范围即可求出答案； 解法二：设其中一角，然后利用向量共线可得边的关系，再用边角互化将转化成用所设角表示，利用范围即可求出答案； 【详解】（1）且，，即， 所以在中，由正弦定理有， ， 又因为在中，， ，又， 又，； （2）由（1）知，，则，又，， ，为角的角平分线， ， 即，； （3）解法一：由（1）知，，则， 设，则；设，则. 在中，即，在中， 即， 则. 又，，又， ， 由和差化积公式可得， 则，，； 解法二：已知为上靠近点的一个三等分点，则， 又，由（1）知，，，则，则， .． ，， . 2．（25-26·山东泰安·期末）已知在中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)求A； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若D为外一点，，位于两侧，与相交于点，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式可得； （2）利用正弦定理结合三角函数求值域； （3）设，在中利用正弦定理得，在中由正弦定理得，利用可得. 【详解】（1）因为，所以， 则，由正弦定理得，在中，得，则； （2）因为为锐角三角形，所以，得， 则，则，故的取值范围为； （3）设，则， 在中利用正弦定理得， 因为，所以，得，则，则，则，因为，所以， 在中由正弦定理得，得，因为， ，所以 ，故四边形的面积为 3．（25-26天津·期末）在中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求； (2)已知为边上的一点，且，． （i）求； （ii）若，是线段上（不与重合）的一个动点，求的最小值． 【答案】(1)(2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理，结合完全平方差公式进行求解即可； （2）（i）先根据正弦定理，分别将表示出来，再直接计算即可. （ii）根据余弦定理结合（i），求出，作（点在的下方），，垂足为，过点作，垂足为，根据三角形性质易知其最小值为，计算即可. 【详解】（1） ， 由余弦定理，得，所以得，因为，所以； （2）（i）在中，由正弦定理得，； 在中，由正弦定理得，， 因为，所以.故 （ii）由余弦定理，得结合，得. 如图，作（点在的下方），，垂足为，过点作，垂足为. ，则 ，故的最小值为.    4．（25-26·江苏南通·期末）若一个三角形中存在一个内角是另一个内角的2倍，则称其为倍角三角形．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求证：是倍角三角形； (2)已知为锐角三角形，． （i）若的面积为1，求； （ii）若D点满足，求线段长度的取值范围． 【答案】(1)因为，由正弦定理，得， 又，所以，所以， 即， 整理得，，因为为三角形内角， 所以或，即或（舍去）， 所以存在一个内角是另一个内角的2倍，所以是倍角三角形. (2)（i）（ii） 【分析】（1）根据正弦定理，将边化角，然后根据三角函数间的关系证明结论. （2）（i）根据正弦定理，将分别表示为，，再利用面积，建立关于角的三角方程求解； （ii）根据三角形为锐角三角形，求出角的范围，再由正弦定理将分别表示为，，将向量表示为，两边平方，将已知条件代入，通过换元求出长度的范围. 【详解】（1）略（2）（i）由（1），又，所以， 由正弦定理，得，，则， 因为， 所以，，由， 即，所以，整理得，，即， 两边平方得，，所以，因为为锐角三角形， 解得（舍去），所以，所以. （ii）因为为锐角三角形，所以，即.由正弦定理，得，即，由（2）知，所以，.因为，所以， ，所以. 又，令，所以，. 所以，，所以. 令，则，所以，令， ， 所以，所以. 题型09 图形分析5：补角三角形 1．（23-24高一下·北京·阶段检测）如图，在中，为 边上一点，且.    (1)求的长及的值； (2)若，求的周长； (3)若，求中边上的高. 【答案】(1)，(2)(3) 【分析】（1）在中，利用正弦定理即可求出，根据三角形内角和定理及两角和得正弦公式即可求出； （2）由，可得，在中，利用正弦定理求出，再在中，利用余弦定理求出，即可得解； （3）先根据三角形的面积公式求出，再在中，由余弦定理求出，再在中，由余弦定理求出，即可得解. 【详解】（1）因为，，所以，所以，在中，由正弦定理得， 所以，； （2）因为，所以，即，在中，由（1）结合正弦定理得，所以，所以， 在中，由余弦定理得， 所以，所以的周长为； （3），所以，在中，由余弦定理得 ，所以， 在中，由余弦定理得， 解得（舍去），所以中边上的高为. 【点睛】方法点睛：已知三角形的两边及一角解三角形的方法： 先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解思路有两种： （1）利用余弦定理求出其它角； （2）利用正弦定理（已知两边和其中一边的对角）求解. 若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这个问题（在上，余弦值所对的角是唯一的），故用余弦定理较好. 2．（25-26高三上·湖北武汉·期末）中，，是内一点，． (1)若，求； (2)若是等腰直角三角形，求的面积． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先根据正弦定理求得，然后根据正弦定理求得. （2）在中和在中利用余弦定理，将和，然后根据余角列出等式，进而求得的腰，进而求得三角形面积. 【详解】（1）根据正弦定理得，，所以. 因为，所以，所以. 根据正弦定理得，所以. （2）因为是等腰直角三角形，所以设， 在中，根据余弦定理， 得，化简得. 在中，根据余弦定理， 得，化简得， 所以. 因为，所以， 化简得，解得或. 又，，所以.所以. 3．（2026·贵州遵义·阶段检测）如图所示，在中，为边的中点，平面上一点E满足. (1)若，求线段的长度； (2)若为钝角，求线段长度的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设，运用勾股定理表示出，再根据在中的表示，与在中的余弦定理表示，建立方程，即可得解； （2）设，，，则，根据为钝角，得到，再运用在与中的两种余弦定理表达建立方程，可得，又因为三角形的两边之和大于第三边，故有，综合以上条件，解关于的不等式即可. 【详解】（1）取中点，连接，，. 设，则，因为，故. 因为，故，则. 在中，由余弦定理可知，， 因此有，解得，故. （2）设，则，设， 设，则，. 由，得，得 因为钝角，故，可得. 由余弦定理可知，在中，， 在中，， 因此有，整理得，得，， 故，解得，即. 同时，在中，有两边之和大于第三边： 故有：，即，因为，故恒成立； ，即，因为，故恒成立； ，即，即，，两边平方后，整理得. 综上所述，. 4．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知平面四边形如图所示，其中，，. (1)若，，求的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】(1)由余弦定理可求； (2)利用正弦定理及几何关系，将表示为某个角度的关系，分析角度的取值范围，得到结果. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得： ，所以, 所以或，因为，所以 所以.即的面积为. （2）设，在中，，所以， 由正弦定理：，即， 所以，在中，,, 由正弦定理，所以，所以，所以，化简得， 所以，因为，所以 ， 在中， , 所以，即， 所以，所以，所以， 因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以， 所以的取值范围为，即.所以的取值范围为. 题型10 图形分析6：四边形以及多边形 四边形，一般适当的连接对角线，分解为有公共边俩三角形。如果是有外接圆，则要充分运用对角互补这个隐形条件 1．（25-26·广东广州·期末）在中，已知，的面积满足：． (1)求的大小； (2)如图所示，为线段上一点，延长至点，使得，记． （i）用含的式子分别表示与的面积； （ii）求三角形与四边形面积比值的最大值． 【答案】(1)(2)（i），.（ii） 【分析】（1）利用三角形面积公式和向量数量积公式，结合已知等式求出，再利用余弦定理求出边长比. （2）（i）先用余弦定理表示出，再结合第一问表示出的面积，利用三角形面积公式及正弦定理、余弦定理表示出的面积. （ii）利用三角形面积之间的关系将面积比值转化为关于的函数，最后利用三角函数的性质求最值. 【详解】（1）设，. 因为，所以，化简得. 又因为，解得. （2）（i）已知，，则. 因为，，则，则. 因为，则. 展开得.在中，由余弦定理和正弦定理得，. 则，化简得. （ii）四边形面积，其中， 代入得. 设比值为，根据（2）（i）得. 令，化简得. 因为，，故. 则当时，取最大值，最大值为8.要使最大，需最大，则最大值. 故的最大值为. 2．（江苏扬州市高邮市2025-2026学年第二学期期中检测试卷高一数学）已知的面积为. (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； (3)如图，以的边作形成凸四边形，记的面积为，若，，，且，的值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）结合三角形的面积公式和余弦定理求解即可； （2）由正弦定理可得，由为锐角三角形，可得，从而可得范围，根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据四边形的内角和为，可得，设，在，中，结合正弦定理可得，代入，可求得，求出两三角形的面积即可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 整理得，又，所以 （2）在中，由正弦定理知，，所以 ，若为锐角三角形， 则,解得，所以，， 所以，所以的面积， 故的面积的取值范围为. （3）因为四边形的内角和为，所以， 设，则，又，在中，由正弦定理知，， 即，在中，由正弦定理知，，即， 两式作商得，，又，则， 整理得，即，所以，因为，所以， 所以，即，所以，， 而，所以． 3．（江苏苏州市第三中学2025-2026学年高一3月月考数学试题）如图，线段都垂直于线段，， (1)求线段的长度； (2)点为线段上一个动点且点与点、点不重合，当长为多少时，最大？ 【答案】(1)6(2) 【分析】（1）如图，作，设，由题设及正弦定理可得，据此可得答案； （2）设，其中，可得，，由基本不等式知识可得最小值，据此可得答案. 【详解】（1）如图，作，设，则. 因，则，又，则，.又，则.又，则.由正弦定理：， 得： ，则； （2）设，其中 .则，， ，令， 则， ，当且仅当时取等号. 则此时最小，从而最大. 4．（2026·湖南怀化·三模）在中，已知． (1)求C． (2)如图，若A，B在以C为圆心的单位圆上，D为此单位圆上的动点，线段交线段于点M（点M异于点C，B）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设（），记，求的最小值． 【答案】(1)(2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1） 应用已知化简得出，再结合正弦定理边角转化应用余弦定理得出结合角的范围求角； （2）（ⅰ）应用平面向量的数量积运算律结合两角和差公式及正弦值域求解；（ⅱ）设，应用数乘运算及模长化简，最后结合基本不等式得出最小值. 【详解】（1）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为， 所以，即， 由正弦定理得，     所以，又，所以． （2）（ⅰ）设，则，， ，       所以，，       又，所以，则的取值范围为．    （ⅱ）设（），则，因为（）， 所以， 所以，因为，所以，即， 化简得，，     所以，，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． 题型11 最值转化1：周长与边长最值 解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路： ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值 要注意一种特殊情况，就是 “边系数不一致型”，又叫“非对称型”。 1.“非对称”型，无法用均值求解范围，多用正弦定理来“边化角”。 2.最后消角时要注意消去的角与剩下的角对应的取值范围。特别是题中有“锐角或者钝角三角形”这类限制条件时。 1．（2025·浙江绍兴·三模）在三角形ABC中，内角A，B，C对应边分别为a，b，c，的面积为S且． (1)求角B的大小； (2)设点M是三角形内一点，且，，过点M作直线l分别交BA，BC（或延长线）于点P，Q，求的最大值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分别在与中结合正弦定理表示出，然后代入计算，结合正弦函数的值域，即可得到结果. 【详解】（1）由余弦定理可得，则， 又，由可得，即，且，所以. （2）设，则，则， 在中，由正弦定理可得，则， 则，由可得， 且，， 在中，由正弦定理可得，则， 所以 ，则， 且，所以当时，即，取得最大值. 2．（2026·湖北鄂州·模拟预测）在中内角的对边分别为，且． (1)若的平分线交于点的面积为，求长； (2)若，求当周长最小时的值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先用半角公式将条件转化为边的关系，结合余弦定理求出角，再通过已知的及和角公式求出角的正弦值，由正弦定理得到两边比例关系；最后利用三角形面积求出具体边长，并借助角平分线分割面积的性质建立关于的方程求解； （2）由已求得的角用余弦定理消去，将用表示，进而构造出周长关于的函数；利用基本不等式求得的值. 【详解】（1）依题意有即 又由余弦定理有 又为中内角 又而因为的面积为， 在中， （2）由（1）知． 设周长为，则令， 当且仅当时周长取最小值． 故当周长最小时． 2．（25-26·重庆·阶段检测）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且． (1)求角； (2)若，的周长为，求的面积； (3)若，过点在所在平面内作，且，求线段的最大值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）先根据平行向量的坐标公式化简，再结合正弦定理即可求解； （2）根据条件及余弦定理求得，再结合三角形的面积公式即可求解； （3）先设，根据正弦定理分别求出，和关于的表达式，从而得到关于的表达式，进而根据正弦函数的性质即可求出其最大值． 【详解】（1）由，，且，则， 则由正弦定理得，又在锐角中，， 则,即，解得． （2）由，的周长为，则， 又由余弦定理有，即，得， 所以的面积为． （3）在中，，不妨设，则，， 由正弦定理有，得，， 在锐角中，由，则， 由正弦定理有，得， 所以 ， 又，则，则，所以， 故，即线段的最大值为． 4．（25-26·江苏无锡·阶段检测）已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， (1)求； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案； （2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. （3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【详解】（1）在中，因为， 所以，即， 因为所以，故 ，则； （2）因为的面积为，即， 所以. 由余弦定理得. 解得, 所以周长为. （3）由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ，故， 所以，则，故， 故周长的取值范围为. 题型12 最值转化2：面积型最值 注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论． 解三角形：最值范围 1. 可以用余弦定理+均值不等式来求解。 2. 可以利用正弦定理，结合角与角所对应的边，转化为角的形式，再进行三角恒等边形，化一，求解最值与范围，要主语三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制 1．（26-27高三·广西桂林·阶段检测）记的内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角； (2)已知. （i）若的面积为，求的周长； （ii）若为锐角三角形，且角的内角平分线与角的内角平分线交于点，求面积的取值范围. 【答案】(1)(2)（i）；（ii） 【分析】（1）由正弦定理和变形得到，从而求出； （2）（i）由的面积得到方程，求出，由余弦定理得，从而得到三角形周长； （ii）由为锐角三角形，得，在中，由正弦定理得到方程，求出，，变形得到，由，得到面积的取值范围. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， ， 因为，所以， 即，因为，所以，即， 可得，因为，所以. （2）（i）由以及的面积为，得，则， 因为，由余弦定理得，得， 解得，所以的周长为；（ii）为锐角三角形，，故，且解得.，分别平分角，角，则，，.在中，由正弦定理得， 即，.又由，得， 所以 .由，得，故， 因此面积的取值范围为. 2．（2026·江苏泰州·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若为的中点，，，相交于点. （ⅰ）若，求面积的最大值； （ⅱ）若，求的余弦值. 【答案】(1)(2)（ⅰ）面积的最大值为；（ⅱ）的余弦值为. 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角并结合两角和的正弦公式化简得，再根据角的范围，即可求出其大小； （2）（ⅰ）先利用向量的线性运算和平面向量基本定理得到P 为 AM 中点，得到，再利用余弦定理结合基本不等式得到，进而由三角形的面积公式求得面积的最大值； （ⅱ）先由为的中点，，通过向量结合余弦定理得到是等边三角形，再通过建系表示出的坐标，再利用向量夹角公式计算作答. 【详解】（1）， 由正弦定理得 , （2）（ⅰ）设，则不共线.∵为的中点，，∴, 三点共线，则三点共线，则 解得.∴P 为 中点， 根据余弦定理，得， 根据基本不等式得，即，当且仅当时取等号. ，即面积的最大值为. （ⅱ）由（1）知，∵为的中点，，∴， ∴，即， 由余弦定理，得， ∴，整理得，∴∴是等边三角形. 以为坐标原点，方向为轴正方向建立平面直角坐标系.则.， ， .所以的余弦值为. 3．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）的内角的对边分别是，已知． (1)求； (2)若点在边上，为的平分线且长度为1，求； (3)若是边上的一点，且，求的面积的最大值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理对已知条件进行转换得到，从而得到； （2）利用为及三角形的面积公式即可得到的关系式，变形得； （3）根据已知条件得到，再利用数量积的运算律得到的关系式，最后运用基本不等式得到的最大值，从而得到的面积的最大值． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 整理可得，由余弦定理可得 ，所以，因为，故． （2）因为为的平分线，所以， 因为，即， 又因为，所以，故． （3）因为，所以，即， 所以， 即， 即，当且仅当即当时等号成立， 所以，即面积的最大值为． 4．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，． (1)证明：； (2)当时，求四边形ABCD面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用余弦定理，在与中分别表示公共边，联立两式消去参数，化简得到； （2）将四边形面积拆分为两个三角形面积和，结合第（1）问的结论，通过平方相加消元，求出面积的最大值． 【详解】（1）如图，连接BD，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得， 则有， 因为，，所以， 因为，所以； （2）如图，因为，所以四边形ABCD的面积， 将两边平方，可得， 即①， 由（1）可知，平方可得②， 联立①②，解得， 则，当且仅当时，等号成立，所以四边形ABCD面积的最大值为 题型13 最值转化3：角度函数型 角度函数型，一般特征是“有角无边” 1.一个角为定值，则另外俩角和为定值，所以可以消角。 2.注意锐角三角形，或者钝角三角形对角的范围的限制，如果有这样限制，要对每个角都要用不等式范围求解。 3.有角无边型，如果出现边，多为边的比值齐次式型，一般可以用正弦定地来边化角转化 1．（25-26高三·贵州遵义·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)证明：为锐角三角形； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1)因为，，所以，均为锐角， 所以，，由于， 所以，所以为锐角，故为锐角三角形 (2)(3) 【分析】（1）由，得到，再由和两角和的正切公式可得，即可证明； （2）由为锐角三角形得到，结合，利用不等式的性质即可求解； （3） 由结合余弦定理得到且，利用对勾函数得到，化简得到，利用换元法令， 即可得到的取值范围. 【详解】（1）略（2）由（1）知，为锐角三角形． 所以①，又因为，所以②， 由①②式，得，故； （3）由，得，即③， 又，由（2）知 令，易知在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，又因为， 所以，设外接圆的半径为，则， 结合③式，得，所以， 所以， 令，则，易知在上单调递增， 所以，即，故的取值范围是. 2．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）在中，内角的对边分别为，． (1)证明：． (2)证明：． (3)延长至点，得，求的最大值． 【答案】(1)由正弦定理（为外接圆半径）， 得，且， 所以，即等式得证. (2)由（1）知，， 因为， 所以，即， 由正弦定理得：， 所以，即等式得证. (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，利用和角正弦公式与三角形内角和即可证明； （2）利用（1）的结论化简题干条件，借助正弦定理化角为边，再结合余弦定理代换即可推导； （3）设，由推出，利用正切差角公式结合均值不等式即可求出的最大值. 【详解】（1）略（2）略 （3）设，由可知，由（1）（2）可得， 又，因此，即， 因此，由和， 结合正弦定理可得：， 两式相除得，即，令，则， 代入的表达式得：， 当且仅当，即时取等号，此时的最大值为. 3．（25-26高三·重庆·阶段检测）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c． (1)已知，求； (2)若是锐角三角形，为（1）中所求，H为的垂心，且CH=3，求的取值范围； (3)若，令，试求t的最大值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）通过同角三角函数关系与正弦定理将已知等式转化为边的关系，再用余弦定理求出角C； （2）设，利用三角形垂心的性质与直角三角形的边角关系表示出，再通过三角恒等变换化简目标表达式，结合的范围求取值范围； （3）利用正弦定理、三角恒等变换化简的表达式，再通过余弦定理将其转化为边的关系，最后利用二次函数性质求最大值. 【详解】（1）因为，， 所以，由正弦定理，得， 即，由余弦定理，得，因为，所以； （2）延长交于，延长交于，设，，所以， 在中，，在中，，，所以， 在中，，同理可得在中，， 所以，因为，所以， 所以，所以，即的取值范围为； （3）由余弦定理，可得，所以， 由，可得， 所以， 故， 所以，当且仅当时等号成立，即，时，． 4．（25-26高一下·江苏盐城·期中）如图，已知中，，，，，为线段上两点，且.    (1)若，求的值； (2)设，试将的面积表示为的函数，并求其最大值； (3)若，求的值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据题意可知，，，结合数量积的定义运算求解； （2）由正弦定理可得，，根据面积公式结合三角恒等变换可得，进而分析最值； （3）由正弦定理可得，，代入运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：，，， 若，则，，可得，所以. （2）若，则，，， 在中，由正弦定理可得， 则， 在中，由正弦定理可得，则， 可得的面积 ， 因为，则，当，即时，取到最大值. （3）设，由（2）可得：，，， 在中，由正弦定理可得，则， 在中，由正弦定理可得， 则， 若，则， 整理可得， 可得，解得或（舍去）， 所以的值为. 题型14 最值转化4：边长比值型 最值范围：分式比值型 化边为角型 1. 通过正余弦定理，把边转化为角。 2. 利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式 3. 对单变量（单角）求最值。 角化变型： 主要用余弦定理，然后再借助均值不等式进行转化 1．（25-26高一下·江苏南京·期末）锐角中，角，，所对的边分别为，，，满足． (1)求角的大小； (2)求的取值范围； (3)若为的角平分线，，求长的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】利用正弦定理边角互换求解即可； 利用正弦定理边角互换后结合三角恒等变换求解； 利用正弦定理边角互换后结合三角函数分析求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 在中，，所以， 所以，所以， 又则，所以，则，因为为锐角三角形，所以. （2）由（1）知，正弦定理，则 ， 因为锐角，，所以，所以，所以， 所以. （3）由角平分线定理，且，，又， 由正弦定理， 因为，所以，所以，所以. 2．（2026·浙江·阶段检测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理边角变换，结合三角函数和差化积公式与倍角公式推得，从而得到，由此得解； （2）结合（1）中结论，利用余弦定理与基本不等式即可得解. 【详解】（1）由正弦定理得，又，所以， 因为，所以，因为，所以，因为，所以，故， 又，所以，因为，所以． （2）由（1）得，所以由余弦定理得， 记，则， 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，即， 故，则，所以，即． 3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围； (3)若为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用三角恒等变换及三角形内角和定理求解即可； （2）求得，利用正弦定理求得，最后利用面积公式求解即可； （3）设，则，，，在、中，利用正弦定理可得出，利用换元法、三角恒等变换及三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为所以， 又因为 所以，所以，所以 （2）因为，所以， 因为为锐角三角形，所以，解得，所以，所以，   ，所以.（3）设，则，，，所以， 在中，在中，， 作商得， 设，因为，所以， 所以，因为，所以， 所以所以. 4．（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知分别为三个内角的对边，，． (1)求； (2)若的面积为． ①求的周长； ②如图，若为线段上（不含端点）的两个动点，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）根据，利用正弦定理得到，结合两角和的正弦公式求解； （2）①根据，得到，再由，利用余弦定理求得，即可求解；②由①求得a，c，利用正弦定理求得，，设，在中，利用正弦定理得到AE，在中，利用正弦定理得到AD，建立关于的函数求解. 【详解】（1）由正弦定理可得：， 在中，， 所以，所以， 因为在中，，所以，所以，所以， 因为，所以 ； （2）①因为，所以，因为， 所以，又，所以， 所以周长为 ； ②由，得，代入，可得：， 解得：或，所以或，如图可知：， 所以，故，，由正弦定理可得：， 所以，，设，其中，则，， 在中，由正弦定理可得，所以， 在中，由正弦定理可得，所以， 所以， 因为，则，所以. 5．（25-26·江苏连云港·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 (1)若，， ①求； ②角的内角平分线交于，求线段的长； (2)求的取值范围. 【答案】(1)①；②(2) 【分析】（1）①由已知条件结合三角恒等变换化简得，得解；②由正弦定理求得，再由求得答案； （2）由结合内角和定理可得，，将所求式子由正弦定理边化角结合二倍角公式化简得，令，利用函数单调性求解. 【详解】（1）①， ，即得， 又，所以，所以， 所以或，即或，因为，所以，即，故，因为，所以. ②由①得.在中，由正弦定理，得， 因为，所以， 所以，. （2），，，、B、C为的内角，， 由正弦定理得， 令，原式，因为在单调递增，所以. Jieshu 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03 解三角形归类 小题型脑图核心考法搭建 三角形几解求参 图形分析4：定比分点双余弦 判断三角形形状 图形分析5：补角三角形 三角形外接圆 图形分析6：四边形以及多边形 三角形内切圆 解三角形归类 最值转化1：周长与边长最值 图形分析1：角平分线 最值转化2：面积型最值 图形分析2：中点与中线 最值转化3：角度函数型 图形分析3：垂直与高 最值转化4：边长比值型 考法深研•解题技能进阶 题型01三角形几解求参 点方法技巧 判断三角形解的个数有2种： 画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。 ①若无交点，则无解； ②若有一个交点，则有一个解： ③若有两个交点，则有两个解： ④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。 公式法：运用正弦定理进行求解。 ①a=bsinA,△=0，则一个解； ②a>bsinA,△>0.则两个解； ③a<bsinA,△<0，则无解。 1.(25-26高三云南文山阶段检测)在AABC中，角A”BC所对的边分别为。方c若B= 3 a=4,且该三角形有两解，则b的范围是（) A.(25,+o B.(2,4) c.(25,4) D.(33,4) 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(24-25陕西榆林阶段检测)在△ABC中，a=x,b=2,∠B=45°，若解三角形时有两解，则x的取值范 围是() A.x>2 B.x<2 C.2<x<2W2 D.2<x≤2V2 3.(24-25高三河南南阳阶段检测)在AAC中，角AB.C所对的边分别为ab,c:已知b=36,4-子 若三角形有两解，则边a的取值范围为（) A.(0,3v6 B.(136) c.(33,36) D.(（33,+∞ 4.(24-25高三全国阶段检测)在△ABC中，已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=x,b=2, B=45°，若三角形有两个解，则x的取值范围是（) A.x>2 B.x<2 C.2<x<22 D.2<x<2V3 题型02判断三角形形状 点方法技巧 正余弦定理： 1.化角为边型 若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； 2.化边为角型 若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”： 3边的齐次型问题，一般考虑运用正弦定理化边为角； 4边或正弦的二次型，一般考虑直接运用余弦定理或化角为边后再用余弦定理； 5正余弦混合的二次型，一般考虑运用降幂公式降次， 1,(2026高三全国专题练习)设△ABC的三边长为BC=a'CA=bAB=c 若tan 4=a 2 b+c Bb 2a+c,则△ABc是(） tan A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 2,(24-25高三·上海浦东新阶段检测)已知△ABC的三条边4，b,c和与之对应的三个角A,B,C满足等式 acos B+bcosC+ccosA=bcosA+ccos B+acosC则此三角形的形状是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 3.(2026高三四川阶段检测)在△ABC中， a2+b2 sin(A+B) a2-b2 sin(A-B)' 则△ABC的形状是() A.等腰三角形但一定不是直角三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形但一定不是等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 2/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(24-25陕西减阳阶段检测)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为4，b,c,下列说法正确的是（） A.若acos A=bcos B,则△ABC是等腰三角形 B.若B=60,b2=aC,则△4ABC是直角三角形 c.若是=m 2·则A4BC是直角三角形 D.. a b “cosAcosB”是“AMBC是等边三角形"的充分不必要条件 题型03三角形外接圆 点方法技巧 外接圆： 1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三 角形斜边中点上。 钝角三角形外心在三角形外。 2正弦定理：===2R,其中R为外接圆半径 1,(2026全国专题练习)已知△MABC中，A,B,C的对边长度分别为a,b,C,已知点O为该三角形的外接圆 圆心，点D,E,F分别为边BC,AC,AB的中点，则OD:OE:OF= 1.1.1 A·a:b:c B.a'b'c C.sin A:sin B:sinC D·cosA:cosB:cosC 2.(24-25高三上广东深圳期末)已知△ABC的外接圆O的半径为1，∠A的平分线交圆O于点D, AD=V3.当cosA为」 时，△ABC的面积取最大值 3.(25-28重庆江津阶段检测)在。MBC中，角4，A,C的对边分别为a人c,已知，=5，A-胃 BD=4BC,则A4BC的外接圆直径长是 线段4D长度的最大值是 4·(24-25高三安徽阶段检测)凸四边形ABCD的面积为S,AB=6,BC=8,CD=DA=5V2,则S最 大值为 若四边形ABCD的外接圆为圆O,则∠CAD所对的圆弧CD的长为 题型04三角形内切圆 点方法技巧 内切圆：等面积构造法求半径 S,=2a+b+c)r台r=2S, a+b+c 3/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 1,(2O26辽宁铁岭模拟预测)在△ABC中，BC=3,点D满足BD=2DC,AD=2,∠ACD=2∠BAD 则△ABC的内切圆半径为 2,(【讲)专题3三角函数的范围（最值）问题（压轴小题）)△ABC的周长为18，若 os4,B-2sn气则AMBC的内图半径的委大值为 C 2 3.(25-26江苏无锡阶段检测)在△ABC中，AC=4,D是边AC上一点且满足AD=3CD BD2-AB2=3AB.若△ABC的内切圆与边AC相切于点K,则AK的长度为 4. (2025北京阶段检测)已知p是边长为6N5的正AMBC的内切圆上的-个动点，则BP+PC的最小 值为 题型05图形分析1：角平分线 点方法技巧 AB AC 角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）： BD CD A 三角形角平分线的处理方法： A B D SAABC SAACD+SAABD 1.(26-27高三上新疆乌鲁木齐阶段检测)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足 a(V3sinB+cosB)=b+c.(1)求角A. (2)D为边BC上-点，且AD=2. 4/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①若BD=2DC,求△ABC面积的最大值； ②若AD为角平分线，求AB+3BD的取值范围 2.(25-26江苏常州阶段检测)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,∠ACB的角平分线交AB AD 于D(1)若b=2a求BD的值 2)若a+b=3c,CD=6a.证明C=2 2 ,15V3 何若∠C=骨%M8C的三条角平分线相交于点Q,AB=74O1B的面积为15y2,求C 3.(25-26重庆阶段检测)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,b=V3且 3a=√3 csinB+3 bcosC (1)求B; (2)若△ABC为锐角三角形，求2a-c的取值范围. (③)若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值. 4.(24-25高三·山东阶段检测)△ABC中、角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知 4asin A=bsin Ccos A+csin Acos B 、sinA (1)求snC的值 (2)B的角平分线BD交AC于D, (i)证明：BD=BABC-DA·DC: (i)若a=1,求BD·AC的最大值. D AI同理在 中， ② CD BC △BCD sin∠CBD sin∠CDB 题型06图形分析2：中点与中线 三角形中线的处理方法（如图） 1.向量法： 而-B+40分-4(a+2丽4c+aC） 2 2.双余弦定理法（补角法）： 如图设BD=DC 在△ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD-2×AD×BD×COS∠ADB,① 在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2×ADxDC×cos∠ADC,② 5/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为∠AMB+∠AMC=π，所以cos∠ADB+cos∠ADC=0 所以①+②式即可 3延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形 1.(辽宁名校联盟2026-2027学年高三上学期10月考试数学试卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,bsin2A=asin B. (1)求A; (2)设点D在边BC上，CD=2DB,边AB上的中线CE与AD相交于点F. (i)若a为定值，且△ACF的最大面积为V3,求a; 了a且c<26证明：F=7。 ()若AD= 2.(24-25四I川成都阶段检测)在△ABC中，AC=2AB,AE为BC边上的中线，点E在BC边上，设 AE=tAB ()当<BAC=2 时，求，的值 、DE ②)若4D为∠BAC的角平分线，且点D也在BC边上，求BC的值： (3)在(2)的条件下，若S△M=1,'求1为何值时，DE最短？ 3,(24-25高三黑龙江哈尔滨阶段检测)如图，设△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,AD为 BC边上的中线，已知c=l且2csin4cosB=-asinA--bsinB+bsinC,cos∠BAD= 4 7 G B (1)求b边的长度； (2)求△ABC的面积： (3)设点E,F分别为边AB,AC上的动点（含端点），线段EF交AD于G,且△AEF的面积为△ABC面积 的石：求AGE示的取值范围， 高毛上辽宁锦州阶段检测)已知f(x)=,sincos.x, 1 6/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求f(x)的值域； 0<a<5求a2a-君 (③已知ABC中，角A、B、C所对的边分别为abG若f(4-香a=5=2求ABC的BC 边的中线AD的长 题型07图形分析3：垂直与高 点方法技巧 三角形高的处理方法： 1等面积法：两种求面积公式 2.三角函数法： 在△BCD中，BD=AB cos∠ABD,AD=ABsin∠ABD, B 1·(24-25高三上福建厦门期中)设三角形ABC的内角A、B、 D B+C bsin 2 asinB (1)求角A的大小 2)若6=3，BC边上的高为3Y四 7，求 2.(25-26湖北襄阳阶段检测)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,bc,h为AB边上的高. (1)求证： 1-cosA=tan月 A sin A 24 a+b-c B (2)求证： =tan A h +an 2 ③)若aABC为锐角三角形，求+hc h一的取值范围； (4)设k=a+b-c ,若对给定的正实数是当ab,c变化时.AMBC始终是锐角三角形，试求满足条件的 k的取值范围· 3.(25-26高三上福建厦门期中)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2 acosB=b+2c,AD 为BC边上的高且AD=1. (1)求角A的大小： 2)若a=6。 C,求AMBC的面积 4,(24-25高三福建阶段检测)已知锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若 eosA=simc- 2cos B C-6且6-a-c}=6 (1)求B: 7/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若BD为AC边上的高，过点D分别作边AB、BC的垂线，垂足分别为M、N (1)求证：BD2=,27 a2+c2-6 (i)求MN的最大值. 题型08图形分析4：定比分点双余弦 点方法技巧 解三角形定比分点型 如图，若BD=tBC型，称D为定比分点，可以从以下思维入手： 1.双三角形余弦定理： (1)△ABD中，AB2=BD2+AD2-2 BD ADcos (2)△ACD中.AC2=CD2+AD2-2 CD ADcos(n.B) 2.向量法： 4D=(1-t)-4B+t-4C=4D=(1-t)2.4B+t2.4C+2t (1-t)4B 4Ccos ZA 1,(25-26高三上广东深圳阶段检测)在△ABC中，角4，B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(b,c) a-(5,2m4-)且m1点D为4B上点. (1)求角C的大小 (2)若CD是∠ACB的角平分线，c=9,△ABC的周长为19，求CD的长度； 3)若D为B上靠近点A的-个三等分点，CD=AD,求实数的取值范围. 2,(25-26山东泰安期未)已知在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C, a(tand+tanB)=3c cosB (1)求A; ②)若A4BC为锐角三角形，求6的取值范围： (3)若D为△ABC外一点，A,D位于BC两侧，AD与BC相交于点M,∠ABC=∠CAD,AC=CD=2, CM=2MB,求四边形ABDC的面积. 3.(25-26天津期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且满足 8/16 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (sin A-sin C)2=sin2B-sin AsinC. (1)求B: 2)已知D为4C边上的-点.且∠ABD=元，4P-25+D 4 CD 3 0后 (m若b=√7，E是线段BD上（不与B重合）的一个动点，求BE+2AE的最小值· 4·(25-26江苏南通·期末)若一个三角形中存在一个内角是另一个内角的2倍，则称其为倍角三角形. 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b+c=2 acos B. (I)求证：△ABC是倍角三角形： (2)已知△ABC为锐角三角形，C=2. (i)若△ABC的面积为1，求tanA; (i)若D点满足AD=2DB,求线段CD长度的取值范围. 题型09图形分析5：补角三角形 方法枝巧 1.(23-24高-下北京阶段检测)如图在AAC中，∠B-云D为BC边上-点且 0s∠ADC=2,7,AD=V万 D B (I)求AB的长及sin∠DAB的值； (2)若S,MD8:S4Cn=l:4,求△ACD的周长 5V3 3若8a=2,求AMCD中AD边上的高 2. (25-26高三上湖北武汉期末)△ABC中，∠B=90°，P是△ABC内-点，PA=2,PB=1,PC=V2. P B ()若sin∠BAP= 4求sin∠BCp 9/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若△ABC是等腰直角三角形，求△ABC的面积. 3.(2026贵州遵义阶段检测)如图所示，在△ABC中，AB=AC,BC=2,D为边AB的中点，平面上一点 E满足DE=,AB 2 D 日若CB=5,∠BDC-7求线段B的长度 (2)若CE=V6,∠EDC为钝角，求线段DC长度的取值范围， 4.(25-26高三上·江西阶段检测)已知平面四边形ABCD如图所示，其中AB1BC,BC=3 ∠BAD=∠BCD=60° (1)若BD=V万，CD>1,求ABCD的面积； (2)求AB的取值范围 题型10图形分析6：四边形以及多边形 点方法枝巧 四边形，一般适当的连接对角线，分解为有公共边俩三角形。如果是有外接圆，则要充分运用对角互补 这个隐形条件 1.(25-26广东广州期末)在△ABC中，已知AB=BC,△ABC的面积S满足：2S-√3BA·BC=0. (1)求∠ABC的大小： (2)如图所示，O为线段AC上一点，延长BO至点D,使得CD=2AD=4,记∠ADC=0 B D (i)用含B的式子分别表示△ABC与△ABD的面积： (i)求三角形△ABD与四边形ABCD面积比值的最大值. 2.(江苏扬州市高邮市2025-2026学年第二学期期中检测试卷高一数学)已知△ABC的面积为 10/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8-9(+c-4c D B (1)求∠ABC的大小： (2)若△ABC为锐角三角形，且BC=2,求△ABC的面积S1的取值范围： (3)如图，以△ABC的边AC作△ACD形成凸四边形ABCD,记△ACD的面积为S2,若CD=V3BC, ∠CD-若BCD=g且∠CAB<∠CD家的值 61 3·(江苏苏州市第三中学2025-2026学年高一3月月考数学试题)如图，线段AB,CD都垂直于线段BD AB=3,CD=5,∠CAD=45° D P B (1)求线段BD的长度： (2)点P为线段BD上一个动点且点P与点B、点D不重合，当BP长为多少时，∠APC最大？ 4,(2026·湖南怀化三模)在aABC中，已知(sinA-sinB)2=sin2C-sin4simB D M (1)求C. (2)如图，若A,B在以C为圆心的单位圆上，D为此单位圆上的动点，线段AD交线段CB于点M(点M异 于点C,B) (i)求DA·DB的取值范围； AM (iⅱ)设 的最小值. CM=ICB 0<t<1 =0.求g 题型11最值转化1：周长与边长最值 11/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点方法技巧 解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角 度有关的范围问题 常用处理思路 ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限 制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值 要注意一种特殊情况，就是“边系数不一致型”，又叫“非对称型”。 1.“非对称”型，无法用均值求解范围，多用正弦定理来“边化角”。 2最后消角时要注意消去的角与剩下的角对应的取值范围。特别是题中有“锐角或者钝角三角形”这类 限制条件时。 1·(2025·浙江绍兴三模)在三角形ABC中，内角A,B,C对应边分别为a,b,c,△ABC的面积为S且 4S=3(a2+c2-b2) (1)求角B的大小 ②设点M是三角形内-点县BM=2∠M0C=子过点M作直线1分列交B1,BC(或延长线)于点 。+1 1 P,O。求Mr+Mo的最大值 2.(2026湖北鄂州模拟预测)在△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 a若∠BAC的平分线D交BC于点D.cosC-4 4A1BC的面积为10N5:求AD长 (2)若b-a=2,c>4,求当△ABC周长最小时c的值. 2,(25-26重庆阶段检测)已知锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b.c.向量m=(a,V3b) i=(cosA,sinB)且m/i. B (1)求角A; (2)若a=V7,△ABC的周长为5+V7,求△ABC的面积： 图若a=2过6点在。ABC所在平面内作ADLC且∠ADB-径求线段AD+BD的张大信 4.(25-26江苏无锡阶段检测)已知△ABC为锐角三角形，a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边 且bcosC+ccosB=2 acosA (1)求A; 12/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若b+c=5°A1BC的面积为 v5 ABC的周长： 2,求 (3)若a=1,求△ABC周长的取值范围 题型12最值转化2：面积型最值 点方法技巧 注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边a,b,c的齐次式或关于角的正弦 sinA,sinB,sinC的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换.求范围问题，通常是把量表示为 三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论· 解三角形：最值范围 1. 可以用余弦定理+均值不等式来求解。 2.可以利用正弦定理，结合角与角所对应的边，转化为角的形式，再进行三角恒等边形，化一，求解最值与范围，要主 语三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制 1,(26-27高三广西桂林阶段检测)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,已知 bsinC+√3 ccos B=V3a (1)求角C; (2)已知c=4v5 仞若ABC的面积为1 4,求AABC的周长： ()若△ABC为锐角三角形，且角A的内角平分线与角B的内角平分线交于点D,求△ABD面积的取值范 围 2.(2026江苏泰州模拟预测)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c=b+2 a cos B (1)求A: (2)若M为BC的中点，3AN=AB,AM,CN相交于点P (i)若BC=2,求△APC面积的最大值； (n)若AM=3。 ,求∠MPN的余弦值 2 3.(25-26高三下，甘肃武威阶段检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,C,已知 (c-2asinB)sinC=3(bsinB-asinA) (1)求B: ②若点E在边4C上.BB为∠ABC的平分线且长度为1，求2C: ac (3)若D是AC边上的一点，且CD=2DA,BD=2,求AABC的面积的最大值. 4·(2026湖南衡阳·模拟预测)如图，在平面四边形ABCD中，BC=CD=2AB,AD=3AB. 13/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 (1)证明：3cosA-4cosC=1: (2)当AB=2时.求四边形ABCD面积的最大值. 题型13最值转化3：角度函数型 点方法技巧 角度函数型，一般特征是“有角无边” 1.一个角为定值，则另外俩角和为定值，所以可以消角。 2注意锐角三角形，或者钝角三角形对角的范围的限制，如果有这样限制，要对每个角都要用不等式范围求解。 3有角无边型，如果出现边，多为边的比值齐次式型，一般可以用正弦定地来边化角转化 1.(25-26高三贵州遵义阶段练习)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知tanA>0 tan Atan B>1,a2+b2+c2=3ab (1)证明：△ABC为锐角三角形； (2)求6的取值范围， (3)求cos(A-B)的取值范围 2,(25-26高一下贵州遵义阶段检测)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c sin?C+acosB+bcos4=3(sin2B-sin2 4)+c. (1)证明：acosB+bcosA=c. (2)证明：acosB=C 3 (3)延长BC至点D,得DA=DB,求tan∠CAD的最大值. 3.(25-26高三重庆阶段检测)在△ABC中，角A,B.C所对边分别为a,b.c. (1)已知sin4=cos2B-cos'C sinA-sinB 求∠C 2)若。ABC是锐角三角形 ∠C为①中所求，H为，ABC的董心且CH-3求SCh 的取值范 BH 围 sinB 3)若6=V5a:令130os4+V3eosB: 试求t的最大值. 4.(25-26高一下江苏盐城期中)如图，已知△ABC中，AC=6,∠BCA=90°，∠BAC=60°，M,N为 线段AB上两点，且∠MCN=30 14/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N MA (I)若CM⊥AB,求CM·CB的值； (2)设∠ACM=0,试将△MCN的面积S表示为O的函数，并求其最大值； (3)若BN=V3AM,求tan∠ACM的值 题型14最值转化4：边长比值型 点方法枝巧 最值范围：分式比值型 化边为角型 1. 通过正余弦定理，把边转化为角。 2. 利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式 3.对单变量（单角）求最值。 角化变型： 主要用余弦定理，然后再借助均值不等式进行转化 1.(25-26高一下江苏南京期末)锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,满足 a(3sinB+cosB)=b+c (1)求角A的大小 米 2的取值范围； (3)若AD为△ABC的角平分线，a=4,求BD长的取值范围· C-A a+b sin 2 2.(2026浙江阶段检测)记 的内角A,B,C的对边分别为ab,c,已知 a+c =-C+A sin △ABC 2 (1)若A= 4,求B ②宋后+分的取值驰里。 3.(25-26高一下黑龙江哈尔滨期中)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 (2a-c)cosB=bcosC (1)求B的大小； (2)若△ABC为锐角三角形，且a=4,求△ABC面积的取值范围； AD ③)若D为边AC上一点（不包含端点）：且满足∠ADB=3∠ACB求CD的取值范围 4,(25-26高一下江苏无锡期中)已知a,b,C分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，b=2 3bsin C+bcos C=a. 15/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D (1)求B: (2)若△ABC的面积为V3 ①求△ABC的周长； AD ②如图，若D,E为线段BC上（不含端点）的两个动点，∠DAE=60,求AE的取值范围. 5,(25-26江苏连云港阶段检测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 cosA sin2B 1-sinA 1-cos2B (1)若C 7π -12·AB=4 ①求B; ②角A的内角平分线交BC于D,求线段AD的长； 2关2a6 c2一的取值范围 Jieshu 16/16