5.1 平面向量的概念及其线性运算专项训练-2027年高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量概念与线性运算，以题构建“概念辨析-运算应用-几何综合”逻辑链，覆盖高频考点，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|4题（选择1/3/9/填空12）|基础概念判断|向量定义→相等与共线条件→概念辨析| |线性运算|4题（选择2/5/填空13/解答15）|化简与表示|加减法法则→数乘运算→向量分解| |几何应用|10题（选择4/6/7/8/多选10/11/填空14/解答16-19）|图形综合应用|三角形/四边形→三点共线/重心→几何直观与推理|

5.1 平面向量的概念及其线性运算（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·贵州遵义·期中）下列说法：①若，则；②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；③若，则四边形是平行四边形；④若四边形是平行四边形，则；⑤若，则；⑥若，则.其中正确的是（    ） A．①④⑤ B．①⑤⑥ C．④⑤ D．④⑥ 【答案】C 【详解】对于①，表示的模长相等，但方向不一定相同，故①错误； 对于②，两个向量相等的充要条件是它们方向相同，模长相等，起点与终点不一定相同，故②错误； 对于③，如果四点共线，则不为四边形，当然也不是平行四边形，故③错误； 对④，因为四边形是平行四边形，则，且， 而方向也相同，故，故④正确； 对于⑤，若，故为相等向量，故，故⑤正确； 对于⑥，若，则都成立，但不一定为共线向量，故⑥错误. 2．（25-26高三上·山西大同·阶段检测）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的三角形法则，将首尾相接的向量先合并，再进行向量减法． 【详解】由向量加法的三角形法则， 又 ，所以 3．（25-26高三上·山东泰安·期末）下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．的充要条件是且 C．若，，则 D．若平面内不共线的四个不同的点满足，则四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】依据向量的基本概念、相等向量和平行向量的性质，逐一判断各选项的正误. 【详解】选项A：向量是同时具有大小和方向的量，方向无法比较大小， 因此向量之间不存在大小关系，仅模长可进行大小比较，故A错误； 选项B：向量相等的充要条件是模长相等且方向相同；若，两向量方向可能相反， 此时即使，也无法推出，故B错误； 选项C：规定零向量与任意向量平行，若， 则满足、时，和不一定平行，故C错误； 选项D：由可得，且与方向相同， 即且，结合是平面内不共线的四个不同点， 可知四边形有一组对边平行且相等，因此是平行四边形，故D正确. 4．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，则下列一定共线的三点是（   ） A．A，B，C B．A，B，D C．B，C，D D．A，C，D 【答案】B 【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项，设 ，则 ，即 无解，A错误； 对于B选项， ，所以三点共线，B正确； 对于C选项，设 ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 5．（25-26高三上·全国·专题训练）已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，，而在平行四边形ABCD中，， 因此，即，所以. 6．（25-26高三上·福建龙岩·期末）在中，点D满足，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】由，则在线段上，且. 则，又， 所以. 7．（25-26高二下·广东深圳·期末）设，是平面内的一组基底，平面向量，．若存在实数，使得，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为向量，， 则， 因为，是平面内一组基底，所以，解得. 8．（25-26高三上·福建泉州·期末）已知点是的重心，且，．若三点共线，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过重心定义以及均值不等式求解. 【详解】    因为点是的重心，所以， ，又，，所以， 因为三点共线，所以， 因此，当且仅当时，等号成立， 即的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·广东广州·期中）给出下列命题，不正确的有（   ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若，，则 C．若为非零向量，则与同向 D．已知，为实数，若，则与共线 【答案】BD 【详解】选项A：相等向量可以通过平移重合，因此若两个相等向量起点相同，其终点必然相同，A正确； 选项B：当时，和可以是任意向量，不一定平行，B错误； 选项C：是与同向的单位向量，C正确； 选项D：当时，恒成立，此时和可以是任意向量，不一定共线，D错误. 10．（25-26高三上·广东梅州·期末）如图，在梯形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据平面向量基本定理，利用向量的加法、减法及共线向量性质，将目标向量用基底向量表示出来. 【详解】 ，，所以，选项A错误； ，选项B正确； ，选项C正确； ，， 选项D错误. 11．（25-26高三上·贵州遵义·期中）已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为，当且仅当取等号 【答案】BC 【详解】，故A错误； ，故B正确； 因为，且三点共线， 所以，即，故C正确； ， 等号成立时，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·全国·课后作业）给出下列命题： ①若，则； ②两相等向量若其起点相同，则终点也相同； ③若，，则； ④若四边形是平行四边形，则，． 其中正确命题的序号是_____________． 【答案】②③ 【分析】由向量、相等向量的定义逐一判断. 【详解】①错误.向量由模长和方向共同确定，只有模长相等，不能得出向量相等； ②正确.相等向量是指长度和方向都相同的向量，若起点相同，则终点必然相同； ③正确.由相等向量的定义可知； ④错误. 若四边形是平行四边形，则，． 故答案为：②③ 13．（25-26高三上·广东河源·阶段检测）在中，点D在边BC上，且，若，，则______（用，表示）． 【答案】 【分析】利用向量的加法运算法则，将用与表示，再根据的关系进行转化. 【详解】， 所以. 14．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）设，是两个不共线的向量，若，，且三点共线，则实数的值为_________ 【答案】 【分析】由三点共线推出与共线，结合共线向量定理和平面向量基本定理列方程组求解即可. 【详解】因为三点共线，所以. 根据共线向量定理，存在实数，使得， 即 ，整理得：. 由于，是不共线的向量，所以， 解得. 故实数的值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·江西赣州·阶段检测）化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量的加法和减法法则化简即可； （2）利用平面向量的线性运算化简即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. 16．（25-26高三上·全国·课堂例题）如图所示，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形． (1)写出与相等的向量； (2)写出与共线的向量； (3)向量与是否相等？ 【答案】(1)，， (2)，，，，，，，， (3)不相等 【分析】（1）根据向量相等的定义结合图象判断即可； （2）根据共线向量的定义结合图象判断即可； （3）根据向量相等的定义判断. 【详解】（1）与相等的向量：，，． （2）与共线的向量：，，，，，，，，． （3）向量与不相等．因为与的方向相反，所以它们不相等． 17．（25-26高三上·全国·课后作业）如图所示，平行四边形中，是的中点，在线段上，且．已知，，试用，表示和． 【答案】，． 【分析】根据题意，得到，，再由方程组，求得方程组的解，即可得到答案. 【详解】因为四边形为平行四边形，为的中点，， 所以，， 又因为，，所以， 解得，． 18．（25-26高三上·河北承德·期末）已知两个不共线的向量，，设，，． (1)若，求实数，的值； (2)设，且，，三点共线，其中，，，为坐标原点，求实数的值． 【答案】(1) , . (2) . 【分析】（1）根据向量的运算以及平面向量基本定理运算求解即可； （2）根据三点共线的推论结合平面向量基本定理运算求解即可. 【详解】（1）由已知得 结合与不共线，得， 解得，. （2）由 三点共线，存在实数使， 即. 因不共线，得，故. 19．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，过的重心，，，，，求证：． 【答案】证明：连接并延长至，则为的中点，因为为的重心， ， 又， 同理． 因为，共线，所以， 即， 所以，所以． 【分析】利用向量的线性运算将相关向量用基底向量表示，结合共线向量定理证明 【详解】见答案 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1 平面向量的概念及其线性运算（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·贵州遵义·期中）下列说法：①若，则；②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；③若，则四边形是平行四边形；④若四边形是平行四边形，则；⑤若，则；⑥若，则.其中正确的是（    ） A．①④⑤ B．①⑤⑥ C．④⑤ D．④⑥ 2．（25-26高三上·山西大同·阶段检测）化简（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山东泰安·期末）下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．的充要条件是且 C．若，，则 D．若平面内不共线的四个不同的点满足，则四边形是平行四边形 4．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，则下列一定共线的三点是（   ） A．A，B，C B．A，B，D C．B，C，D D．A，C，D 5．（25-26高三上·全国·专题训练）已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·福建龙岩·期末）在中，点D满足，设，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·广东深圳·期末）设，是平面内的一组基底，平面向量，．若存在实数，使得，则（   ） A． B． C． D．2 8．（25-26高三上·福建泉州·期末）已知点是的重心，且，．若三点共线，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·广东广州·期中）给出下列命题，不正确的有（   ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若，，则 C．若为非零向量，则与同向 D．已知，为实数，若，则与共线 10．（25-26高三上·广东梅州·期末）如图，在梯形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·贵州遵义·期中）已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为，当且仅当取等号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·全国·课后作业）给出下列命题： ①若，则； ②两相等向量若其起点相同，则终点也相同； ③若，，则； ④若四边形是平行四边形，则，． 其中正确命题的序号是_____________． 13．（25-26高三上·广东河源·阶段检测）在中，点D在边BC上，且，若，，则______（用，表示）． 14．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）设，是两个不共线的向量，若，，且三点共线，则实数的值为_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·江西赣州·阶段检测）化简： (1)； (2). 16．（25-26高三上·全国·课堂例题）如图所示，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形． (1)写出与相等的向量； (2)写出与共线的向量； (3)向量与是否相等？ 17．（25-26高三上·全国·课后作业）如图所示，平行四边形中，是的中点，在线段上，且．已知，，试用，表示和． 18．（25-26高三上·河北承德·期末）已知两个不共线的向量，，设，，． (1)若，求实数，的值； (2)设，且，，三点共线，其中，，，为坐标原点，求实数的值． 19．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，过的重心，，，，，求证：． 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $