复数专项训练-2027届高三数学一轮复习

复数 一、知识点梳理 （一）复数的有关概念 形如 （，）的数叫做复数，其中 叫做虚数单位，满足 ； 叫做复数的实部， 叫做复数的虚部，全体复数组成的集合记作 。本讲用到的全部工具，都出自教材「复数」一节。要特别注意：虚部是实数 ，不是 。 复数的分类：当 时 是实数；当 时是虚数；当 且 时是纯虚数。判断纯虚数必须两个条件同时成立，「实部为零」只是必要条件。两个复数相等，当且仅当实部相等且虚部相等，即 且 ；复数之间没有大小关系，除非两个数都是实数。 共轭复数：实部相等、虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数， 的共轭记作 。当 是实数时 ，当 是纯虚数时 。求共轭只改动虚部的符号，实部不动。 （二）复数的四则运算 加减法：实部与实部、虚部与虚部分别相加减，即 。乘法按多项式展开，展开过程中只要出现 就立刻换成 ，即 。 除法：分子分母同乘分母的共轭复数，把分母化为实数，即 。这是复数运算中最核心的一个动作，凡是要写出实部、虚部、模、共轭的题目，都先做这一步。 常用等式：，，，。 的乘方以 为周期：，，，；算高次幂时先用指数除以 取余数。 （三）复数的几何意义与模 复数 与复平面内的点 一一对应，也与向量 一一对应。复平面中 轴叫做实轴、 轴叫做虚轴；实轴上的点都表示实数，虚轴上除原点外的点都表示纯虚数。复数对应点的坐标是 ，不是 。 复数 的模 ，就是点 到原点的距离； 表示两点 、 之间的距离。因此 （）表示以 对应的点为圆心、 为半径的圆， 表示这个圆及其内部。 模的运算性质：，。遇到求 的最值这类问题，把它翻译成「轨迹上的点到定点的距离」，常常一眼就能看出答案。 （四）三类题型的处理要点 概念题：先把给出的复数整理成 的标准形式，再按「实部应满足什么、虚部应满足什么」列出方程或不等式组。分母中含有 或含参数时，最后还要回代检验分母不为零。 运算题：结果一律化到 再作答。写共轭时只改虚部符号，写虚部时只写 不写 ，写模时用 ，这三处是最常见的失分点。 判断与多选：要说明一个选项正确，必须做一般性的推理；要说明一个选项错误，举一个反例就够。含参数的问题最后要把参数代回原条件核验，尤其是「纯虚数」「为实数」这类约束，多解与漏解都出在这里。 本讲的固定动作：① 看见分式形式的复数，第一件事是把分母实数化；② 要写「虚部」就只写 ，不要带上 ；③ 问「对应的点在第几象限」就先把实部、虚部算出来，再看两个符号。 二、典型例题 例1　复数相等：按实部虚部列方程组 (2023·全国甲卷)设 ，，则 （　　） A． B． C． D． 变式1　复数的概念：由实部虚部相等求参数 若复数 的实部与虚部相等，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 例2　复数的运算：除法与共轭 (2023·全国乙卷)设 ，则 （　　） A． B． C． D． 变式2　复数的运算：先解方程再化简 (2024·潍坊统考)若复数 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 例3　复数的模：先化简再求模 已知复数 ，则 （　　） A． B． C． D． 变式3　复数的模：由方程的根求模 (2023·怀化二模)若复数 是方程 的根，则 （　　） A． B． C． D． 例4　复数的几何意义：判断对应点所在的象限 (2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内， 对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式4　复数的几何意义：含参数点的位置 当 时，复数 在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例5　复数性质的多选判断：一般性推理与反例 (多选)已知复数 ，下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 为实数 B．若 ，则 C．若 ，则 的最大值为 D．若 ，则 为纯虚数 变式5　复数性质的多选判断：共轭与模的运算律 (多选)(2024·九省联考)已知复数 ， 均不为 ，则（　　） A． B． C． D． 三、巩固练习 1．(2023·南京三模)已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 （　　） A． B． C． D． 2．(2023·全国甲卷)（　　） A． B． C． D． 3．复数 的共轭复数是（　　） A． B． C． D． 4．(2023·新高考Ⅰ卷)已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．已知 ，且 ，其中 ， 为实数，则 （　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 复数 一、知识点梳理 （一）复数的有关概念 形如 （，）的数叫做复数，其中 叫做虚数单位，满足 ； 叫做复数的实部， 叫做复数的虚部，全体复数组成的集合记作 。本讲用到的全部工具，都出自教材「复数」一节。要特别注意：虚部是实数 ，不是 。 复数的分类：当 时 是实数；当 时是虚数；当 且 时是纯虚数。判断纯虚数必须两个条件同时成立，「实部为零」只是必要条件。两个复数相等，当且仅当实部相等且虚部相等，即 且 ；复数之间没有大小关系，除非两个数都是实数。 共轭复数：实部相等、虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数， 的共轭记作 。当 是实数时 ，当 是纯虚数时 。求共轭只改动虚部的符号，实部不动。 （二）复数的四则运算 加减法：实部与实部、虚部与虚部分别相加减，即 。乘法按多项式展开，展开过程中只要出现 就立刻换成 ，即 。 除法：分子分母同乘分母的共轭复数，把分母化为实数，即 。这是复数运算中最核心的一个动作，凡是要写出实部、虚部、模、共轭的题目，都先做这一步。 常用等式：，，，。 的乘方以 为周期：，，，；算高次幂时先用指数除以 取余数。 （三）复数的几何意义与模 复数 与复平面内的点 一一对应，也与向量 一一对应。复平面中 轴叫做实轴、 轴叫做虚轴；实轴上的点都表示实数，虚轴上除原点外的点都表示纯虚数。复数对应点的坐标是 ，不是 。 复数 的模 ，就是点 到原点的距离； 表示两点 、 之间的距离。因此 （）表示以 对应的点为圆心、 为半径的圆， 表示这个圆及其内部。 模的运算性质：，。遇到求 的最值这类问题，把它翻译成「轨迹上的点到定点的距离」，常常一眼就能看出答案。 （四）三类题型的处理要点 概念题：先把给出的复数整理成 的标准形式，再按「实部应满足什么、虚部应满足什么」列出方程或不等式组。分母中含有 或含参数时，最后还要回代检验分母不为零。 运算题：结果一律化到 再作答。写共轭时只改虚部符号，写虚部时只写 不写 ，写模时用 ，这三处是最常见的失分点。 判断与多选：要说明一个选项正确，必须做一般性的推理；要说明一个选项错误，举一个反例就够。含参数的问题最后要把参数代回原条件核验，尤其是「纯虚数」「为实数」这类约束，多解与漏解都出在这里。 本讲的固定动作：① 看见分式形式的复数，第一件事是把分母实数化；② 要写「虚部」就只写 ，不要带上 ；③ 问「对应的点在第几象限」就先把实部、虚部算出来，再看两个符号。 二、典型例题 例1　复数相等：按实部虚部列方程组 (2023·全国甲卷)设 ，，则 A． B． C． D． ①先把左边展开　 按多项式展开，碰到 立刻换成 。 ②整理成标准形式　把结果写成「实部 虚部 」的样子。 ③按复数相等列式　右边是实数 ，所以左边的虚部必须为 、实部必须等于 ，两个条件联立求解。 注：复数与实数相等的含义是「虚部为零且实部等于这个实数」，很多同学只比较实部而漏掉虚部为零，会多出多余的解。凡是用到复数相等，都要把这层意思完整写出来。 【答案】C。 。 由 得 解得 。 变式1　复数的概念：由实部虚部相等求参数 若复数 的实部与虚部相等，则实数 的值为 A． B． C． D． ①先把分母实数化　分子分母同乘 ，分母变成 ，它是正数，可以放心地留在分母上。 ②分离实部和虚部　把结果写成 的形式。 ③用「实部 虚部」列方程　因为分母相同且为正，直接令分子中的 与 相等即可。 【答案】A。 。 因为 的实部与虚部相等，且 ，所以 ，解得 。 例2　复数的运算：除法与共轭 (2023·全国乙卷)设 ，则 A． B． C． D． ①先用周期性把 的幂算出来　，，所以分母为 。 ②分母实数化　 的分子分母同乘 ，把分母化成实数。 ③最后取共轭　先写出 ，再把虚部的符号反过来得到 。 注： 的幂先化简再运算，能省掉大量重复计算。 是常用的一个小结论，记住它可以跳过分子分母同乘这一步。另外要注意题目问的是 还是 ，两者只差一个符号。 【答案】B。 因为 ，，所以分母 。 于是 。 所以 。 变式2　复数的运算：先解方程再化简 (2024·潍坊统考)若复数 满足 ，则 A． B． C． D． ①先算 　，所以 。 ②解出 　由 得 。 ③分母实数化　分子分母同乘 ，分母变成 。 【答案】C。 因为 ，所以 。 由 得 ，所以 。 例3　复数的模：先化简再求模 已知复数 ，则 A． B． C． D． ①先把 化简　 的分子分母同乘 ，得到 。 ②算出 　把 的虚部与 相加，得到 。 ③按模的公式计算　。 注：求模之前一定要先把复数化到 的标准形式，否则容易把分母带进根号里。另外可以记住 ：本题也可以先算 再继续，但直接化简更直观。 【答案】B。 。 所以 ， 。 变式3　复数的模：由方程的根求模 (2023·怀化二模)若复数 是方程 的根，则 A． B． C． D． ①用求根公式写出两个根　。 ②逐个代入模的公式　两个根的实部相同、虚部互为相反数，模当然相等，算一个即可。 ③化简根式　。 【答案】B。 由 及求根公式得 。 所以 或 。 两种情形下都有 。 例4　复数的几何意义：判断对应点所在的象限 (2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内， 对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ①先算乘积　 展开时出现 ，立刻换成 。 ②写成标准形式　把结果整理成 ，读出实部与虚部。 ③看两个符号定象限　实部为正、虚部为正就是第一象限。 注：「对应点位于第几象限」等价于「实部、虚部各是什么符号」。算完乘积一定要化成 再判断，中间过程的符号与最终的符号可能完全不同。 【答案】A。 。 所以该复数在复平面内对应的点为 ，实部与虚部都是正数，位于第一象限。 变式4　复数的几何意义：含参数点的位置 当 时，复数 在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ①先化成标准形式　，实部、虚部分别用 表示。 ②用 的范围定两个符号　由 得 ，。 ③按符号判断象限　实部为正、虚部为负，对应点在第四象限。 【答案】D。 。 因为 ，所以 ，。 即该复数的实部为正数、虚部为负数，所以在复平面内对应的点位于第四象限。 例5　复数性质的多选判断：一般性推理与反例 (多选)已知复数 ，下列说法正确的是 A．若 ，则 为实数 B．若 ，则 C．若 ，则 的最大值为 D．若 ，则 为纯虚数 ①统一设 　把 、 代入每个选项，复数问题就变成实数 、 的问题。 ②判断正确要推理，判断错误举反例　选项 A、C 做一般性推理；选项 B、D 各举一个反例即可否定。 ③几何选项翻译成距离　 表示 在以 为圆心、 为半径的圆上， 是圆上的点到原点的距离。 注：B 的反例是 ：此时 、，两者之和为 ，但 。D 中由 只能推出 （），当 时 是实数而不是纯虚数，所以 D 不成立。 【答案】A、C。 设 （，），则 。 A 正确：由 得 ，所以 ，即 为实数。 B 错误：，只得到 ，取 即满足该式而 ，故 B 不成立。 C 正确： 表示点 到点 的距离为 ，即 在以 为圆心、 为半径的圆上。 而 是 到原点的距离，圆心到原点的距离为 ，所以 的最大值为 。 D 错误：由 及三角不等式取等的条件知， 与 同向，即 且 。 当 时 是实数，不是纯虚数，故 D 不成立。 变式5　复数性质的多选判断：共轭与模的运算律 (多选)(2024·九省联考)已知复数 ， 均不为 ，则 A． B． C． D． ①先挑最容易否定的选项　判断一个选项错误只要一个反例，取 就能否定 A。 ②用 变形　把 的分子分母同乘 ，分母就是 。 ③共轭与模的运算律逐条核对　共轭对加减法可以逐项分配，模对乘除法可以逐项分配。 【答案】B、C、D。 A 错误：取 ，则 ，而 ，两者不相等。 B 正确：（因为 ）。 C 正确：，而 ，两者相等。 D 正确：由模的运算性质得 。 三、巩固练习 1．(2023·南京三模)已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 A． B． C． D． 【答案】C。 由 得 ，分子分母同乘 ： 。 所以 。 2．(2023·全国甲卷) A． B． C． D． 【答案】C。 因为 ，所以分子为 。 分母 。 所以原式 。 3．复数 的共轭复数是 A． B． C． D． 【答案】B。 ，而 。 所以 。 它的共轭复数是 ，即 。 4．(2023·新高考Ⅰ卷)已知 ，则 A． B． C． D． 【答案】A。 。 所以 ，。 5．已知 ，且 ，其中 ， 为实数，则 A． B． C． D． 【答案】C。 因为 ，所以 ， 。 由 得 解得 ，。 所以 。 学科网（北京）股份有限公司 $