平面向量的概念与线性运算专项训练-2027届高三数学一轮复习

平面向量的概念与线性运算 一、知识点梳理 （一）向量的基本概念 向量是既有大小又有方向的量，向量的大小叫做向量的模，记作 。任意两个向量都不能比较大小，向量之间只有相等与不相等。本讲用到的全部工具，都出自教材「平面向量的概念及线性运算」一节。 模为 的向量叫做零向量，记作 ，它的方向是任意的，并且规定零向量与任意向量平行；模为 个单位的向量叫做单位向量，与非零向量 同向的单位向量是 。 方向相同或相反的非零向量叫做共线向量（也叫做平行向量），记作 ；长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；长度相等且方向相反的向量叫做相反向量， 的相反向量记作 。平面向量是自由向量：起点不同但方向相同、模相等的两个向量是相等向量。 （二）向量的加减法 三角形法则：把 平移到与 首尾相接，则从 的起点指向 的终点的向量就是 ，即 。平行四边形法则：以同起点的 、 为邻边作平行四边形，则以这个公共起点为起点的对角线表示 。 减法：。把两个向量的起点放在一起，从减向量的终点指向被减向量的终点，即 ；这样「终点减起点」的写法是把向量用坐标或基底表示的通法。 运算律：，。多个向量相加可用多边形法则，首尾顺次相接，从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。当同一个向量在两组不共线的基底 、 下写成 时，两组表示的对应系数必须分别相等。 （三）数乘与共线向量定理 数乘：；当 时 与 同向，当 时反向，当 时 。运算律：，，。 共线向量定理：设 ，则 的充要条件是存在唯一一个实数 ，使 。用这一定理可以把「两向量共线」翻译成「系数成比例」，从而列方程求参数。 证明三点共线的标准两步：先由图形把 与 都用同一组基底表示，得出 ，说明两个向量共线；再指出它们有公共点 ，才能得出 、、 三点共线。少了「有公共点」这一步只是两向量共线，还不是三点共线。 （四）三个常用结论 中点：若 为线段 的中点， 为平面内任一点，则 。重心：若 为 的重心，则 ，。 共线判定：若 （、 不共线）且点 、、 三点共线，则 ；反过来，若 ，则 、、 三点共线。若 在线段 上，则 、 都是正数，、 的大小与 到两端点的距离成反比。 三角不等式：对任意向量 、 都有 。、 同向时右边取等号，反向时左边取等号；因此 当且仅当 、 反向且 。 做本讲题目先问三个问题：① 题目里的向量能不能都换到同一组基底上？② 出现「三点共线」时，我有没有写出系数和为 （或写出 ）？③ 概念判断题里，我核对了「方向」和「长度」两个要素吗？ 二、典型例题 例1　概念辨析：抓住方向与长度两个要素 (多选)下列说法错误的是 A．单位向量都相等 B．零向量与任意非零向量平行 C．长度相等、方向相反的向量共线 D．相反方向的非零向量可能相等 ①逐条回到定义　概念题不能凭印象，把每条选项对着「方向」「长度」两个要素逐字核对。 ②错误的选项举反例　否定一个命题只需一个反例：模为 的向量有无数个，它们的方向可以各不相同。 ③肯定相等要看两个条件　两个向量相等必须「方向相同」且「模相等」，缺一不可。 注：零向量是唯一方向任意的向量，规定它与任意向量平行；单位向量有无数个，模都等于 但方向不一定相同，所以不一定相等。共线（平行）向量只要求方向相同或相反，与长度无关。 【答案】A、D。 A 错误：单位向量是模为 的向量，方向可以不同，例如 与 都是单位向量却不相等。 B 正确：这是零向量的规定，零向量与任意非零向量平行。 C 正确：共线向量只要求方向相同或相反，长度可以任意，所以长度相等且方向相反的两个向量一定是共线向量。 D 错误：相等向量要求方向相同，方向相反的两个非零向量不可能相等。 所以错误的是 A、D。 变式1　概念辨析：用「方向 + 模」筛选项 下列说法正确的是 A．若 ，则 或 B．若 ，，则 C．若 为单位向量， 且 ，则 D．若 ，，则 或 ①模相等不等于方向相同　只看 只能说明长度一样，方向仍可任意。 ②数乘为零要分两种情况　 中， 与 有一个成立即可。 ③同向才相等　 含同向与反向两种情形，只有同向时两个单位向量才相等。 【答案】D。 A 错误：取 ，，此时 ，但 。 B 错误：取 ，则 对任意 、 都成立。 C 错误： 时 与 可能反向，此时 。 D 正确：由 得 或 。 例2　线性运算：把一个向量用已知向量表示 在 中，点 在边 上，。记 ，，则 A． B． C． D． ①把目标向量接到已知向量上　写成 ，这样目标中就出现了已知的 。 ②用比例把 换成 　 说明 在 上且 ，所以 。 ③再把 换成 　，代回合并同类项即可读出系数。 注：题面给的是「」，不是「」，画图确认 靠近 得出 再代数，可以避免比例写反。 【答案】B。 因为 ，且 在边 上，所以 ，即 。 于是 。 又 ，，所以 。 变式2　线性运算：中点条件下的向量表示 在 中， 是 边上的中点，则 A． B． C． D． ①中点给出两倍关系　 为 中点，所以 。 ②把 拆成两段　，再把 换成 。 ③换到底　，代入即可。 【答案】C。 。 例3　三点共线：把两个向量化到同一组基底 已知 、 是不共线的向量，且 ，，，则 A．，， 三点共线 B．，， 三点共线 C．，， 三点共线 D．，， 三点共线 ①先补出要比较的那条向量　四个选项都在问三点共线，先把 算出来，问题就变成为判断共线。 ②对比是否成比例　把 化成 、 的组合，看它是不是 的倍数。 ③补上公共点　两个向量共线还只是平行，要指出它们有公共点，才能说明三点共线。 注：判断三点共线时，先选定一组不共线的基底（本题是 、），把所有相关向量都写在这组基底下，再看系数是否成比例；不成比例的一定不共线，成比例的还要补一句「有公共点」。 【答案】A。 由 ， 得 。 所以 ，即 与 共线。 又 与 有公共点 ，所以 、、 三点共线。 变式3　三点共线：由共线反求参数 已知 与 不共线，，，，若 ，， 三点共线，则 的值是 A． B． C． D． ①算出 　，把两条已知向量相减得到 、 的组合。 ②写出共线式　由三点共线得 ，得到一个含 与 的向量等式。 ③比较系数　、 不共线，两个等式两边对应系数相等，解出 。 【答案】B。 由 ， 得 。 因为 、、 三点共线，所以 ，设 （），即 。 因为 与 不共线，所以 解得 。 例4　共线结论的应用：求系数和的最小值 在平行四边形 中， 为 的中点，， 与 交于点 ，过点 的直线分别与射线 ， 交于点 ，，且 ，，则 的最小值为 A． B． C． D． ①先把 用 、 表示　、、 共线与 、、 共线各给出一种表示，两种表示比较系数即可解出 。 ②再用 、、 共线搭桥　设 ，与第①步的结果比较系数，得到只含 、 的关系式。 ③凑出能取等的形式　把关系式写成 ，所求式乘上它再除以 ，凑成「常数 + 正项之和」后用基本不等式。 注：两次「同一向量在两套表示下的系数分别相等」，是处理图形中共线交点的固定手法；最后一步用基本不等式，取等条件要验证 、 确实为正数。 【答案】C。 由 、、 三点共线，可设 。 由 、、 三点共线，可设 。 比较系数得 ，，解得 ，，所以 。 因为 、、 三点共线，可设 。 比较系数得 ，，消去 得 。 于是 ， 当且仅当 ，即 时取等号。 所以 的最小值为 。 变式4　共线结论的应用：求系数和的最大值 给定两个长度为 的平面向量 和 ，它们的夹角为 。点 在以 为圆心的弧 上运动，若 （，），则 的最大值是 ①建系把向量变成坐标　以 为原点、 所在直线为 轴建系，把 、、 都写成坐标。 ②用系数解出 、　把 写成两个坐标等式，解出 ，。 ③化成一个三角函数　，再按 的范围取最大值。 【答案】。 以 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，则 ，。 设 ，则 ，。 由 得 所以 ，， 于是 。 因为 ，所以 ，当 ，即 时 取得最大值 。 例5　三个常用结论：中点式与重心式 设点 是 所在平面内一点，则下列说法正确的是 A．若 ，则点 是边 的中点 B．若 ，则点 在边 的延长线上 C．若 ，则点 是 的重心 D．若 ，且 ，则 的面积是 面积的 ①系数和先定性　 用 、 表示时，若系数和为 ，则 在直线 上；系数和不为 时再乘倍数调整。 ②中点式对号入座　 正好是「两邻边取平均」，正是 的中点。 ③重心式化成对称形式　把 移项成 ，这正是重心的特征式。 注：判断 的位置有两个抓手：一是系数和（和等于 说明 在 所在直线上，和小于 说明 在这条直线与 之间）；二是把关系式整理成只含 、、 的对称式。 【答案】A、C、D。 A 正确：，而 是从 出发到 中点的向量，故 是 的中点。 B 错误：由 得 ，即 ，所以 在边 的延长线上，而不是 的延长线上。 C 正确：由 得 ，即 ，故 是 的重心。 D 正确：由 且 得 ，且 。 设 ，则 在直线 上，且 是 的中点，所以 的底边 上的高是 的高的一半，从而 的面积是 面积的 。 变式5　三个常用结论：重心与中线 已知 为 的重心， 为 的中点，则 A． B． C． D． ①重心把中线分成 　 在中线 上，且 ，所以 。 ②把 拆开　，，（ 为 中点）。 ③合并同类项　把 、 的系数分别加起来即可。 【答案】B。 因为 为 的重心， 为中线，所以 ，即 。 又 为 的中点，所以 ， 所以 。 三、巩固练习 1．设 ， 是两个非零向量，且 ，则下列结论正确的是 A． B． C．， 的夹角为钝角 D．若存在实数 使得 成立，则 为负数 【答案】A、D。 由 知 、 不共线或反向。 A 正确：由三角不等式 恒成立；当 、 反向共线时取等号。 B 错误：若 ，则以 、 为邻边的平行四边形是矩形， 与 是它的两条对角线，此时 。 C 错误：当 、 的夹角为钝角时确实有 ，但夹角小于 时该式也成立，例如夹角为 时。 D 正确：若 ，则 、 共线；再由 知它们不能同向，故反向共线，。 2．已知向量 与 不共线，，（，），则 与 共线的条件是 A． B． C． D． 【答案】D。 由 与 共线，存在实数 使 ，即 。 因为 与 不共线，所以 两式相乘得 ，即 。 3．已知 为 的重心， 为 的中点，则 A． B． C． D． 【答案】B。 连接 ，则 是 边上的中线，重心 在 上且 ，所以 。 因为 为 的中点，所以 。 于是 。 4．在 中， 为 的中点，若 （，），则下列结论正确的是 A． B． C． D． 【答案】C。 因为 为 的中点，所以 。 于是 。 与 比较，得 ，，所以 。 5．已知点 为 外接圆的圆心，且 ，则 的内角 A． B． C． D． 【答案】A。 由 得 。 又 为 外接圆的圆心，所以 。 把 两边平方，。 设外接圆半径为 ，则 ，所以 ，。 由同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，且 与 所对的弧相同，取优弧上的点知 的补角的一半，即 。 于是 与 都是正三角形，。 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量的概念与线性运算 一、知识点梳理 （一）向量的基本概念 向量是既有大小又有方向的量，向量的大小叫做向量的模，记作 。任意两个向量都不能比较大小，向量之间只有相等与不相等。本讲用到的全部工具，都出自教材「平面向量的概念及线性运算」一节。 模为 的向量叫做零向量，记作 ，它的方向是任意的，并且规定零向量与任意向量平行；模为 个单位的向量叫做单位向量，与非零向量 同向的单位向量是 。 方向相同或相反的非零向量叫做共线向量（也叫做平行向量），记作 ；长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；长度相等且方向相反的向量叫做相反向量， 的相反向量记作 。平面向量是自由向量：起点不同但方向相同、模相等的两个向量是相等向量。 （二）向量的加减法 三角形法则：把 平移到与 首尾相接，则从 的起点指向 的终点的向量就是 ，即 。平行四边形法则：以同起点的 、 为邻边作平行四边形，则以这个公共起点为起点的对角线表示 。 减法：。把两个向量的起点放在一起，从减向量的终点指向被减向量的终点，即 ；这样「终点减起点」的写法是把向量用坐标或基底表示的通法。 运算律：，。多个向量相加可用多边形法则，首尾顺次相接，从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。当同一个向量在两组不共线的基底 、 下写成 时，两组表示的对应系数必须分别相等。 （三）数乘与共线向量定理 数乘：；当 时 与 同向，当 时反向，当 时 。运算律：，，。 共线向量定理：设 ，则 的充要条件是存在唯一一个实数 ，使 。用这一定理可以把「两向量共线」翻译成「系数成比例」，从而列方程求参数。 证明三点共线的标准两步：先由图形把 与 都用同一组基底表示，得出 ，说明两个向量共线；再指出它们有公共点 ，才能得出 、、 三点共线。少了「有公共点」这一步只是两向量共线，还不是三点共线。 （四）三个常用结论 中点：若 为线段 的中点， 为平面内任一点，则 。重心：若 为 的重心，则 ，。 共线判定：若 （、 不共线）且点 、、 三点共线，则 ；反过来，若 ，则 、、 三点共线。若 在线段 上，则 、 都是正数，、 的大小与 到两端点的距离成反比。 三角不等式：对任意向量 、 都有 。、 同向时右边取等号，反向时左边取等号；因此 当且仅当 、 反向且 。 做本讲题目先问三个问题：① 题目里的向量能不能都换到同一组基底上？② 出现「三点共线」时，我有没有写出系数和为 （或写出 ）？③ 概念判断题里，我核对了「方向」和「长度」两个要素吗？ 二、典型例题 例1　概念辨析：抓住方向与长度两个要素 (多选)下列说法错误的是（　　） A．单位向量都相等 B．零向量与任意非零向量平行 C．长度相等、方向相反的向量共线 D．相反方向的非零向量可能相等 变式1　概念辨析：用「方向 + 模」筛选项 下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 或 B．若 ，，则 C．若 为单位向量， 且 ，则 D．若 ，，则 或 例2　线性运算：把一个向量用已知向量表示 在 中，点 在边 上，。记 ，，则 （　　） A． B． C． D． 变式2　线性运算：中点条件下的向量表示 在 中， 是 边上的中点，则 （　　） A． B． C． D． 例3　三点共线：把两个向量化到同一组基底 已知 、 是不共线的向量，且 ，，，则（　　） A．，， 三点共线 B．，， 三点共线 C．，， 三点共线 D．，， 三点共线 变式3　三点共线：由共线反求参数 已知 与 不共线，，，，若 ，， 三点共线，则 的值是（　　） A． B． C． D． 例4　共线结论的应用：求系数和的最小值 在平行四边形 中， 为 的中点，， 与 交于点 ，过点 的直线分别与射线 ， 交于点 ，，且 ，，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 变式4　共线结论的应用：求系数和的最大值 给定两个长度为 的平面向量 和 ，它们的夹角为 。点 在以 为圆心的弧 上运动，若 （，），则 的最大值是 例5　三个常用结论：中点式与重心式 设点 是 所在平面内一点，则下列说法正确的是（　　） A．若 ，则点 是边 的中点 B．若 ，则点 在边 的延长线上 C．若 ，则点 是 的重心 D．若 ，且 ，则 的面积是 面积的 变式5　三个常用结论：重心与中线 已知 为 的重心， 为 的中点，则 （　　） A． B． C． D． 三、巩固练习 1．设 ， 是两个非零向量，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．， 的夹角为钝角 D．若存在实数 使得 成立，则 为负数 2．已知向量 与 不共线，，（，），则 与 共线的条件是（　　） A． B． C． D． 3．已知 为 的重心， 为 的中点，则 （　　） A． B． C． D． 4．在 中， 为 的中点，若 （，），则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知点 为 外接圆的圆心，且 ，则 的内角 （　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $