19.2二次函数y=ax²+bx+c的图象（第6课时）（教学课件）数学新教材北京版九年级上册

第十九章 二次函数 求解析式（第6课时） 19.2二次函数的图象 学 习 目 标 1 2 3 理解待定系数法含义，掌握用待定系数法求二次函数解析式的步骤； 已知两点，会利用一般式列方程组求解析式；已知顶点 + 一点，会设顶点式求解析式； 经历分析条件、设解析式、代入点坐标、解方程（组）、回代写出解析式的完整过程，提升分析、归纳能力，体会模型思想. 旧知复习 回顾 经过前面几节课的学习，你能说出二次函数有哪两种常见表达式吗？ 对称轴：直线 顶点坐标： ①一般式：； ②顶点式：. 对称轴：直线 顶点坐标： 新知引入 探究 如果想要确定一次函数，需要几个点坐标？这种方法叫什么？ 一次函数中有两个待定参数和,因此需要2 个点的坐标； 把点坐标代入函数解析式，得到关于的方程组，解方程组求出、,从而确定函数解析式，这种方法叫做待定系数法. 待定系数法 本节课我们将学习用待定系数法求二次函数解析式. 新知探究 探究1：已知 a 的值，图像经过两点 问题 已知二次函数，当自变量时，函数值，且它的图象经过点，求这个二次函数的表达式. ①解析式中二次项系数已经给出，只剩下两个未知参数； ②题目给两组对应数值，可以代入解析式，得到两个方程. 解：由题意，图像经过和，代入解析式： 化简得到 解得： ∴二次函数表达式：。 设：设出合适函数解析式； 拓展总结 新知探究 探究1：已知 a 的值，图像经过两点 待定系数法步骤 代：把已知点坐标代入解析式，得到方程或者方程组； 解：解方程（组）求出待定的系数； 回代：把求出系数回代到所设解析式，写出最终表达式。 知识小结 探究1：已知 a 的值，图像经过两点 用待定系数法求 一般式含有 3 个未知数，需要 3 个独立条件，才能求出全部参数； 若中任意一个系数已知，只剩两个未知数，因此两个点就可以求解. 新知巩固 待定系数法求解析式 【分析】将两组自变量与函数值代入二次函数，列出二元一次方程组，求解待定系数. 已知二次函数,当,;当,，求函数解析式。 联立方程组: ①+②, 得; 将代入①, 二次函数解析式: 当: ② 解：当: ① 此时解析式中只有一个未知数； 新知探究 探究2：已知顶点 + 图像上任意一点 问题 已知二次函数的图象经过点，且它的顶点坐标为，求这个二次函数的表达式。 题目给出了顶点坐标，优先选择哪一种解析式？ 优先选择顶点式 再代入另外一个点，就可以求出. 解：∵抛物线顶点坐标， 新知探究 探究2：已知顶点 + 图像上任意一点 ∴解析式： ∴设顶点式解析式：。 ∵图像过点，将代入： 解得： 解答过程 题目给出顶点，首选顶点式,是顶点横坐标，是顶点纵坐标，大幅减少计算量； 新知探究 探究2：已知顶点 + 图像上任意一点 注意事项 代入顶点式求解的注意事项 只有这一个未知数，只需要额外1 个图像上的点就可以求出 注意符号：,顶点(8,9),所以括号内是,不是,极易出错； 题目若无要求，写顶点式也正确；若要求一般式，再展开化简。 新知巩固 代入顶点式求解析式 二次函数图像顶点为(-1,-4),并且经过点(1,0),求解析式。 【分析】已知顶点，直接设顶点式，代入图像上的点求出系数a，写出二次函数解析式. 解：顶点，即 设顶点式： 把点代入： 代入得到顶点式： 新知拓展 探究3：交点式 探究 若已知抛物线与轴两个交点，能否有更快捷的方式求出函数解析式呢？ 此时可设函数解析式为： 此时未知数只有一个，再代入图象上另外一点，求即可. 交点式 根据条件选解析式，减少未知数，可大大简化运算. 新知巩固 利用交点式求解析式 【分析】看到与轴两个交点，优先交点式，代入第三个点求，按需展开成一般式. 二次函数图像与轴交于、，且过点，求解析式. 解： 交点、，设交点式 代入： 交点式： 化为一般式： 巩固训练1 待定系数法求一般式的解析式 【分析】将点的坐标代入二次函数解析式，求解的值即可得到函数解析式． 已知二次函数的图像经过点，． (1)求该函数的解析式； (2)求出该函数的对称轴及顶点坐标． （1）解：将点，代入二次函数， 可得 解得， ∴该函数的解析式为． 巩固训练1 待定系数法求一般式的解析式 【分析】将点的坐标代入二次函数解析式，求解的值即可得到函数解析式． 已知二次函数的图像经过点，． (1)求该函数的解析式； (2)求出该函数的对称轴及顶点坐标． （2）对于二次函数， ∵， ∴对称轴为直线， 顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为． 巩固训练1 待定系数法求一般式的解析式 变式题 已知抛物线经过点和，求抛物线的解析式． 解：将点和代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为． 巩固训练2 待定系数法求顶点式的解析式 【分析】 已知顶点坐标，先设二次函数顶点式，再把已知点坐标代入表达式求出系数，最后整理出函数表达式即可. ∴抛物线的函数表达式为． 已知抛物线的顶点是，且经过点，求这条抛物线的函数表达式． 解：∵抛物线的顶点是， ∴可设抛物线的函数表达式为， 把代入上式得， 解得 巩固训练2 待定系数法求顶点式的解析式 变式题 1.在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的解析式． 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为 ， 将代入得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 巩固训练2 待定系数法求顶点式的解析式 变式题 2.已知某二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的解析式． (2)判断点是否在抛物线上，并说明理由． （1） 解： ∵ 二次函数的顶点坐标为 ∴ 设二次函数解析式为（） ∵函数图象经过点 ∴将代入解析式，得 解得 ∴ 这个二次函数的解析式为； 巩固训练2 待定系数法求顶点式的解析式 变式题 2.已知某二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的解析式． (2)判断点是否在抛物线上，并说明理由． (2)解：点不在抛物线上，理由如下： 将代入 得 ∵ ∴点不在抛物线上． 拓展提升 待定系数法求交点式的解析式 【分析】给出抛物线与轴两个交点，设交点式，代入第三个点求出，得到解析式. 一条抛物线与轴交于点，，并经过点，求这条抛物线的函数解析式． 解：∵抛物线与轴交于点，， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得： ， 解得． ∴抛物线解析式为 即． 课堂总结 本节课你学到了什么？ 23 感谢聆听! $