第3节平面向量的数量积及其应用专项训练-2027届高三数学一轮复习

第3节　平面向量的数量积及其应用

一、单选题

1.(2026·南昌调研)已知单位向量a,b满足a·b＝,则|a＋b|＝(　　)

A.0 B.1

C.2 D.

2.(2026·厦门质检)已知向量a,b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2,则a·b＝(　　)

A.0 B.2

C.2 D.2

3.(2025·新高考Ⅱ卷改编)已知平面向量a＝(x,1),b＝(x－1,2x),若a⊥(a－b),则|a|＝(　　)

A. B.

C.1 D.

4.(2026·西安模拟)已知平面向量a,b是两个单位向量,若a－2b的模为,则b在a上的投影向量是(　　)

A.a B.b

C.a D.b

5.(2026·合肥模拟)已知向量e1＝(1,0),e2＝(1,),设a＝4e1＋e2,b＝3e1－e2,则a与b的夹角为(　　)

A. B.

C. D.

6.(2026·烟台模拟)在△ABC中,AB＝2AC＝6,∠BAC＝60°,＝3,则||＝(　　)

A. B.

C. D.2

7.(2026·湖北七市(州)联合调研)已知向量m＝(1,0),向量a满足|a－4m|＝|m|,则|a|的最小值为(　　)

A.1 B.2

C.3 D.4

二、多选题

8.(2026·重庆诊断)下列关于向量a,b,c的运算,一定成立的是(　　)

A.(a＋b)·c＝a·c＋b·c B.(a·b)·c＝a·(b·c)

C.a·b≤|a||b| D.|a－b|≤|a|＋|b|

9.(2026·成都诊断)八卦是中国文化的基本哲学概念,如图1是八卦模型图,其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中|OA|＝1,则下列结论正确的为(　　)

A.·＝－

B.

C.··

D.||＝||

三、填空题

10.物理学中,如果一个物体受到力的作用,并在力的方向上发生了一段位移,我们就说这个力对物体做了功,功的计算公式:W＝F·S(其中W是功,F是力,S是位移).一物体在力F1＝(2,4)和F2＝(－5,3)的作用下,由点A(1,0)移动到点B(2,4),在这个过程中这两个力的合力对物体的所做的功等于　　　　. 

11.(2026·商洛模拟)已知圆O的半径为3,弦AB＝3,D为圆O上一动点,则·的最大值为　　　　. 

12.(2026·北京人大附中统练)定义平面向量的一种运算a☉b＝|a＋b|×|a－b|×sin<a,b>,其中<a,b>是a与b的夹角,给出下列命题:①若<a,b>＝90°,则a☉b＝a2＋b2;②若|a|＝|b|,

则(a＋b)☉(a－b)＝4a·b;③若|a|＝|b|,则a☉b≤2|a|2;④若a＝(1,2),b＝(－2,2),则(a＋b)☉b＝.其中真命题的序号是　　　　. 

四、解答题

13.已知向量a,b满足|a|＝,|b|＝4,a·(b－a)＝2.

(1)求向量a与b的夹角;

(2)若|ta－b|＝2,求实数t的值.

14.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,＝λ,BC＝2AB＝2AD＝2.

(1)若⊥,求实数λ的值;

(2)若λ＝,求与的夹角θ的余弦值.