第3节平面向量的数量积及其应用专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以题载法构建平面向量数量积“概念-运算-应用”逻辑链，通过分层题型培养数学抽象与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|单选1-5、多选8|模长平方转化、垂直条件、投影公式|从数量积定义推导模长/夹角公式，结合坐标运算深化理解| |几何应用|单选6-7、填空11、解答14|轨迹法求最值、线性运算转化|向量与几何图形结合，体现数形结合思想| |综合拓展|填空10-12、解答13|物理功计算、新定义运算、方程思想|从实际应用到创新题型，培养数学建模与逻辑推理|

第3节　平面向量的数量积及其应用 一、单选题 1.(2026·南昌调研)已知单位向量a,b满足a·b＝,则|a＋b|＝(　　) A.0 B.1 C.2 D. 2.(2026·厦门质检)已知向量a,b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2,则a·b＝(　　) A.0 B.2 C.2 D.2 3.(2025·新高考Ⅱ卷改编)已知平面向量a＝(x,1),b＝(x－1,2x),若a⊥(a－b),则|a|＝(　　) A. B. C.1 D. 4.(2026·西安模拟)已知平面向量a,b是两个单位向量,若a－2b的模为,则b在a上的投影向量是(　　) A.a B.b C.a D.b 5.(2026·合肥模拟)已知向量e1＝(1,0),e2＝(1,),设a＝4e1＋e2,b＝3e1－e2,则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 6.(2026·烟台模拟)在△ABC中,AB＝2AC＝6,∠BAC＝60°,＝3,则||＝(　　) A. B. C. D.2 7.(2026·湖北七市(州)联合调研)已知向量m＝(1,0),向量a满足|a－4m|＝|m|,则|a|的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 二、多选题 8.(2026·重庆诊断)下列关于向量a,b,c的运算,一定成立的是(　　) A.(a＋b)·c＝a·c＋b·c B.(a·b)·c＝a·(b·c) C.a·b≤|a||b| D.|a－b|≤|a|＋|b| 9.(2026·成都诊断)八卦是中国文化的基本哲学概念,如图1是八卦模型图,其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中|OA|＝1,则下列结论正确的为(　　) A.·＝－ B. C.·· D.||＝|| 三、填空题 10.物理学中,如果一个物体受到力的作用,并在力的方向上发生了一段位移,我们就说这个力对物体做了功,功的计算公式:W＝F·S(其中W是功,F是力,S是位移).一物体在力F1＝(2,4)和F2＝(－5,3)的作用下,由点A(1,0)移动到点B(2,4),在这个过程中这两个力的合力对物体的所做的功等于　　　　.  11.(2026·商洛模拟)已知圆O的半径为3,弦AB＝3,D为圆O上一动点,则·的最大值为　　　　.  12.(2026·北京人大附中统练)定义平面向量的一种运算a☉b＝|a＋b|×|a－b|×sin<a,b>,其中<a,b>是a与b的夹角,给出下列命题:①若<a,b>＝90°,则a☉b＝a2＋b2;②若|a|＝|b|, 则(a＋b)☉(a－b)＝4a·b;③若|a|＝|b|,则a☉b≤2|a|2;④若a＝(1,2),b＝(－2,2),则(a＋b)☉b＝.其中真命题的序号是　　　　.  四、解答题 13.已知向量a,b满足|a|＝,|b|＝4,a·(b－a)＝2. (1)求向量a与b的夹角; (2)若|ta－b|＝2,求实数t的值. 14.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,＝λ,BC＝2AB＝2AD＝2. (1)若⊥,求实数λ的值; (2)若λ＝,求与的夹角θ的余弦值. 第3节　平面向量的数量积及其应用 一、单选题 1.(2026·南昌调研)已知单位向量a,b满足a·b＝,则|a＋b|＝(　　) A.0 B.1 C.2 D. 答案　D 解析　(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋1＝3,则|a＋b|＝. 2.(2026·厦门质检)已知向量a,b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2,则a·b＝(　　) A.0 B.2 C.2 D.2 答案　B 解析　由|a－b|＝2得a2－2a·b＋b2＝4, ∵|a|＝|b|＝2,∴4－2a·b＋4＝4, 即a·b＝2. 3.(2025·新高考Ⅱ卷改编)已知平面向量a＝(x,1),b＝(x－1,2x),若a⊥(a－b),则|a|＝(　　) A. B. C.1 D. 答案　B 解析　由题意得a－b＝(1,1－2x), 又a⊥(a－b), 所以a·(a－b)＝x＋1－2x＝1－x＝0, 解得x＝1,所以|a|＝. 4.(2026·西安模拟)已知平面向量a,b是两个单位向量,若a－2b的模为,则b在a上的投影向量是(　　) A.a B.b C.a D.b 答案　C 解析　依题意,|a－2b|＝, 则a2－4a·b＋4b2＝3, 而|a|＝|b|＝1,解得a·b＝, 所以b在a上的投影向量是a＝a. 5.(2026·合肥模拟)已知向量e1＝(1,0),e2＝(1,),设a＝4e1＋e2,b＝3e1－e2,则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为e1＝(1,0),e2＝(1,), 所以a＝4e1＋e2＝(5,), b＝3e1－e2＝(2,－), 所以a·b＝10－3＝7,|a|＝＝2, |b|＝, 设a与b的夹角为θ, 则cos θ＝, 又θ∈[0,π],所以θ＝, 即a与b的夹角为. 6.(2026·烟台模拟)在△ABC中,AB＝2AC＝6,∠BAC＝60°,＝3,则||＝(　　) A. B. C. D.2 答案　C 解析　在△ABC中,AB＝2AC＝6,∠BAC＝60°,＝3, 所以, 则||＝ ＝. 7.(2026·湖北七市(州)联合调研)已知向量m＝(1,0),向量a满足|a－4m|＝|m|,则|a|的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　设a＝(x,y),则a－4m＝(x－4,y), 由|a－4m|＝|m|,得＝1, 所以(x－4)2＋y2＝1, 所以y2＝1－(x－4)2, 由y2≥0,解得3≤x≤5, 所以|a|＝＝, 所以当x＝3时,|a|取得最小值,且最小值为3. 二、多选题 8.(2026·重庆诊断)下列关于向量a,b,c的运算,一定成立的是(　　) A.(a＋b)·c＝a·c＋b·c B.(a·b)·c＝a·(b·c) C.a·b≤|a||b| D.|a－b|≤|a|＋|b| 答案　ACD 解析　根据数量积的分配律可知A正确; B中,左边为c的共线向量,右边为a的共线向量,故B不正确; C中,根据数量积的定义可知 a·b＝|a||b|cos<a,b>≤|a||b|,故C正确; D中,|a－b|2－(|a|＋|b|)2＝－2a·b－2|a||b|≤0,故|a－b|2≤(|a|＋|b|)2, 即|a－b|≤|a|＋|b|,故D正确. 9.(2026·成都诊断)八卦是中国文化的基本哲学概念,如图1是八卦模型图,其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中|OA|＝1,则下列结论正确的为(　　) A.·＝－ B. C.·· D.||＝|| 答案　ACD 解析　由正八边形的几何性质知,每个中心角为, ||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝1,D正确; ∴·＝||·||cos ＝－,A正确; 是方向相反的向量,B错误; ·＝||·||cos, ·＝||·||cos, ··,C正确. 三、填空题 10.物理学中,如果一个物体受到力的作用,并在力的方向上发生了一段位移,我们就说这个力对物体做了功,功的计算公式:W＝F·S(其中W是功,F是力,S是位移).一物体在力F1＝(2,4)和F2＝(－5,3)的作用下,由点A(1,0)移动到点B(2,4),在这个过程中这两个力的合力对物体的所做的功等于　　　　.  答案　25 解析　因为F1＝(2,4),F2＝(－5,3), 所以F1＋F2＝(－3,7), 又A(1,0),B(2,4),所以＝(1,4), 故W＝(F1＋F2)·＝－3＋7×4＝25. 11.(2026·商洛模拟)已知圆O的半径为3,弦AB＝3,D为圆O上一动点,则·的最大值为　　　　.  答案　 解析　以圆心O为原点,过点O且与 直线AB平行的直线为x轴, 线段AB的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系, 则A, B, 设点D(3cos θ,3sin θ),＝(3,0), , 所以·＝9cos θ＋≤, 当且仅当cos θ＝1时,·. 12.(2026·北京人大附中统练)定义平面向量的一种运算a☉b＝|a＋b|×|a－b|×sin<a,b>,其中<a,b>是a与b的夹角,给出下列命题:①若<a,b>＝90°,则a☉b＝a2＋b2;②若|a|＝|b|, 则(a＋b)☉(a－b)＝4a·b;③若|a|＝|b|,则a☉b≤2|a|2;④若a＝(1,2),b＝(－2,2),则(a＋b)☉b＝.其中真命题的序号是　　　　.  答案　①③ 解析　对于①,若<a,b>＝90°, 则|a＋b|＝|a－b|,a·b＝0, 则a☉b＝|a＋b|×|a－b|＝|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2,故①正确; 对于②,若|a|＝|b|, 则(a＋b)⊥(a－b), 则(a＋b)与(a－b)的夹角为90°, 则(a＋b)☉(a－b)＝|(a＋b)＋(a－b)|×|(a＋b)－(a－b)|sin 90°＝4|a||b|,故②错误; 对于③,若|a|＝|b|,则a☉b≤|a＋b|×|a－b| ＝· ＝≤2|a|2,故③正确; 对于④,若a＝(1,2),b＝(－2,2), 则a＋b＝(－1,4),a＋2b＝(－3,6), 则cos<a＋b,b>＝, sin<a＋b,b>＝, 则(a＋b)☉b＝|a＋2b|×|a|×sin<a＋b,b> ＝3××≠,故④错误. 四、解答题 13.已知向量a,b满足|a|＝,|b|＝4,a·(b－a)＝2. (1)求向量a与b的夹角; (2)若|ta－b|＝2,求实数t的值. 解　(1)设向量a与b的夹角为θ, ∵|a|＝,|b|＝4, ∴a·(b－a)＝a·b－a2＝|a||b|cos θ－a2 ＝4cos θ－2＝2, ∴cos θ＝, ∵0≤θ≤π,∴θ＝. ∴向量a与b的夹角为. (2)∵|ta－b|＝2,由(1)知a·b＝4, ∴t2a2－2ta·b＋b2＝2t2－8t＋16＝8, 即t2－4t＋4＝0,解得t＝2. 14.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,＝λ,BC＝2AB＝2AD＝2. (1)若⊥,求实数λ的值; (2)若λ＝,求与的夹角θ的余弦值. 解　(1)分别以,的方向为x轴、y轴的正方向,点B为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 所以A(0,1),C(2,0), D(1,1),E(λ,1), 所以＝(2,－1), ＝(λ,1), 因为⊥, 所以·＝2λ－1＝0, 所以λ＝. (2)当λ＝时,||＝, ||＝, 因为·＝2λ－1＝, 所以cos θ＝. 故的夹角θ的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $