22.3 正多边形的有关计算（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第22章 圆（下） 22.3 正多边形的有关计算 （第1课时）正多边形与圆及尺规作图 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 这一课要解决什么 理解 认识正多边形的中心、半径、边心距和中心角。 会用 会尺规作圆内接正方形与正六边形。 会判断 判断正多边形的轴对称与中心对称。 复习引入 从已有经验出发 观察 等分圆周后依次连结分点，会得到什么图形？ 联系 认识正多边形的中心、半径、边心距和中心角。 知识讲授 概念与性质 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形。 把文字条件与对应图形一一联系。 应用时核对全部前提。 知识讲授 概念与性质 正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，中心到圆内接正多边形各边的距离叫做正多边形的边心距。 把文字条件与对应图形一一联系。 应用时核对全部前提。 知识讲授 概念与性质 正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个圆心角叫做正多边形的中心角。 把文字条件与对应图形一一联系。 应用时核对全部前提。 知识讲授 由等弧得到等边 看条件 将圆分成等份，各段弧相等。 作推理 同圆中等弧所对弦相等，所以依次连线的各边相等。 再检查 还需说明各内角相等，才得到正多边形。 知识讲授 由等弧得到等角 看条件 每个内角所对的弧都由段等弧组成。 作推理 相同度数的弧对应相等圆周角。 再检查 于是所得边形各边、各角都相等。 知识讲授 四个名称对照 看条件 中心是外接圆圆心；半径连中心与顶点。 作推理 边心距是中心到边的垂线段。 再检查 中心角是相邻顶点与中心所成的圆心角。 例题讲解 例 1 已知：⊙。求作：⊙的内接正方形。 答：作互相垂直的两条直径，依次连接四个端点。 解 过作直线，与圆交于、。 过作，与圆交于、。 连接、、、。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 知识讲授 为什么得到正方形 看条件 四个圆心角都是90°，所以四边相等。 作推理 每个内角都对着半圆，所以都是90°。 再检查 四边相等且四角相等，得到正方形。 例题讲解 例 2 已知：⊙。求作：⊙的内接正六边形。 答：利用半径作为弦长，在圆上截取六等分点。 解 过作直径。 分别以、为圆心，以为半径画弧，交圆于、、、。 依次连接、、、、、。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 知识讲授 半径为什么能截六等分点 看条件 相邻弦长等于半径时，与两半径构成等边三角形。 作推理 相邻圆心角是60°。 再检查 六个60°正好组成360°。 课堂练习 练习1 如图，是正三角形，⊙是的外接圆，指出图中各部分的名称：⊙的圆心是正三角形的____，是正三角形的____，是正三角形的____，是正三角形的____。 答：依次为：中心、边心距、半径、中心角。 解 连接中心与顶点。 垂直边，是中心到边的距离。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 课堂练习 练习2 图中的多边形分别是正三角形、正方形和正六边形。如果是轴对称图形，分别画出它们所有的对称轴；如果是中心对称图形，分别指出对称中心的位置。 答：对称轴依次为3、4、6条；后两图的中心为对称中心。 解 正三角形的轴过顶点与对边中点，且无对称中心。 后两图的轴过对顶点或对边中点；红色虚线为对称轴。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 知识讲授 一般正n边形的对称轴 看条件 有条对称轴。 作推理 奇数边时每条轴过一顶点和对边中点。 再检查 偶数边时还可过一对相对顶点或相对边中点。 知识讲授 何时是中心对称图形 看条件 绕中心旋转180°后，每个顶点应有对应顶点。 作推理 只有边数为偶数时，顶点能两两对应。 再检查 所以正边形在为偶数时中心对称。 知识讲授 中心角的大小 看条件 个相等中心角合成一个周角。 作推理 每个中心角为。 再检查 这里连接的是相邻两个顶点。 知识讲授 角度与边数互相反推 看条件 已知中心角，可用。 作推理 边数应为不小于3的整数。 再检查 计算后仍需判断是否可构成正多边形。 课堂总结 本课知识 概念 中心、半径、边心距、中心角 作图 垂直直径作四边形，半径截六边形 中心角 对称 条轴，偶数边中心对称 特别提醒：正多边形要求各边相等且各角相等。 针对训练 训练1　名称对应 分别解决下列问题： （1） 正多边形外接圆圆心叫什么？ （2） 中心到正多边形某边的垂距叫什么？ 解第（1）题 中心。 由定义。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练1　名称对应 分别解决下列问题： （1） 正多边形外接圆圆心叫什么？ （2） 中心到正多边形某边的垂距叫什么？ 解第（2）题 边心距。 必须是垂直距离。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练2　中心角求值 分别解决下列问题： （1） 正五边形中心角多少度？ （2） 正八边形中心角多少度？ 解第（1）题 72°。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练2　中心角求值 分别解决下列问题： （1） 正五边形中心角多少度？ （2） 正八边形中心角多少度？ 解第（2）题 45°。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练3　边数反推 分别解决下列问题： （1） 正多边形中心角30°，有几条边？ （2） 正多边形中心角40°，有几条边？ 解第（1）题 12条。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练3　边数反推 分别解决下列问题： （1） 正多边形中心角30°，有几条边？ （2） 正多边形中心角40°，有几条边？ 解第（2）题 9条。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练4　正方形作图 分别解决下列问题： （1） 作圆内接正方形时两条直径的夹角是多少？ （2） 圆内接正方形的相邻两个顶点对应多少度圆心角？ 解第（1）题 90°。 圆周被分成四段相等弧。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练4　正方形作图 分别解决下列问题： （1） 作圆内接正方形时两条直径的夹角是多少？ （2） 圆内接正方形的相邻两个顶点对应多少度圆心角？ 解第（2）题 相邻两点对应90°。 360°均分成4份。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练5　正六边形作图 分别解决下列问题： （1） 圆半径4，用半径截得正六边形，边长多少？ （2） 正六边形边长7，其外接圆半径多少？ 解第（1）题 4。 相邻弦与两半径组成等边三角形。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练5　正六边形作图 分别解决下列问题： （1） 圆半径4，用半径截得正六边形，边长多少？ （2） 正六边形边长7，其外接圆半径多少？ 解第（2）题 7。 内接正六边形边长等于半径。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练6　对称轴个数 分别解决下列问题： （1） 正五边形有几条对称轴？ （2） 正八边形有几条对称轴？ 解第（1）题 5条。 每条过顶点与对边中点。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练6　对称轴个数 分别解决下列问题： （1） 正五边形有几条对称轴？ （2） 正八边形有几条对称轴？ 解第（2）题 8条。 四条过对顶点，四条过对边中点。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练7　中心对称判断 分别解决下列问题： （1） 正九边形是中心对称图形吗？ （2） 正十二边形是中心对称图形吗？ 解第（1）题 不是。 边数为奇数，180°后顶点不能对应。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练7　中心对称判断 分别解决下列问题： （1） 正九边形是中心对称图形吗？ （2） 正十二边形是中心对称图形吗？ 解第（2）题 是。 相对顶点关于中心两两对应。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练8　圆的等分 分别解决下列问题： （1） 把圆等分成10段弧，每段弧度数多少？ （2） 把圆等分成12段弧，相邻弦是否相等？ 解第（1）题 36°。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练8　圆的等分 分别解决下列问题： （1） 把圆等分成10段弧，每段弧度数多少？ （2） 把圆等分成12段弧，相邻弦是否相等？ 解第（2）题 相等。 同圆等弧所对弦相等。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练9　旋转重合 分别解决下列问题： （1） 正五边形绕中心旋转最小多少正角可重合？ （2） 正六边形绕中心旋转120°能否重合？ 解第（1）题 72°。 使顶点移到下一个顶点。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练9　旋转重合 分别解决下列问题： （1） 正五边形绕中心旋转最小多少正角可重合？ （2） 正六边形绕中心旋转120°能否重合？ 解第（2）题 能。 120°是基本旋转角60°的2倍。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练10　定义边界 分别解决下列问题： （1） 四边相等的菱形一定是正四边形吗？ （2） 四个角相等的矩形一定是正四边形吗？ 解第（1）题 不一定。 还需四个角相等。 解第（2）题 不一定。 还需四条边相等。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练11　正多边形定义 （1）各边相等的多边形都是正多边形。 理由：各角也须相等。 （2）正多边形的各顶点在同一个圆上。 理由：存在外接圆。 （3）边心距连接中心与某边中点且垂直该边。 理由：正多边形的对称性。 方法：边和角同时检查 注意：不能只检查一个条件。 针对训练 训练12　对称与作图 （1）正三角形是轴对称图形。 理由：有3条轴。 （2）正多边形都是中心对称图形。 理由：奇数边正多边形不是。 （3）半径可作为内接正六边形边长。 理由：每个中心三角形为等边三角形。 方法：区分两类对称 注意：轴对称不等于中心对称。 针对训练 训练13　圆形钟面的等分标记 圆形钟面需要12个等间隔标记，相邻两标记对应中心角是多少？每隔一个标记连接能构成什么正多边形？ 答：30°；正六边形。 解 。 每隔一个点取点，中心角变60°，共6个顶点。 方法：等分圆周。 注意：依圆周顺序连相邻选定点。 针对训练 训练14　六角螺母草图 要在半径8 的圆中画内接正六边形作为螺母轮廓，圆规开口取多大？轮廓边长多大？ 答：圆规开口8 ；边长8 。 解 以半径为弦在圆周截取六等分点。 每个中心三角形是等边三角形。 方法：半径截六等分点。 注意：圆规开口保持不变。 方法总结 两种方法带走 等分圆周作图法 （1）确定需要的等分点。 （2）按圆周顺序连接相邻点。 旋转对称判断法 （1）中心角把周角等分。 （2）检查180°旋转后能否重合。 $