平面向量数量积的应用专项训练-2027届高三数学一轮复习

平面向量数量积的应用 一、知识点梳理 （一）向量的夹角与数量积 已知两个非零向量 、，在平面内任取一点 作 、，则 叫做 与 的夹角，记作 ，取值范围是 。夹角与两向量的起点是否重合无关，但作图时必须把它们平移到同一起点。本讲用到的全部工具，都出自教材「平面向量的数量积」一节。 规定 ，叫做 与 的数量积（也叫内积），它是一个实数，不是向量。特别规定零向量与任一非零向量的数量积为 。数量积的符号由夹角的余弦决定：夹角为锐角时为正，为直角时为 ，为钝角时为负。 运算律：，，。由此得到两个常用展开式：，。要注意数量积不满足结合律， 与 一般不等；也不满足消去律，由 且 推不出 。 （二）投影与投影向量 在 上的投影向量为 ，其中 是与 同向的单位向量。它是一个向量，一定与 共线，方向由系数 的正负决定。 投影（数量）是 ，投影向量的长度是 ，两者都不是可有可无的中间量：夹角为锐角时投影向量与 同向，为钝角时与 反向，为直角时是零向量。 从投影的观点看， 等于 在 上的投影向量与 的数量积。求投影向量有两条路：已知模和夹角时用 ；已知坐标时先算 ，再用它乘 的坐标。 （三）数量积的性质与坐标运算 设 、 为非零向量，基本性质有：；，即 ；；，当且仅当 、 共线时取等号。反过来由数量积的符号判断角的范围时要排除共线： 可能是锐角也可能是 ， 可能是钝角也可能是 （两向量反向）；两向量不共线时，数量积为正才对应锐角，为负才对应钝角。 设 ，，则 ，，，。垂直的坐标条件与平行的坐标条件 极易混淆，记忆时抓住「垂直看对应项相乘之和，平行看交叉项相减」。 求模的通用手法是「先平方、后开方」：把 写成 ，这样模、夹角、数量积三个量就串成了一条线。同一条思路反复使用，可以把「已知模求数量积」和「已知数量积求模」两类问题一次解决。 （四）数量积最值与范围问题的两条路 坐标法：正方形、矩形取一个顶点为原点、两条邻边为坐标轴；正多边形取中心为原点。把动点的坐标写出来，同时写出它活动范围的限制，目标量就变成一个二次函数或三角函数，配方、用单调性或三角函数的有界性求最值。 分解法：当图形里已经给出中点时，把待求的两个向量都拆到同一个中点上，利用「中点两侧的向量互为相反向量」把交叉项化成平方差 ；没有中点时，就把目标向量拆到同一组基底上，化归成已知模长与已知夹角向量的组合。 无论走哪条路，算完都要回到题目：动点是在线段上、多边形内部还是圆上，决定了最值能否取到，也决定了答案写开区间还是闭区间；用基本不等式求最值时还要说明等号成立的条件在题设下确实能取到。 本讲的固定动作：① 见到「投影向量」四个字，先默写公式 ，别忘了它是向量；② 见到 就把整体平方，展开成数量积再算；③ 见到中点就把它当桥梁，把两边的向量都拆到中点上；④ 见到动点，先选坐标系或参数，写出取值范围，再动手算目标量。 二、典型例题 例1　数量积的运算：把向量都化归到同一组基底 如图，在等腰三角形 中，，， 是边 上的动点，则 A．为定值 B．为定值 C．为变量且有最大值 D．为变量且有最小值 ①先找 的中点　记 的中点为 。等腰三角形中 ，于是 ，两个向量的和变成一条中线。 ②把 也拆到 上　，而 沿 方向，与 垂直，所以 ，这一项会消失。 ③剩下的就是常数　目标式等于 ，在直角三角形 中用勾股定理算出 即可。 注：动点在一条边上时，先把目标式里的向量都化归到同一个起点，常取中点，用中线把两个向量的和换成一条线段；再让「互相垂直的两个向量数量积为 」把多余项消掉。算到最后与动点位置无关，这就是「定值」的含义。 【答案】A。 记 的中点为 。因为 ，所以 ，由中点式得 。 又 ，其中 与 垂直，所以 。 于是 。 在直角三角形 中，。 所以 ，与动点 的位置无关，即该数量积为定值 ，选 A。 变式1　数量积的运算：逆用平方差 已知向量 、 满足 ，，则 A． B． C． D． ①看清要算的是平方差　 就是 ，不必分别求出 、。 ②直接代入已知向量　把 、 代入上面的式子，不必再设坐标。 ③算数量积　对应坐标相乘再相加，注意负号。 【答案】B。 因为 。 把 、 代入得 。 所以选 B。 例2　投影向量：先求数量积再乘单位方向 已知单位向量 、 满足 ，则 在 方向上的投影向量为 A． B． C． D． ①把 平方　平方后会出现 ，这是联系模长与数量积的固定动作。 ②求出 　由 算出 的值。 ③代投影向量公式　 在 上的投影向量是 。 注：两个单位向量的模都是 ， 说明它们方向相反。投影向量是一个向量，与 共线；系数为负时它的方向与 相反，这正是本题的考点。 【答案】B。 由 得 ，即 。 因为 、 都是单位向量，所以 ，解得 。 所以 在 方向上的投影向量为 ，选 B。 变式2　投影向量：由投影向量反求数量积 已知平面向量 、 是两个单位向量， 在 上的投影向量为 ，则 A． B． C． D． ①由投影向量读出数量积　 在 上的投影向量是 ，把它与已知的 对照，就能看出 的值。 ②代入单位向量的模　因为 、 都是单位向量，，所以 ，即 。 ③展开要求的式子　，用 与刚求出的数量积即可算完。 【答案】B。 在 上的投影向量为 ，由题意得 。 因为 、 是单位向量，所以 ，，从而 。 于是 ，选 B。 例3　向量的模：把「和」与「差」都平方 设 、 为单位向量，且 ，则 A． B． C． D． ①把 平方　平方后得到 ，未知量 就出现了。 ②解出 　代入 ，得 ，所以 。 ③再平方一次求差的模　，与「和」的展开式只差交叉项的符号，把数量积代进去即可。 注：求模的题一律「先平方、后开方」： 把模与数量积连成一条线。「和」的模与「差」的模之间只差一个交叉项的符号，会算一个就会算另一个。 【答案】C。 由 得 ，即 。 因为 、 为单位向量，所以 ，解得 。 于是 ， 所以 ，选 C。 变式3　向量的模：把条件式化成轨迹 已知向量 、、 满足 ，， 与 的夹角为 ，且 ，则 的最小值为 A． B． C． D． ①把向量放进坐标系　取 ，由 且夹角为 得 。设 ，条件式就变成 、 的一个方程。 ②把方程配成圆的方程　展开条件式并配方，得到 ，说明 的终点在定圆上。 ③用圆心到原点的距离求最值　 就是圆上一点到原点 的距离，最小值等于半径减去圆心到原点的距离，前提是原点落在圆内。 【答案】A。 取 。因为 ， 与 的夹角为 ，所以 。设 。 由 得 ， 展开整理得 ，即 。 所以 的终点在圆心为 、半径为 的圆上。 因为 ，原点 在圆内， 所以 的最小值为 ，选 A。 例4　数量积的运算：把目标向量拆到已知方向上 在 中，，， 为边 上的高， 为边 上的中线，则 A． B． C． D． ①把 写成两条边的和　 是 的中点，所以 ，待求向量换成了 、。 ②用「高」说明 　 是边 上的高，所以 ，展开后只剩 这一项。 ③把 再拆回 　，其中 是 在 上的投影长，等于 。 注：题目里同时出现中线和高的时候，先抓住「高」带来的垂直关系把项数减少，再用中线式 把待求向量拆开。中线负责制造两条边的和，高负责消掉其中一整项，两者配合刚好把问题化到 与 上。 【答案】D。 因为 为边 上的中线，所以 。 于是 。 因为 为边 上的高，所以 ，即 ，上式只剩下 。 在直角 中，， 所以 。 所以 ，选 D。 变式4　数量积的运算：中点式两边同时用 如图，在平面四边形 中， 为 的中点，，，若 ，则 A． B． C． D． ①把 到 、 的向量都挂到中点 上　因为 是 的中点，，把 、 都拆成以 为起点的两条向量。 ②用平方差解出 　，代入 与已知的 就能算出 。 ③换一个顶点再算一次　对 重复同样的拆分，，把刚求出的值代进去。 【答案】B。 因为 为 的中点，所以 。 。 代入 与 得 ，所以 。 同理 ，选 B。 例5　数量积的最值：设参数化为二次函数 在四边形 中，，，， 是线段 的中点， 是线段 上的动点，则 的最小值为 A． B． C． D． ①把直角梯形放进坐标系　以 为原点、 与 为坐标轴，写出 、、、 的坐标。 ②用一个参数写出动点　 在线段 上，设 ，。 ③配方求最小值　把 化成 的二次函数，配方后还要检查对称轴是否落在 内。 注：动点在线段上时，用「起点 + 参数 × 方向向量」把它的坐标写出来是关键。化成二次函数后必须交代参数的取值范围，并说明取到最值的参数确实在这个范围内，否则结论不算完整。 【答案】C。 以 为坐标原点，射线 、 分别为 轴、 轴的正方向建立平面直角坐标系。 由 得 ，所以 ，，，。 设 ，，则 。 ，， 所以 。 配方得 。 因为 ，对称轴 在范围内， 所以当 时 取得最小值 ，选 C。 变式5　数量积的最大值：余弦定理约束下的最值 如图，在 中，，， 为 的中点， 为 的中点，若 ，则 的最大值为 A． B． C． D． ①把 、 都用 、 表示　 是 的中点，；由 得 。 ②展开成 、 的式子　用夹角 把数量积写成 ，整理出目标式 。 ③用余弦定理给出的约束　由 与 得 ，再由 得 ，代回目标式。 【答案】B。 设 ，，记 ，。 因为 为 的中点、 为 的中点，所以 。 由 得 。 于是 。 因为 ，所以 ，代入得 。 在 中由余弦定理，，即 ， 所以 。 由 与 得 ，即 ，当且仅当 时取等号。 所以 ，最大值为 ，选 B。 例6　多选：投影向量与最值的综合判断 (多选)已知平行四边形 的面积为 ，，且 ，，则 A． 的最小值为 B．当 在 上的投影向量为 时， C． 的最小值为 D．当 在 上的投影向量为 时， ①先把面积化成边长之积　设 ，。由 得 ，面积 给出 。 ②把 、 的位置翻译成向量式　由 得 ；由 得 。四个选项都化成 、 的代数式。 ③逐条判断，别忘核对等号条件　最值选项要说明等号能否取到；投影向量的条件给出的是一个等式（系数等于 ），先解出边长再代回计算。 注：多选题往往共用同一条运算链，先把「面积 → 边长之积」和「分点 → 向量式」两步做完，四个选项就都变成边长 、 的代数式，剩下的是基本的代数运算。用基本不等式求最值时，等号成立的条件必须在题设下确实能取到。 【答案】A、C、D。 设 ，。由 得 ，由面积为 得 ，即 。 又 。 A 正确： 时 ，当 、 时取等号。 由 得 ；由 得 。 B 错误： 在 上的投影向量为 ，令它等于 得 ，从而 。此时 ，不等于 。 C 正确： 。 由 得 ，于是 ， 等号在 时成立，所以 的最小值为 。 D 正确：在 B 的条件下 、，代入得 。 所以选 A、C、D。 变式6　数量积的范围：用中点式把动点化掉 已知正方形 的边长为 ，过中心 的直线 与边 、 分别交于点 、， 是 的中点，则 的取值范围是 A． B． C． D． ①用中心 拆开两个向量　 是 的中点，所以 ，把 、 都写成以 为腰的形式。 ②交叉项相消　。 ③求 的范围　 在边 上运动， 最小在 中点处，最大在端点处。 【答案】。 因为直线 过正方形的中心 ，且与边 、 分别交于点 、， 所以 是线段 的中点，即 。 于是 。 以 为原点、 与 为坐标轴建系，则 ，，，，，所以 。 设 ，，则 。 因为 ，所以 ， 因此 ，即取值范围是 。 三、巩固练习 1．如图，在等腰梯形 中，，，，，则 A． B． C． D． 【答案】B。 以 的中点 为坐标原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系。 由等腰梯形上下底分别为 、，腰长为 ，可知 在 上的投影长为 ，梯形的高为 。 所以 ，，，。 由 得 ，所以 。 于是 ，， ，选 B。 2．(多选)蜜蜂的巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口。如图是一个蜂巢的正六边形开口 ，它的边长为 ，点 是 内部（包括边界）的动点，则 A． B． C．若 为 的中点，则 在 上的投影向量为 D． 的最大值为 【答案】A、D。 以正六边形的中心 为坐标原点、 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，则 ，，，，，。 A 正确：，而 ，，所以 。 B 错误：，，，不等于 。 C 错误： 为 的中点时 ，，， ，，所以投影向量为 ，而不是 。 D 正确：设 ，则 ，， 。 在 内，当 与 重合时该式最大，最大值为 ，所以 的最大值为 。 所以选 A、D。 3．在边长为 的菱形 中，，点 是 内一动点，则 的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A。 以 为坐标原点，射线 为 轴的正方向建立平面直角坐标系，则 ，，，。 所以 。 设 ，则 ，这是关于 、 的一次式，在三角形的顶点处取得最值。 把 的三个顶点代入：在 处为 ，在 处为 ，在 处为 。 因为 在 内（不含边界），所以 的取值范围是 ，选 A。 4．如图，在平行四边形 中， 是 边上的点，， 是线段 的中点，若 ，则 A． B． C． D． 【答案】C。 因为 是线段 的中点，所以 。 由 得 ，而 ，所以 。 于是 。 代入得 ， 所以 ，选 C。 5．已知 ，，， 与 的夹角为 ，且 ，则 A． B． C． D． 【答案】A。 。 因为 ，所以 ，而 。 于是 ，展开得 。 所以 ，，选 A。 6．已知 是边长为 的正三角形， 为 所在平面内任意一点，则 的最小值为 A． B． C． D． 【答案】B。 设 的中点为 ，则 ，所以 。 再设 的中点为 ，则 ，， 所以 。 边长 的正三角形中 ，所以 ，。 当且仅当 与 重合时 取最小值 ， 所以 的最小值为 ，选 B。 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量数量积的应用 一、知识点梳理 （一）向量的夹角与数量积 已知两个非零向量 、，在平面内任取一点 作 、，则 叫做 与 的夹角，记作 ，取值范围是 。夹角与两向量的起点是否重合无关，但作图时必须把它们平移到同一起点。本讲用到的全部工具，都出自教材「平面向量的数量积」一节。 规定 ，叫做 与 的数量积（也叫内积），它是一个实数，不是向量。特别规定零向量与任一非零向量的数量积为 。数量积的符号由夹角的余弦决定：夹角为锐角时为正，为直角时为 ，为钝角时为负。 运算律：，，。由此得到两个常用展开式：，。要注意数量积不满足结合律， 与 一般不等；也不满足消去律，由 且 推不出 。 （二）投影与投影向量 在 上的投影向量为 ，其中 是与 同向的单位向量。它是一个向量，一定与 共线，方向由系数 的正负决定。 投影（数量）是 ，投影向量的长度是 ，两者都不是可有可无的中间量：夹角为锐角时投影向量与 同向，为钝角时与 反向，为直角时是零向量。 从投影的观点看， 等于 在 上的投影向量与 的数量积。求投影向量有两条路：已知模和夹角时用 ；已知坐标时先算 ，再用它乘 的坐标。 （三）数量积的性质与坐标运算 设 、 为非零向量，基本性质有：；，即 ；；，当且仅当 、 共线时取等号。反过来由数量积的符号判断角的范围时要排除共线： 可能是锐角也可能是 ， 可能是钝角也可能是 （两向量反向）；两向量不共线时，数量积为正才对应锐角，为负才对应钝角。 设 ，，则 ，，，。垂直的坐标条件与平行的坐标条件 极易混淆，记忆时抓住「垂直看对应项相乘之和，平行看交叉项相减」。 求模的通用手法是「先平方、后开方」：把 写成 ，这样模、夹角、数量积三个量就串成了一条线。同一条思路反复使用，可以把「已知模求数量积」和「已知数量积求模」两类问题一次解决。 （四）数量积最值与范围问题的两条路 坐标法：正方形、矩形取一个顶点为原点、两条邻边为坐标轴；正多边形取中心为原点。把动点的坐标写出来，同时写出它活动范围的限制，目标量就变成一个二次函数或三角函数，配方、用单调性或三角函数的有界性求最值。 分解法：当图形里已经给出中点时，把待求的两个向量都拆到同一个中点上，利用「中点两侧的向量互为相反向量」把交叉项化成平方差 ；没有中点时，就把目标向量拆到同一组基底上，化归成已知模长与已知夹角向量的组合。 无论走哪条路，算完都要回到题目：动点是在线段上、多边形内部还是圆上，决定了最值能否取到，也决定了答案写开区间还是闭区间；用基本不等式求最值时还要说明等号成立的条件在题设下确实能取到。 本讲的固定动作：① 见到「投影向量」四个字，先默写公式 ，别忘了它是向量；② 见到 就把整体平方，展开成数量积再算；③ 见到中点就把它当桥梁，把两边的向量都拆到中点上；④ 见到动点，先选坐标系或参数，写出取值范围，再动手算目标量。 二、典型例题 例1　数量积的运算：把向量都化归到同一组基底 如图，在等腰三角形 中，，， 是边 上的动点，则 （　　） A．为定值 B．为定值 C．为变量且有最大值 D．为变量且有最小值 变式1　数量积的运算：逆用平方差 已知向量 、 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 例2　投影向量：先求数量积再乘单位方向 已知单位向量 、 满足 ，则 在 方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 变式2　投影向量：由投影向量反求数量积 已知平面向量 、 是两个单位向量， 在 上的投影向量为 ，则 （　　） A． B． C． D． 例3　向量的模：把「和」与「差」都平方 设 、 为单位向量，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 变式3　向量的模：把条件式化成轨迹 已知向量 、、 满足 ，， 与 的夹角为 ，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 例4　数量积的运算：把目标向量拆到已知方向上 在 中，，， 为边 上的高， 为边 上的中线，则 （　　） A． B． C． D． 变式4　数量积的运算：中点式两边同时用 如图，在平面四边形 中， 为 的中点，，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 例5　数量积的最值：设参数化为二次函数 在四边形 中，，，， 是线段 的中点， 是线段 上的动点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 变式5　数量积的最大值：余弦定理约束下的最值 如图，在 中，，， 为 的中点， 为 的中点，若 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 例6　多选：投影向量与最值的综合判断 (多选)已知平行四边形 的面积为 ，，且 ，，则（　　） A． 的最小值为 B．当 在 上的投影向量为 时， C． 的最小值为 D．当 在 上的投影向量为 时， 变式6　数量积的范围：用中点式把动点化掉 已知正方形 的边长为 ，过中心 的直线 与边 、 分别交于点 、， 是 的中点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 三、巩固练习 1．如图，在等腰梯形 中，，，，，则 （　　） A． B． C． D． 2．(多选)蜜蜂的巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口。如图是一个蜂巢的正六边形开口 ，它的边长为 ，点 是 内部（包括边界）的动点，则（　　） A． B． C．若 为 的中点，则 在 上的投影向量为 D． 的最大值为 3．在边长为 的菱形 中，，点 是 内一动点，则 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形 中， 是 边上的点，， 是线段 的中点，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．已知 ，，， 与 的夹角为 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 6．已知 是边长为 的正三角形， 为 所在平面内任意一点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $