平面向量基本定理与坐标表示专项训练-2027届高三数学一轮复习

平面向量基本定理与坐标表示 一、知识点梳理 （一）平面向量基本定理 平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 、，使 。不共线的向量 、 叫做这一平面内所有向量的一组基底。本讲用到的全部工具，都出自教材「平面向量基本定理及坐标表示」一节。 基底必须是两个不共线的向量，零向量不能作为基底；基底给定后，同一向量的分解形式是唯一的，所以同一向量在两组不同基底下的表示，对应系数必须分别相等，这是把向量等式化为方程组的依据。 当 、 互相垂直时， 叫做 的正交分解。用基底表示未知向量有两条路：一是反复使用三角形法则，把未知向量拆成已知向量的和差；二是借助图形的平行、中点、相似等性质先找出线段的比例关系。 （二）向量的坐标运算 设 ，，则 ，，，。 若向量的起点是坐标原点，则终点的坐标就是该向量的坐标；一般地，设 ，，则 ，，口诀是「终点减起点」。 两个向量相等 它们的坐标分别相等，即 且 。坐标运算要「横坐标归横坐标、纵坐标归纵坐标」；已知部分向量求另一向量时，通常先做整体化简再代入数字，这样可以少犯符号错误。 （三）向量共线的坐标表示 设 ，，则 。它把「方向相同或相反」这一几何条件翻译成了代数方程，是求参数最常用的工具。 共线的坐标条件不能写成 ，因为 、 可能为 ；只有两个向量的坐标都不为 时，才能说对应坐标成比例。题目只要求「平行」时用 判断即可，只有明确要求「同向」或「反向」时才需要再比较符号。 由坐标判断三点共线，一律化成「同起点两个向量共线」：算出 、 的坐标，验证 。反过来求直线上的点或参数时，设出点的坐标、写出两个共线向量，代入同一条件即可得到方程。 （四）用坐标法处理几何问题 坐标法的三步：选原点与坐标轴、写出关键点的坐标、把几何条件（共线、平行、长度、最值）翻译成坐标的方程或不等式。 选址的原则是「能用整数就用整数」：正方形、矩形取一个顶点为原点、两条邻边为坐标轴；等边三角形、等腰三角形取底边中点为原点、底边所在直线为 轴，这样顶点的坐标只含一个字母。 设动点坐标时，要把它的活动范围（线段、弧、多边形内部）写成坐标的取值范围，所求量的最值往往落在这些范围的端点或二次函数的对称轴处，最后还要检验取等时点确实在图形上。 本讲的固定动作：① 出现「用 、 表示某向量」时，先把图形中所有线段的比例写在草稿上，再一次次用三角形法则替换；② 出现坐标时，先把每个点的坐标标在图上再动笔；③ 见到「共线」二字，立刻写出 。 二、典型例题 例1　用基底表示向量：借助中点与三等分点 如图，在正方形 中，点 是 的中点，点 是 的一个三等分点（靠近点 ），那么 A． B． C． D． ①把目标向量放进一个小三角形　在 中 ，这样就把 拆成沿两条边的向量。 ②把 、 用 、 表示　 是 的中点，所以 ； 使 ，所以 。 ③合并同类项　注意 ，把两段相加即得系数。 注：正方形中 、，写成 时容易漏掉负号，建议先把每条边都改写成由 出发的 、 再合并。 【答案】D。 在 中，。 因为 是 的中点，所以 。 因为 是 上靠近点 的三等分点，所以 ，。 所以 。 变式1　用基底表示向量：两次三等分 在 中，，，则 A． B． C． D． ①先写 　由 得 。 ②再由 求 　。 ③合并同类项　把 、 的系数分别相加。 【答案】C。 由 得 。 由 得 。 例2　用基底表示向量：中点式求系数 在平行四边形 中， 是 边上的点，， 是线段 的中点。若 ，则 A． B． C． D． ①中点式把 折半　 是 的中点，所以 。 ②把 拆到邻边上　，而 ，所以 。 ③读出 　合并后 的系数就是 。 注：平行四边形里 ，所以 ；这一步把「沿 方向的位移」换成了基底里的 ，是这类题的关键一步。 【答案】C。 因为 是线段 的中点，所以 。 又 ，由 得 ，所以 。 于是 ，所以 。 变式2　用基底表示向量：重心与中线 已知 为 的重心， 为 的中点，则 A． B． C． D． ①重心把中线分成 　 在中线 上且 ，所以 。 ②把 拆开　，其中 ，。 ③合并同类项　、 的系数分别相加。 【答案】B。 因为 为 的重心， 为 边上的中线，所以 ，即 。 又 为 的中点，所以 ， 所以 。 例3　共线的坐标表示：由平行求参数 已知向量 ，，若 与 平行，则实数 A． B． C． D． ①先算出两个新向量的坐标　，。 ②用坐标式写共线条件　两向量平行 。 ③解一元一次方程　展开合并得 。 注：题目说的是「平行」而不是「同向」，所以用 一步到位，不必再讨论符号。 【答案】B。 因为 ，，所以 ，。 由 与 平行得 ，即 ， 解得 。 变式3　共线的坐标表示：含三角函数参数的判断 已知向量 ，，若 ，则 A． B． C． D． ①写共线条件　 得 。 ②化简成同角关系　整理得 。 ③求正切　两边同除以 ，得 。 【答案】C。 因为 ，所以 ，即 。 若 ，则 ，与 矛盾，所以 ，两边同除以 得 。 例4　坐标运算：由已知向量式求未知向量 已知 ，，若 ，则 A． B． C． D． ①先把 解出来　由 得 ，先把式子化简再代数字。 ②算出 　。 ③整体乘系数　对上一步的坐标同时乘 。 注：先符号后数字：把 用 、 表示出来之后再代入具体坐标，比逐项硬算少一次分数通分，出错概率更低。 【答案】D。 由 得 。 因为 ，，所以 。 于是 。 变式4　坐标运算：用坐标法求系数和 如图，在直角梯形 中，，，， 为 的中点。若 （，），则 A． B． C． D． ①建系写点坐标　以 为原点、 与 为坐标轴，不妨设 ，写出 、、、 的坐标。 ②求三个向量的坐标　用「终点减起点」算出 、、。 ③列方程组　由向量等式得两个坐标等式，解出 、 后相加。 【答案】B。 以 为坐标原点，、 所在直线分别为 轴、 轴建立直角坐标系。不妨设 ，则 ， 各点坐标为 ，，，，。 于是 ，，。 由 得 ，即 解得 ，，所以 。 例5　共线的坐标表示：三点共线求参数 已知 ，，，且 ，， 三点共线，则 ①统一到同一个起点　三点共线要比较的是 与 ，即「后一个点的坐标减前一个点」。 ②写共线条件　，，共线即 。 ③解方程　展开合并求出 ，再回代确认三点互不重合。 注：三点共线一律化成「同起点两个向量共线」，这样无论三点在直线上怎么分布都成立；若其中两点重合，三点共线就无从谈起，所以最后要顺带排除。 【答案】。 ，。 因为 、、 三点共线，所以 ，即 。 整理得 ，即 ，解得 。 变式5　共线的坐标表示：三点能否构成三角形 已知向量 ，，，若点 ，， 能构成三角形，则实数 可能是 A． B． C． D． ①「能构成三角形」的反面是三点共线　先求出三点共线时 的值，再把这一取值排除，剩下就是答案。 ②写共线条件　，，共线即 。 ③取补集并验证每个选项　只有 三点共线，其余三个值都不共线，可以构成三角形。 【答案】A、B、D。 ， 。 若 、、 三点共线，则 ，解得 。 所以当 时三点不共线，能构成三角形。选项中的 、、 都满足，故选 A、B、D。 三、巩固练习 1．在下列各组向量中，可以作为基底的是 A．， B．， C．， D．， 【答案】B。 基底必须是两个不共线的向量。 A 中 ，零向量与任何向量共线，不能作为基底。 B 中 ，两向量不共线，可以作为基底。 C 中 ，两向量共线，不能作为基底。 D 中 ，两向量共线，不能作为基底。 2．设点 ，，点 在直线 上，且 ，则点 的坐标为 【答案】 或 。 ，，由 得 。 因为 在直线 上，所以 与 共线，设 ，则由 得 。 当 时， 为线段 的中点，。 当 时， 在 的延长线上，，所以 。 3．给定两个长度为 的平面向量 和 ，它们的夹角为 。点 在以 为圆心的圆弧 上运动，若 （，），则 的最大值是 【答案】。 以 为原点、 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，则 ，。 设 ，则 ，且 。 由 得 解得 ，。 于是 。 因为 ，所以当 ，即 时， 取得最大值 。 4．已知平面向量 ，，则 A． B． C． D． 【答案】A。 因为 ，，所以 。 所以 。 5．若 ， 是平面内一个基底，向量 （，），则称 为向量 在基底 ， 下的坐标。已知向量 在基底 ，（，）下的坐标为 ，则 在基底 ，（，）下的坐标为 【答案】。 由已知 。 设 ，则 ， 所以 解得 ，，即 在基底 ， 下的坐标为 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量基本定理与坐标表示 一、知识点梳理 （一）平面向量基本定理 平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 、，使 。不共线的向量 、 叫做这一平面内所有向量的一组基底。本讲用到的全部工具，都出自教材「平面向量基本定理及坐标表示」一节。 基底必须是两个不共线的向量，零向量不能作为基底；基底给定后，同一向量的分解形式是唯一的，所以同一向量在两组不同基底下的表示，对应系数必须分别相等，这是把向量等式化为方程组的依据。 当 、 互相垂直时， 叫做 的正交分解。用基底表示未知向量有两条路：一是反复使用三角形法则，把未知向量拆成已知向量的和差；二是借助图形的平行、中点、相似等性质先找出线段的比例关系。 （二）向量的坐标运算 设 ，，则 ，，，。 若向量的起点是坐标原点，则终点的坐标就是该向量的坐标；一般地，设 ，，则 ，，口诀是「终点减起点」。 两个向量相等 它们的坐标分别相等，即 且 。坐标运算要「横坐标归横坐标、纵坐标归纵坐标」；已知部分向量求另一向量时，通常先做整体化简再代入数字，这样可以少犯符号错误。 （三）向量共线的坐标表示 设 ，，则 。它把「方向相同或相反」这一几何条件翻译成了代数方程，是求参数最常用的工具。 共线的坐标条件不能写成 ，因为 、 可能为 ；只有两个向量的坐标都不为 时，才能说对应坐标成比例。题目只要求「平行」时用 判断即可，只有明确要求「同向」或「反向」时才需要再比较符号。 由坐标判断三点共线，一律化成「同起点两个向量共线」：算出 、 的坐标，验证 。反过来求直线上的点或参数时，设出点的坐标、写出两个共线向量，代入同一条件即可得到方程。 （四）用坐标法处理几何问题 坐标法的三步：选原点与坐标轴、写出关键点的坐标、把几何条件（共线、平行、长度、最值）翻译成坐标的方程或不等式。 选址的原则是「能用整数就用整数」：正方形、矩形取一个顶点为原点、两条邻边为坐标轴；等边三角形、等腰三角形取底边中点为原点、底边所在直线为 轴，这样顶点的坐标只含一个字母。 设动点坐标时，要把它的活动范围（线段、弧、多边形内部）写成坐标的取值范围，所求量的最值往往落在这些范围的端点或二次函数的对称轴处，最后还要检验取等时点确实在图形上。 本讲的固定动作：① 出现「用 、 表示某向量」时，先把图形中所有线段的比例写在草稿上，再一次次用三角形法则替换；② 出现坐标时，先把每个点的坐标标在图上再动笔；③ 见到「共线」二字，立刻写出 。 二、典型例题 例1　用基底表示向量：借助中点与三等分点 如图，在正方形 中，点 是 的中点，点 是 的一个三等分点（靠近点 ），那么 （　　） A． B． C． D． 变式1　用基底表示向量：两次三等分 在 中，，，则 （　　） A． B． C． D． 例2　用基底表示向量：中点式求系数 在平行四边形 中， 是 边上的点，， 是线段 的中点。若 ，则 （　　） A． B． C． D． 变式2　用基底表示向量：重心与中线 已知 为 的重心， 为 的中点，则 （　　） A． B． C． D． 例3　共线的坐标表示：由平行求参数 已知向量 ，，若 与 平行，则实数 （　　） A． B． C． D． 变式3　共线的坐标表示：含三角函数参数的判断 已知向量 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 例4　坐标运算：由已知向量式求未知向量 已知 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 变式4　坐标运算：用坐标法求系数和 如图，在直角梯形 中，，，， 为 的中点。若 （，），则 （　　） A． B． C． D． 例5　共线的坐标表示：三点共线求参数 已知 ，，，且 ，， 三点共线，则 变式5　共线的坐标表示：三点能否构成三角形 已知向量 ，，，若点 ，， 能构成三角形，则实数 可能是（　　） A． B． C． D． 三、巩固练习 1．在下列各组向量中，可以作为基底的是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．设点 ，，点 在直线 上，且 ，则点 的坐标为 3．给定两个长度为 的平面向量 和 ，它们的夹角为 。点 在以 为圆心的圆弧 上运动，若 （，），则 的最大值是 4．已知平面向量 ，，则 （　　） A． B． C． D． 5．若 ， 是平面内一个基底，向量 （，），则称 为向量 在基底 ， 下的坐标。已知向量 在基底 ，（，）下的坐标为 ，则 在基底 ，（，）下的坐标为 学科网（北京）股份有限公司 $