专题5.4 平面向量基本定理及坐标表示（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 以题型系统分类为框架，通过分层训练实现平面向量基本定理及坐标表示的从概念到综合应用的递进突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型专练|7类题型（含基底辨析、坐标运算等）|覆盖概念理解（基底）、技能应用（参数求解、模长计算）、综合迁移（几何问题）|从基底概念生成到坐标表示工具化，构建“概念-表示-运算-应用”逻辑链| |分层突破|A（基础）/B（培优）/C（真题）|基础题巩固定理理解，提升题强化坐标运算，真题对接高考命题|遵循“基础巩固-能力提升-实战检验”认知规律，突出数学抽象与直观想象素养|

专题5.4 平面向量基本定理及坐标表示（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 基底的概念及辨析】 1 【题型2 用基底表示向量】 2 【题型3 利用平面向量基本定理求参数】 3 【题型4 平面向量线性运算的坐标表示】 3 【题型5 向量共线的坐标表示】 4 【题型6 利用坐标求向量的模】 4 【题型7 向量坐标的线性运算解决几何问题】 4 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 基底的概念及辨析】 1．（2026高一下·江苏镇江·专题练习）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·广东东莞·期末）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江苏宿迁·期末）在下面的四组向量中，能作为一组基底的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·云南德宏·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 用基底表示向量】 5．（2026·山东济南·二模）在中，为边的中点，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·甘肃甘南·三模）中，若，，，则向量可用，表示为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·黑龙江·一模）如图，在正六边形中，点满足，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·山西吕梁·三模）已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用平面向量基本定理求参数】 9．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知为所在平面内的点，且.若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·湖南益阳·一模）在平行四边形中，，，若，则（    ） A． B． C． D．1 11．（2026·江苏扬州·模拟预测）在中， 为线段的中点，过的直线分别与线段交于，且 ，则（    ） A． B． C． D． 12．（2026·陕西榆林·三模）在中，在边上，且是边上任意一点，与交于点，若，则（    ） A． B． C．3 D．-3 【题型4 平面向量线性运算的坐标表示】 13．（2026·陕西宝鸡·三模）已知向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 14．（2026·河南·模拟预测）已知向量，，点，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 15．（2026·河北邯郸·三模）已知向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 16．（2026·山东·一模）已知向量，若，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型5 向量共线的坐标表示】 17．（2026·全国·模拟预测）已知向量，若与同向共线，则x为（    ） A． B． C． D．0 18．（2026·广西河池·三模）已知向量，，且，则（   ） A．8 B．2 C． D． 19．（2026·重庆·三模）已知向量若则的值为（   ） A． B．0 C． D． 20．（2026·陕西西安·模拟预测）已知向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【题型6 利用坐标求向量的模】 21．（2026·甘肃金昌·二模）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高三·云南昆明·阶段检测）已知向量，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 23．（2026·江西南昌·三模）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高三下·湖南·阶段检测）已知，平面向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型7 向量坐标的线性运算解决几何问题】 25．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高三上·湖北武汉·阶段检测）如图所示，在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高一下·江苏徐州·阶段检测）在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 28．（25-26高一下·广东韶关·期末）如图，四边形是正方形，延长至，使得.若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，下列判断正确的是（    ） A．满足 的点必为的中点. B．满足的点有且只有一个. C．的最大值为3. D．的最小值不存在. 一、单选题 1．（2026·云南昭通·模拟预测）已知向量，，若与共线，则实数m=（    ） A．-1 B．1 C．2 D．4 2．（2026·河南郑州·模拟预测）已知点A，B，C，D为平面内不同的四点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知，是两个不共线的非零向量，且，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南·三模）在中，点是线段上一点，若，，则实数（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河南·模拟预测）已知两个不相等的向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知向量 ，若 ，则 （     ） A．2 B． C．2 或 D．3 7．（2026·河北秦皇岛·二模）已知向量，若，且满足，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·辽宁辽阳·一模）已知向量，，.若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2026·安徽六安·模拟预测）已知向量，，则__________． 10．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知向量，，，若，则____________． 11．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知向量，满足，，则____________． 12．（2026·湖北武汉·一模）已知在梯形中，，若为边上靠近的三等分点，且，则____________. 一、单选题 1．（2026·四川成都·一模）在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，将绕着起点顺时针方向旋转后得到向量，若，则（   ）    A． B． C． D． 3．（25-26高一下·四川南充·阶段检测）如图，点D、E分别在的边BC、AC上.且，，BE与AD交于点M，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河北张家口·一模）在平面直角坐标系中，，，，点分别是的外心和垂心，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、解答题 5．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）设A，B，C，D为平面内的四点，. (1)若，求点D坐标； (2)设向量，若与平行，求实数k的值. 6．（25-26高一下·河南郑州·期中）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是． (1)用坐标表示； (2)求的模长； (3)求顶点A的坐标． 7．（25-26高一下·云南楚雄·阶段检测）如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设. (1)以为基底表示. (2)若，求的值； (3)若点为线段的中点，求的最小值. 8．（25-26高二下·上海杨浦·期末）如图1所示，在中，点在线段上，满足，点在线段上，满足，线段与线段交于点. (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，求的最大值； 一、单选题 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知平面向量，不共线，且，则（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 3．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 二、填空题 4．（2026·上海·高考真题）已知，，若，则____________. 5．（2025·上海·高考真题）已知，若，则__________． 6．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则___________. 7．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为____________. 8．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则____________；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为____________. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.4 平面向量基本定理及坐标表示（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 基底的概念及辨析】 1 【题型2 用基底表示向量】 3 【题型3 利用平面向量基本定理求参数】 5 【题型4 平面向量线性运算的坐标表示】 7 【题型5 向量共线的坐标表示】 8 【题型6 利用坐标求向量的模】 9 【题型7 向量坐标的线性运算解决几何问题】 11 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 基底的概念及辨析】 1．（2026高一下·江苏镇江·专题练习）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据基底向量的性质，判断是否共线即可求解. 【解答过程】对于A,，故共线，不可作为基底， 对于B, ,故共线，不可作为基底， 对于C, ,故共线，不可作为基底， 对于D, 由于，故不存在实数，使得，因此不共线，故可以作为基底向量， 故选：D. 2．（25-26高一下·广东东莞·期末）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】判断向量组中两个向量是否共线． 【解答过程】由已知是平面内的一个基底， 则若共线，则存在实数，使得，即，与是基底矛盾，因此不共线， 若共线，则存在实数，，所以，与是基底矛盾，因此不共线， 因为，所以不共线，共线， 因此D不能作为基底， 故选：D． 3．（25-26高一下·江苏宿迁·期末）在下面的四组向量中，能作为一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两个向量若不共线即可作为一组基底，进而判断各选项即可. 【解答过程】对于A，因为，则不共线，故A正确； 对于B，因为，则共线，故B错误； 对于C，因为，则共线，故C错误； 对于D，因为，则共线，故D错误. 故选：A. 4．（25-26高一下·云南德宏·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据向量共线建立方程，由基底的定义，可得答案. 【解答过程】对于A，，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故A错误； 对于B，设则，显然无解，则向量与向量不共线，即能构成一组基底，故B正确； 对于C，，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故C错误； 对于D，，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故D错误. 故选：B. 【题型2 用基底表示向量】 5．（2026·山东济南·二模）在中，为边的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得解. 【解答过程】因为为边的中点，， 所以. 故选：D. 6．（2026·甘肃甘南·三模）中，若，，，则向量可用，表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平面向量的线性运算直接求解即可. 【解答过程】在中，， 则 . 又因为，所以. 故选：A. 7．（2026·黑龙江·一模）如图，在正六边形中，点满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】应用向量加减、数乘的几何意义，用表示，即可得答案. 【解答过程】由题设及正六边形的结构特征知，，且，， 又，所以. 故选：B. 8．（2026·山西吕梁·三模）已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】取为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可. 【解答过程】在中，取为基底， 因为点分别为的中点，， 所以， 所以. 故选：A. 【题型3 利用平面向量基本定理求参数】 9．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知为所在平面内的点，且.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理转化计算，即可得出答案. 【解答过程】因为，所以，所以，所以，故. 故选：A. 10．（2026·湖南益阳·一模）在平行四边形中，，，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解题思路】利用平面向量的线性运算求出即可求出. 【解答过程】由题意如图所示： 因为 ， 所以， 所以， 故选：B. 11．（2026·江苏扬州·模拟预测）在中， 为线段的中点，过的直线分别与线段交于，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】作出图形，由 可推得，利用条件将其化成，再运用平面向量基本定理得，解之即得. 【解答过程】 如图，因则,即（*）， 又, ,代入（*）得，, 即，因三点共线，故，解得，. 故选：B. 12．（2026·陕西榆林·三模）在中，在边上，且是边上任意一点，与交于点，若，则（    ） A． B． C．3 D．-3 【答案】C 【解题思路】利用向量的线性运算，得，再利用平面向量基本定理，可得，然后就可得到结果. 【解答过程】三点共线，设， 则， 又，所以，即. 故选：C. 【题型4 平面向量线性运算的坐标表示】 13．（2026·陕西宝鸡·三模）已知向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据共线向量的坐标表示即可求解 【解答过程】因为共线， 所以，解得， 所以， 所以. 故选：B. 14．（2026·河南·模拟预测）已知向量，，点，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由向量坐标的线性运算求解即可. 【解答过程】由题意得，， 设点B的坐标为，则，所以点B的坐标为. 故选：A. 15．（2026·河北邯郸·三模）已知向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据向量共线的坐标公式建立方程，解得参数，结合向量的坐标运算，可得答案. 【解答过程】因为，所以，解得， 所以． 故选：B. 16．（2026·山东·一模）已知向量，若，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用向量的坐标运算求解. 【解答过程】向量，若， 则. 故选：D. 【题型5 向量共线的坐标表示】 17．（2026·全国·模拟预测）已知向量，若与同向共线，则x为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【解题思路】由向量共线的坐标表示可得，再判断方向即可． 【解答过程】与同向共线, . 当时，，与同向共线，符合； 当时，，与反向共线，不符合. ． 故选：A． 18．（2026·广西河池·三模）已知向量，，且，则（   ） A．8 B．2 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据向量平行的坐标表示列出方程，解出即可. 【解答过程】因为，，且， 则，解得 ， 故选： 19．（2026·重庆·三模）已知向量若则的值为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【解题思路】先利用平面向量的线性运算求出，再利用向量平行的条件列方程求解即可. 【解答过程】因为向量 所以， 又因为 所以， 解得， 故选：A. 20．（2026·陕西西安·模拟预测）已知向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意，结合向量共线的充要条件即可求解. 【解答过程】因为向量，，所以， 因为与共线，则，即. 故选：A. 【题型6 利用坐标求向量的模】 21．（2026·甘肃金昌·二模）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由得，从而得，再求模长即可. 【解答过程】向量，，且， 所以，解得，所以，， 所以， 故选：B. 22．（25-26高三·云南昆明·阶段检测）已知向量，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解题思路】首先求出的坐标，即可得解； 【解答过程】解：因为，， 所以，所以， 故选：A. 23．（2026·江西南昌·三模）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由已知可得，从而可求出的值. 【解答过程】解：因为向量，， 所以， 所以， 故选：D. 24．（25-26高三下·湖南·阶段检测）已知，平面向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用平面向量的坐标运算结合二次函数性质求解即可. 【解答过程】易知， 故 ，当时，最小， 此时由二次函数性质得，故， 故的最小值为，故A正确. 故选：A. 【题型7 向量坐标的线性运算解决几何问题】 25．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用坐标法，设，可得，进而可得，然后利用二次函数的性质即得. 【解答过程】如图建立平面直角坐标系， 则， ∴， 设，， ∴， 又， ∴， 解得， ∴， 即的最小值为. 故选：B. 26．（25-26高三上·湖北武汉·阶段检测）如图所示，在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】以直线FB为x轴，线段FB的中垂线为y建立平面直角坐标系，结合已知求出点P的坐标，再由点P所在区域求解作答. 【解答过程】在正六边形中，以直线FB为x轴，线段FB中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图， 令，则点， 因此， 因，则， 于是得点，又点是内（包括边界）的一个动点， 显然点P在直线及上方，点P纵坐标最大不超过3，即有，解得， 所以的取值范围是. 故选：B. 27．（25-26高一下·江苏徐州·阶段检测）在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 【答案】B 【解题思路】先由内切圆性质求出半径，再利用坐标法得到的几何意义，数形结合可解. 【解答过程】在中，，则， 设内切圆半径为r， 则，可得， 以C为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，.    可得， 令，则点P在直线上， 因为点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)，即直线与阴影区域(不包含边界)有公共点. 由图可知，当且时，才满足题意，故ACD错误，B正确. 故选：B. 28．（25-26高一下·广东韶关·期末）如图，四边形是正方形，延长至，使得.若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，下列判断正确的是（    ） A．满足 的点必为的中点. B．满足的点有且只有一个. C．的最大值为3. D．的最小值不存在. 【答案】C 【解题思路】建立坐标系，讨论，，，四种情况，出的范围，再判断每个选项的正误，即可得出结果. 【解答过程】如图建系，取，∵， ∴， 动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点， 当时，有且，∴，∴， 当时，有且，则，∴，∴， 当时，有且，则，∴，∴， 当时，有且，则，∴，∴， 综上，， 选项A，取，满足，此时，因此点不一定是的中点，故A错误； 选项B，当点取点或的中点时，均满足，此时点不唯一，故B错误； 选项C，当点取点时，且，解得，取得最大值为，故C正确； 选项D，当取点时，取得最小值，故D错误； 故选：C. 一、单选题 1．（2026·云南昭通·模拟预测）已知向量，，若与共线，则实数m=（    ） A．-1 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【解题思路】由向量共线的坐标关系得出. 【解答过程】由题意得，，所以. 故选：D． 2．（2026·河南郑州·模拟预测）已知点A，B，C，D为平面内不同的四点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由已知整理可得，然后由坐标运算可得. 【解答过程】由得，即，即， 又，所以. 故选：D． 3．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知，是两个不共线的非零向量，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用向量线性运算，结合平面向量基本定理列式求解. 【解答过程】设，则，而， 由向量不共线，得，解得，所以. 故选：B. 4．（2026·湖南·三模）在中，点是线段上一点，若，，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由向量的线性运算得，结合平面向量基本定理即可得解. 【解答过程】因为，所以， 因为，所以． 故选：D． 5．（2026·河南·模拟预测）已知两个不相等的向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据向量的坐标运算得，然后根据向量共线的坐标运算求得或，再代入验证即可求解. 【解答过程】因为向量，，所以， 由得，即， 解得或，当时，，，此时，不符合题意， 当时，，，此时，符合题意. 故选：C. 6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知向量 ，若 ，则 （     ） A．2 B． C．2 或 D．3 【答案】C 【解题思路】根据向量坐标运算结合模长公式计算求参. 【解答过程】因为，所以， 因为， 所以， 因为，所以 ， 解得 或 ， 故选：C. 7．（2026·河北秦皇岛·二模）已知向量，若，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件，利用向量的坐标运算及共线的坐标运算，即可求解. 【解答过程】因为，，则， 又，则，整理得到， 故选：A. 8．（2026·辽宁辽阳·一模）已知向量，，.若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出向量，由题意可得，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，解之即可. 【解答过程】因为向量，，， 所以，， 因为、、三点共线，则，所以，，解得. 故选：C. 二、填空题 9．（2026·安徽六安·模拟预测）已知向量，，则__________． 【答案】 【解题思路】求出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值. 【解答过程】因为向量，，则， 因此，. 故答案为：. 10．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知向量，，，若，则____________． 【答案】或 【解题思路】根据向量共线的坐标形式可求参数的值. 【解答过程】由题得，， 又，则，解得或． 故答案为：或． 11．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知向量，满足，，则____________． 【答案】 【解题思路】根据向量的坐标运算得出的坐标，再根据求模公式计算. 【解答过程】法1：由题意可得，， ， 故，， 故. 法2：由题意可得，. 故答案为：. 12．（2026·湖北武汉·一模）已知在梯形中，，若为边上靠近的三等分点，且，则____________. 【答案】 【解题思路】结合图形，根据平面向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解. 【解答过程】如图所示： 因为在梯形中，，若为边上靠近的三等分点， 所以, ， 所以. 又因为， 则. 故答案为：. 一、单选题 1．（2026·四川成都·一模）在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，以为基底，分别用表示，建立方程组求解. 【解答过程】 ， 又因为，所以， 设，则， 所以，解得， 故选：B. 2．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，将绕着起点顺时针方向旋转后得到向量，若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立如图所示直角坐标系，利用向量的坐标表示求解即可； 【解答过程】    由图可得，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 设每个小正方形的边长为1， ， 所以， 因为，即， 所以， 所以. 故选：A. 3．（25-26高一下·四川南充·阶段检测）如图，点D、E分别在的边BC、AC上.且，，BE与AD交于点M，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，根据，可得，再利用向量相等得到方程组，求的值，再求，，即可． 【解答过程】因为，所以， 所以， 又，则 设， 设， 则， 所以 ， 又因为不共线， 所以， 故， 所以，所以． 故选：A. 4．（2026·河北张家口·一模）在平面直角坐标系中，，，，点分别是的外心和垂心，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据直线方程求解的坐标，即可根据向量的坐标得，且求解. 【解答过程】由于关于原点对称，故在轴上， ，则中点为，易知, 因此直线的垂直平分线方程为， 令，则，故, 边上的高所在的直线方程为，故， 故， ， 故，且， 由可得， 由于，因此，解得， 故，解得， 故选：A. 二、解答题 5．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）设A，B，C，D为平面内的四点，. (1)若，求点D坐标； (2)设向量，若与平行，求实数k的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，先求出和的坐标，然后利用列方程求解即可； （2）根据向量的线性坐标运算求出，的坐标，然后利用向量共线的坐标公式列方程求解即可． 【解答过程】（1）因为，所以，设，又，所以， 因为，所以，解得，所以点D坐标为； （2），， 所以，， 因为与平行， 所以，解得. 6．（25-26高一下·河南郑州·期中）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是． (1)用坐标表示； (2)求的模长； (3)求顶点A的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）利用终点坐标和始点坐标即可得解； （2）求出的坐标，由模长公式可得； （3）利用相等向量列方程组求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以. （2）因为， 所以， 所以，所以. （3）设点坐标为，则， 因为四边形为平行四边形，所以， 则，解得，即点坐标为. 7．（25-26高一下·云南楚雄·阶段检测）如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设. (1)以为基底表示. (2)若，求的值； (3)若点为线段的中点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）结合图形，利用向量的线性运算用基底表示即可； （2）利用平面向量基本定理，由三点共线得到，再由是线段上一点，得到，与（1）的结论对照即可求得的值； （3）由三点共线得到，结合点为线段的中点可得，与（1）的结论对照，列出方程组，消去，得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求得的最小值. 【解答过程】（1）由图，. （2）因三点共线，则存在，使得， 又是线段上一点，则存在，使得， 由（1）已得，故有，解得：，即. （3）因，且三点共线， 则存在，使得， 又因点为线段的中点，则有， 与对照可得：，消去即得，即， 故， 当且仅当时，即当时，取得最小值为. 8．（25-26高二下·上海杨浦·期末）如图1所示，在中，点在线段上，满足，点在线段上，满足，线段与线段交于点. (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，求的最大值； 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据三角形中平行线的等比关系计算； （2）由（1）得，，列出方程组求解即可； （3）由题意可得，，列出方程组，从而可得，利用基本不等式求解即可； 【解答过程】（1）因为，则，由，得 ， 故. （2）由（1）得，因为三点共线，所以存在实数使得，所以，所以， 由，得 ， 又因为，所以，解得，， 综上所述，. （3）根据题意． 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线， 所以存在实数，使得， 所以， 所以，，化简得， 所以， 当且仅当且， 即，，时等号成立． 故的最大值为. 一、单选题 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知平面向量，不共线，且，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】由平面向量基本定理可得. 【解答过程】由题意可知平面向量不共线，且， 则. 故选：A. 2．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【解题思路】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【解答过程】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 3．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【解题思路】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【解答过程】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 二、填空题 4．（2026·上海·高考真题）已知，，若，则____________. 【答案】2 【解题思路】由向量平行的坐标表示计算即可. 【解答过程】因为，所以，即，解得. 故答案为：2. 5．（2025·上海·高考真题）已知，若，则__________． 【答案】 【解题思路】由平面向量共线的坐标表示即可求解. 【解答过程】由得，解得. 故答案为：. 6．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则___________. 【答案】 【解题思路】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【解答过程】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 7．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为____________. 【答案】15 【解题思路】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【解答过程】，，解得． 故答案为：15． 8．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则____________；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为____________. 【答案】； 【解题思路】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【解答过程】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $