专题02 整式的乘除（知识&考点&公式&20高频&3易错&4重难&4模型，期中知识清单）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题02 整式的乘除 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(20类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(4类) 答题技巧清单 知识点01 同底数幂的乘法 1.同底数幂的乘法性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即aᵐ·aⁿ＝ （m、n都是正整数）． 2.性质的推广：三个或三个以上的同底数幂相乘，仍具有这一性质，即aᵐ·aⁿ·aᵖ＝aᵐ⁺ⁿ⁺ᵖ（m、n、p都是正整数）． 3.性质的逆用：aᵐ⁺ⁿ＝aᵐ·aⁿ（m、n都是正整数）．已知指数的和求幂，或已知幂把指数拆开时，常用这一变形． 4.适用条件：底数必须 ，指数相加．“指数相加”是幂相乘的结果，不能与“指数相乘”混淆． 5.底数的形式：性质中的底数a可以表示有理数，也可以表示单项式或多项式，只要各幂的底数相同即可运用． 知识点02 幂的乘方 1.幂的乘方性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘．即(aᵐ)ⁿ＝ （m、n都是正整数）． 2.性质的推广：[(aᵐ)ⁿ]ᵖ＝aᵐⁿᵖ（m、n、p都是正整数）． 3.性质的逆用：aᵐⁿ＝(aᵐ)ⁿ＝(aⁿ)ᵐ（m、n都是正整数），是解决幂的求值与比较大小问题的重要依据． 4.与同底数幂的乘法比较：(aᵐ)ⁿ表示n个aᵐ相乘，指数是 ；aᵐ·aⁿ表示同底数幂相乘，指数是 ．两个性质的指数运算方式不同，不能混淆． 知识点03 积的乘方 1. 积的乘方性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 即(ab)ⁿ＝ （n为正整数）． 2.性质的推广：(abc)ⁿ＝aⁿbⁿcⁿ（n为正整数）． 3.性质的逆用：aⁿbⁿ＝(ab)ⁿ（n为正整数），常用于简化计算，如0.25¹⁰×4¹⁰＝(0.25×4)¹⁰＝1． 4.注意事项：“每一个因式都要乘方”，不能漏乘；系数也要乘方，如(2a)³＝8a³，而不是2a³． 知识点04 整式的乘法 1.单项式乘单项式：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的 作为积的一个因式． 2.单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc． 3.多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn． 4.运算注意：相乘时不能漏项、不能漏乘“－”号；各项的符号由乘式中因式的符号共同确定，积的各项都要连同符号一起运算． 5.结果要求：整式乘法的结果应化成最简形式，即先去括号，再合并同类项． 知识点05 乘法公式 1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．即(a＋b)(a－b)＝ ． 2.平方差公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，其中有一项 ，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方． 3.完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍．即(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，(a－b)²＝ ． 4.完全平方公式的结构特征：左边是两数和（或差）的平方，右边是三项，其中首末两项是两数的 ，中间项是两数积的2倍，且符号与括号内的符号一致． 5.公式的变形：a²＋b²＝(a＋b)²－2ab＝(a－b)²＋2ab；(a＋b)²－(a－b)²＝4ab；(a＋b)²＋(a－b)²＝2(a²＋b²)． 知识点06 整式的除法 1.同底数幂的除法性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减．即aᵐ÷aⁿ＝ （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）． 2.零指数幂：任何不等于零的数的零次幂都等于1，即a⁰＝1（a≠0）．注意底数不能为0． 3.单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个 ． 4.多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．即(ma＋mb)÷m＝a＋b． 5.运算注意：除式不能为0；除法可以转化为乘法，除以一个单项式等于乘以这个单项式的倒数，但结果必须写成最简形式． 考点01 幂的运算性质 考点内容：同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方三个性质及其推广与逆用． ①直接运用性质进行计算，注意底数相同、指数是相加还是相乘； ②三个性质的综合运用，含字母指数与数值指数的混合运算； ③性质的逆用：由aᵐ·aⁿ＝aᵏ求指数，或化为同指数比较幂的大小； ④底数不同时先化成同底数，如把(﹣a)²化为a²、把4化为2²． 易错提醒：不要把“同底数幂相乘”与“幂的乘方”的指数运算混淆：幂相乘时指数相加，幂乘方时指数相乘． 考点02 整式的乘法 考点内容：单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则与运算． ①单项式乘单项式，把系数、同底数幂分别相乘，只在一个单项式中含有的字母连同指数写入积； ②单项式乘多项式、多项式乘多项式，逐项相乘后检验是否漏项、漏乘； ③含“－”号与分数系数的整式乘法运算，注意符号与括号； ④先化简再求值：整式乘法与合并同类项结合，再代入字母的值计算． 易错提醒：多项式乘多项式在合并同类项前，积的项数等于两个多项式项数之积，可据此检查是否漏乘． 考点03 平方差公式 考点内容：平方差公式的结构特征、推导思路与运用． ①识别能否运用平方差公式，即判断“相同项”与“相反项”； ②计算(a＋b)(a－b)型及其变形型，如(﹣m＋n)(﹣m﹣n)； ③连续使用平方差公式进行简便计算，如(2＋1)(2²＋1)(2⁴＋1)； ④用平方差公式进行数的简便运算，如102×98． 易错提醒：运用公式时先确定“相同项”与“相反项”，再按“相同项的平方减去相反项的平方”写出结果，注意符号与括号． 考点04 完全平方公式 考点内容：完全平方公式的结构特征、变形与运用． ①计算(a±b)²型及其变形型，如(﹣2x＋3y)²； ②用完全平方公式进行数的简便运算，如101²； ③公式变形求值：由a＋b、ab求a²＋b²，或由a﹣b、ab求a²＋b²； ④与平方差公式联合运用，进行整式的化简求值． 易错提醒：完全平方公式的结果是三项，不要漏写中间项2ab，也不要漏乘2；注意(a﹣b)² 与a²﹣b²的结果不同． 考点05 同底数幂的除法与零指数幂 考点内容：同底数幂的除法性质、零指数幂的意义与适用条件． ①运用aᵐ÷aⁿ＝aᵐ⁺ⁿ计算，注意a≠0且m＞n； ②求零指数幂的值，如(﹣3)⁰、(π﹣3.14)⁰； ③把不同底数的幂化为同底数后再相除； ④逆用aᵐ⁻ⁿ＝aᵐ÷aⁿ解决求值问题． 易错提醒：零指数幂的底数不能为0；同底数幂相除要求底数不为0且被除式的指数大于除式的指数． 考点06 整式的除法 考点内容：单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则与运算． ①单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除； ②多项式除以单项式，逐项相除后再相加，注意不要漏项； ③整式的乘除混合运算，按先乘方、再乘除的顺序进行； ④先化简再求值：整式除法与乘法公式、合并同类项综合． 易错提醒：多项式除以单项式时，商的项数与原多项式的项数相同，漏项是最常见的错误． 1 幂的运算性质 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 同底数幂的乘法 aᵐ·aⁿ＝aᵐ⁺ⁿ（m、n都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加；可推广为aᵐ·aⁿ·aᵖ＝aᵐ⁺ⁿ⁺ᵖ 2 幂的乘方 (aᵐ)ⁿ＝aᵐⁿ（m、n都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘；逆用为aᵐⁿ＝(aᵐ)ⁿ＝(aⁿ)ᵐ 3 积的乘方 (ab)ⁿ＝aⁿbⁿ（n为正整数） 积的乘方，把每一个因式分别乘方后再相乘；逆用为aⁿbⁿ＝(ab)ⁿ 4 同底数幂的除法 aᵐ÷aⁿ＝aᵐ⁻ⁿ（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n） 同底数幂相除，底数不变，指数相减；底数不能为0 5 零指数幂 a⁰＝1（a≠0） 任何不等于零的数的零次幂都等于1 2 整式的乘法与乘法公式 序号 名称 公式（几何语言） 说明 6 多项式乘多项式 (a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn 先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 7 平方差公式 (a＋b)(a﹣b)＝a²﹣b² 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 8 完全平方公式 (a＋b)²＝a²＋2ab＋b²； (a﹣b)²＝a²﹣2ab＋b² 两数和（差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们积的2倍 辨析01 同底数幂相乘“指数相加”，幂的乘方“指数相乘” 同底数幂的乘法性质是aᵐ·aⁿ＝aᵐ⁺ⁿ，指数相加；幂的乘方性质是(aᵐ)ⁿ＝aᵐⁿ，指数相乘．两个性质的条件与结论都不同，计算前先看清是“幂相乘”还是“幂乘方”． 辨析02 aᵐ·aⁿ与aᵐ＋aⁿ意义不同，不能混淆 aᵐ·aⁿ是同底数幂相乘，结果是a的m＋n次幂；aᵐ＋aⁿ是同类项相加，结果是2aᵐ（当m＝n时）．前者用乘法性质，后者用合并同类项，不能把“相加”写成“相乘”． 辨析03 积的乘方要“每个因式都乘方”，系数也要乘方 (ab)ⁿ＝aⁿbⁿ中的每一个因式都要乘方，包括数字系数．如(2a)³＝2³·a³＝8a³，不能写成2a³；(2ab²)³＝8a³b⁶，字母的指数也要分别乘方． 辨析04 单项式乘单项式，只在一个单项式中含有的字母不能漏掉 单项式乘单项式时，把系数、同底数幂分别相乘；对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．这类字母没有“同类项”可以合并，漏写就会丢因式． 辨析05 多项式乘多项式必须“逐项相乘”，防止漏项 多项式乘多项式的法则是“先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”．合并同类项前的项数等于两个多项式项数之积，可用这一结论检验是否漏乘，尤其不要漏乘常数项． 辨析06 平方差公式的关键是找准“相同项”与“相反项” 平方差公式(a＋b)(a﹣b)＝a²﹣b²的左边是两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方．两个因式中没有相同项或没有相反项时，不能套用公式． 辨析07 完全平方公式的中间项不能漏，也不要漏乘2 完全平方公式的结果是三项：a²＋2ab＋b²或a²﹣2ab＋b²．中间项是两数积的2倍，符号与括号内的符号一致．常见错误是漏写中间项或漏乘2，写成a²＋ab＋b²． 辨析08 (a＋b)²与a²＋b²不同，(a﹣b)²与a²﹣b²也不同 (a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，比a²＋b²多出中间项2ab，所以(a＋b)²≠a²＋b²；(a－b)²＝a²﹣2ab＋b²， 而a²﹣b²＝(a＋b)(a﹣b)，两者形式与意义都不同，不能相互替代． 辨析09 同底数幂相除的适用条件要记清 aᵐ÷aⁿ＝aᵐ⁻ⁿ的适用条件是a≠0，m、n都是正整数且m＞n．若底数为0，除法没有意义；若m＜n，指数差为负数，此时的运算不属于本节范围，不能直接用该性质． 辨析10 零指数幂的底数不能为0，(﹣a)⁰与﹣a⁰不同 a⁰＝1要求a≠0，底数为0时没有意义．(﹣a)⁰的底数是﹣a，只要a≠0，结果就是1；﹣a⁰表示a⁰的相反数，即﹣1．两者的底数与意义都不同． 【题型一】同底数幂的乘法 【例1】下面计算中①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（25-26七年级上·上海·期中）计算（结果用幂的形式表示）： ． 【变式1-2】（25-26七年级上·上海奉贤·期中）若a、b均为正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型二】同底数幂的乘法的逆用 【例2】可以改写成（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知，则的值为 ． 【变式2-2】（23-24七年级上·上海·阶段检测）若，则_____________． 【题型三】幂的乘方 【例3】（2026·上海普陀·二模）下列关于计算所得的结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】某细菌每经过1小时就会由1个分裂成个，经过5小时，1个细菌分裂成（　　）个． A．5 B． C． D． 【变式3-2】（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知与是同类项，则__________． 【题型四】幂的乘方的逆用 【例4】（24-25七年级上·上海崇明·期中）已知，，，则有（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26七年级上·上海闵行·期末）设，，下列三者之间的关系式正确的是（） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26七年级上·上海·期末）若，，则的值为_____． 【题型五】积的乘方 【例5】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26七年级上·上海·期中）计算：________________． 【变式5-2】（25-26七年级上·上海·期中）计算：________． 【题型六】 积的乘方的逆运算 【例6】（25-26七年级上·上海·期中）计算：________． 【变式6-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式6-2】已知10x＝a，5x＝b，求： （1）50x的值； （2）2x的值； （3）20x的值．（结果用含a、b的代数式表示） 【题型七】 用科学记数法表示数的乘法 【例7】光在真空中的速度为km/s，太阳光照射到地球上大约需要s，则地球与太阳之间的距离用科学记数法表示为 ____________km． 【变式7-1】（22-23七年级上·上海·期中）用科学记数法表示：___________． 【例7-2】1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于千克煤放出的热量，千克镭完全蜕变后放出的热量相当于________千克煤放出的热量． 【题型八】 计算单项式乘单项式及求值 【例8】计算：（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-2】若单项式和3xy的积为，则ab的值为（　　） A．30 B．20 C．﹣15 D．15 【题型九】 计算单项式乘多项式及求值 【例9】计算的结果是（　　） A．﹣6x3﹣2x2+12x B．6x3﹣2x2+12 C．6x3+2x2﹣12x D．6x3﹣2x2+12x 【变式9-1】若x（x2﹣a）+3x﹣2b＝x3+5x﹣6对任意x都成立，则a+b＝　 　． 【变式9-2】（25-26七年级上·上海·期末）若ab2=−12，则ab⋅a2b5−ab3−b的值是________． 【变式9-3】先化简，再求值：，其中． 【题型十】 计算多项式乘多项式及求值 【例10】若（x+3）（x+n）＝x2+mx+6，（m，n均为实数），则（　　） A．m＝1，n＝2 B．m＝1，n＝﹣2 C．m＝5，n＝﹣2 D．m＝5，n＝2 【变式10-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【变式10-2】先化简，再求值：，其中． 【变式10-3】仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为， 得， 则， ∴． 解得：，． ∴另一个因式为，的值为－21. 问题：仿照以上方法解答下面问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． （2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【题型十一】 运用平方差公式进行计算 【例11】（25-26七年级上·上海·期末）下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】若等式（       ）成立，则括号内所填的代数式是（　　） A． B． C． D． 【变式11-2】计算： （1）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab） （2）（﹣y2+x）（x+y2） （3）x（x+5）﹣（x﹣3）（x+3） （4）（﹣1+a）（﹣1﹣a）（1+b2） 【题型十二】 平方差公式与几何图形 【例12】如图①，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】将长为，宽为的一个长方形沿虚线剪去一个宽为的小长方形（阴影部分），得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示的图形，则从图到图可以解释的等式是（    ）． A． B． C． D． 【变式12-2】下列图形中，不能借助图形面积验证正确性的是（     ） A． B． C． D． 【题型十三】 运用完全平方公式进行计算 【例12】（25-26七年级上·上海·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】下列式子中，计算正确的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式13-2】计算的结果是 ． 【题型十四】 完全平方公式与几何图形 【例12】图1，是一个长为2m、宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（　　） A．mn B．m2﹣n2 C．（m﹣n）2 D．（m+n）2 【变式14-1】如图， 两个正方形边长分别为a，b，如果， ，则阴影部分的面积为（   ）    A．14 B．15 C．16 D．17 【变式14-2】如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠、无缝隙），则拼成的长方形面积为（　　） A． B．15 C．3 D． 【题型十五】 求完全平方公式中的字母系数 【例15】（25-26七年级上·上海杨浦·期末）若关于的整式是某一个整式的平方，则的值是_____． 【变式15-1】（23-24七年级上·上海·阶段检测）如果是一个完全平方式（其中N为常数），则_____________． 【变式15-2】（25-26七年级上·上海·期中）如果是完全平方式，则m的值是 ． 【题型十六】 同底数幂的除法及其逆运算 【例16】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式16-1】下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式16-2】已知，，则的值为 【题型十七】 幂的混合运算 【例17】（26-27七年级上·上海·期中）计算：． 【变式17-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【变式17-2】（25-26七年级上·上海·寒假作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型十八】 单项式除以单项式 【例18】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式18-1】若，则m，n的取值分别为（　　） A．m＝4，n＝2 B．m＝4，n＝0 C．m＝5，n＝2 D．m＝5，n＝0 【变式18-2】（1）计算：（﹣2ab）2•3b÷（ab2） （2）（2024春•通州区期末）计算：32（x3y2z）3÷（﹣8x5y4z2）． 【题型十九】 多项式除以单项式 【例19】（23-24七年级·上海·假期作业）计算的结果是（        ）． A． B． C．1 D． 【变式191】（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：． 【变式19-2】（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）计算： 【题型二十】整式乘法的实际应用 【例20】神舟十六号载人飞船成功发射，激发了中小学生对航天事业的热爱．李华在手工课上制作了一个火箭模型（图1），图2是其中一重要零件及各边的长度，则图2中零件的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式20-1】为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，如图，已知该地块是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a，b的式子表示种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求此时种植区的总面积S． 【变式202】为了给同学们提供更多的活动空间，某校对校园空地进行改造．如图，在长为米，宽为米的长方形场地中间，并排修建两个大小一样的乒乓球场地，两个乒乓球场地中间以及乒乓球场与长方形场地边缘的距离都为b米． (1)求这两个乒乓球场地的占地面积； (2)当，时，若乒乓球场地每平方米造价为200元，其余场地每平方米造价50元，求整个长方形场地的造价． 【题型一】幂的运算性质混淆而致错 【例1】下列各运算中，正确的运算是（    ） A． B． C． D． 易错警示 同底数幂相乘指数相加、幂的乘方指数相乘，两个性质不能混用；积的乘方要把每一个因式都乘方，系数也要乘方． 【变式1-1】（23-24七年级上·上海·阶段检测）下列4个计算：①②③④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】计算 (1)； (2)． 【题型二】整式乘法漏项、漏乘而致错 【例2】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 易错警示 单项式要乘遍多项式的每一项，多项式要逐项相乘，不能漏乘常数项与系数为－1的项；符号要随项一起参与运算． 【变式2-1】今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（　　） A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3 D．﹣10xy 【变式2-2】利用多项式相乘的知识我们易得公式（ax+b）（cx+d）＝acx2+（bc+ad）x+bd，我们直接套用公式可求得（3x﹣2）（5x+3）＝15x2+（﹣10+9）x﹣6＝15x2﹣x﹣6，我们可以逆向运用这个公式，如果2x2﹣13x+6＝（x﹣6）（　　），那么括号里应该填（　　） A．x+1 B．2x﹣1 C．2x+1 D．x﹣1 【题型三】乘法公式结构判断错误而致错 【例3】（23-24七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 易错警示 用公式前先判断结构是否符合“相同项与相反项”或“两数和（差）的平方”；(a－b)²的结果是三项，中间项为－2ab，不要漏写也不要漏乘2． 【变式3-1】（25-26七年级上·上海·期中）已知，则的值是（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 【变式3-2】在化简的过程中，小明有以下两种方法： 解法一：原式(第一步) ；(第二步) 解法二：原式(第一步) (第二步) ．(第三步) 小明发现两种解法的结果不同，请你帮小明判断上述解法是否正确，如果错误，请指出小明是从哪一步开始出现错误的．若两种解法都错误，请你再写出正确的解答过程． 【题型一】整式的四则混合运算 【例1】（23-24七年级·上海·假期作业）计算的结果是（        ）． A． B． C．1 D． 【变式1-1】化简： （1）                （2） 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型二】整式乘除的化简求值 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）化简求值：，其中，． 【变式2-1】（25-26七年级上·上海静安·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式2-2】先化简，再求值：，其中． 【题型三】整式乘法与不含某项问题 【例3】已知多项式的展开式中不含项． (1)求m的值； (2)化简：并在（1）的条件下求值． 【变式3-1】若关于的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8， (1)求与的值； (2)化简，并求值． 【变式3-2】【知识回顾】 已知代数式的值与x的取值无关，求y的值． 解题方法：把x看作字母，y看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以， 即． 【理解运用】 (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值． 【题型四】整式乘法与新定义问题 【例4】如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)_____；若，则_____； (2)已知，，，若，则的值是_____； (3)若，． ①求的值； ②求的值． 【变式4-1】对于任意的有理数a，b，c，d，我们规定．如，根据这一规定，解答下列问题： (1)化简； (2)若x，y同时满足，，求x，y的值． 【变式4-2】对于任意四个有理数数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与．我们规定： ．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值． 【题型一】 整式乘法与看错问题 【例1】（25-26七年级上·上海·寒假作业）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：．甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为． (1)求正确的a、b的值． (2)计算这道乘法题的正确结果． 【变式1-1】甲、乙两人分别计算(3x＋a)(4x＋b)．甲抄错a的符号，得到结果是12x2＋17x＋6，乙漏抄第二个括号中x的系数，得到结果是3x2＋7x－6，问： （1）a、b分别是多少？ （2）该题的正确答案是多少？ 【变式1-2】甲、乙两人共同计算一-道整式乘法题：.甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为. （1）求正确的、的值. （2）计算这道乘法题的正确结果. 【题型二】利用乘法公式变形求值 【例2】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【变式2-1】已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式2-2】已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； (4)求的值． 【题型三】多项式乘法的规律性问题 【例3】（24-25七年级上·上海·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中用“杨辉三角”揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的规律：                  1               1    1           1     2    1       1     3     3    1    1     4    6      4   1 1     5    10    10    5   1             …… …… 则的展开式中所有项的系数和是（   ） A．64 B．128 C．256 D．512 【变式3-1】观察下列各式： ；…； 根据前面各式的规律可得到：__________ 【变式3-2】你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值： ①； ②； ③； … (1)由此我们可以得到：__________； (2)请你利用上面的结论，完成下面的计算： ①； ②． 【题型四】 整式乘法与几何图形的综合题 【例4】（25-26七年级上·上海松江·期中）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图： (1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系，写出这个长方形表示的等量关系． (2)小明想用类似方法解释整式乘法，那么需用1号卡片张2号卡片张，3号卡片张，那么__________． (3)如果要拼成一个大正方形，她先取1号卡片1张，再取2号卡片16张，则她还需取3号卡片__________张． 【变式4-1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． (1)若，求的值． (2)①若，则_________． ②若，则_________． (3)如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．    【变式4-2】图1是一个长为，宽为的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形． (1)你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于 （用含、式子表示）； (2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1： ；方法2： ； (3)观察图2，尝试写出、、 三个式子之间的等量关系式是： ； (4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知，求的值． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料：在学习乘法公式时，我们知道可以通过不同方法计算几何图形面积得到一些代数恒等式，例如，通过图①中面积计算可以得到完全平方公式：． (1)仿照图①结论，根据图②，写出一个恒等式________________； (2)利用第（1）题中得到的结论，解决如下问题：若，，则________； (3)小杰用图③中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，那么________； (4)事实上，通过不同方法计算几何体的体积也可以得到类似的结论，例如图④展示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体得到的立体图形后重新拼成一个长方体，根据图中的变化关系，写出一个恒等式： ． 技巧 一句话要点 同底数幂相乘——“底不变，指相加” aᵐ·aⁿ＝aᵐ⁺ⁿ；底数必须相同，指数相加． 幂的乘方——“底不变，指相乘” (aᵐ)ⁿ＝aᵐⁿ；注意与同底数幂相乘相区分． 积的乘方——“每个因式都乘方” (ab)ⁿ＝aⁿbⁿ；系数也要乘方，如(2a)³＝8a³． 幂的运算逆用——“拆指数，并底数” aᵐ⁺ⁿ＝aᵐ·aⁿ，aⁿbⁿ＝(ab)ⁿ，常用于求值与简便计算． 单项式乘单项式——“系数相乘，同底数幂相加” 只在一个单项式中含有的字母连同指数写入积中，不能漏． 多项式乘多项式——“逐项相乘，再相加” 合并同类项前积的项数等于两个多项式项数之积，可据此检漏项． 平方差公式——“相同项平方减相反项平方” (a＋b)(a－b)＝a²－b²；先找准相同项与相反项． 完全平方公式——“首平方，尾平方，积的2倍放中央” (a±b)²＝a²±2ab＋b²；中间项的符号与括号内一致． 同底数幂相除——“底不变，指相减” aᵐ÷aⁿ＝aᵐ⁻ⁿ（a≠0，m＞n）；零指数幂a⁰＝1（a≠0）． 整式除法的检验——“商乘除式还原被除式” 用“商×除式＝被除式”检验结果，防止漏项或符号出错． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的乘除 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(20类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(4类) 答题技巧清单 知识点01 同底数幂的乘法 1.同底数幂的乘法性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即aᵐ·aⁿ＝aᵐ⁺ⁿ（m、n都是正整数）． 2.性质的推广：三个或三个以上的同底数幂相乘，仍具有这一性质，即aᵐ·aⁿ·aᵖ＝aᵐ⁺ⁿ⁺ᵖ（m、n、p都是正整数）． 3.性质的逆用：aᵐ⁺ⁿ＝aᵐ·aⁿ（m、n都是正整数）．已知指数的和求幂，或已知幂把指数拆开时，常用这一变形． 4.适用条件：底数必须相同，指数相加．“指数相加”是幂相乘的结果，不能与“指数相乘”混淆． 5.底数的形式：性质中的底数a可以表示有理数，也可以表示单项式或多项式，只要各幂的底数相同即可运用． 特别提醒：只有当幂的底数相同时才能运用这一性质；底数不同时，应先化为同底数，如(－a)²＝a²，再把指数相加． 知识点02 幂的乘方 1.幂的乘方性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘．即(aᵐ)ⁿ＝aᵐⁿ（m、n都是正整数）． 2.性质的推广：[(aᵐ)ⁿ]ᵖ＝aᵐⁿᵖ（m、n、p都是正整数）． 3.性质的逆用：aᵐⁿ＝(aᵐ)ⁿ＝(aⁿ)ᵐ（m、n都是正整数），是解决幂的求值与比较大小问题的重要依据． 4.与同底数幂的乘法比较：(aᵐ)ⁿ表示n个aᵐ相乘，指数是相乘；aᵐ·aⁿ表示同底数幂相乘，指数是相加．两个性质的指数运算方式不同，不能混淆． 特别提醒：分清“幂的乘方”与“同底数幂的乘法”：(a³)²＝a⁶，而a³·a²＝a⁵，底数相同但指数运算不同． 知识点03 积的乘方 1.积的乘方性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即(ab)ⁿ＝aⁿbⁿ（n为正整数）． 2.性质的推广：(abc)ⁿ＝aⁿbⁿcⁿ（n为正整数）． 3.性质的逆用：aⁿbⁿ＝(ab)ⁿ（n为正整数），常用于简化计算，如0.25¹⁰×4¹⁰＝(0.25×4)¹⁰＝1． 4.注意事项：“每一个因式都要乘方”，不能漏乘；系数也要乘方，如(2a)³＝8a³，而不是2a³． 特别提醒：三个性质常综合运用，运算顺序为先算积的乘方，再算幂的乘方与同底数幂的乘法，最后合并同类项． 知识点04 整式的乘法 1.单项式乘单项式：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式． 2.单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc． 3.多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn． 4.运算注意：相乘时不能漏项、不能漏乘“－”号；各项的符号由乘式中因式的符号共同确定，积的各项都要连同符号一起运算． 5.结果要求：整式乘法的结果应化成最简形式，即先去括号，再合并同类项． 特别提醒：多项式乘多项式在合并同类项前，积的项数等于两个多项式项数之积，可据此检查是否漏乘；也不要漏掉系数为1或－1的项． 知识点05 乘法公式 1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．即(a＋b)(a－b)＝a²－b²． 2.平方差公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方． 3.完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍．即(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，(a－b)²＝a²－2ab＋b²． 4.完全平方公式的结构特征：左边是两数和（或差）的平方，右边是三项，其中首末两项是两数的平方和，中间项是两数积的2倍，且符号与括号内的符号一致． 5.公式的变形：a²＋b²＝(a＋b)²－2ab＝(a－b)²＋2ab；(a＋b)²－(a－b)²＝4ab；(a＋b)²＋(a－b)²＝2(a²＋b²)． 特别提醒：公式中的a、b可以表示数，也可以表示单项式或多项式；运用公式的关键是先识别“相同项”与“相反项”，或识别“两数和（差）的平方”这一结构． 知识点06 整式的除法 1.同底数幂的除法性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减．即aᵐ÷aⁿ＝am-n（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）． 2.零指数幂：任何不等于零的数的零次幂都等于1，即a⁰＝1（a≠0）．注意底数不能为0． 3.单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 4.多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．即(ma＋mb)÷m＝a＋b． 5.运算注意：除式不能为0；除法可以转化为乘法，除以一个单项式等于乘以这个单项式的倒数，但结果必须写成最简形式． 特别提醒：同底数幂相除要求底数不为0，且被除式的指数大于除式的指数；多项式除以单项式时，商的项数与原多项式的项数相同，不能漏项． 考点01 幂的运算性质 考点内容：同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方三个性质及其推广与逆用． 常见考法： ①直接运用性质进行计算，注意底数相同、指数是相加还是相乘； ②三个性质的综合运用，含字母指数与数值指数的混合运算； ③性质的逆用：由aᵐ·aⁿ＝aᵏ求指数，或化为同指数比较幂的大小； ④底数不同时先化成同底数，如把(﹣a)²化为a²、把4化为2²． 易错提醒：不要把“同底数幂相乘”与“幂的乘方”的指数运算混淆：幂相乘时指数相加，幂乘方时指数相乘． 考点02 整式的乘法 考点内容：单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则与运算． 常见考法： ①单项式乘单项式，把系数、同底数幂分别相乘，只在一个单项式中含有的字母连同指数写入积； ②单项式乘多项式、多项式乘多项式，逐项相乘后检验是否漏项、漏乘； ③含“－”号与分数系数的整式乘法运算，注意符号与括号； ④先化简再求值：整式乘法与合并同类项结合，再代入字母的值计算． 易错提醒：多项式乘多项式在合并同类项前，积的项数等于两个多项式项数之积，可据此检查是否漏乘． 考点03 平方差公式 考点内容：平方差公式的结构特征、推导思路与运用． 常见考法： ①识别能否运用平方差公式，即判断“相同项”与“相反项”； ②计算(a＋b)(a﹣b)型及其变形型，如(﹣m＋n)(﹣m﹣n)； ③连续使用平方差公式进行简便计算，如(2＋1)(2²＋1)(2⁴＋1)； ④用平方差公式进行数的简便运算，如102×98． 易错提醒：运用公式时先确定“相同项”与“相反项”，再按“相同项的平方减去相反项的平方”写出结果，注意符号与括号． 考点04 完全平方公式 考点内容：完全平方公式的结构特征、变形与运用． 常见考法： ①计算(a±b)²型及其变形型，如(﹣2x＋3y)²； ②用完全平方公式进行数的简便运算，如101²； ③公式变形求值：由a＋b、ab求a²＋b²，或由a﹣b、ab求a²＋b²； ④与平方差公式联合运用，进行整式的化简求值． 易错提醒：完全平方公式的结果是三项，不要漏写中间项2ab，也不要漏乘2；注意(a－b)²与a²－b²的结果不同． 考点05 同底数幂的除法与零指数幂 考点内容：同底数幂的除法性质、零指数幂的意义与适用条件． 常见考法： ①运用aᵐ÷aⁿ＝am-n计算，注意a≠0且m＞n； ②求零指数幂的值，如(﹣3)⁰、(π﹣3.14)⁰； ③把不同底数的幂化为同底数后再相除； ④逆用am-n＝aᵐ÷aⁿ解决求值问题． 易错提醒：零指数幂的底数不能为0；同底数幂相除要求底数不为0且被除式的指数大于除式的指数． 考点06 整式的除法 考点内容：单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则与运算． 常见考法： ①单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除； ②多项式除以单项式，逐项相除后再相加，注意不要漏项； ③整式的乘除混合运算，按先乘方、再乘除的顺序进行； ④先化简再求值：整式除法与乘法公式、合并同类项综合． 易错提醒：多项式除以单项式时，商的项数与原多项式的项数相同，漏项是最常见的错误． 1 幂的运算性质 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 同底数幂的乘法 aᵐ·aⁿ＝aᵐ⁺ⁿ（m、n都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加；可推广为aᵐ·aⁿ·aᵖ＝aᵐ⁺ⁿ⁺ᵖ 2 幂的乘方 (aᵐ)ⁿ＝aᵐⁿ（m、n都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘；逆用为aᵐⁿ＝(aᵐ)ⁿ＝(aⁿ)ᵐ 3 积的乘方 (ab)ⁿ＝aⁿbⁿ（n为正整数） 积的乘方，把每一个因式分别乘方后再相乘；逆用为aⁿbⁿ＝(ab)ⁿ 4 同底数幂的除法 aᵐ÷aⁿ＝aᵐ⁻ⁿ（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n） 同底数幂相除，底数不变，指数相减；底数不能为0 5 零指数幂 a⁰＝1（a≠0） 任何不等于零的数的零次幂都等于1 2 整式的乘法与乘法公式 序号 名称 公式（几何语言） 说明 6 多项式乘多项式 (a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn 先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 7 平方差公式 (a＋b)(a－b)＝a²－b² 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 8 完全平方公式 (a＋b)²＝a²＋2ab＋b²； (a－b)²＝a²－2ab＋b² 两数和（差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们积的2倍 辨析01 同底数幂相乘“指数相加”，幂的乘方“指数相乘” 同底数幂的乘法性质是aᵐ·aⁿ＝aᵐ⁺ⁿ，指数相加；幂的乘方性质是(aᵐ)ⁿ＝aᵐⁿ，指数相乘．两个性质的条件与结论都不同，计算前先看清是“幂相乘”还是“幂乘方”． 辨析02 aᵐ·aⁿ与aᵐ＋aⁿ意义不同，不能混淆 aᵐ·aⁿ是同底数幂相乘，结果是a的m＋n次幂；aᵐ＋aⁿ是同类项相加，结果是2aᵐ（当m＝n时）．前者用乘法性质，后者用合并同类项，不能把“相加”写成“相乘”． 辨析03 积的乘方要“每个因式都乘方”，系数也要乘方 (ab)ⁿ＝aⁿbⁿ中的每一个因式都要乘方，包括数字系数．如(2a)³＝2³·a³＝8a³，不能写成2a³；(2ab²)³＝8a³b⁶，字母的指数也要分别乘方． 辨析04 单项式乘单项式，只在一个单项式中含有的字母不能漏掉 单项式乘单项式时，把系数、同底数幂分别相乘；对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．这类字母没有“同类项”可以合并，漏写就会丢因式． 辨析05 多项式乘多项式必须“逐项相乘”，防止漏项 多项式乘多项式的法则是“先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”．合并同类项前的项数等于两个多项式项数之积，可用这一结论检验是否漏乘，尤其不要漏乘常数项． 辨析06 平方差公式的关键是找准“相同项”与“相反项” 平方差公式(a＋b)(a－b)＝a²－b²的左边是两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方．两个因式中没有相同项或没有相反项时，不能套用公式． 辨析07 完全平方公式的中间项不能漏，也不要漏乘2 完全平方公式的结果是三项：a²＋2ab＋b²或a²﹣2ab＋b²．中间项是两数积的2倍，符号与括号内的符号一致．常见错误是漏写中间项或漏乘2，写成a²＋ab＋b²． 辨析08 (a＋b)²与a²＋b²不同，(a－b)²与a²－b²也不同 (a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，比a²＋b²多出中间项2ab，所以(a＋b)²≠a²＋b²；(a﹣b)²＝a²﹣2ab＋b²， 而a²－b²＝(a＋b)(a﹣b)，两者形式与意义都不同，不能相互替代． 辨析09 同底数幂相除的适用条件要记清 aᵐ÷aⁿ＝aᵐ⁻ⁿ的适用条件是a≠0，m、n都是正整数且m＞n．若底数为0，除法没有意义；若m＜n，指数差为负数，此时的运算不属于本节范围，不能直接用该性质． 辨析10 零指数幂的底数不能为0，(﹣a)⁰与﹣a⁰不同 a⁰＝1要求a≠0，底数为0时没有意义．(﹣a)⁰的底数是﹣a，只要a≠0，结果就是1；﹣a⁰表示a⁰的相反数，即﹣1．两者的底数与意义都不同． 【题型一】同底数幂的乘法 【例1】下面计算中①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则． 依据同底数幂相乘法则和合并同类项的方法，逐一判断各式的正确性即可． 【详解】解：∵，，，，与无法合并，， ∴只有符合题意， 故选：． 【变式1-1】（25-26七年级上·上海·期中）计算（结果用幂的形式表示）： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，关键是将底数互为相反数的形式转换成底数相同的形式； 将 转换为 ，利用同底数幂的乘法法则计算． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【变式1-2】（25-26七年级上·上海奉贤·期中）若a、b均为正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，将等式左边化简为，右边化简为，据此即可得到． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴ ， 故选 ：D． 【题型二】同底数幂的乘法的逆用 【例2】可以改写成（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，根据同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故选D． 【变式2-1】已知，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了幂的乘方的运算，同底数幂相乘，先整理得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：8 【变式2-2】（23-24七年级上·上海·阶段检测）若，则_____________． 【答案】 【分析】逆用同底数幂的乘法法则，对原方程左边进行变形，再根据同底数幂相等的性质得方程求解即可． 【详解】解：， ， 则， ，则，即， ，解得． 【题型三】幂的乘方 【例3】（2026·上海普陀·二模）下列关于计算所得的结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 【变式3-1】某细菌每经过1小时就会由1个分裂成个，经过5小时，1个细菌分裂成（　　）个． A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方运算的应用，理解题意，掌握幂的乘方法则是关键；由题意知，经5个小时，1个细菌分裂成5个个细菌，即可得解． 【详解】解：由题意得：（个）； 故选：C． 【变式3-2】（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知与是同类项，则__________． 【答案】 【分析】根据同类项的定义，得到相同字母指数相等的方程，求解得到和的值，再利用幂的乘方法则计算最终结果． 【详解】解：根据同类项所含字母相同，且相同字母的指数也相同，可得：，， 解得，， 根据幂的乘方法则，可得． 【题型四】幂的乘方的逆用 【例4】（24-25七年级上·上海崇明·期中）已知，，，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方，先根据幂的乘方化成底指数相同的幂，再进行比较大小即可． 【详解】解：，，，， ∴， 故选：C． 【变式4-1】（25-26七年级上·上海闵行·期末）设，，下列三者之间的关系式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，完全平方公式的应用． 由得，根据同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用可得，再进一步分析即可． 【详解】解：∵，∴ ∵ ∴，即，A正确 对于B∶，但，故，所以B错误 对于C∶，不是常数，且不等于2，故C错误 对于D∶，而，所以，故D错误 故选A． 【变式4-2】（25-26七年级上·上海·期末）若，，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算的运用，关键是将等式两边的底数化为相同的数，再根据“同底数幂相等则指数相等”建立方程组求解． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴，即； ∵， ∴，即， ∴； 解，得， 则； 故答案为：． 【题型五】积的乘方 【例5】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方运算及幂的乘方运算，熟练掌握积的乘方运算及幂的乘方运算是解题的关键．根据积的乘方法则及幂的乘方运算，逐步计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 【变式5-1】（25-26七年级上·上海·期中）计算：________________． 【答案】 【详解】解：． 【变式5-2】（25-26七年级上·上海·期中）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和积的乘方的逆用，首先逆用同底数幂的乘法法则，再逆用积的乘方的法则，再根据乘方的定义和有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为 【题型六】 积的乘方的逆运算 【例6】（25-26七年级上·上海·期中）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和积的乘方的逆用，首先逆用同底数幂的乘法法则，再逆用积的乘方的法则，再根据乘方的定义和有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为 【变式6-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆用，灵活逆用积的乘方运算法则进行简便运算成为解题的关键． （1）直接逆用积的乘方运算法则即可解答； （2）先把原式写成可以用积的乘方运算法则的形式，然后再计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式6-2】已知10x＝a，5x＝b，求： （1）50x的值； （2）2x的值； （3）20x的值．（结果用含a、b的代数式表示） 【答案】（1）ab.（2）.（3）. 【分析】（1）根据积的乘方的法则计算； （2）根据积的乘方（商的乘方）的法则计算； （3）根据积的乘方的法则计算． 【详解】解：（1）50x＝10x×5x＝ab； （2）2x； （3）20x． 【点评】本题考查了积的乘方，解题的关键是能够熟练的运用积的乘方的法则． 【题型七】 用科学记数法表示数的乘法 【例7】光在真空中的速度为km/s，太阳光照射到地球上大约需要s，则地球与太阳之间的距离用科学记数法表示为 ____________km． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查科学记数法．掌握相关表示规则即可． 【变式7-1】（22-23七年级上·上海·期中）用科学记数法表示：___________． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法法则求解，然后用科学记数法表示即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法，科学记数法，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【例7-2】1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于千克煤放出的热量，千克镭完全蜕变后放出的热量相当于________千克煤放出的热量． 【答案】 【分析】根据题意，乘以，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，科学记数法，掌握科学记数法以及同底数幂的乘法是解题的关键． 【题型八】 计算单项式乘单项式及求值 【例8】计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘单项式，掌握运算法则是解题关键．根据单项式与单项式相乘，把它们的系数分别相乘，同底数幂分别相乘，计算即可. 【详解】解：． 故选：A ． 【变式8-1】已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照单项式乘单项式计算单项式与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案． 【详解】解：∵，单项式与的积为， ∴，， 故选：B 【点睛】此题考查了单项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式8-2】若单项式和3xy的积为，则ab的值为（　　） A．30 B．20 C．﹣15 D．15 【答案】B 【分析】根据单项式乘单项式的计算法则求出a，b，计算ab即可． 【详解】解：×3xy＝＝， ∴a+1＝5，b+1＝6， 解得a＝4，b＝5， ∴ab＝4×5＝20， 故选：B． 【点睛】此题考查了单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则． 【题型九】 计算单项式乘多项式及求值 【例9】计算的结果是（　　） A．﹣6x3﹣2x2+12x B．6x3﹣2x2+12 C．6x3+2x2﹣12x D．6x3﹣2x2+12x 【答案】D 【分析】根据单项式乘多项式的法则计算即可． 【详解】解： ＝6x3﹣2x2+12x， 故选：D． 【点睛】本题考查了单项式乘多项式的，熟练掌握单项式乘多项式的法则是解题的关键． 【变式9-1】若x（x2﹣a）+3x﹣2b＝x3+5x﹣6对任意x都成立，则a+b＝　 　． 【答案】1． 【分析】利用单项式乘多项式的法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可． 【详解】解：x（x2﹣a）+3x﹣2b＝x3+5x﹣6， x3﹣ax+3x﹣2b＝x3+5x﹣6， x3+（﹣a+3）x﹣2b＝x3+5x﹣6， ∵原式子对任意x都成立， ∴﹣a+3＝5，﹣2b＝﹣6， 解得：a＝﹣2，b＝3， ∴a+b＝﹣2+3＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【变式9-2】（25-26七年级上·上海·期末）若ab2=−12，则ab⋅a2b5−ab3−b的值是________． 【答案】18 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，积的乘方的逆用． 先计算单项式乘以多项式，再逆用积的乘方将各项化为ab2n的形式，进而根据ab2=−12计算即可． 【详解】解：ab⋅a2b5−ab3−b =a3b6−a2b4−ab2 =ab23−ab22−ab2 =−123−−122−−12 =−18−14+12 =−18−28+48 =18． 故答案为：18． 【变式9-3】先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【详解】解： ， 当时，原式． 【题型十】 计算多项式乘多项式及求值 【例10】若（x+3）（x+n）＝x2+mx+6，（m，n均为实数），则（　　） A．m＝1，n＝2 B．m＝1，n＝﹣2 C．m＝5，n＝﹣2 D．m＝5，n＝2 【答案】D 【分析】根据多项式乘以多项式法则即可求出答案． 【详解】解：∵（x+3）（x+n）＝x2+（3+n）x+3n， ∴x2+（3+n）x+3n＝x2+mx+6， ∴3+n＝m，3n＝6， ∴n＝2，m＝5， 故选：D． 【点睛】本题考查整式运算，解题的关键是熟练运用多项式乘以多项式的法则，本题属于基础题型． 【变式10-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）（2）（3）原式通过多项式乘多项式，单项式乘多项式，去括号合并即可得到结果. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 【变式10-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】，30 【分析】运用整式的混合运算法则化简，再代入计算即可． 【详解】解： ， 其中， ∴原式． 【变式10-3】仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为， 得， 则， ∴． 解得：，． ∴另一个因式为，的值为－21. 问题：仿照以上方法解答下面问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． （2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】（1）另一个因式是：x＋4，k＝20；（2）另一个因式是3x＋1，a＝1或3x−1，a＝−1． 【分析】（1）设另一个因式是（x＋b），则（2x−5）（x＋b）＝2x2＋2bx−5x−5b＝2x2＋（2b−5）x−5b＝2x2＋3x−k，根据对应项的系数相等即可求得b和k的值． （2）设另一个因式是（3x＋m），利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出m、a的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：（1）设另一个因式是（x＋b），则 （2x−5）（x＋b）＝2x2＋2bx−5x−5b＝2x2＋（2b−5）x−5b＝2x2＋3x−k， 则， 解得：， 则另一个因式是：x＋4，k＝20； （2）设另一个因式是（3x＋m），则 （x＋a）（3x＋m）＝3x2＋（m＋3a）x＋am＝3x2＋4ax＋1， 则， 解得，或， 另一个因式是3x−1或3x＋1， 故另一个因式是3x＋1，a＝1或3x−1，a＝−1． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． 【题型十一】 运用平方差公式进行计算 【例11】（25-26七年级上·上海·期末）下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，平方差公式为，需找出可表示为两数和与两数差相乘的选项． 【详解】解：A、不能用平方差公式计算，不符合题意； B、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，符合题意； C、不能用平方差公式计算，不符合题意； D、不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B． 【变式11-1】若等式（       ）成立，则括号内所填的代数式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴括号内所填的代数式是； 故选：C． 【变式11-2】计算： （1）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab） （2）（﹣y2+x）（x+y2） （3）x（x+5）﹣（x﹣3）（x+3） （4）（﹣1+a）（﹣1﹣a）（1+b2） 【答案】（1）9x2﹣25a2b2；（2）x2﹣y4；（3）5x+9；（4）1+b2﹣a2﹣a2b2． 【分析】（1）利用平方差公式即可求解； （2）利用平方差公式即可求解； （3）首先利用单项式的乘法以及平方差公式计算，然后去括号合并同类项即可求解； （4）首先利用平方差公式计算前两个多项式的乘法，然后利用多项式的乘法计算． 【详解】解：（1）原式＝（﹣3x）2﹣（5ab）2 ＝9x2﹣25a2b2； （2）原式＝x2﹣（y2）2 ＝x2﹣y4； （3）原式＝x2+5x﹣（x2﹣9） ＝x2+5x﹣x2+9＝5x+9； （4）原式＝[（﹣1）2﹣a2]（1+b2） ＝（1﹣a2）（1+b2） ＝1+b2﹣a2﹣a2b2． 【题型十二】 平方差公式与几何图形 【例12】如图①，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何图形验证平方差公式，分别表示出图①和图②中阴影面积，即可解答． 【详解】解：图①中阴影面积为， 图②中阴影面积为， 根据根据两部分阴影面积相等可以得到． 故选：B 【变式12-1】将长为，宽为的一个长方形沿虚线剪去一个宽为的小长方形（阴影部分），得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示的图形，则从图到图可以解释的等式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是平方差公式与几何图形，解题关键是熟练掌握图形变形前后的面积相等． 利用变形前后两个图形的面积相等，建立等式即可． 【详解】解：由图可得长为，宽为的长方形面积为； 由图可得两个长方形面积为， 从图到图可以解释的等式是． 故选：． 【变式12-2】下列图形中，不能借助图形面积验证正确性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式的几何意义，即大正方形面积减去小正方形面积等于拼成的长方形或平行四边形的面积，逐一分析各选项图形即可． 【详解】A． 左图大正方形面积减去小正方形面积为，右图平行四边形底为，高为，面积为，能验证，故A不符合题意； B． 左图大正方形面积减去小正方形面积为，右图平行四边形底为，高为，面积为，能验证，故B不符合题意； C． 左图大正方形面积减去小正方形面积得，右图长方形长为，宽为，面积为，能验证，故C不符合题意； D． 左图表示完全平方公式，右图表示面积为，不能验证平方差公式，故D符合题意． 【题型十三】 运用完全平方公式进行计算 【例12】（25-26七年级上·上海·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式乘法，熟练掌握完全平方公式，平方差公式以及多项式乘以多项式的法则是解题的关键． 根据整式乘法的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A. ，计算正确，不符合题意； B. ，计算正确，不符合题意； C. ，计算正确，不符合题意； D. ，计算错误，符合题意； 故选：D． 【变式13-1】下列式子中，计算正确的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘以多项式运算、完全平方公式等知识，关键是能准确运用对应法则进行正确的计算．根据多项式乘以多项式的运算法则以及完全平方公式分别进行计算，即可获得答案． 【详解】解：， ， ， ， ∴所有式子中，计算正确的只有算式④， 故选：A． 【变式13-2】计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了乘法公式，先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【题型十四】 完全平方公式与几何图形 【例12】图1，是一个长为2m、宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（　　） A．mn B．m2﹣n2 C．（m﹣n）2 D．（m+n）2 【答案】C 【分析】阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣四个小长方形的面积，四个小长方形的面积＝图1中的长2m、宽2n的长方形的面积，图2中的大正方形的面积＝（m+n）2，化简后求得阴影的面积． 【解答】解：方法一： 图2中四个长方形的面积的和＝图1的长方形的面积＝2m×2n＝4mn， 图2的大正方形的面积＝（m+n）2， 图2中阴影部分的面积＝图2的大正方形的面积﹣图2中四个长方形的面积的和 ＝（m+n）2﹣4mn ＝m2+2mn+n2﹣4mn ＝m2﹣2mn+n2 ＝（m﹣n）2． 方法二： 图中阴影部分是正方形，且四个边长都是（m﹣n）， ∴阴影部分的面积＝（m﹣n）2． 故选：C． 【变式14-1】如图， 两个正方形边长分别为a，b，如果， ，则阴影部分的面积为（   ）    A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【分析】阴影部分面积可以用边长为的正方形面积的一半减去底为，高为的三角形的面积，将与的值代入计算即可求出值． 本题考查了完全平方公式的变形运用及整体法求代数式的值，根据图形正确表示出阴影部分的面积及把完全平方公式变形是关键． 【详解】解：根据题意得： 当，时， ． 故选：A． 【变式14-2】如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠、无缝隙），则拼成的长方形面积为（　　） A． B．15 C．3 D． 【答案】A 【分析】此题考查了图形的剪拼，关键是根据题意列出式子，运用完全平方公式进行计算，要熟记公式．利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算． 【详解】解： ． 故选A． 【题型十五】 求完全平方公式中的字母系数 【例15】（25-26七年级上·上海杨浦·期末）若关于的整式是某一个整式的平方，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键． 根据完全平方公式的结构特点，设原式为某个整式的平方，通过比较系数建立方程组求解 【详解】设整式为，则其平方为，与原式比较系数，得：，，，， 由得， 由且得， 代入得， 将代入得， 即， 解得， 则， 故答案为：． 【变式15-1】（23-24七年级上·上海·阶段检测）如果是一个完全平方式（其中N为常数），则_____________． 【答案】 【分析】将原式首尾两项化为平方形式，再根据完全平方公式确定中间项的系数，需考虑两种不同情况． 【详解】解：根据完全平方公式可得． 由题意得 ，． 因为是完全平方式，因此满足： 化简右边得 两边约去得 即 ． 【变式15-2】（25-26七年级上·上海·期中）如果是完全平方式，则m的值是 ． 【答案】5或1 【分析】根据完全平方式的结构特征，可判断首末两项是和的平方，中间项应为加上或减去与乘积的倍，据此列方程求解． 【详解】解：是完全平方式， ， 当时，等式两边同除以得，解得， 当时，等式两边同除以得，解得． 【题型十六】 同底数幂的除法及其逆运算 【例16】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的运算，积的乘方．根据同底数幂的乘法，合并同类型法则及同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方注意计算可得． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式16-1】下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，积的乘方，合并同类项等知识，根据以上运算法则进行计算即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、与不能合并，故选项不符合题意； D、，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 【变式16-2】已知，，则的值为 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方计算，先求出，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 【题型十七】 幂的混合运算 【例17】（26-27七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据幂的乘方的运算法则：，同底数幂相乘的运算法则：，积的乘方的运算法则：，先乘方，再乘除，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式17-1】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式运算法则是解题的关键．先运算积和幂的乘方运算法则，再运用同底数幂相乘运算法则计算，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式17-2】（25-26七年级上·上海·寒假作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的运算法则，是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂乘法和同底数幂除法运算法则进行进行计算即可； （2）根据同底数幂除法运算法则进行计算即可； （3）根据同底数幂除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型十八】 单项式除以单项式 【例18】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式除单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用单项式除单项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 【变式18-1】若，则m，n的取值分别为（　　） A．m＝4，n＝2 B．m＝4，n＝0 C．m＝5，n＝2 D．m＝5，n＝0 【答案】A 【分析】根据题意列出式子a5b2÷2a，然后根据整式的除法法则计算即可得出m、n的值． 【详解】解：由题意得， ∴m＝4，n＝2， 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的除法，熟练掌握整式的除法法则是解题的关键． 【变式18-2】（1）计算：（﹣2ab）2•3b÷（ab2） 【分析】①原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可求出值； 【解答】①原式＝﹣36ab； 【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （2）（2024春•通州区期末）计算：32（x3y2z）3÷（﹣8x5y4z2）． 【分析】先根据积的乘方法则计算，再根据单项式除以单项式的运算法则计算． 【详解】解：原式＝32×（x9y6z3）÷（﹣8x5y4z2） ＝﹣4x4y2z． 【点睛】本题考查的是整式的除法、积的乘方与幂的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键． 【题型十九】 多项式除以单项式 【例19】（23-24七年级·上海·假期作业）计算的结果是（        ）． A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】直接运用整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， ． 故选C． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，整式混合运算法则以及完全平方公式是解答本题的关键． 【变式191】（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算．先计算单项式乘以多项式和积的乘方，再计算多项式除以单项式即可． 【详解】解： 【变式19-2】（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）计算： 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式，先运算完全平方公式，平方差公式，积的乘方，再合并同类项，最后运算多项式除以单项式，即可作答． 【详解】解： ． 【题型二十】整式乘法的实际应用 【例20】神舟十六号载人飞船成功发射，激发了中小学生对航天事业的热爱．李华在手工课上制作了一个火箭模型（图1），图2是其中一重要零件及各边的长度，则图2中零件的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用．根据零件的面积等于三角形的面积长方形的面积梯形的面积，即可求解． 【详解】解： ， 即图2中零件的面积为． 故选：A 【变式20-1】为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，如图，已知该地块是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a，b的式子表示种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求此时种植区的总面积S． 【答案】(1)平方米 (2)此时种植区的总面积S为108平方米 【分析】（1）用长方形的面积减去小路的面积可得种植区的总面积，然后化简求解即可； （2）将，代入（1）中代数式求解即可． 【详解】（1）解： 平方米； （2）解：当，时， （平方米）， 答：此时种植区的总面积S为108平方米． 【变式202】为了给同学们提供更多的活动空间，某校对校园空地进行改造．如图，在长为米，宽为米的长方形场地中间，并排修建两个大小一样的乒乓球场地，两个乒乓球场地中间以及乒乓球场与长方形场地边缘的距离都为b米． (1)求这两个乒乓球场地的占地面积； (2)当，时，若乒乓球场地每平方米造价为200元，其余场地每平方米造价50元，求整个长方形场地的造价． 【答案】(1)平方米 (2)9850元 【分析】（1）把两个乒乓球场地平移为一个长方形，求出这个长方形的长和宽，即可求出面积； （2）先求出乒乓球场地和其余场地的面积，再根据每平方米的造价求解即可． 【详解】（1）解： （平方米）． 答：这两个乒乓球场地的占地面积平方米． （2）解：场地的总面积为 （平方米）， 其余场地的面积为 （平方米）， 当，时， 乒乓球场地的面积（平方米）， 其余场地的面积（平方米）， 总造价为（元）． 答：整个长方形场地的造价是9850元． 【题型一】幂的运算性质混淆而致错 【例1】下列各运算中，正确的运算是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方及幂的乘方，由，进行运算，即可求解；掌握积的乘方及幂的乘方公式是解题的关键． 【详解】解：A.，结论错误，故不符合题意； B.，结论正确，故符合题意； C.， 结论错误，故不符合题意； D.，结论错误，故不符合题意； 故选：B． 易错警示 同底数幂相乘指数相加、幂的乘方指数相乘，两个性质不能混用；积的乘方要把每一个因式都乘方，系数也要乘方． 【变式1-1】（23-24七年级上·上海·阶段检测）下列4个计算：①②③④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了幂的运算：同底数幂的乘法，幂的乘方及积的乘方等知识，依照这些知识逐个计算即可． 【详解】解：，计算正确；，计算错误；不是同类项，不能合并，计算错误；，计算正确；所以计算正确的有两个； 故选：B． 【变式1-2】计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）先算积的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可； （2）先算幂的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型二】整式乘法漏项、漏乘而致错 【例2】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 易错警示 单项式要乘遍多项式的每一项，多项式要逐项相乘，不能漏乘常数项与系数为－1的项；符号要随项一起参与运算． 【变式2-1】今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（　　） A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3 D．﹣10xy 【答案】A 【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 【详解】解：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y+21xy． 故选：A． 【点睛】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加是解答此题的关键． 【变式2-2】利用多项式相乘的知识我们易得公式（ax+b）（cx+d）＝acx2+（bc+ad）x+bd，我们直接套用公式可求得（3x﹣2）（5x+3）＝15x2+（﹣10+9）x﹣6＝15x2﹣x﹣6，我们可以逆向运用这个公式，如果2x2﹣13x+6＝（x﹣6）（　　），那么括号里应该填（　　） A．x+1 B．2x﹣1 C．2x+1 D．x﹣1 【答案】B． 【分析】设2x2﹣13x+6＝（x﹣6）（cx+d），则c＝2，﹣6c+d＝﹣13，﹣6d＝6，解出c＝2，d＝﹣1，即可作答． 【详解】解：根据题意可知，acx2+（bc+ad）x+bd＝（ax+b）（cx+d）， 设2x2﹣13x+6＝（x﹣6）（cx+d）， ∵cx2+（﹣6c+d）x﹣6d＝（x﹣6）（cx+d）， ∴2x2﹣13x+6＝cx2+（﹣6c+d）x﹣6d， 即c＝2，﹣6c+d＝﹣13，﹣6d＝6， 解得：c＝2，d＝﹣1， ∴2x2﹣13x+6＝（x﹣6）（2x﹣1）． 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，掌握相应的运算法则是关键． 【题型三】乘法公式结构判断错误而致错 【例3】（23-24七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方公式的结构特征，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，为平方差公式，不符合题意； B、，为平方差公式，不符合题意； C、，可用完全平方公式计算，符合题意； D、，为平方差公式，不符合题意； 故选：C． 易错警示 用公式前先判断结构是否符合“相同项与相反项”或“两数和（差）的平方”；(a－b)²的结果是三项，中间项为－2ab，不要漏写也不要漏乘2． 【变式3-1】（25-26七年级上·上海·期中）已知，则的值是（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式混合运算，结合完全平方公式计算是解题的关键． 通过引入中间变量，将原方程转化为关于的方程，简化后直接求解． 【详解】 ，且， 。 设，则，， 代入得：， 展开：左边， 右边， ， 移项得：， 即， ，， ， ． 故选． 【变式3-2】在化简的过程中，小明有以下两种方法： 解法一：原式(第一步) ；(第二步) 解法二：原式(第一步) (第二步) ．(第三步) 小明发现两种解法的结果不同，请你帮小明判断上述解法是否正确，如果错误，请指出小明是从哪一步开始出现错误的．若两种解法都错误，请你再写出正确的解答过程． 【答案】两种解法都错误，过程见解析 【分析】本题主要考查整式的乘法，完全平方公式，平方差公式等知识，按照整式乘法的相关运算法则和公式求解即可． 【详解】解：解法一错误，从第一步开始出错，末尾处应该是，或者加括号； 解法二错误，也是从第一步开始出错，混淆平方差公式和完全平方公式，的计算结果是． 正确的解答过程：原式． 【题型一】整式的四则混合运算 【例1】（23-24七年级·上海·假期作业）计算的结果是（        ）． A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】直接运用整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， ． 故选C． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，整式混合运算法则以及完全平方公式是解答本题的关键． 【变式1-1】化简： （1）                （2） 【答案】（1）（2） 【分析】（1）先根据积的乘方计算，再根据计算单项式的乘除； （2）将原式去括号，合并同类项化简即可． 【详解】(1)原式= (2) 原式= 【点睛】本题考查整式乘法，解题关键是熟练掌握整式乘法公式. 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的运算，整式的加减运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）由单项式乘以多项式法则计算即可； （2）由单项式乘以多项式法则计算即可； （3）先进行单项式乘以多项式，再进行整式的加减计算； （4）先进行单项式乘以多项式，再进行整式的加减计算，最后再计算单项式乘以多项式． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 【题型二】整式乘除的化简求值 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）化简求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项化简，再计算多项式除以单项式得到最终化简的结果，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【变式2-1】（25-26七年级上·上海静安·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及完全平方公式、多项式乘多项式等知识，熟练掌握其运算法则是解题关键．先利用完全平方公式、多项式乘多项式的法则展开括号，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得． 【详解】解：原式 ． 将代入得：原式 ． 【变式2-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、乘方的性质、非负数的性质、代数式求值等知识点，灵活运用整式的混合运算法则是解题的关键． 先运用整式的混合运算法则化简，再根据乘方的性质、非负数的性质求得x、y的值，进而代入代数式求值即可． 【详解】解： ； ∵， ∴，即． 当时，原式． 【题型三】整式乘法与不含某项问题 【例3】已知多项式的展开式中不含项． (1)求m的值； (2)化简：并在（1）的条件下求值． 【答案】(1) (2)；4 【分析】本题考查整式的混合运算一化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项，根据展开式中不含x2项得到关于m的方程，解方程即可； （2）将原式利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式法则展开并合并同类项，然后将m的值代入计算即可． 【详解】（1）原式 ， 展开式中不含项， ， 解得：； （2）原式 ； 当时， 原式． 【变式3-1】若关于的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8， (1)求与的值； (2)化简，并求值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的运算法则求出的展开结果，令含项的系数为0，常数项为8，从而建立关于a、b的方程，解方程即可得到答案； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ∵关于的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8， ∴， ∴； （2）解： ， ∵， ∴原式． 【变式3-2】【知识回顾】 已知代数式的值与x的取值无关，求y的值． 解题方法：把x看作字母，y看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以， 即． 【理解运用】 (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减运算中的无关型问题： （1）把x看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，由此可解； （2）先将所给整式化简，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，由此可解． 【详解】（1）解：， 的值与x的取值无关， ， ； （2）解： ， 整式的值与x无关， ， ． 【题型四】整式乘法与新定义问题 【例4】如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)_____；若，则_____； (2)已知，，，若，则的值是_____； (3)若，． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义可得到，，，再由同底数幂除法计算法则得到，据此可得答案； （3）①根据新定义得到，根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则推出，据此再进一步计算即可．②由，可得，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， 故答案为：4；； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵，， ∴， ∴ ． ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ． 【变式4-1】对于任意的有理数a，b，c，d，我们规定．如，根据这一规定，解答下列问题： (1)化简； (2)若x，y同时满足，，求x，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是自定义下的整式的加减乘除混合运算，以及解方程组，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意列式，然后再计算乘法，后算加减即可； （2）根据题意列出方程组，再解方程组即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， 得：， 解得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为：． 【变式4-2】对于任意四个有理数数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与．我们规定： ．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了新定义公式，完全平方式公式，正确掌握完全平方公式是解题的关键： （1）根据定义的公式得到，由完全平方式即可得到常数k的值； （2）由定义得到原式，由求出，即可得到的值． 【详解】（1）解：由题意得 ， ∵是一个完全平方式， ∴， 解得； （2）解：由题意得 ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型一】 整式乘法与看错问题 【例1】（25-26七年级上·上海·寒假作业）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：．甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为． (1)求正确的a、b的值． (2)计算这道乘法题的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）按甲、乙错误的做法计算，联系结果列出关于系数a，b的方程组，解方程即可； （2）把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】（1）解： ， ， ，解得， 则，； （2） ． 【变式1-1】甲、乙两人分别计算(3x＋a)(4x＋b)．甲抄错a的符号，得到结果是12x2＋17x＋6，乙漏抄第二个括号中x的系数，得到结果是3x2＋7x－6，问： （1）a、b分别是多少？ （2）该题的正确答案是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意可“将错就错”进行求解a、b的值； （2）由（1）可直接进行求解． 【详解】（1）由题意得： ， ， ∴，解得：； ∴a、b的值分别为-2、3； （2）由（1）可得： ， ∴该题的正确答案是． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【变式1-2】甲、乙两人共同计算一-道整式乘法题：.甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为. （1）求正确的、的值. （2）计算这道乘法题的正确结果. 【答案】（1）a=3,b=2；（2） 【分析】(1)按甲乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值； (2)把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】解：（1） ①， ， ②）， 由①和②组成方程组， 解得：， （2） 【点睛】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心． 【题型二】利用乘法公式变形求值 【例2】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) 33 (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，因式分解； （1）根据完全平方公式的变形得到，据此求解即可； （2）先根据完全平方公式的变形求出的值，再根据平方差公式及多项式乘以多项式法则进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴ 【变式2-1】已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式运算法则将式子展开，将已知代入求值即可； （2）根据完全平方公式原式可变形为，将已知代入求值即可． 【详解】（1）解：， （2）解：，， 【变式2-2】已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值； (4)求的值． 【答案】(1) (2) (3)25 (4)1 【分析】此题主要考查了多项式乘以多项式求值，完全平方公式以及提取公因式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键． （1）将原式展开，再代入求值； （2）直接提取公因式，进而分解因式得出答案； （3）直接利用完全平方公式进而求出答案； （4）直接利用（3）中所求，结合完全平方公式求出答案． 【详解】（1）∵， ∴ ； （2） ； （3）∵ ∴ ∴ ∴； （4） ． 【题型三】多项式乘法的规律性问题 【例3】（24-25七年级上·上海·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中用“杨辉三角”揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的规律：                  1               1    1           1     2    1       1     3     3    1    1     4    6      4   1 1     5    10    10    5   1             …… …… 则的展开式中所有项的系数和是（   ） A．64 B．128 C．256 D．512 【答案】B 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键． 根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（n为非负整数）展开式的项系数和为，求出系数之和即可． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 由此可知展开式的各项系数之和为， 则展开式中所有项的系数和是， 故选：B． 【变式3-1】观察下列各式： ；…； 根据前面各式的规律可得到：__________ 【答案】 【分析】本题考查了整式乘法相关的规律探究，掌握题目中的规律探究是解题的关键． 根据题目中的规律可看出，公式左边的第一项为，公式左边的第二项为x的n次幂开始降次排序，系数都为1，公式右边为问题得解． 【详解】解： … ∴， 故答案为：． 【变式3-2】你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值： ①； ②； ③； … (1)由此我们可以得到：__________； (2)请你利用上面的结论，完成下面的计算： ①； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）观察题干给出的等式，归纳一般性规律，直接写出结果． （2）①给原式乘以，式子的值不变，套用得到的规律计算． ②给原式乘以，套用规律算出乘积，再除以得到原式结果． 【详解】（1）解：探索规律： ， ， ， ， ∴可得规律：， 令，则 ； （2）解：① ； ②， ． 【题型四】 整式乘法与几何图形的综合题 【例4】（25-26七年级上·上海松江·期中）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图： (1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系，写出这个长方形表示的等量关系． (2)小明想用类似方法解释整式乘法，那么需用1号卡片张2号卡片张，3号卡片张，那么__________． (3)如果要拼成一个大正方形，她先取1号卡片1张，再取2号卡片16张，则她还需取3号卡片__________张． 【答案】(1)如图所示： (2)12 (3)８ 【分析】本题考查了多项式乘法与几何图形，根据图形面积相等建立等量关系是解题关键． （1）画出长方形可知长方形的长为，宽为，根据拼成的大长方形面积为即可求解； （2）根据1号正方形的面积为，2号正方形的面积为，3号长方形的面积为即可求解； （3）根据可求解． 【详解】（1）解：由图可知拼成的长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积， ∵拼成的大长方形面积为， ∴大长方形的代数意义为， （2）解：1号正方形的面积为，2号正方形的面积为，3号长方形的面积为， 故根据的结论可知，，，， 所以，， 故答案为：12； （3）解：∵， ∴需要3号卡片8张． 故答案为：8． 【变式4-1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． (1)若，求的值． (2)①若，则_________． ②若，则_________． (3)如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．    【答案】(1) (2)6，17 (3)4.5 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式和完全平方公式的变形是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形计算即可； （2）利用完全平方公式的变形计算即可； （3）设，得到，利用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴； （3）解：设，则：， ， ∴， ∴， ∴阴影部分面积． 【变式4-2】图1是一个长为，宽为的长方形纸片，先沿图中虚线用剪刀均剪成4个相同的小长方形，然后用这4个小长方形纸片拼成图2所示的正方形． (1)你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于 （用含、式子表示）； (2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1： ；方法2： ； (3)观察图2，尝试写出、、 三个式子之间的等量关系式是： ； (4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题主要考查整式乘法与图形面积的关系， （1）根据图示中图形的边长的关系即可求解； （2）根据几何图形面积的计算方法即可求解； （3）分别算出、，即可求解； （4）根据（3）中的结论进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据图示可得，图2中阴影部分的正方形的边长等于：， 故答案为：； （2）解：图2中阴影部分的面积表示如下： 方法一：；方法二：； 故答案为：，； （3）解：、， ∴， 故答案为：； （4）解：由（3）可得，， ∴，且， ∴ ． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料：在学习乘法公式时，我们知道可以通过不同方法计算几何图形面积得到一些代数恒等式，例如，通过图①中面积计算可以得到完全平方公式：． (1)仿照图①结论，根据图②，写出一个恒等式________________； (2)利用第（1）题中得到的结论，解决如下问题：若，，则________； (3)小杰用图③中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，那么________； (4)事实上，通过不同方法计算几何体的体积也可以得到类似的结论，例如图④展示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体得到的立体图形后重新拼成一个长方体，根据图中的变化关系，写出一个恒等式： ． 【答案】(1) (2)16 (3)6 (4) 【分析】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键． （1）依据正方形的面积；正方形的面积，可得等式； （2）依据，进行计算即可； （3）依据所拼图形的面积为：，而，即可得到的值． （4）根据原几何体的体积新几何体的体积，列式可得结论． 【详解】（1）解：由图2得：正方形的面积可表示为， 正方形的面积也可表示为， ， 故答案为：； （2）解：∵， ， ， ， 故答案为：16； （3）解：由题意得：， ， ， ， 故答案为：6； （4）解：∵原几何体的体积， 新几何体的体积， ， 故答案为：． 技巧 一句话要点 同底数幂相乘——“底不变，指相加” aᵐ·aⁿ＝aᵐ⁺ⁿ；底数必须相同，指数相加． 幂的乘方——“底不变，指相乘” (aᵐ)ⁿ＝aᵐⁿ；注意与同底数幂相乘相区分． 积的乘方——“每个因式都乘方” (ab)ⁿ＝aⁿbⁿ；系数也要乘方，如(2a)³＝8a³． 幂的运算逆用——“拆指数，并底数” aᵐ⁺ⁿ＝aᵐ·aⁿ，aⁿbⁿ＝(ab)ⁿ，常用于求值与简便计算． 单项式乘单项式——“系数相乘，同底数幂相加” 只在一个单项式中含有的字母连同指数写入积中，不能漏． 多项式乘多项式——“逐项相乘，再相加” 合并同类项前积的项数等于两个多项式项数之积，可据此检漏项． 平方差公式——“相同项平方减相反项平方” (a＋b)(a－b)＝a²－b²；先找准相同项与相反项． 完全平方公式——“首平方，尾平方，积的2倍放中央” (a±b)²＝a²±2ab＋b²；中间项的符号与括号内一致． 同底数幂相除——“底不变，指相减” aᵐ÷aⁿ＝aᵐ⁻ⁿ（a≠0，m＞n）；零指数幂a⁰＝1（a≠0）． 整式除法的检验——“商乘除式还原被除式” 用“商×除式＝被除式”检验结果，防止漏项或符号出错． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $