专题02 复数训练-2027届高考数学一轮复习

专题02　复数 群哥高中数学辅导资料 专题02　复数 一、核心知识 知识点一　复数的概念 1. 虚数单位：引入新数 ，规定 ；实数可与 进行四则运算，原有的运算律仍然成立 2. 复数的定义：形如 （）的数叫做复数 （1）实部： 中的 叫做实部 （2）虚部： 中的 叫做虚部，虚部是一个实数，不带 ，如 的实部是 、虚部是 3. 复数集：全体复数组成的集合叫复数集，记作 4. 复数的分类： （1）实数：虚部为 ，即 （2）虚数：虚部不为 ，即 （3）纯虚数：实部为 且虚部不为 ，即 且 5. 复数相等： 且 （） 6. 大小比较：两个复数如果不全是实数，就不能比较大小，只能判断是否相等 7. 共轭复数：实部相等、虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数， 的共轭复数记作 8. 常用结论： （1） （2） 为纯虚数 且 9. 易错警示： （1）判定纯虚数必须同时满足实部为 与虚部不为 ，只列实部为 会多出一解 （2） 是实数，也是复数，但不是虚数，更不是纯虚数 知识点二　复数的四则运算 1. 加减法：，即实部与实部、虚部与虚部分别相加减 2. 乘法：，按多项式乘法展开后把 换成 3. 除法：（ 不同时为 ） （1）除法的通法：分子分母同乘分母的共轭复数，把分母化为实数后再整理成 的形式 4. 共轭与模的常用结论： （1），其结果是非负实数 （2），， （3），， 5. 的周期性：，，，（） （1）连续四个整数次幂之和为 ，即 6. 速算结论：，，， 7. 方法：求 的高次幂先把指数对 取余，再按周期性化简 8. 方法：分子分母都是一次式的除法，直接同乘分母的共轭复数，比代入公式更不容易出错 知识点三　复数的模 1. 定义：复数 的模（或绝对值）为 ，它是一个非负实数 2. 几何意义： 表示复平面内复数 对应的点 到原点的距离 3. 常用结论： （1），， （2）平行四边形恒等式： （3）三角不等式： 4. 轨迹结论： （1） 表示以 对应点为圆心、 为半径的圆； 表示该圆及其内部 （2） 表示线段 的垂直平分线；（大于 ）表示椭圆 5. 方法：已知 ，则 的最小值为 、最大值为 6. 方法：求 的最值，一律把复数设成 （），转化为关于 的条件最值 7. 易错：由不等式求得最值后要验证等号能否取到，即对应点是否真的落在轨迹上 知识点四　复数的几何意义 1. 复平面：用直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 轴叫实轴， 轴叫虚轴 2. 一一对应：复数 与复平面内的点 一一对应 3. 向量对应：复数 与以原点 为起点、 为终点的向量 一一对应 4. 加减法的几何意义：复数的加、减法依照向量的平行四边形法则（或三角形法则）进行 5. 常用结论： （1）若点 、 分别对应复数 、，则 表示两点 、 间的距离 （2） 乘以 相当于把对应向量绕原点逆时针旋转 ；乘以 相当于顺时针旋转 6. 象限判定：复数 对应的点在第几象限，由实部 与虚部 的符号共同决定 7. 方法： （1）求轨迹方程时先设 （），再把已知条件转化为 的方程 （2）涉及图形面积、线段长度的问题一律画出复平面，转化为平面几何问题处理 8. 易错警示： （1）实轴上的点对应实数；虚轴上的点（原点除外）对应纯虚数，原点对应复数 （2）复平面内两点间距离要用 计算，不能用 二、题型精练 题型一　复数的概念与分类 【方法与技巧】 判定复数的类型先写标准形式 （），再看实部、虚部的取值，跳步直接看有没有 最容易错。 纯虚数必须两个条件同时成立：实部等于 且虚部不等于 ，解出的参数值要逐一代回虚部检验，虚部为 的解必须舍去。 题中出现共轭复数时，优先用 、 把条件翻译成实部与虚部的方程，比设 更直接。 【例题精讲】 1．若复数 是纯虚数，则实数 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】纯虚数要求实部为 且虚部不为 。由 得 或 ；再由 得 ，故 。当 时 是实数，必须舍去。故选：A。 2．已知 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由复数相等得 且 ，解得 ，，故 。复数相等只能列出两个等式，实部对实部、虚部对虚部。故选：A。 3．设复数 满足 ，，且 的虚部大于 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 （），则 得 ； 得 ，又虚部 ，故 ，即 。故选：A。 【变式训练】 1．若复数 是实数，则实数 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】复数为实数只需虚部为 ： 得 ，此时实部 ， 仍是实数，故 。故选：A。 2．若复数 的实部比虚部小 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意 ，即 ，得 。检验：实部为 、虚部为 ， 成立。故选：B。 3．若复数 的共轭复数 ，则 在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】由 得 ，对应点为 ，横纵坐标均为正，位于第一象限。共轭只把虚部变号，实部不变。故选：A。 4．若复数 是纯虚数，则实数 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】实部 得 或 。当 时虚部 ， 不是纯虚数，舍去；故 ，此时虚部为 。故选：A。 5．已知 ，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】复数 的实部与虚部都为 ，故 、，得 、，所以 。故选：A。 6．已知 ，则 的虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，故 ，虚部为 。注意虚部不带 。故选：B。 【巩固练习】 1．若复数 在复平面内对应的点在实轴上，则 （　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【详解】点在实轴上即该复数为实数，只需虚部为 ：，解得 或 。实部取何值不影响结论， 也在实轴上。故选：A。 2．若复数 ，则 的虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故 ，虚部为 。模算出来是实数，它只充当实部，虚部仍是 。故选：C。 3．设 （），若 且 ，则 （　　） A． B． 或 C． D． 【答案】B 【详解】由 ，又 ，得 。联立 、 解得 ，故 或 。故选：B。 4．已知 ，（），若 是实数，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。它为实数则虚部 ，得 。故选：A。 5．若复数 满足 且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，由 得 ；又 ，得 ，故 。故选：A。 6．若复数 ，则 的虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 ，其虚部为 。先化简再取共轭，顺序不能颠倒。故选：A。 7．若复数 满足 ，则 的实部为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，实部为 。除以 时同乘它的共轭 。故选：A。 8．已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，故 。熟记 可省去展开。故选：D。 题型二　复数的四则运算与 的周期性 【方法与技巧】 除法一律分子分母同乘分母的共轭复数，分母化为 后自然成实数，别去背公式。 遇到 的高次幂先把指数对 取余：、、、，连续四项之和为 。 要的是模而不是复数本身时，用 、 直接算，不必先算出复数再取模。 【例题精讲】 1．（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故 。处理 的高次幂一律先把指数对 取余。故选：B。 2．化简 得（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故原式 。故选：A。 3．复数 的虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分子分母同乘 ：，故虚部为 。故选：A。 【变式训练】 1．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】共有 项，，前 项按每 项一组全为 ，余下 ，故和为 。故选：A。 2．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。先把底数平方降次最省事。故选：A。 3．复数 的实部为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分子分母同乘 ：，故实部为 。故选：A。 4．若复数 （）是纯虚数，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。它是纯虚数则实部 得 ，此时虚部 成立。故选：C。 5．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两边取模：，即 ，故 。只求模时不必先算出复数。故选：A。 6．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】共 项，，每连续 项 ，故总和为 。故选：A。 【巩固练习】 1．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故原式 。先化简底数是关键一步。故选：A。 2．若复数 满足 ，则 的虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故虚部为 。注意 别漏。故选：A。 3．计算 得（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分子 ；再除以 相当于乘 ：。故选：A。 4．已知 ，则 的实部为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故实部为 。故选：A。 5．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 6．若 是实数，则实数 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。它是实数则虚部 ，得 。故选：A。 7．（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】四项分别为 、、、，和为 。这正是连续四个整数次幂之和恒为 的结论。故选：D。 8．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。用模的性质一步到位，无需算出 。故选：A。 题型三　复数的模与模的最值 【方法与技巧】 看到 就画圆：圆心是 对应的点，半径是 ，模的最值变成圆心到原点距离加减半径。 已知 求 的范围，用三角不等式 ，再验证等号能否取到。 两个模的条件同时出现时，设 化为关于 的方程组或函数最值，别在复数式里硬凑。 【例题精讲】 1．若复数 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 表示单位圆， 是圆上点到点 的距离，该点到原点距离为 ，故最小值为 。故选：C。 2．若复数 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 表示圆 上的点到点 的距离，该点到原点距离为 ，故最小值为 。故选：A。 3．已知 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 ，得 ，故 。故选：A。 【变式训练】 1．若复数 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 是以点 为圆心、 为半径的圆，圆心到原点距离为 ，故 的最小值为 。故选：A。 2．若复数 满足 ，则 在复平面内对应点的轨迹是（　　） A．直线 B．圆 C．射线 D．线段 【答案】A 【详解】 表示点到 与 的距离相等，轨迹是这两点连线段的垂直平分线，即虚轴所在的直线 。故选：A。 3．若复数 满足 ，则 对应点的轨迹是（　　） A．直线 B．直线 C．圆 D．抛物线 【答案】A 【详解】设 ，则 ，整理得 ，即 ，轨迹是直线 。故选：A。 4．设 （）且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，故 ，又 ，当 时取最大值 。故选：A。 5．若复数 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 时 ，故 （ 为实部），，当 时取到最大值 。故选：B。 6．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 ，得 ，故 。故选：A。 【巩固练习】 1．若复数 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】轨迹是以 为圆心、 为半径的圆，圆心到原点距离为 ，故 的最小值为 。故选：D。 2．若复数 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，点 到原点距离为 ，单位圆上的点到它的最小距离为 。故选：A。 3．若复数 满足 且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 知 对应点在虚轴上，即实部为 ；又 ，故 。两个条件分别定轨迹与范围。故选：A。 4．若复数 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，则 、，两式之和在 时取最小值 ，即 时成立。故选：A。 5．若复数 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由平行四边形恒等式 。注意 对应的复数模为 。故选：D。 6．若复数 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，当 即 时取等号，故最大值为 。故选：A。 7．若复数 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 是以 为圆心、 为半径的圆及其内部，点 到圆心距离为 ，故最大距离为 。故选：A。 8．若复数 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点 到原点距离为 ，半径为 的圆上的点到它的最大距离为 ，此时三点共线且圆心在中间。故选：A。 题型四　复数的几何意义 【方法与技巧】 几何意义题第一步就把复数写成对应的点或向量： 对应点 、向量 ，后面全是平面几何。 求轨迹先设 （），把模的条件平方后整理成 的方程，再判断曲线类型。 两点间距离用 ，中点对应复数用 ，这两个结论几乎每年都考，直接记牢。 【例题精讲】 1．复数 在复平面内对应的点位于（　　） A．第二象限 B．第一象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】 对应点为 ，横坐标为负、纵坐标为正，位于第二象限。判象限只看实部与虚部的符号。故选：A。 2．若复数 在复平面内对应的点为 ，则 对应的点为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点为 知 ，故 ，对应点为 。取共轭相当于关于实轴作对称。故选：A。 3．在复平面内，向量 对应复数 ， 对应复数 ，则 对应的复数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 对应复数等于终点对应复数减起点对应复数：。向量减法与复数减法一致。故选：A。 【变式训练】 1．若复数 对应的点在第二象限，则 对应的点在（　　） A．第三象限 B．第一象限 C．第二象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】设 ，第二象限中 、； 对应点 ，横坐标负、纵坐标负，位于第三象限。故选：A。 2．若复数 满足 ，则 对应点的轨迹是（　　） A．以 为圆心、 为半径的圆 B．一条直线 C．一条射线 D．一条线段 【答案】A 【详解】 表示到点 的距离恒为 ，轨迹是以 为圆心、 为半径的圆。故选：A。 3．若复数 对应的点在直线 上，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 或 【答案】D 【详解】设 ，则 ，得 ，故 或 。注意两个解别漏。故选：D。 4．在复平面内， 对应复数 ， 对应复数 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 对应 ，故 。故选：A。 5．若复数 满足 ，则 对应点构成的图形面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】图形是半径 与半径 的两个同心圆之间的圆环，面积为 。故选：A。 6．若复数 对应点为 ，则 对应的点为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，对应点为 。乘 即把向量逆时针旋转 。故选：A。 【巩固练习】 1．在复平面内，复数 与 对应的点分别为 、， 为原点，则 是（　　） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【详解】，，故 ；又乘 相当于旋转 ，即 ，所以 是等腰直角三角形。故选：A。 2．若复数 满足 且 ，则 （　　） A． 或 B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 对应点在直线 （虚轴）上；又到点 的距离为 ，故对应点为 或 ，即 或 。故选：A。 3．若复数 对应的点在第三象限，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】第三象限要求实部与虚部都小于 ： 得 ， 得 ，两者取交集得 。故选：A。 4．设 （）且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 是直线 上的点到原点的距离，最小值为原点到该直线的距离 。故选：B。 5．若复数 满足 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点 到原点距离为 ，单位圆上的点到它的距离最小为 、最大为 ，故范围为 。故选：A。 6．在复平面内，复数 、 对应的点分别为 、，则线段 的中点对应的复数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】中点对应复数为 。中点公式与平面直角坐标系中的形式一致。故选：A。 7．若复数 满足 ，则 对应点的轨迹方程为（　　） A．直线 B．圆 C．直线 D．直线 【答案】D 【详解】设 ，由 整理得 ，即 ，轨迹是直线 。故选：D。 8．若复数 满足 ，则 对应的点的轨迹是（　　） A．单位圆 B．半径为 的圆 C．一条直线 D．两个点 【答案】A 【详解】，且 跑遍单位圆时 也跑遍单位圆，故轨迹仍是单位圆。模的乘方性质直接给出结论。故选：A。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．若复数 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由模的性质 ，不必先把复数算出来再取模。故选：A。 2．（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。指数对 取余是处理高次幂的通法。故选：A。 3．若复数 是纯虚数，则实数 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】纯虚数要求实部为 且虚部不为 ： 得 ，此时虚部 成立，故 。故选：D。 4．已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 表示单位圆上的点， 是该点到点 的距离，最小值为 （在 时取到）。故选：B。 5．复数 的共轭复数的虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，其虚部为 。注意虚部是实数，不带 ；共轭只改变虚部的符号，实部不变。故选：A。 6．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。分母的共轭是 。故选：C。 7．复数 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 是以点 为圆心、 为半径的圆，圆心到原点距离为 ，故 的最大值为 。故选：A。 8．若 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。也可直接用结论 。故选：A。 【多项选择题】 9．（多选）已知复数 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 的虚部为 【答案】ABC 【详解】，A 对；，B 对；，C 对； 的虚部为 ，D 错。故选 ABC。故选：ABC。 10．（多选）已知复数 满足 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． 的最小值为 D． 【答案】ABD 【详解】，A 对；由三角不等式 ，B 对；当 时 ，故最小值是 不是 ，C 错；，D 对。故选 ABD。故选：ABD。 11．（多选）设 （），则下列命题正确的是（　　） A．若 为实数，则 B．若 为纯虚数，则 且 C． 当且仅当 为实数 D．若 为实数，则 为实数 【答案】ABC 【详解】实数的虚部为 ，A 对；纯虚数要求实部为 且虚部不为 ，B 对； 即 得 ，C 对；取 则 为实数但 不是实数，D 错。故选 ABC。故选：ABC。 【填空题】 12．若复数 ，则 ______． 【答案】 【详解】。分子分母的模相等，可直接约去。故答案为：。 13．若复数 满足 ，则 的取值范围为______． 【答案】 【详解】 表示以 为圆心、 为半径的圆，圆心到原点距离为 ，故 的最小值为 、最大值为 ，即 。故答案为：。 14．计算 ______． 【答案】 【详解】共 项，每连续 项之和为 ，，故总和为 。故答案为：。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题02复数 群哥高中数学辅导资料 专题02复数 一、核心知识 知识点一复数的概念 1.虚数单位：引入新数i,规定=-1；实数可与i进行四则运算，原有的运算律仍然成立 2.复数的定义：形如z=a+bi(a,b∈R)的数叫做复数 (1)实部：z=a+bi中的a叫做实部 (2)虚部：z=a+bi中的b叫做虚部，虚部是一个实数，不带i,如z=3-4i的实部是3、虚 部是-4 3.复数集：全体复数组成的集合叫复数集，记作C 4.复数的分类： (1)实数：虚部为0，即b=0 (2)虚数：虚部不为0，即b≠0 (3)纯虚数：实部为0且虚部不为0，即Q=0且b≠0 5.复数相等：a+bi=c+dia=c且b=d(a,b,c,d∈R) 6.大小比较：两个复数如果不全是实数，就不能比较大小，只能判断是否相等 7.共轭复数：实部相等、虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数，Z=a+bi的共轭复数记作 i=a-bi 8.常用结论： (1)Z∈RZ=2 (2)Z为纯虚数只z+2=0且z≠0 9.易错警示： (1)判定纯虚数必须同时满足实部为0与虚部不为0，只列实部为0会多出一解 (2)0是实数，也是复数，但不是虚数，更不是纯虚数 知识点二复数的四则运算 1.加减法：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i,即实部与实部、虚部与虚部分别相加减 2.乘法：（a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,按多项式乘法展开后把换成-1 1/12 专题02复数 群哥高中数学辅导资料 a+bi (a+bi)(c-di)ac+bd bc-ad 3.除法： c+di c2+d2 c2+d2 c2+d2 i(c,d不同时为0) (1)除法的通法：分子分母同乘分母的共轭复数，把分母化为实数后再整理成Q+bi的形式 4.共轭与模的常用结论： (1)z·2=z2=a2+b2,其结果是非负实数 (2)Z1±Z2=21±22，z122=2122, (3)Z1z21=|z1|z2, 2312g121=1z 5.i的周期性：4n=1,n+1=i,n*2=-1,n+3=-i(neZ) (1)连续四个整数次幂之和为0，即+i+1++2+”+3=0 6速筑结论：1+=211-P-2,=i+-1 7.方法：求i的高次幂先把指数对4取余，再按周期性化简 8.方法：分子分母都是一次式的除法，直接同乘分母的共轭复数，比代入公式更不容易出错 知识点三复数的模 1.定义：复数z=a+bi的模（或绝对值）为1z=√a+b2,它是一个非负实数 2.几何意义：|z表示复平面内复数z对应的点Z(a,b)到原点的距离 3.常用结论： (1)|z=|2,z2=|z2,|z=z·2 (2)平行四边形恒等式：1z1+z2+|z1-z2=2(1z1P+|z2) (3)三角不等式：1z1-|z2≤|z1±z2≤|z1+z2 4.轨迹结论： (1)z-Zo=r表示以Z0对应点为圆心、r为半径的圆；z-Z≤”表示该圆及其内部 (2)|z-z1=z-z表示线段Z1乙2的垂直平分线：z-z+|z-z2=2a(大于1z1-22)表 示椭圆 5.方法：已知|z=r,则|z-zo的最小值为1zo-r、最大值为|zo+r 6.方法：求z的最值，一律把复数设成Z=x+yi(x,y∈R),转化为关于x,y的条件最值 2/12 专题02复数 群哥高中数学辅导资料 7.易错：由不等式求得最值后要验证等号能否取到，即对应点是否真的落在轨迹上 知识点四复数的几何意义 1.复平面：用直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，X轴叫实轴，y轴叫虚轴 2.一一对应：复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)一一对应 3.向量对应：复数z=a+bi与以原点O为起点、Z(a,b)为终点的向量OZ一一对应 4.加减法的几何意义：复数的加、减法依照向量的平行四边形法则（或三角形法则）进行 5.常用结论： (1)若点Z1、Z2分别对应复数Z1、z2,则z1-z2表示两点Z1、Z2间的距离 (2)Z乘以i相当于把对应向量绕原点逆时针旋转90°；乘以-i相当于顺时针旋转90° 6.象限判定：复数z=a+bi对应的点在第几象限，由实部a与虚部b的符号共同决定 7.方法： (1)求轨迹方程时先设Z=x+yi(X,y∈R),再把已知条件转化为x,y的方程 (2)涉及图形面积、线段长度的问题一律画出复平面，转化为平面几何问题处理 8.易错警示： (1)实轴上的点对应实数：虚轴上的点（原点除外）对应纯虚数，原点对应复数0 (2)复平面内两点间距离要用z1-Z2计算，不能用z1-22 二、题型精练 题型一复数的概念与分类 【方法与技巧】 判定复数的类型先写标准形式z=a+bi(a,b∈R),再看实部、虚部的取值，跳步直接看有没有1 最容易错。 纯虚数必须两个条件同时成立：实部等于0且虚部不等于0，解出的参数值要逐一代回虚部检验，虚部 为0的解必须舍去。 题中出现共轭复数时，优先用z+2=2a、z-2=2bi把条件翻译成实部与虚部的方程，比设Q,b更直 接。 3/12 专题02复数 群哥高中数学辅导资料 【例题精讲】 1.若复数z=(m2-4)+(m-2)i是纯虚数，则实数m=() A.-2B.2C.±2D.0 2.已知x,y∈R,且(x+2y+(2x-y)i=7+4i,则x-y=() A.1B.5C.3D.7 3.设复数2满足z+2=4,z·2=13,且z的虚部大于0，则z=() A.2+3iB.2-3iC.-2+3iD.3+2i 【变式训练】 1.若复数z=(a-1)+(a+1)i是实数，则实数a=() A.-1B.1C.±1D.0 2.若复数z=(2m-1)+(m+3)i的实部比虚部小5，则m=() A.1B.-1C.-2D.2 3.若复数2的共轭复数立=1-2i,则z在复平面内对应的点位于() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 4.若复数z=(m2-2m-3)+(m-1)i是纯虚数，则实数m=() A.3B.-1C.±1D.-3 5.已知a,b∈R,若(a+1)+b-2)i=0,则a+b=() A.1B.-1C.3D.-3 6.已知2=2+i,则z·2-z2的虚部为() A.4B.-4C.-2D.2 【巩固练习】 1.若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i在复平面内对应的点在实轴上，则m=() A.1或2B.1C.2D.-1或2 2.若复数z=|3-4i训-2i,则z的虚部为() A.2B.5C.-2D.-5 4/12 专题02复数 群哥高中数学辅导资料 3.设z=a+bi(a,b∈R),若a+b=3且|z=V5,则z=() A.1+2iB.1+2i或2+i c.2+i D.1-2i 4.已知z1=3+4i,z2=t-2i(t∈R),若Z122是实数，则t=() A多B.-子c子D号 5.若复数z满足z+2=0且|z=2,则z=() A.±2iB.2iC.-2iD.2 2 6.若复数z1白则立的虚部为(） A.-1B.1C.-2D.2 7.若复数2满足z(1+i)=2,则z的实部为() A.1B.-1C.2D.-2 8.已知z=1+i,则z2-2z=() A.2B.-2iC.2iD.-2 题型二复数的四则运算与i的周期性 【方法与技巧】 除法一律分子分母同乘分母的共轭复数，分母化为c2+d后自然成实数，别去背公式。 遇到i的高次幂先把指数对4取余：4n=1、4n+1=i、4n+2=-1、n+3=-i,连续四项之和为0。 要的是模而不是复数本身时，用|z1z2=z1lz2小 a-lal 2|z2 直接算，不必先算出复数再取模。 【例题精讲】 1.72026=() A.1 B.-1 C.i D.-i 2化简1+ 1-得() A.-1+iB.1+iC.1-iD.-1-i 5/12 专题02复数 群哥高中数学辅导资料 1+2i 3.复数 3-4i 的虚部为() 1 【变式训练】 1.1+i+2+i+..+2025=(） A.1+iB.1-iC.0D.-1+i 2.(1-i)°=() A.-32iB.32iC.-32D.32 3复数 的实部为() AB.-多 c.1D号 4若复数0，十(aER)是纯虚数，则a=() A.2B.-1C.-2D.1 5.若(1+2)z=3+4i,则|z=() k585心誓u月 6.i+2+i+.+i00=（) A.0B.1C.iD.-1 【巩固练习】 1+i2024 .1-i =() A.1 B.-1 C.i D.-i 2.若复数z满足子，1+21，则z的定部为《) A.1B.3C.-1D.2 3.计算2+i1-21得（) A.-3-4iB.3+4iC.-3+4iD.4+3i 6/12 专题02复数 群哥高中数学辅导资料 已知Z=1+2i,则 的实部为() 3 A.-5 3 4 B.5 c.D.-5 5.已知z1=1+i,z2=2-i,则 A.V5B.V2C.5D.10 6.若（a+i)(2-i)是实数，则实数a=() A2B-2c克n.-月 7.i2025+2026+i2027+72028=（) A.1 B.i C.-i D.0 8.若z=3+4i 1-2i则22=(） A.5 B.25C.5D.1 题型三复数的模与模的最值 【方法与技巧】 看到2-Zo=r就画圆：圆心是Z0对应的点，半径是r,模的最值变成圆心到原点距离加减半径。 已知|z=r求|z-zo的范围，用三角不等式‖zo-r≤z-z≤z+r,再验证等号能否取到。 两个模的条件同时出现时，设Z=x+yⅵ化为关于X,y的方程组或函数最值，别在复数式里硬凑。 【例题精讲】 1.若复数z满足z=1,则|z-2-训的最小值为() A.5+1B.5C.V5-1D.1 2.若复数z满足|z=2,则|z-3+4的最小值为() A.3B.7C.5D.1 3.已知1z1=3,|z2=4,|z1+z2=5,则|z1-z2=() A.5 B.1 C.7 D.7 7/12 专题02复数 群哥高中数学辅导资料 【变式训练】 1.若复数z满足z-2=1,则|z引的最小值为() A.1B.3C.2D.0 2.若复数z满足|z-1=|z+1,则z在复平面内对应点的轨迹是() A.直线X=0B.圆C.射线D.线段 3.若复数z满足z-1=|z-,则z对应点的轨迹是() A.直线y=XB.直线y=-XC.圆D.抛物线 4.设z=x+yi(x,y∈R)且|z=1,则x2+2y的最大值为() A.2B.1C.3D.0 5若复数2满起-山测+的 的最大值为() A.1B.2C.2D.4 6.己知Iz1=z2=1,1z1+z2=V2,则|z1-z2=() A.2B.2C.1D.3 【巩固练习】 1.若复数z满足z-3-4=1,则1z的最小值为() A.6B.5C.3D.4 2.若复数z满足z=1,则|z-3+4的最小值为() A.4B.6C.5D.3 3.若复数z满足|z-1=|z+1|且|z=1,则z=() A.±iB.iC.-iD.1 4.若复数z满足z=2,则z-1+|z+1的最小值为() A.4B.25C.2D.3 5.若复数z满足z=1,则|z-22+z+22=() A.8B.5C.4D.10 6.若复数z满足|z=1,则z+1的最大值为() A.2B.1C.V2D.0 8/12 专题02复数 群哥高中数学辅导资料 7.若复数z满足z-1≤1，则z-i的最大值为() A.2+1B.V2C.V2-1D.2 8.若复数z满足z=2,则1z-(1+川的最大值为() A.2+2B.2-2C.V2D.3 题型四复数的几何意义 【方法与技巧】 几何意义题第一步就把复数写成对应的点或向量：Z=X+yi对应点(X,y、向量(x,y),后面全是平 面几何。 求轨迹先设Z=x+yi(X,y∈R),把模的条件平方后整理成X,y的方程，再判断曲线类型。 两点间距离用Z1-Z2,中点对应复数用 Z1+Z2 这两个结论几乎每年都考，直接记牢。 【例题精讲】 1.复数z=-2+3i在复平面内对应的点位于() A.第二象限B.第一象限C.第三象限D.第四象限 2.若复数2在复平面内对应的点为(1，-2)，则立对应的点为() A.（1,2)B.（-1,2)C.（1,-2)D.（-1,-2) 3.在复平面内，向量OA对应复数1+2i,OB对应复数3-i,则AB对应的复数为() A.2-3iB.2+3iC.4+iD.-2+3i 【变式训练】 1.若复数2对应的点在第二象限，则立对应的点在() A.第三象限B.第一象限C.第二象限D.第四象限 2.若复数z满足z-1-=1,则z对应点的轨迹是() A.以(1,1)为圆心、1为半径的圆B.一条直线C.一条射线D.一条线段 3.若复数z对应的点在直线y=x上，且|z=2,则z=() A.1+iB.-1-iC.1-iD.1+i或-1-i 4.在复平面内，OA对应复数2+i,OB对应复数-1+3i,则AB=() A.13B.V5c.5D.V10 9/12 专题02复数 群哥高中数学辅导资料 5.若复数2满足1≤z≤2，则z对应点构成的图形面积为() A.3πB.7πC.4πD.2π 6.若复数z对应点为(a,b),则z·i对应的点为() A.（-b,a)B.(b,-a)C.(a,-b)D.(b,a) 【巩固练习】 1.在复平面内，复数Z与z·i对应的点分别为A、B,O为原点，则△OAB是() A.等腰直角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形 2.若复数z满足|z-1=|z+1川且|z-=1,则z=() A.0或2iB.0C.2iD.i 3.若复数z=(m2-2m)+(m-1)i对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是() A.0<m<1B.m<1C.0<m<2D.m>2 4.设z=x+yi(x,y∈R)且x+y=2,则|z的最小值为() A.2B.2C.1D.2 5.若复数z满足|z=1,则z-1-的取值范围是() A.[R2-1,9V2+1] B.[0,2]c.[1,3]D.[2,2+1] 6.在复平面内，复数Z1=1+2i、z2=3+4i对应的点分别为A、B,则线段AB的中点对应的复 数为() A.2+3iB.2+2iC.4+6iD.1+i 7.若复数z满足z-2=z-2,则z对应点的轨迹方程为() A.直线y=-xB.圆x+y2=4C.直线x+y=2D.直线y=x 8.若复数z满足z=1,则z对应的点的轨迹是() A.单位圆B.半径为2的圆C.一条直线D.两个点 10/12 专题02复数 群哥高中数学辅导资料 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1.若复数2=2+i 1-i, 则z=() 910 A. 2 c.10D.2 2.2027=() A.-i B.i C.-1 D.1 3.若复数z=(a-1)+(a+2)i是纯虚数，则实数a=() A.-2B.2C.-1D.1 4.己知|z=1,则|z-2|的最小值为() A.0B.1C.2D.3 5.复数z=3-4i的共轭复数的虚部为() A.4B.-4C.3D.-3 6.若(1-i)z=2+2i,则z=() A.-2iB.2C.2iD.2+2i 7.复数z满足z-1=2,则|z的最大值为() A.3B.1C.2D.V5 8.若z1=1+i,z2=1-i,则 1=() Z A.i B.-i C.1 D.-1 【多项选择题】 9.(多选)已知复数z=1+i,则下列结论正确的是() A.|z=2B.2=1-iC.z2=2iD.z2的虚部为1 10.(多选)已知复数z满足|z=1,则下列结论正确的是() A.z2=1B.|z+1≤2C.|z-1|的最小值为1D.z·2=1 11/12 专题02复数 群哥高中数学辅导资料 11.(多选)设z=a+bi(a,b∈R),则下列命题正确的是() A.若z为实数，则b=0B.若z为纯虚数，则a=0且b≠0 C.2=之当且仅当z为实数D.若z2为实数，则z为实数 【填空题】 12.若复数2=1+21 2-,则1z= 13.若复数z满足|z-1=1,则1z的取值范围为 14.计算i+2+i+..+0= 12/12