第34课时 平面向量的数量积专项训练-2027届高三数学一轮复习

第34课时　平面向量的数量积 1．已知向量a，b满足|a|＝2，a·(2a＋b)＝9，则a·(2a－b)＝(　　) A．3　　　　 B．4 C．6 D．7 2．已知向量＝(3，m)，＝(1，)，且|＋|＝|－|，则△ABC的面积为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 3．已知向量a，b满足a＝(1，－)，|2a－b|＝4，且(3a－b)⊥a，则向量a与b的夹角是(　　) A. B. C. D. 4．已知向量p，q满足p＝(1，－1)，|q|＝1，(p－q)·q＝－2，则q在p上的投影向量为(　　) A．(，－) B． C． D．(1，－1) 5．已知向量a，b满足a＝(，2)，a·b＝6，|a－b|＝7，则|b|＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 6．(2023·全国乙卷，文)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝(　　) A. B．3 C．2 D．5 7．已知e是单位向量，且|e－a|＝，a＋e在e上的投影向量为e，则a与e的夹角为(　　) A. B. C. D. 8．已知菱形ABCD的边长为1，∠DAB＝60°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，则·＝(　　) A. B. C.1 D. 9．已知平面向量a与b相互垂直，a＝(6，－8)，|b|＝5，且b与向量(1，0)的夹角是钝角，则b＝(　　) A．(－3，－4) B．(4，3) C．(－4，3) D．(－4，－3) 10．在△ABC中，AB＝3，AC＝6，在上的投影向量为，P为BC上一点，且BP＝2PC，则||＝(　　) A．4 B. C. D．5 11．【多选题】已知向量a＝(－2，1)，b＝(1，t)，则下列说法正确的是(　　) A．若a∥b，则t的值为－2 B．|a＋b|的最小值为1 C．若|a＋b|＝|a－b|，则t的值为2 D．若a与b的夹角为钝角，则t的取值范围是∪ 12．【多选题】如图，AB是圆O(O为圆心)的一条弦，由下列一个条件能确定·值的有(　　) A．已知圆的半径长 B．已知弦长AB C．已知∠OAB的大小 D．已知圆的半径长和∠OAB的大小 13.向量a，b，c在正方形网格(每个小正方形的边长均为1)中的位置如图所示，若向量b＋λc与a共线，则a－λb与c夹角的余弦值为________． 14．(2025·北京)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝(＋)，则||＝________；·＝________． 15．已知a，b是单位向量，且a·b＝－.若平面向量p满足p·a＝p·b＝，则|p|的值为(　　) A. B. C．1 D. 16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－2，0)，B(2，0)，若点P满足|＋|＝2，则·＝(　　) A．－3 B．0 C．1 D．4 17．已知A，B，C是函数f(x)＝|log2x|的图象上的三点，且A在x轴上，BC∥x轴，BC＝，则·＝(　　) A. B. C. D.－ 参考答案 1．答案　D 解析　由题意2a2＋a·b＝9，∴8＋a·b＝9，∴a·b＝1，a·(2a－b)＝2a2－a·b＝8－1＝7.故选D. 2．答案　A 解析　|＋|＝|－|，则·＝0，即AB⊥AC，·＝3＋m＝0，∴m＝－，||＝＝2，||＝2，∴S△ABC＝×2×2＝2.故选A. 3．答案　A 解析　因为a＝(1，－)，所以|a|＝＝2.因为(3a－b)⊥a，所以(3a－b)·a＝0，即3a2－a·b＝0，所以a·b＝12，所以|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝16－48＋b2＝16，所以b2＝48，|b|＝4，所以cos〈a，b〉＝＝＝.又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.故选A. 4．答案　B 解析　由题意可知|p|＝，因为(p－q)·q＝p·q－q2＝－2，即p·q－1＝－2，可得p·q＝－1，所以q在p上的投影向量为p＝－p＝.故选B. 5．答案　B 解析　因为a＝(，2)，所以|a|＝＝5.又a·b＝6，|a－b|＝7，所以|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝49，即25－2×6＋|b|2＝49，解得|b|＝6.故选B. 6．答案　B 解析　方法一：以{，}作为平面内所有向量的一个基底，可知||＝||＝2，·＝0，则＝＋＝＋，＝＋＝－＋，所以·＝·＝－2＋2＝－1＋4＝3. 方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，可得＝(1，2)，＝(－1，2)， 所以·＝－1＋4＝3. 方法三：由题意可得ED＝EC＝，CD＝2， 在△CDE中，由余弦定理可得cos∠DEC＝＝＝， 所以·＝||||cos∠DEC＝××＝3.故选B. 7．答案　D 8．答案　B 解析　如图，易知△FEB∽△FAD，所以＝＝2，所以＝＝＝＋，故·＝·＝2＋·＝＋×＝. 9．答案　D 解析　设b＝(x，y)，则由题意得 即解得或设c＝(1，0)，当b＝(4，3)时，cos〈b，c〉＝＝>0，又因为两向量夹角的范围为[0，π]，故此时b与c的夹角为锐角，舍去；当b＝(－4，－3)时，cos〈b，c〉＝＝－<0，故此时b与c夹角为钝角．故选D. 10．答案　B 解析　由题意得，在上的投影向量为||cos∠BAC·＝cos∠BAC·＝，所以cos∠BAC＝.又∠BAC∈(0，π)，故∠BAC＝.因为BP＝2PC，所以＝，所以＝－＝－＝－(－)＝＋，所以||2＝＝2＋2＋·＝×62＋×32＋×6×3×cos ＝16＋1＋4＝21，所以||＝.故选B. 11．答案　BCD 解析　选项A，a∥b⇔－2·t＝1⇔t＝－，错误． 选项B，|a＋b|＝≥1，当t＝－1时取等号，正确． 选项C，方法一：|a－b|＝，根据选项B及条件得＝，解得t＝2，正确； 方法二：若|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0，所以a·b＝－2＋t＝0，解得t＝2，正确． 选项D，若a与b的夹角为钝角，则a·b＝t－2<0，且两个向量不能反向共线，由选项A知，当t＝－时，a＝－2b，于是t<2且t≠－，正确． 12．答案　BD 解析　设AB的中点为M，连接OM，则OM⊥AB，AM＝AB.∵·＝||·||·cos A＝||·||＝||2，∴B正确；∵·＝||·||·cos A＝2||·||·cos A＝2·||2·cos2A，∴D正确．故选BD. 13.答案　 解析　建立如图所示平面直角坐标系，则a＝(1，1)，b＝(0，－1)，c＝(2，1)，b＋λc＝(2λ，λ－1)，因为向量b＋λc与a共线，有2λ＝λ－1⇒λ＝－1，则a－λb＝(1，0)， 所以|a－λb|＝1，|c|＝＝，则cos〈a－λb，c〉＝＝. 14．答案　　－1 解析　方法一：如图，由题意及平面向量的平行四边形法则可知，点P为BC的中点，在三角形PCD中，||＝. cos∠DPB＝－cos∠DPC＝－，∴·＝||||cos∠DPB＝1××＝－1. 方法二：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，∴＝(＋)＝(2，1)， ∴P(2，1)，∴＝(－2，1)，＝(0，－1)， ∴||＝，·＝(0，－1)·(－2，1)＝－1. 15．答案　C 解析　由题意得，|a|＝|b|＝1，设a，b的夹角为θ，θ∈[0，π]， ∵a·b＝－，∴cos θ＝－，故θ＝. 如图，以O为原点，以a的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，使b的起点与O重合，终点在第二象限，则a＝(1，0)，b＝， 设p＝(x，y)， 则故 ∴p＝， 故|p|＝＝1.故选C. 16．答案　A 解析　设P(x，y)，则＝(－2－x，－y)，＝(2－x，－y)，＋＝(－2x，－2y)，因为|＋|＝2，则x2＋y2＝1，·＝(x＋2，y)·(x－2，y)＝x2－4＋y2＝－3.故选A. 17．答案　C 解析　如图，由题意得A(1，0)，设B(x0，－log2x0)，0＜x0＜1，则C，∵yB＝yC，∴－log2x0＝log2，∴＝x0＋，∴x0＝(负值舍去)，则B，C(4，2)，·＝·(3，2)＝－＋4＝.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $