5.2 平面向量基本定理及坐标表示 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量基本定理及坐标表示，通过分层题型构建从概念辨析到几何应用的逻辑训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题|基底判定、共线条件|从基底概念生成坐标表示原理| |坐标运算|6题|点坐标、向量线性运算|通过坐标转化实现数与形的结合| |几何应用|9题|三角形、梯形中的向量关系|以基本定理为核心解决几何问题|

5.2 平面向量基本定理及坐标表示（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·湖北·期中）已知，，，若A、B、C三点共线，则x的值为（   ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由A、B、C三点共线可得，求出、后，利用向量共线性质计算即可得. 【详解】，，由A、B、C三点共线， 则，故，解得. 2．（25-26高三上·安徽马鞍山·期末）若，是同一平面内两个不共线向量，则下列各组向量不能作为该平面的基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用平面向量的基本定理和基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为不存在，使得，所以该组向量可以作为该平面的基底，故A错误； 对于B选项，不存在，使得，所以该组向量可以作为该平面的基底，故B错误； 对于C选项， 不存在，使得，所以该组向量可以作为该平面的基底，故C错误； 对于D选项，因为，所以该组向量不可以作为该平面的基底，故D正确. 3．（2026·河北·一模）已知在平面直角坐标系中，点如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图可得各点坐标，求出，坐标，即可得答案. 【详解】由图可得， 所以，则. 故选：C 4．（25-26高三上·四川雅安·期末）如图，已知，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量减法的三角形法则将已知等式中的向量转化为以点为起点的向量，进而解出. 【详解】由题意可知，，. 因为， 所以， 即， 整理得， 所以. 又因为，， 所以. 5．（25-26高三上·山东东营·期末）在中，，是线段上的一点，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设，且，化简得到，结合，列出方程组，即可求解. 【详解】如图所示，因为点是线段上的一点，设，且， 可得，即 又因为，可得，解得. 6．（25-26高三上·广东珠海·期末）在平行四边形中，设，，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用平行四边形法则表示对角线，根据三等分点得到，再由为中点使用中线向量公式，代入化简求出的线性表达式． 【详解】 ， ， ． 7．（25-26高三上·甘肃定西·期末）在中，，，，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，建立如图直角坐标系，则， 所以，又， 所以，又，所以， 化简得，解得或（舍）， 设，即， 即，解得，故.    8．（25-26高三上·上海·期中）已知角的终边经过点A，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，若点B的坐标为，则点的横坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的定义设出的坐标，通过旋转得到的坐标，结合列方程组求解. 【详解】由题知，，可设， 由题知，向量绕点逆时针旋转得到， 则，展开得， 解得，则的横坐标为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】CD 【详解】基底向量由不共线的非零向量组成， 选项A：为零向量，A选项错误； 选项B：，共线，B选项错误； 选项C：，不共线，且不为零向量，C选项正确； 选项D：，不共线，且不为零向量，D选项正确. 10．（25-26高三上·陕西榆林·期中）已知，，点是线段的一个三等分点，则点的坐标可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意可知：，，其中为坐标原点， 因为点是线段的一个三等分点，则或， 若，则，即点的坐标为； 若，则，即点的坐标为； 综上所述：点的坐标可以为或. 11．（25-26高二下·河南新乡·期末）在中，点满足，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对A，因为，所以，即，所以A错误； 因为，，所以， 即，所以B正确，C错误； 对D，因为，所以，即，所以D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·吉林长春·期末）已知点，，．若，，三点共线，则实数的值为__________． 【答案】/ 【分析】根据向量共线求解即可. 【详解】，， 因为，，三点共线，则与共线， 所以，整理得，解得. 13．（25-26高三上·上海·期中）已知平面上两点的坐标分别是，，是直线上的一点，且，则点的坐标为______. 【答案】/ 【详解】设，因为平面上两点的坐标分别是，，且， 即，所以，解得，即的坐标为. 14．（25-26高三上·河北承德·期末）如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，若，则__________． 【答案】 /0.75 【详解】 由题意可知，，则 为 的中点，故 ． 又 ，则 ． 因为 为 的中点，可得 ,在 中，， 所以 又因为 ， 所以 所以 ，即 ，已知 ，根据平面向量基本定理，对应系数相等， 所以 ，． 则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·广东河源·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，，． (1)求向量，的坐标； (2)判断向量与是否共线，并说明理由； (3)若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)不共线，理由如下， 因为，所以向量与不共线. (3) 【详解】（1）因为点，，，， 所以，. （2）略 （3）由题意得，， 而，则， 设，则， 得到，解得，故. 16．（25-26高三上·四川绵阳·期末）在平面直角坐标系中，已知，设． (1)若，求实数的值； (2)若M为线段靠近点C的三等分点，求点M的坐标． 【答案】(1)，． (2)点的坐标为． 【分析】（1）先计算的坐标表达式，因为两个向量相等则对应坐标相等，所以可以得到关于m、n的二元一次方程组，求解该方程组即可得到m、n的值; （2）根据三等分点的线段比例关系，得到与的数量关系，再利用向量的加法，代入对应坐标计算得到点的坐标. 【详解】（1）由已知得 ，,． 由得， 则 ，解得 ． （2）为线段靠近的三等分点，有． 故， 即点的坐标为． 17．（25-26高三上·宁夏石嘴山·期中）如图所示，已知直角梯形，，，过点作于点，为的中点，建立恰当的坐标系用向量的方法证明： (1)； (2)三点共线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以为原点建立平面直角坐标系，先求出各点坐标，再写出向量 与的坐标，验证它们满足线性倍数关系（即存在实数使 ），且无公共点，即可证两直线平行。 （2）在同一坐标系中，写出向量与的坐标，验证它们满足线性倍数关系（即存在实数使），且两向量有公共点，即可证三点共线． 【详解】（1） 如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 已知， 则，，，，，， ，， 所以，即与共线， 又因为与无公共点，所以； （2）由（1）得，， 所以，即与共线， 又因为与有公共点，所以三点共线． 18．（25-26高三上·福建厦门·期中）如图，在中，点，满足，，AC边上的中线与交于点.设，. (1)用向量，表示，； (2)设，求的值. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为为边上的中线， ， 因为，，所以，， 所以. （2）解法一：因为三点共线， 所以存在实数，使得， 因为三点共线， 所以存在实数，使得， 所以， 根据平面向量基本定理可得：，解得： 所以， 因为，所以，，即. 解法二：过作的平行线，交于点， 在中，因为，所以∽， 因为，所以， 因为为中点，所以，即， 因为，所以， 因为三点共线，所以， 因为，所以 19．（25-26高三上·山东青岛·期末）如图，在中，是上的一点，是的中点，过点的直线与边，分别相交于点，．设，． (1)若，，求的值． (2)在（1）的条件下，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平面向量基本定理可得； （2）由，，三点共线可得，再结合基本不等式可得. 【详解】（1）因为，所以， 又因为是的中点，所以， 又， 所以，，所以； （2）因为，， 由（1）知，， 又，，三点共线，所以，即， 所以， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2 平面向量基本定理及坐标表示（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·湖北·期中）已知，，，若A、B、C三点共线，则x的值为（   ）. A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高三上·安徽马鞍山·期末）若，是同一平面内两个不共线向量，则下列各组向量不能作为该平面的基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（2026·河北·一模）已知在平面直角坐标系中，点如图所示，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·四川雅安·期末）如图，已知，设，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·山东东营·期末）在中，，是线段上的一点，若，则（  ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·广东珠海·期末）在平行四边形中，设，，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·甘肃定西·期末）在中，，，，，且，则（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·上海·期中）已知角的终边经过点A，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，若点B的坐标为，则点的横坐标为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．（25-26高三上·陕西榆林·期中）已知，，点是线段的一个三等分点，则点的坐标可以为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·河南新乡·期末）在中，点满足，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·吉林长春·期末）已知点，，．若，，三点共线，则实数的值为__________． 13．（25-26高三上·上海·期中）已知平面上两点的坐标分别是，，是直线上的一点，且，则点的坐标为______. 14．（25-26高三上·河北承德·期末）如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，若，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·广东河源·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，，． (1)求向量，的坐标； (2)判断向量与是否共线，并说明理由； (3)若，求点的坐标． 16．（25-26高三上·四川绵阳·期末）在平面直角坐标系中，已知，设． (1)若，求实数的值； (2)若M为线段靠近点C的三等分点，求点M的坐标． 17．（25-26高三上·宁夏石嘴山·期中）如图所示，已知直角梯形，，，过点作于点，为的中点，建立恰当的坐标系用向量的方法证明： (1)； (2)三点共线． 18．（25-26高三上·福建厦门·期中）如图，在中，点，满足，，AC边上的中线与交于点.设，. (1)用向量，表示，； (2)设，求的值. 19．（25-26高三上·山东青岛·期末）如图，在中，是上的一点，是的中点，过点的直线与边，分别相交于点，．设，． (1)若，，求的值． (2)在（1）的条件下，求的最小值． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $