19.4二次函数的应用（第1课时）（教学课件）数学新教材北京版九年级上册

第十九章 二次函数 19.4 二次函数应用 19.4.1二次函数与一元二次方程 学 习 目 标 1 2 3 理解二次函数的图象与轴交点横坐标就是一元二次方程的实数根；掌握判别式与交点个数的对应关系； 掌握图象法求一元二次方程近似解的步骤，会结合表格逼近取值，求出精确到 0.1 的近似解； 经历观察、对比探究，建立二次函数与一元二次方程的联系，体会数形结合思想. 旧知复习 回顾 一元二次方程根的判别式？分别对应根什么情况？ 根的判别式； ①当时 方程有两个不相等的实数根； ③当时 方程没有实数根。 ②当时 方程有两个相等的实数根； 新知引入 探究 二次函数，当的时候，函数式子变成什么？ 二次函数图象与轴交点，就是的点，那么交点横坐标和这个方程的根之间存在什么联系？ 本节课我们一起来学习二次函数与一元二次方程. 当时 新知探究 探究1：判别式判断抛物线与 轴交点个数 探究 不画图象，判断二次函数的图象与轴是否有交点. 当，方程实数根的个数 二次函数与轴交点个数 因此只需要计算方程对应的，再将与0对比即可. 等价于 新知探究 探究1：判别式判断抛物线与 轴交点个数 解： ， ∴一元二次方程没有实数根 即不存在实数，使 ∴二次函数图象和轴没有交点 解答过程： 结合以上例题，你能总结根的判别式、一元二次方程的根以及对应二次函数与轴交点个数之间的关系吗？ 知识小结 探究1：判别式判断抛物线与 轴交点个数 判别式 抛物线与轴交点 一元二次方程根的情况 判别式、抛物线与 𝒙轴交点个数之间的关系 两个交点 一个公共点（顶点） 没有公共交点 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 抛物线与轴交点的横坐标，就是一元二次方程的实数根。 ①方法一：代入交点，求出解析式参数，解方程； 新知探究 探究1：判别式判断抛物线与 轴交点个数 拓展总结 已知一个交点，求另外一个交点三种方法 ②方法二：利用对称轴，两点关于对称轴对称； ③方法三：根与系数关系： 新知巩固 二次函数与轴的交点 【分析】二次函数与轴交点的纵坐标为，令解一元二次方程即可. 二次函数与轴的交点坐标是（     ） A．， B．， C．， D．， 解：令，得 因式分解得 解得， 二次函数与轴的交点坐标为，． 新知探究 探究2：双向理解函数与方程 探究 如果抛物线与轴交点，那么是什么？ 观察动态演示，分别从“数→形”与“形→数”两方面解释一元二次方程与抛物线中的作用. 小组任务： 点击上图进行动态演示 数→形：解一元二次方程得到根，就得到抛物线与轴交点横坐标； 拓展总结 双向理解函数与方程 新知探究 探究2：双向理解函数与方程 形→数：观察抛物线与轴交点横坐标，可以得到对应一元二次方程的根； 局限：画图会有误差，图象得到的根大多是近似解. 新知探究 探究3：图象法求一元二次方程近似解 探究 用函数图象求一元二次方程的近似解（精确到 0.1）. 一个根在和之间； 另一个根在和之间； ①构造二次函数 确定根的大致区间： 设，画出函数图象； ②观察图象 新知探究 探究3：图象法求一元二次方程近似解 ③列表 在区间内逐步取值，看正负变化，寻找更接近 0 的（逼近思想） … … … … 时； 时； 取近似解. 由正变负，零点在两者之间； 对应的更接近 0 构造二次函数； 新知探究 探究3：图象法求一元二次方程近似解 知识总结 图象法求一元二次方程近似解地步骤 画出函数图象，确定根所在的区间； 在区间内取值列表，观察值正负、距离 0 远近； 选取更接近 0 的作为近似根，按要求精度取值。 新知巩固 一元二次方程的解的估算 【分析】一元二次方程的解，就是二次函数的函数值时对应的的取值. 根据表格对应值： 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 关于的方程的一个解x的范围是（     ） A． B． C． D．无法确定 解：分析表格中函数值的变化： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 新知巩固 一元二次方程的解的估算 【分析】一元二次方程的解，就是二次函数的函数值时对应的的取值. 根据表格对应值： 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 关于的方程的一个解x的范围是（     ） A． B． C． D．无法确定 可知在1.1到1.4之间逐渐增大时，的值也逐渐增大，函数呈递增趋势； 因此当函数值从2.29上升到3.76的过程中，必然存在一个使得，该x的取值在1.3和1.4之间． 巩固训练1 二次函数与轴的交点 【分析】一元二次方程的根就是二次函数的图象与轴交点的横坐标． 若一元二次方程的根为，，则二次函数的图象与轴的交点坐标为______． 解：二次函数与轴有交点， ． 一元二次方程的根为，， 一元二次方程的两根就是二次函数的图象与轴交点的横坐标 且轴上点的纵坐标为， 二次函数的图象与轴的交点坐标为，． ， 巩固训练1 二次函数与轴的交点 变式题 1.若抛物线（为常数，且）与轴的一个交点坐标为，则该抛物线与轴的另一个交点坐标为（     ） A． B． C． D． 解：∵抛物线的对称轴为直线， 且抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为， 设另一个交点为， ∴． 解得． ∴另一个交点坐标为． 巩固训练1 二次函数与轴的交点 变式题 2.抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 解：令，得； ∵， ∴或， 解得，， ∴抛物线与轴的两个交点为，， ∴两交点之间的距离为． 巩固训练2 一元二次方程的解的估算 【分析】先由判断抛物线开口方向，求出对称轴，根据给定区间在对称轴右侧，列不等式求解参数范围. 设二次函数，下表列出了与的6对对应值，根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 解：由表格得 当时， 当时， 一元二次方程的一个解的大致范围是。 0 1 2 3 4 5 13 23 巩固训练2 一元二次方程的解的估算 变式题 根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解是（     ） A. B. C. D. 解：由表格得 当时， 当时， 一元二次方程的一个解的大致范围是. 课堂总结 本节课你学到了什么？ 22 感谢聆听! $