专题01 二次函数的基础概念、图像和性质15大题型99题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题01 二次函数的基础概念、图像和性质 基础·固本强基 题型1 二次函数的定义（重点） 题型2 二次函数的图象 题型3 二次函数的性质（重点） 题型4 二次函数图象上点的坐标特征 提升·进阶突破 题型1 二次函数图象与系数的关系（难点） 题型2 二次函数图象与几何变换（难点） 题型3 二次函数的最值（难点） 题型4 待定系数法求二次函数解析式（重点） 题型5 抛物线与x轴的交点 题型6 图象法求一元二次方程的近似根 题型7 二次函数与不等式（重点） 题型8 根据实际问题列二次函数关系式 拔高·压轴破难 题型1 二次函数4类区间最值问题（重难点） 题型2 点参法求二次函数解析式（重难点） 题型3 新定义问题（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 二次函数的定义 【模型】认＂的整式函数标准形式＂→直接套定义判定规则，不做多余变形。 【步骤】①化整式：将函数表达式整理为整式形式，去除分母、根号等非整式结构；②验双条件：检查最高次项次数为2，且二次项系数不等于0；③定结论：同时满足两个条件即为二次函数，任一条件不满足则不是。 【易错】忽略二次项系数的核心前提，误把的一次函数或常函数判定为二次函数；未化简就直接判断，忽略整理后二次项抵消、系数为0的情况；混淆函数类型，将含分式、二次根式的二次式函数错认成二次函数；误认为必须同时具备三项才是二次函数，漏判等缺项的二次函数形式。 1．[25-26九年级上•上海浦东新区期中]下列函数中，y是关于x的二次函数的是（　　） A． B．y＝ax2+bx+c C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义，逐一分析每个选项的函数形式，判断是否符合y＝ax2+bx+c（a≠0，整式函数）的特征． 【解答】解：A、不是整式，故此选项不符合题意； B、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故此选项不符合题意； C、y是二次函数，故此选项符合题意； D、不是整式，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的一般形式y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0），并能据此判断函数类型． 2．[25-26九年级上•上海嘉定区期中]下列函数中，一定是二次函数的是（　　） A．（其中m是常数） B．y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数） C．y＝（2x﹣1）x D．y＝（x+4）2﹣x2 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可解答． 【解答】解：A、yx+m2（其中m是常数），是一次函数，故不符合题意； B、y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数），当a≠0时是二次函数，故B不符合题意； C、y＝（2x﹣1）x＝2x2﹣x，是二次函数，故C符合题意； D、y＝（x+4）2﹣x2＝8x+16，是一次函数，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x．y是变量，a，b，c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 3．[25-26九年级上•上海长宁区期中]下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（　　） A．y＝（x﹣1）2﹣x2 B．y＝x（2x﹣1） C．yx+m2（其中m是常数） D．y＝ax2+1（其中a是常数） 【答案】B 【分析】一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，据此进行判断即可． 【解答】解：y＝（x﹣1）2﹣x2＝x2﹣2x+1﹣x2＝﹣2x+1，它不是二次函数，则A不符合题意， y＝x（2x﹣1）＝2x2﹣x，它是二次函数，则B符合题意， yx+m2（其中m是常数）不是二次函数，则C不符合题意， y＝ax2+1（其中a是常数）中，当a＝0时，它不是二次函数，则D不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 4．[25-26九年级上•上海闵行区期中]如果的图象是抛物线，那么m＝________ 【答案】﹣1． 【分析】根据二次函数的性质得出m2+1＝2且m﹣1≠0，然后解方程和不等式得到满足条件的m的值． 【解答】解：根据题意得m2+1＝2且m﹣1≠0， 解得m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 题型2 二次函数的图象 【模型】认＂抛物线的基本图象属性＂性直接套开口、顶点、对称轴、截距等特征结论，数形对应定位。 【步骤】①定开口：由a的符号定方向，定宽窄；②找核心：用公式或配方法定对称轴与顶点；③标交点：定与y轴交点，判与x轴交点情况。 【易错】记错对称轴公式符号，导致顶点与增减区间判断错位；忽略判别式的作用，误判抛物线与x轴的交点个数；混淆a对开口的影响，错认a越大开口越宽。 5．[25-26九年级上•上海浦东新区期中]已知一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象如图所示，则y＝ax2+bx﹣c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数图象可得a＜0，b＞0，根据反比例函数图象可得c＜0，进而判断y＝ax2+bx﹣c图象的开口方向、对称轴位置、与y轴的交点位置，即可求解． 【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象与y轴的交点位于y轴的正半轴，y随x的增大而减小， ∴a＜0，b＞0， ∴， ∴y＝ax2+bx﹣c的图象开口向下，对称轴在y轴的右侧， 由条件可知c＜0， ∴﹣c＞0， ∴y＝ax2+bx﹣c的图象与y轴的交点位于y轴的正半轴， 观察四个选项，只有选项C中的图象满足要求， 故选：C． 【点评】本题考查一次函数、二次函数、反比例函数图象与系数的关系，熟练掌握以上知识点是关键． 6．[25-26九年级上•上海普陀区期中]在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+b2与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可先由二次函数y＝x2﹣a的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝ax+b2的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＞0，则直线图象应过一、二、三象限，故此选项错误； B、线抛物开口应朝上，故此选项错误； C、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＞0，则直线图象应过一、二、三象限，故此选项正确； D、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＞0，则直线图象应过一、二、三象限，故此选项错误； 故选：C． 【点评】此题考查了抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中． 7．[25-26九年级上•上海普陀区期中]已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+c的图象经过的象限是（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】A 【分析】根据抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴可得a，b，c的取值范围，再根据一次函数的系数得出答案． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0． ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0． ∵对称轴， ∴b＞0， ∴经过第一，二，三象限． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 8．[24-25九年级上•上海浦东新区期中]已知一次函数的图象如下，则函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意，由一次函数的图象判断出，再判断二次函数的图象特征，进而求解． 【解答】解：由一次函数的图象可得：， ∴函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴排除A、C选项； 函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴， ∴函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴与x轴的交点在x轴的负半轴， ∴只有B选项符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与一次函数的图象，解题时要熟练掌握二次函数的性质是关键． 9．[长宁区期中]如果a＜0，b＞0，c＞0，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a＜0，b＞0，c＞0，可以得到二次函数的图象的开口方向、与y轴的交点、顶点所在的位置，从而可以解答本题． 【解答】解：∵a＜0，b＞0，c＞0， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，与y轴交于正半轴，顶点在y轴右侧， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 10．[24-25九年级上•上海虹口区期中]已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则bc＝__ ． 【答案】﹣6． 【分析】由已知的图象可知二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣1，即可求出b，由二次函数图象与y轴交点即可求解． 【解答】解：二次函数y＝﹣x2+bx+c与y轴交点为（0，3）， 即c＝3， 对称轴为直线x＝﹣1，即， 解得：b＝﹣2， ∴bc＝﹣6 故答案为：﹣6． 【点评】此题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象的对称性是解答此题的关键． 11．[25-26九年级上•上海长宁区期中]已知二次函数y＝﹣2x2+4x+6． （1）求这个函数图象的顶点坐标，并指出它的变化情况； （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，该函数图象与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，求四边形OADC的面积． 【答案】（1）顶点坐标是（1，8），在直线x＝1左侧的部分是上升的，在直线x＝1右侧的部分是下降的； （2）15． 【分析】（1）利用顶点坐标公式进行求解即可，根据二次函数的性质确定其变化情况； （2）过点D作DH⊥y轴于点H，求出函数与坐标轴的交点，然后利用割补法求四边形的面积即可． 【解答】解：（1）由条件可知． 把x＝1代入y＝﹣2x2+4x+6，得y＝﹣2×1+4×1+6＝8． ∴这个二次函数图象的顶点坐标是（1，8）． ∵二次函数图象的开口向下， ∴在直线x＝1左侧的部分是上升的，在直线x＝1右侧的部分是下降的； （2）如图所示，过点D作DH⊥y轴于点H， 把y＝0代入y＝﹣2x2+4x+6得﹣2x2+4x+6＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣1（舍去）． ∴点A坐标是（3，0）． ∵二次函数图象的顶点坐标是D（1，8），与y轴交点坐标是C（0，6）， 则OC＝6，OH＝8，DH＝1，CH＝2． ∴S四边形OADC ＝15． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，顶点坐标，求围成图形的面积等，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 12．已知二次函数的图象经过四个象限，则的值可以是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】求出二次函数的顶点坐标为，对称轴为，与y轴的交点坐标为，又由开口向上可知，图象要经过四个象限，则，结合可得，由此即可得解．本题主要考查了二次函数图象的性质，利用数形结合是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴开口向上， 顶点坐标为，对称轴为，与y轴交点为， ∵二次函数的图象经过四个象限， ∴， 解得， 又∵ ∴， ∴的值可以是2． 故选：A 题型3 二次函数的性质 【模型】认＂抛物线的核心性质体系＂→直接套开口方向、增减区间、最值、对称性等结论，数形对应定位特征。 【步骤】①定基准：由二次项系数a的符号定开口方向，由对称轴公式确定对称轴直线，锁定顶点坐标；②判增减：以对称轴为分界，分别判断两侧区间的增减性，开口向上左减右增，开口向下左增右减；③定最值：结合开口方向与顶点纵坐标，确定函数的最大（小）值，限定定义域时结合区间端点验证。 【易错】脱离区间谈增减性，误称二次函数在全体实数上单调；记错对称轴公式符号，导致增减区间与最值位置判断颠倒；求最值忽略自变量取值范围，直接套用顶点纵坐标；混淆开口方向与最值的对应关系，开口向上误判有最大值。 13．[25-26九年级上•上海长宁区期中]下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（　　） A．它们的形状相同，开口方向也相同 B．它们都关于y轴对称 C．它们的顶点不相同 D．点（﹣2，2）既在抛物线上也在上． 【答案】B 【分析】通过比较两条抛物线的二次项系数、开口方向、顶点和对称轴，判断各说法的正误即可． 【解答】解：由条件可知两个函数图象它们的形状相同，开口方向相反，故A错误，不符合题意； 它们的对称轴都是y轴，故B正确，符合题意； 它们的顶点都是（0，0），故C错误，不符合题意； 把x＝﹣2代入得：， ∴点（﹣2，2）在抛物线上， 把x＝﹣2代入得：， ∴点（﹣2，2）不在抛物线上，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出二次函数性质是解决本题的关键． 14．[25-26九年级上•上海浦东新区期中]已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0），下列说法正确的是（　　） A．图象开口向上 B．当时，y随x增大而增大 C．图象顶点横坐标为 D．若c＞0，则图象与y轴交于负半轴 【答案】C 【分析】先将二次函数的解析式化成顶点式，再根据二次函数的图象与性质特点逐项判断即可得． 【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）化成顶点式为． A、由a＜0可知，函数图象开口向下，则此项错误； B、由函数的顶点式和a＜0可知，当时，y随x增大而减小，则此项错误； C、由函数的顶点式可知，图象顶点的横坐标为，则此项正确； D、因为二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与y轴的交点坐标为（0，c），所以若c＞0，则图象与y轴交于正半轴，则此项错误； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 15．[25-26九年级上•上海上海期中]已知y关于x的函数解析式y＝（m2﹣1）x2+（m﹣1）x+m+1，则下列说法正确的是（　　） A．若m＝1，则函数图象平行于y轴 B．若m＝﹣1，则函数图象过原点，且经过一、三象限 C．若m＞1，则函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧 D．若m＜﹣1，则函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义和性质，分别计算各选项下函数的表达式，判断开口方向、对称轴位置等． 【解答】解：A、当m＝1时，y＝0•x2+0•x+2＝2，为常数函数，图象平行于x轴，不平行于y轴，∴A错误； B、当m＝﹣1时，y＝0•x2+（﹣2）x+0＝﹣2x，过原点，但斜率k＝﹣2＜0，图象经过第二、四象限，不经过第一、三象限，∴B错误； C、当m＞1时，a＝m2﹣1＞0，开口向上；b＝m﹣1＞0，对称轴 ，在y轴左侧，∴C错误； D、当m＜﹣1时，a＝m2﹣1＞0，开口向上；b＝m﹣1＜0，对称轴 ，在y轴右侧，D正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义和性质，准确分析判断是解题的关键． 16．[24-25九年级上•上海•长宁区期中]二次函数y＝（a2+1）x2﹣3x+1的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据二次函数图象与系数的关系解答即可． 【解答】解：∵a2+1＞0， ∴抛物线开口向上， ∵b＝﹣3＜0， ∴对称轴在y轴的右侧， ∵c＝1＞0， ∴抛物线与y轴正半轴相交， ∴抛物线过一、二、四象限， ∴抛物线不经过第三象限． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是关键． 17．[25-26九年级上•上海青浦区期中]二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的x与y的部分对应值如下表，则当x＝5时，y的值为__ ． x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 15 10 7 6 7 … 【答案】15． 【分析】根据表格数据可得该二次函数的对称轴为直线x＝2，进而利用二次函数的对称性可得x＝5对应的函数值与x＝﹣1对应的函数值相等，进而可求解． 【解答】解：由表格数据可知该函数图象的对称轴为直线， ∴x＝5和x＝﹣1的函数值相等，即y＝15， 故答案为：15． 【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答的关键． 18．[25-26九年级上•上海静安区期中]若二次函数y＝x2﹣（a+3）x+4的顶点在y轴上，则a＝__ ． 【答案】﹣3． 【分析】把解析式化为顶点式，再根据顶点横坐标为0求出a． 【解答】解：把二次函数y＝x2﹣（a+3）x+4写成顶点式为y＝（x）2+4﹣（）2， ∵当顶点在y轴上， ∴0， 解得a＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，关键是把解析式化为顶点式． 19．[24-25九年级上•上海普陀区期中]已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+3a2﹣6，当x＜0时，y随x的增大而减小．且当﹣1≤x≤3时，y有最大值16．则a的值为__ ． 【答案】2 【分析】求出对称轴为直线x＝2，根据当x＜0时，y随x的增大而减小，即可得到开口向上，a＞0，由当﹣1≤x≤3时，y有最大值16，可知当x＝﹣1时，y＝16，即可得到a+4a+3a2﹣6＝16，解方程即可求得a的值． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3a2﹣6， ∴对称轴为直线x2， ∵当x＜0时，y随x的增大而减小， ∴开口向上，a＞0， ∵当﹣1≤x≤3时，y有最大值16， ∴当x＝﹣1时，y＝16， ∴a+4a+3a2﹣6＝16， 解得a或a＝2， ∵a＞0， ∴a的值为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，得到关于a的方程是解题的关键． 20．[24-25九年级上•上海普陀区期中]抛物线y＝﹣2（x﹣5）（x+3）的对称轴是直线_____________． 【答案】x＝1 【分析】先化为一般式，再根据对称轴为直线求解即可． 【解答】解：将解析式化为一般式得：y＝﹣2x2+4x+30， ∴对称轴是直线， 故答案为：x＝1． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握对称轴为直线是解题的关键． 21．[24-25九年级上•上海青浦区期中]已知函数y＝（a2+1）x2+a2x+1，在x＜﹣1范围内，函数y的值随x的值的增大而_____________． 【答案】减小． 【分析】首先根据a2+1≥1得到抛物线开口向上，然后判断出对称轴为直线，进而求解即可． 【解答】解：由a2+1≥1可知抛物线开口向上， 对称轴为直线：， ∴在x＜﹣1范围内，函数y的值随x的值的增大而减小． 故答案为：减小． 【点评】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是关键． 22．[24-25九年级上•上海长宁区期中]已知抛物线y为常数）的顶点为A，与y轴交于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为点C．若△ABC是等腰直角三角形，则BC＝ __ ____________． 【答案】4． 【分析】依据题意，先分别求出点A、B、C的坐标，再由等腰直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，建立方程，求出b的值即可． 【解答】解：∵yx2+bx+c（x﹣b）2+cb2， ∴顶点A的坐标为（b，cb2），对称轴为直线x＝b， 当x＝0时，y＝c， ∴B（0，c）， ∵点B关于抛物线对称轴的对称点为C， ∴C（2b，c）， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴2b＝2（cb2﹣c）， 解得b＝0或b＝2， ∵b＞0， ∴b＝2， ∴BC＝4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查二次函数的图象及性质、等腰直角三角形，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 题型4 二次函数图象上点的坐标特征 【模型】认＂抛物线上的点坐标满足函数解析式＂→直接套代入验证、对称性质、函数值比较结论，不做复杂变形。 【步骤】①代入验证：点在抛物线上则横纵坐标满足解析式，代入可求参数值或判断点是否在图象上；②对称定位：横坐标到对称轴距离相等的点纵坐标相等，对称点横坐标之和等于对称轴的2倍；③值数互推：已知横坐标代入求纵坐标，已知纵坐标解方程求对应横坐标，结合图象取舍。 【易错】代入坐标时横纵坐标位置混淆，导致参数计算错误；利用对称性时记错对称点横坐标关系，符号或倍数出错；比较函数值时忽略开口方向，仅按横坐标大小判断纵坐标大小；已知函数值求横坐标时漏解，只保留一个解忽略抛物线的对称性。 23．[24-25九年级上•上海•松江区期中]已知A（﹣1，y1）、B（3，y2）是抛物线y＝x2﹣2x+c上两点，那么y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定 【答案】C 【分析】先求出抛物线的对称轴，再由开口方向向上，根据抛物线上的点离对称轴的水平距离的大小判断即可． 【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x+c可得，抛物线的对称轴为直线x＝1， ∵1＞0， ∴抛物线开口向上， ∵1﹣（﹣1）＝3﹣1， ∴y1＝y2， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是关键． 24．[24-25九年级上•上海浦东新区期中改编]抛物线y＝x2﹣2x+m过三点（2026，y1），（﹣2026，y2），（2027，y3），则（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1 【答案】D 【分析】根据抛物线解析式得到抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，利用二次函数的对称性和增减性即可判断． 【解答】解：∵抛物线解析式为y＝x2﹣2x+m， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大， ∵（﹣2026，y2）关于对称轴的对称点为（2028，y2），且1＜2026＜2027＜2028， ∴y2＞y3＞y1， 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 25．[24-25九年级上•上海黄浦区期中]已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）的图象上有A（，y1）、B（，y2）两个点，则（　　） A．y1＝y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．无法确定 【答案】B 【分析】A、B的坐标两个点的横坐标离对称轴的距离，二次函数图象上点的横坐标离对称轴越近，对应的纵坐标越小；判断出y1、y2的大小关系． 【解答】解：∵y＝a（x﹣1）2+k（a＞0） ∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，开口向上． ∵点A横坐标到对称轴的距离是|1|， 点B到横坐标对称轴的距离是|1|， ∴y1＞y2． 故选：B． 【点评】本题考查判断函数值大小，正确掌握二次函数图象的性质是解题关键． 26．[25-26九年级上•上海浦东新区期中]二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … 则当x＝2时对应的函数值y＝________． 【答案】﹣8． 【分析】根据表格中的数据可以得到该函数图象的对称轴，再根据二次函数具有对称性，即可得到x＝2对应的函数值． 【解答】解：由表格可得， 当x＝﹣3时，y＝7，当x＝5时，y＝7， ∴该函数图象的对称轴为直线x1， ∴当x＝2和x＝0对应的函数值相等， ∵x＝0时，y＝﹣8， ∴x＝2时，y＝﹣8， 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 27．[24-25九年级上•上海徐汇区期中]如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为________． 【答案】（，2） 【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D（0，2），且DC∥x轴，从而求得P的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得P的坐标． 【解答】解：∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上， ∴4＝4a，解得a＝1， ∴抛物线为y＝x2， ∵点A（﹣2，4）， ∴B（﹣2，0）， ∴OB＝2， ∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD， ∴D点在y轴上，且OD＝OB＝2， ∴D（0，2）， ∵DC⊥OD， ∴DC∥x轴， ∴P点的纵坐标为2， 代入y＝x2，得2＝x2， 解得x＝±， ∴P（，2）． 故答案为（，2）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得P的纵坐标是解题的关键． 28．[24-25九年级上•上海静安区期中]如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（1，0），（﹣3，0），如果实数P表示9a﹣3b+c的值，实数Q表示a+b的值，那么P、Q的大小关系为（　　） A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法确定 【答案】A 【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（1，0），（﹣3，0），得P＝9a﹣3b+c＝0，对称轴为直线x1，根据抛物线开口向下，得a＜0，b＜0，所以Q＝a+b＜0，即可得出答案． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（1，0），（﹣3，0）， ∴P＝9a﹣3b+c＝0，对称轴为直线x1． ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵1， ∴b＝2a＜0， ∴Q＝a+b＜0， ∴P＞Q． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象与系数是解题的关键． 提升·进阶突破 题型1 二次函数图象与系数的关系 【模型】认＂及特殊组合式的符号＂一直接套抛物线与系数的对应结论，数形互推不硬算。 【步骤】①定基础系数：由开口方向定的符号，由抛物线与轴交点位置定的符号；②判与组合式：依对称轴位置用＂左同右异＂判的符号，结合对称轴公式推导等组合式的符号；③验综合特征：由判别式判断与轴的交点个数，代入等特殊值验证复杂代数式的符号。 【易错】记错＂左同右异＂规律，导致的符号判断颠倒；混淆对称轴与的数量关系，倍数计算出错；特殊点代入时符号处理失误；由系数反推图象时考虑不全，出现漏解；忽略的作用，错判抛物线与轴的交点个数。 29．[普陀区期中]二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＞0，b＜0，c＜0 C．a＞0，b＞0，c＞0 D．a＜0，b＞0，c＜0 【答案】A 【分析】根据函数图象可以判断a、b、c的正负情况，从而可以解答本题． 【解答】解：由函数图象，可得 函数开口向上，则a＞0， 顶点在y轴左侧，则b＞0， 图象与y轴交点在y轴负半轴，则c＜0， 故选：A． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是明确a、b、c的符号根据图象如何判断． 30．[25-26九年级上•上海浦东新区期中]如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③2a+b＝0；④4a﹣2b+c＜0，正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点可判定①；由抛物线与x轴的交点可判定②；由对称轴可判定③；由图象知，当x＝﹣2时函数值为负，即可判定④，最后可确定答案． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a， 由图象知，抛物线开口向下，则a＜0， ∴b＞0， 抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，则c＞0， ∴abc＜0， 故结论①错误，不符合题意； 由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点，即y＝ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数解， ∴b2﹣4ac＞0， 故结论②正确，符合题意； ∵b＝﹣2a， ∴2a+b＝0， 故结论③正确，符合题意； 由图象知，当x＝﹣2时y＜0，即y＝（﹣2）2a+（﹣2）b+c＝4a﹣2b+c＜0， 故结论④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论是②③④，共3个， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 31．[24-25九年级上•上海青浦区期中]已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③3a+c＞0；④am2+bm≥a+b（m为任意实数）；⑤若（﹣5，y1），（﹣2，y2），（3，y3）是抛物线上三点，则y1＞y2＞y3；⑥关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；其中正确的个数是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】由图象可知，a＞0，对称轴为直线，即b＝﹣2a＜0，当x＝1时，y＝a+b+c最小，当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＝0时，y＝c＜0，则abc＞0，可判断①的正误；当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，可判断②的正误；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＜0，可判断③的正误；由am2+bm+c≥a+b+c，可得am2+bm≥a+b（m为任意实数），可判断④的正误；（3，y3）关于对称轴对称的点坐标为（﹣1，y3），由﹣5＜﹣2＜﹣1＜1，可得y1＞y2＞y3，可判断⑤的正误；由题意知，y＝1，y＝ax2+bx+c有两个不同的交点，即关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；可判断⑥的正误． 【解答】解：①由图象可知，a＞0，对称轴为直线x＝1，即b＝﹣2a＜0， 当x＝1时，y最小＝a+b+c， 当x＝0时，y＝c＜0， ∴abc＞0，①正确，故符合要求； ②当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，②正确，故符合要求； ③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＜0，③错误，故不符合要求； ④由am2+bm+c≥a+b+c可知am2+bm≥a+b（m为任意实数），④正确，故符合要求； ⑤∵﹣5＜﹣2＜﹣1＜1， ∴y1＞y2＞y3，⑤正确，故符合要求； ⑥由题意知，关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；⑥正确，故符合要求． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系并数形结合是解题的关键． 32．[25-26九年级上•上海浦东新区期中]二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论中不正确的是（　　） A．3a+c＜0 B．a﹣b≤am2+bm（m为任意实数） C．9a﹣3b+c＜0 D．关于x的方程|ax2+bx+c|＝1有四个根 【答案】B 【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【解答】解：∵该函数的对称轴为1， ∴b＝2a， 当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故A正确； 由题意，当x＝﹣1时，该函数取得最大值，故am2+bm+c≤a﹣b+c（m为任意实数），即am2+bm≤a﹣b（m为任意实数），故B错误； ∵对称轴是直线x＝﹣1， ∴当x＝﹣3时的函数值与当x＝1时的函数值相等， ∵当x＝1时，y＜0， ∴当x＝﹣2时，y＝9a﹣3b+c＜0，故C正确； y＝|ax2+bx+c|的函数图象即为y＝ax2+bx+c的x轴下侧图象翻转到x轴上方，|ax2+bx+c|＝1的根个数即为y＝|ax2+bx+c|图象和y＝1直线的交点个数，根据图象可得为4个． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 33．[25-26九年级上•上海青浦区期中]如图，二次函数：y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为（﹣1，0），则下面的五个结论： ①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③当y＜0时，x＜﹣1或x＞3；④2c+3b＝0；⑤a+b≥m（am+b）（m为实数），其中正确的结论是（　　） A．②③④⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【答案】D 【分析】依据开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标判断①，特殊点判断②，图象法解不等式，判断③，特殊点结合对称轴，判断④，最值判断⑤． 【解答】解：∵抛物线的开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为， ∴b＝﹣2a＞0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵对称轴为直线x＝1， ∴x＝2与x＝0的函数值相等，即：4a+2b+c＝c＞0，故②正确； ∵点（﹣1，0）关于x＝1的对称点为（3，0）， ∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3；故③正确； ∵图象过点（﹣1，0），b＝﹣2a， ∴， ∴2c﹣3b＝0；故④错误； ∵抛物线的开口向下， ∴当x＝1时，函数值最大， 即：a+b+c≥am2+bm+c， ∴a+b≥m（am+b）；故⑤正确； 综上，正确的结论是①②③⑤； 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，掌握二次函数的性质是解题的关键． 34．[25-26九年级上•上海崇明区期中]二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①c＞0；②；③a+b+c＜0；④当﹣3＜x＜2时，y＞0．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据二次函数图象与x轴的交点，与y轴的交点，对称轴，逐一对各结论进行判断，即可得到结果． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴的正半轴相交， ∴c＞0， 故结论①正确，符合题意； ∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴的左侧， ∴＜0， 故结论②正确，符合题意； ∵当x＝1时，y＞0， ∴a+b+c＞0， 故结论③不正确，不符合题意； ∵当﹣3＜x＜2时，函数图象位于x轴的上方， ∴当﹣3＜x＜2时，y＞0， 故结论④正确，符合题意． ∴正确的结论为①②④． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 35．[24-25九年级上•上海青浦区期中]如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且该抛物线与x轴交于点A，与y轴的交点B在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（不含端点），下列四个结论中，正确的是（　　） A．abc＞0 B．2a+b＝0 C．4a+2b+c＜0 D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标、根与系数的关系等知识，逐个判断即可． 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴为直线x＝﹣1＜0，a、b同号， ∴b＞0， ∵与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣3）之间， ∴﹣3＜c＜﹣2＜0， ∴abc＜0， 故A不正确； ∵对称轴为直线x＝﹣1， ∴， ∴b＝2a， ∴2a+b＝2a+2a＝4a＞0， 故B不正确； 由图可得，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0， 故C不正确； 由题意可得，方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝﹣3， ∵，即c＝﹣3a， ∵﹣3＜c＜﹣2， ∴﹣3＜﹣3a＜﹣2， 因此， 故D正确； 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，掌握二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提． 36．[24-25九年级上•上海徐汇区期中]如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，直线x＝﹣1是对称轴，且经过点（2，0）．有下列判断：①2a﹣b＝0；②16a﹣4b+c＜0；③a﹣b+c＝﹣9a；④若A（﹣3，y1），B（1.5，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】①根据直线x＝﹣1是对称轴，确定b﹣2a的值； ②根据x＝﹣4时，y＝0确定16a﹣4b+c＝0的符号； ③根据x＝﹣4时，y＝0，求得c＝﹣8a，即可得到结论； ④根据抛物线的对称性，得到y1与y2的大小关系即可． 【解答】解：∵直线x＝﹣1是对称轴， ∴，即b＝2a， ∴2a﹣b＝0，故①正确； ∵直线x＝﹣1是对称轴，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（2，0）， ∴抛物线经过点（﹣4，0）， ∴当x＝﹣4时，y＝0， 即y＝ax2+bx+c＝16a﹣4b+c＝0，故②错误； 当x＝﹣4时，y＝ax2+bx+c＝16a﹣4b+c＝16a﹣4×2a+c＝8a+c＝0， ∴c＝﹣8a， ∴a﹣b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小， ∵|﹣3﹣（﹣1）|＝2，，（﹣3，y1）与是抛物线上两点， ∴y1＞y2，故④正确， 综上，正确的是①③④，故B正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质并数形结合是解题的关键． 37．[24-25九年级上•上海宝山区期中]如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论中正确的有（　　） ①abc＜0；②4ac﹣b2＞0；③c﹣a＞0；④当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在y轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故①错误；根据抛物线与x轴有两个交点，可得：b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故②错误；根据b＝2a，代入4ac﹣b2＜0，故可以判断③；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y＝an2（n2+2）+c≥c，故④正确． 【解答】解：由题意可得a＞0，c＞0， 又对称轴为直线x＝﹣1， ∴， ∴b＝2a＞0， ∴abc＞0，故①错误； 由题意可得：b2﹣4ac＞0， ∴4ac﹣b2＜0，故②错误； 又∵b＝2a， ∴4ac﹣4a2＜0， ∴c﹣a＜0，故③错误； 当x＝﹣n2﹣2为实数时， y＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c ＝a（n2+2）2﹣b（n2+2）+c ＝（an2+2a﹣b）（n2+2）+c ＝an2（n2+2）+c≥c， ∴当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c，故④正确， 故选：A． 【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，解题的关键是数形结合． 38．[25-26九年级上•上海青浦区期中]二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，已知它与x轴的一个交点坐标是（6，0），且对称轴是直线x＝2． （1）填空： ①a与b的数量关系为：b＝________； ②图象与x轴的另一个交点坐标为________． （2）如果该函数图象经过点（0，﹣3），求它的顶点坐标． 【答案】（1）①﹣4a；②（﹣2，0）； （2）（2，﹣4）． 【分析】（1）根据二次函数的对称轴可知a，b之间的关系，根据函数的对称轴，与x轴的一个交点坐标，可得到其图象与x轴的另一个交点坐标； （2）根据题意，设出二次函数的解析式，代入相应的点坐标，再把解析式化为顶点式，得到顶点坐标． 【解答】解：（1）①二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2， ∴2， ∴b＝﹣4a； ②二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴的一个交点坐标是（6，0），对称轴是直线x＝2， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）， 故答案为：①﹣4a；②（﹣2，0）； （2）∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴交点坐标为（﹣2，0）（6，0）， ∴设二次函数解析式为y＝a（x+2）（x﹣6）， ∵函数图象经过点（0，﹣3）， ∴﹣3＝a（0+2）（0﹣6）， ∴a， ∴y（x﹣2）2﹣4， ∴顶点坐标为（2，﹣4）． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 题型2 二次函数图象与几何变换 【模型】认＂平移、轴对称、旋转三类图象变换＂一直接套顶点变换规律，抓顶点定图象，不硬算全式。 【步骤】①化顶点式：将原二次函数整理为顶点式，确定原顶点坐标与开口方向；②变顶点：按变换规侧更新顶点，平移依＂左加右减、上加下减＂，轴对称对应坐标变号、开口按需反向，旋转180°顶点不变、开口反向；③写新解析式：由变换后的顶点与开口方向写出新顶点式，按需化为一般式。 【易错】混淆平移＂左加右减＂的作用对象，误对常数项加减导致平移方向颠倒；轴对称变换仅改顶点坐标，遗漏二次项系数变号；旋转180°时错误移动顶点位置，或未改变开口方向；多步变换顺序颠倒，导致最终解析式出错；一般式转化时展开计算符号失误。 39．[25-26九年级上•上海浦东新区期中]将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2先向上平移4个单位，再向左平移5个单位，所得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝（x﹣8）2﹣6 B．y＝（x﹣8）2+2 C．y＝（x+2）2﹣6 D．y＝（x+2）2+2 【答案】D 【分析】根据二次函数图象的平移规律解答即可． 【解答】解：将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2先向上平移4个单位，再向左平移5个单位，所得到的抛物线的解析式为y＝（x﹣3+5）2﹣2+4，即y＝（x+2）2+2． 故选：D． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减，上加下减”的法则是解题的关键． 40．[25-26九年级上•上海静安区期中]把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是________． 【答案】y（x﹣2）2+2． 【分析】根据平移规律解答即可． 【解答】解：抛物线yx2右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为y（x﹣2）2+2， 故答案为：y（x﹣2）2+2． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 41．[24-25九年级上•上海虹口区期中]把函数y＝2x2的图象平移变换，得到函数y＝2（x+2）2﹣3的图象，需要（　　） A．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 B．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 D．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 【答案】A 【分析】根据二次函数的平移规律：上加下减，左减右减，即可作答． 【解答】解：把函数y＝2x2的图象平移变换，得到函数y＝2（x+2）2﹣3的图象，平移的方式为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变化，掌握平移规律：上加下减，左减右减，是关键． 42．[24-25九年级上•上海嘉定区期中]如果抛物线向右平移一个单位后，顶点落在抛物线上，那么a的值等于________． 【答案】2． 【分析】先根据平移的规律：“左加右减，上加下减”求出平移后的抛物线的解析式，然后求出顶点坐标代入y＝x2﹣2ax+4即可求得a的值． 【解答】解：∵将抛物线向右平移一个单位后得到y＝（x﹣1）2+1， ∴顶点坐标为（1，1）， ∴12﹣2a+4＝1， ∴a＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 43．[25-26九年级上•上海上海期中]在直角坐标系中，点P是抛物线y＝2（2﹣x）（x+1）的顶点， （1）用配方法求此抛物线顶点P的坐标； （2）将上述抛物线平移后顶点坐标为Q（0，1），求平移后的抛物线的表达式． 【答案】（1）； （2）y＝﹣2x2+1． 【分析】（1）先转化成一般形式，再利用配方法变形即可； （2）根据平移后的顶点坐标可得出解析式． 【解答】解：（1）先转化成一般形式，再利用配方法变形可得： ∵y＝2（2﹣x）（x+1）＝2（2x+2﹣x2﹣x）＝﹣2x2+2x+4， ∴y＝﹣2x2+2x+4 ＝（﹣2x2+2x）+4 ， ∴顶点坐标为； （2）∵抛物线平移后顶点坐标为Q（0，1）， ∴y＝﹣2（x﹣0）2+1＝﹣2x2+1． 【点评】本题主要考查了二次函数顶点坐标和函数图象的平移，准确分析计算是解题的关键． 44．[24-25九年级上•上海浦东新区期中]如图，将抛物线P：y＝x2+2x+m平移后得到抛物线P2：y＝x2﹣5x+n两抛物线与y轴分别交于点C，D．抛物线P1，P2的交点E的横坐标是1，过点E作x轴的平行线，分别交抛物线P1，P2于点A，B． （1）求点A的横坐标． （2）求线段CD的长度． 【答案】（1）点A的横坐标为﹣3； （2）CD＝7． 【分析】（1）根据对称轴公式直接求抛物线P1的对称轴，以及A，E关于对称轴为直线x＝﹣1对称和点E的横坐标直接求出点A的横坐标； （2）求出C，D的坐标即可求出CD的长． 【解答】解：（1）抛物线P1：y＝x2+2x+m的对称轴为直线x1， ∵AB∥x轴， ∵点A与点E关于对称轴为直线x＝﹣1对称， ∴点A的横坐标为﹣3； （2）∵点E是抛物线C1与抛物线C2的交点， ∴1+2+m＝1﹣5+n， ∴m＝n﹣7， ∴n﹣m＝7， 令x＝0，则C（0，m），D（0，n）， ∴CD＝n﹣m＝7． 【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，关键是判断点A与点E关于对称轴为直线x＝﹣1对称． 45．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：如图， 令，即，解得或，则点，， ∴， ∴向右平移两个长度单位得， ∵， ∴解析式为， 当与相切时，令，即， ∵， ∴； 当过点B时，即， ∴， ∴当时直线与、共有3个不同交点． 故选：D． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 46．如图，将函数的图像沿y轴向上平移得到一条新函数的图像，其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图像的函数表达式是___________． 【答案】 【分析】先根据二次函数图像上点的坐标特征求出两点的坐标，再过A作轴，交的延长线于点C，则，，根据平移的性质以及曲线段扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出，然后根据平移规律即可求解． 【详解】解：∵函数的图像过点，， ∴，， ∴， 过A作轴，交的延长线于点C，则， ∴， ∵曲线段扫过的面积为9（图中的阴影部分）， ∴， ∴， 即将函数的图像沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图像， ∴新图像的函数表达式是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数图像与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出是解题关键． 47．本题探究函数的图像，请按要求探究并解决问题． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下，求表中的值； … 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … … 3 1.25 0 0.75 1 0.75 0 1.25 … （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出了部分点，画出了部分图象；请在答题卷上描出另一部分点，并画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，并根据函数图象解决下面问题: ①若方程有4个实数根，求实数的取值范围； ②若是方程的一个实数根，结合的图像，直接写出方程的另外实数根． 【答案】（1）；（2）描点，画函数图象见解析；（3）①；②另外实数根为或； 【分析】（1）将代入，即可求解； （2）利用描点法画出函数图像即可； （3）①观察函数图像，找出图像与平行于轴直线的交点个数为4个是对应的取值范围即可；②根据题意求得，作出的图像，观察图像求解即可． 【详解】解：（1）将代入得，，即； （2）描点，画函数图象，如下： （3）①∵方程有4个实数根 ∴函数的图像与有四个交点， 由函数的图像可知：取值范围为﹔ ②∵是方程的一个实数根，则， 故， 函数的图像如下： 观察图像可得另外实数根为或； 【点睛】此题考查了求函数值、描点法作函数图像，函数与方程的关系等，熟练掌握函数的基本性质和数形结合的函数思想是解题的关键． 题型3 二次函数的最值 【模型】认＂顶点坐标与自变量取值范围＂一直接套顶点最值结论，结合区间端点比对。 【步骤】①化顶点式：将函数配方为顶点式，确定顶点坐标与开口方向；②判范围：明确自变量的取值区间，判断顶点横坐标是否落在区间内；③定最值：顶点在区间内，顶点处取对应最值，再比较两端点函数值得另一最值；顶点不在区间内，依区间单调性比较端点函数值得最值。 【易错】默认自变量取全体实数，忽略限定区间，顶点不在区间内仍套用顶点最值；开口方向判断错误，混淆最大值与最小值的位置；实际应用类问题未考虑自变量的实际意义，取值范围判断出错；多端点区间漏算某一端点的函数值，导致最值找错。 48．[青浦区期中]已知抛物线y＝（a﹣1）x2+a2﹣1的最高点为（0，3），则a＝________． 【答案】﹣2． 【分析】把（0，3）代入y＝（a﹣1）x2+a2﹣1即可求出的a值． 【解答】解：把（0，3）代入y＝（a﹣1）x2+a2﹣1得，a2﹣1＝3， ∴a2＝4， ∴a＝±2， 又因为有最高点， ∴a﹣1＜0，a＜1， ∴a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的特征，掌握函数图象上点的性质是解题的关键． 49．[浦东新区期中]二次函数y＝x2﹣4x图象上的最低点的纵坐标为________． 【答案】﹣4． 【分析】将二次函数解析式化为顶点式求解． 【解答】解：∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4， ∴抛物线最低点坐标为﹣4． 故答案为﹣4． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数一般式与顶点式的转化． 50．[25-26九年级上•上海静安区期中]二次函数y＝x2+4x+a图象上的最低点的横坐标为________． 【答案】﹣2 【分析】直接利用二次函数最值求法得出函数顶点式，进而得出答案． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x+a＝（x+2）2﹣4+a， ∴二次函数图象上的最低点的横坐标为：﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】此题主要考查了二次函数的最值，正确得出二次函数顶点式是解题关键． 51．[奉贤区期中]如果抛物线y＝（m+1）x2的最低点是原点，那么实数m的取值范围是________． 【答案】m＞﹣1 【分析】直接利用二次函数的性质得出m+1的取值范围进而得出答案． 【解答】解：∵抛物线y＝（m+1）x2的最低点是原点， ∴m+1＞0， 解得：m＞﹣1． 故答案为：m＞﹣1． 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题关键． 52．[青浦区期中]已知x﹣y2+4＝0，求u＝y4+2x的最小值． 【答案】﹣8． 【分析】由x﹣y2+4＝0得到y2＝x+4≥0，求得x≥﹣4，代入u＝y4+2x，整理得到u＝（x+5）2﹣9，再用二次函数的性质求解即可． 【解答】解：∵x﹣y2+4＝0， ∴y2＝x+4， ∴x+4≥0， ∴x≥﹣4， ∴u＝y4+2x＝（x+4）2+2x＝（x+5）2﹣9， ∵1＞0， ∴u＝y4+2x的最小值是﹣8． 【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数的性质，把u＝y4+2x整理得到u＝（x+5）2﹣9是解题的关键． 53．[静安区期中]如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2+x＝0是“差1方程”．若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”设t＝10a﹣b2，t的最大值为________． 【答案】9 【分析】根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出a与b的关系式，再由t＝10a﹣b2，得r与a的关系，从而得出最后结果． 【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”， ∴Δ＝b2﹣4a×1＝b2﹣4a＞0， 解方程得x， ∴1， ∴b2＝a2+4a， ∵t＝10a﹣b2， ∴t＝10a﹣a2﹣4a＝6a﹣a2＝﹣（a﹣3）2+9， ∵﹣1＜0， ∴a＝3时，t的最大值为9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是熟练运用一元次方程的解法以及正确理解“差l方程”的定义． 54．点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．把点代入求出t的值，即可得到，然后根据m的取值范围得到最值求差解题即可． 【详解】解：， ， 解得：或 (舍去)， ， ， ∴抛物线的对称轴为直线：， ， ， 当时，有最大值，， 当时，有最小值， ， ∴函数的最大值与最小值的差为， 故选：D． 题型4 待定系数法求二次函数解析式 【模型】认＂已知点的类型特征＂一选对应解析式形式，代入列方程求解，不盲目套一般式。 【步骤】①选形式：已知任意三点选一般式，已知顶点或最值选顶点式，已知与x轴两交点选交点式；②代点列方程：将已知点坐标代入所选解析式，得到方程或方程组；③求解写式：解方程求出各系数的值，代回原式，整理为规范的解析式形式。 【易错】盲目选用一般式，计算量大且易出错；顶点式记错符号，误将顶点写成；交点式漏负号，错写为；代入坐标时横纵坐标位置混淆，方程组求解计算失误；求出系数后未整理化简，解析式书写不规范。 55．[静安区期中]小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 6 7 6 3 … 请根据表格中的信息，写出抛物线C1的解析式：________________． 【答案】y＝﹣x2+4x+3． 【分析】从表格中找三组x，y的对应值代入二次函数的表达式进行计算即可． 【解答】解：把（0，3）（1，6）（2，7）代入y＝ax2+bx+c中得： ， 解得：， ∴抛物线C1的解析式为：y＝﹣x2+4x+3， 故答案为：y＝﹣x2+4x+3． 【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 56．[24-25九年级上•上海静安区期中]二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ﹣1 ？ 3 … （1）由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图象的顶点D的坐标； （2）如果该二次函数图象与y轴交于点A，点P（5，t）是图象上一点，求△PAD的面积． 【答案】（1）y＝（x﹣2）2﹣1，（2，﹣1）； （2）15． 【分析】（1）利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝2，则顶点D的坐标为（2，﹣1），设顶点式y＝a（x﹣2）2﹣1，然后把（0，3）代入求出a即可； （2）先利用抛物线解析式确定P（5，8），A（0，3），然后用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△PAD的面积． 【解答】解：（1）∵抛物线经过点（0，3），（4，3）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴抛物线的顶点D的坐标为（2，﹣1）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1， 把（0，3）代入得3＝a×（0﹣2）2﹣1， 解得a＝1， ∴抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣1； （2）把P（5，t）代入y＝（x﹣2）2﹣1得t＝9﹣1＝8， ∴P（5，8）， ∵A（0，3）， ∴△PAD的面积＝5×93×92×45×5＝15． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 57．[普陀区期中]已知二次函数y＝ax2+bx+c（其中a、b、c为常数，且a≠0）的自变量x的值与它对应的函数值y如下表所示： x … ﹣1 0 1 3 … y … 0 m n 0 … （1）该二次函数图象的对称轴是直线 __ ． （2）如果n＝﹣2，求此二次函数的解析式及其图象与y轴的交点坐标． 【答案】（1）x＝1； （2）此二次函数的解析式为yx2﹣x，其图象与y轴的交点坐标是（0，）． 【分析】（1）根据二次函数图象具有对称性和表格中的数据，可以得到该函数的对称轴； （2）利用待定系数法即可求得此二次函数的解析式，然后把x＝0代入解析式即可求得其图象与y轴的交点坐标． 【解答】解：（1）由表格可知，x＝﹣1和x＝3时，y都为0， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x1， 故答案为：x＝1； （2）如果n＝﹣2，则此二次函数经过点（﹣1，0），（3，0），（1，﹣2）， 设二次函数为y＝a（x+1）（x﹣3）， 代入（1，﹣2）得，﹣2＝﹣4a， 解得a， ∴y（x+1）（x﹣3）， ∴此二次函数的解析式为yx2﹣x， 令x＝0，则y， ∴其图象与y轴的交点坐标是（0，）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 58．[奉贤区期中]请你写出一个抛物线使它满足以下条件：（1）开口向下，（2）顶点坐标为（1，3），则这个抛物线的表达式是________________． 【答案】y＝﹣x2+2x+2（答案不唯一）． 【分析】由开口向下可知二次项系数小于0，根据顶点坐标公式可设其为顶点式，可求得答案． 【解答】解：∵顶点坐标为（1，3）， ∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+3， ∵图象开口向下， ∴a＜0， ∴可取a＝﹣1， ∴抛物线解析式可以为y＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣x2+2x+2， 故答案为：y＝﹣x2+2x+2（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）． 59．[25-26九年级上•上海青浦区期中]如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点在y轴上，那么这条抛物线的表达式可以是________________．（只需写一个） 【答案】y＝x2﹣1（答案不唯一）． 【分析】二次函数y＝a（x﹣k）2+h的顶点坐标为（h，k），据此求解即可． 【解答】解：抛物线的顶点在y轴上，取a＝1，顶点坐标为（0，﹣1）时， 抛物线的表达式为：y＝x2﹣1， 故答案为：y＝x2﹣1（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了二次函数的表达式．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是关键． 题型5 抛物线与x轴的交点 【模型】认＂判别式与交点个数的对应关系＂→直接套的判定结论，解方程求交点坐标。 【步骤】①算判别式：代入系数求，根据的符号判定交点个数；②求交点坐标：令，解一元二次方程，方程的根即为交点的横坐标；③推相关结论：结合开口方向判断交点附近函数值符号，或用根与系数的关系求交点间距、坐标和积。 【易错】记错与交点个数的对应关系，时误判为无交点；解方程计算失误，导致交点坐标求错；含参数问题忽略二次项系数不为0的前提，造成的范围出错；判断函数值正负时脱离开口方向，仅靠根的大小直接下结论。 60．[25-26九年级上•上海浦东新区期中]已知二次函数y＝2x2+bx+1的图象与x轴有且只有一个交点，则b＝________． 【答案】． 【分析】二次函数图象与x轴有且只有一个交点时，判别式为零，由此建立方程求解即可． 【解答】解：由题意可得： 故Δ＝b2﹣4ac＝0， 即b2﹣8＝0， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的图象与坐标轴的交点问题，正确进行计算是解题关键． 61．[25-26九年级上•上海上海期中]二次函数y＝2x2﹣3x的图象与x轴的交点坐标是________________． 【答案】（0，0）和． 【分析】令二次函数解析式中y＝0，得到关于x的一元二次方程，求出方程的解可得出二次函数与x轴的交点坐标． 【解答】解：令y＝0代入y＝2x2﹣3x，得方程2x2﹣3x＝0， 因式分解得：x（2x﹣3）＝0， ∴x＝0或， ∴交点坐标是（0，0）和． 故答案是：（0，0）和． 【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，要求二次函数与x轴的交点，即要y＝0，得到关于x的方程来求解． 62．[25-26九年级上•上海浦东新区期中]我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“镜像”函数．如图所示，某数学兴趣小组画出了“镜像”函数G：y＝|x2﹣x﹣6|的图象，则当直线y＝﹣x+m与函数G的图象有2个交点时，m的取值范围是________________． 【答案】﹣2＜m＜3或m＞7． 【分析】依据题意，由图可知，当直线y＝﹣x+m与函数G在﹣2＜x＜3之间的图象相切时，恰好有三个交点，当直线y＝﹣x+m过点B时，直线与函数图象恰好有三个交点，解得此时m的值，即可求解． 【解答】解：由题意，如图，当直线y＝﹣x+m过点B时，直线与函数G的图象恰好有三个交点， ∴0＝﹣3+m， ∴m＝3， 当直线y＝﹣x+m过点A时，直线与函数G的图象恰好有一个交点， ∴0＝﹣（﹣2）+m， ∴m＝﹣2， 当﹣2＜x＜3时，y＝﹣x2+x+6， 当直线y＝﹣x+m与函数y＝﹣x2+x+6的图象相切时，恰好有三个交点， 令﹣x+m＝﹣x2+x+6，整理得，x2﹣2x﹣6+m＝0， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣6+m）＝0， ∴m＝7， 综上，结合图象得，当直线y＝﹣x+m与函数G的图象有2个交点时，m的取值范围为﹣2＜m＜3或m＞7． 故答案为：﹣2＜m＜3或m＞7． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 63．[25-26九年级上•上海上海期中]如图，抛物线y＝x2﹣2x与x轴正半轴交于A，直线BC分别交x轴正半轴、y轴正半轴于B、C（B在A的右侧），联结AC交抛物线对称轴于E，抛物线对称轴交x轴于H；若CE平分∠OCB，且∠EBH＝∠OCB，则B的横坐标是________________． 【答案】． 【分析】过点A作AG⊥BC于点G，根据角平分线的性质得出相等的边，根据二次函数的图象和性质求出点的坐标，得到对称轴，求出相关线段的长度，证明△EAH∽△CAO和△ABG∽△CBO，假设AB＝x，利用对应边成比例列出方程求解即可． 【解答】解：如图所示，过点A作AG⊥BC于点G， ∵CE平分∠OCB， ∴AG＝OA， 当y＝0时，x2﹣2x＝0， 解得x＝0或x＝2， ∴A（2，0）， ∴对称轴为直线x＝1， ∴OH＝HA＝1，AG＝OA＝2， ∵∠EAH＝∠CAO，∠EHA＝∠COA＝90°， ∴△EAH∽△CAO， ∴， ∴， 假设AB＝x， 由勾股定理得， ∵∠ABG＝∠CBO，∠AGB＝∠COB＝90°， ∴△ABG∽△CBO， ∴， ∴； ∵∠EBH＝∠OCB，∠EHB＝∠BOC＝90°， ∴， ∴， ∴OC2＝2（x+2）（x+1）， ∴， 整理得x2﹣x﹣4＝0， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，解一元二次方程等内容，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 64．[25-26九年级上•上海崇明区期中]已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P，与y轴相交于点Q． （1）求点P、Q的坐标； （2）将该二次函数图象向上平移，使平移后所得图象经过坐标原点，与x轴的另一个交点为M，求sin∠OMQ的值． 【答案】（1）P（1，﹣4），Q（0，﹣3）； （2）． 【分析】（1）先利用配方法把一般式配成顶点式得到y＝（x﹣1）2﹣4，则根据二次函数的性质得到P点坐标，然后计算自变量为0所对应的函数值得到Q点的坐标； （2）把抛物线y＝x2﹣2x﹣3向上平移3个单位经过坐标原点，则平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣2x，再解方程x2﹣2x＝0得M（2，0），接着计算出MQ的长，然后根据正弦的定义求解． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点P的坐标为（1，﹣4）， 当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3， ∴Q点的坐标为（0，﹣3）； （2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴的交点Q的坐标为（0，﹣3）， ∴把抛物线y＝x2﹣2x﹣3向上平移3个单位经过坐标原点， ∴平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣2x， 当y＝0时，x2﹣2x＝0， 解得x1＝0，x2＝2， ∴M（2，0）， ∴MQ， ∴sin∠OMQ． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和解直角三角形． 64．[25-26九年级上•上海上海期中]如图，已知抛物线y＝a（x﹣2）2﹣4（a≠0）与x轴交于原点O与点A，顶点为点B． （1）求抛物线的表达式以及点A、B的坐标； （2）已知点P（﹣1，t）在抛物线上，联结PB交x轴于E，求面积比的值． 【答案】（1）y＝（x﹣2）2﹣4，A（4，0），B（2，﹣4）； （2）． 【分析】（1）根据抛物线y＝a（x﹣2）2﹣4（a≠0）与x轴交于原点O，可知点O（0，0）在该函数图象上，从而可以求得a的值，再令y＝0求出相应的x的值，即可得到点A、B的坐标； （2）根据点P（﹣1，t）在抛物线上，即可求得t的值，从而得出点P的坐标，然后利用三角形面积公式求得的值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣2）2﹣4（a≠0）与x轴交于原点O， ∴0＝a（0﹣2）2﹣4， 解得a＝1， ∴抛物线的表达式为y＝（x﹣2）2﹣4， ∴顶点B为（2，﹣4）， 当y＝0时，0＝（x﹣2）2﹣4， 解得x1＝0，x2＝4， ∴点A的坐标为（4，0）； （2）∵点P（﹣1，t）在抛物线上， ∴t＝（﹣1﹣2）2﹣4＝5， ∴P（﹣1，5）， ∵B（2，﹣4）， ∴． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得抛物线的解析式是解答本题的关键． 题型6 图象法求一元二次方程的近似根 【模型】认＂抛物线与x轴交点对应方程的根＂一直接套图象定位规律，逐步缩范围，不做精确求根。 【步骤】①对函数：将一元二次方程整理为标准形式，对应写出二次函数解析式；②定区间：画出函数图象，观察抛物线与x轴交点位置，结合交点两侧函数值异号，确定根所在的整数区间；③缩精度：用二分法逐步缩小根的取值范围，直到满足精确度要求，得到方程的近似根。 【易错】方程与函数对应出错，未整理为标准形式就匹配二次函数；判断根的区间时不验证函数值正负，区间定位不准；二分法计算函数值失误，导致近似根偏差大；只找一个根，遗漏方程的另一个近似根；精确度把控不严，区间未达要求就确定近似值。 65．二次函数y＝x2﹣2x+c的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程x2﹣2x+c＝0的较大的根的取值范围是（　　） A．0.4＜x＜0.5 B．0.5＜x＜0.6 C．2.4＜x＜2.5 D．2.5＜x＜2.6 【答案】C 【分析】利用二次函数对称轴公式求出对称轴，结合图象读出较小根的范围，利用两根关于对称轴对称的性质求出较大根的范围． 【解答】解：对称轴为直线， 设x2﹣2x+c＝0的两个根分别为x1，x2，且x1＜x2， 根据函数图象有：﹣0.5＜x1＜﹣0.4， ∵对称轴为直线x＝1， ∴， ∴x1＝2﹣x2， ∴﹣0.5＜2﹣x2＜﹣0.4， ∴2.4＜x2＜2.5． 故选：C． 【点评】本题考查图象法求一元二次方程的近似根，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 66．二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根的取值范围为（　　） x 2.01 2.02 2.03 2.04 y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06 A．2.01＜x＜2.02 B．2.02＜x＜2.03 C．2.03＜x＜2.04 D．x＞2.04 【答案】B 【分析】利用二次函数和一元二次方程的关系． 【解答】解：观察表格可知：当x＝2.02时，y＝﹣0.01；当x＝2.03时，y＝0.02， ∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是2.02＜x＜2.03． 故选：B． 【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可． 67．已知抛物线y＝ax2+bx+c上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … ﹣7.21 ﹣7.20 ﹣7.19 ﹣7.18 ﹣7.17 … y … ﹣0.04 ﹣0.03 0.01 0.02 0.03 … 则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根的范围是（　　） A．﹣7.21＜x＜﹣7.20 B．﹣7.20＜x＜﹣7.19 C．﹣7.19＜x＜﹣7.18 D．﹣7.18＜x＜﹣7.17 【答案】B 【分析】根据自变量与函数值的情况判定即可． 【解答】解：∵当x＝﹣7.20时，y＝﹣0.03＜0，而当x＝﹣7.19时，y＝0.01＞0， ∴在﹣7.20＜x＜﹣7.19时，必有有一个x的值使得y＝0． ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根的范围是﹣7.20＜x＜﹣7.19． 故选：B． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 68．下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c中x，y的部分对应值，估计方程ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围是__ ． x … 0.25 0.5 0.75 1 … y … ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 … 【答案】0.5＜x＜0.75． 【分析】通过观察表格中函数值的变化，确定方程根所在区间． 【解答】解：方程ax2+bx+c＝0的解即为函数y＝ax2+bx+c的零点． 由表格数据可知，当x＝0.75时，y＝1.31＞0，当x＝0.5时，y＝﹣0.25＜0， 由于函数连续，故在x＝0.5与x＝0.75之间必然存在一点使y＝0， 因此0.5＜x＜0.75． 故答案为：0.5＜x＜0.75． 【点评】本题考查二次函数与一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 69．【阅读理解】 同学们，我们来学习近似计算二次方程解的方法．例如，求2x2+2x﹣7＝0的解． 思路：在二次函数y＝2x2+2x﹣7中，若取x的值为x1，x2，x1＜x2，使得相应的函数值y1•y2＜0，则抛物线与x轴的交点中至少有一个在（x1，0）与（x2，0）之间，也就是说，方程2x2+2x﹣7＝0至少有一个解在x1与x2之间． （1）【尝试探究】 小明按照上述方法求方程2x2+2x﹣7＝0的一个解，过程如表： x的值 0 1 2 3 y＝2x2+2x﹣7 ﹣7 a b c 请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间． （2）【迁移应用】 若关于x的方程x2+4x+m＝0有两个不同的解，恰有一个解落在﹣4与﹣5之间，求m的取值范围． 【答案】（1）方程的解落在1和2之间； （2）﹣5＜m＜0． 【分析】（1）将点的横坐标代入解析式得到纵坐标，根据两点纵坐标之积小于零，判断解的范围； （2）将x＝﹣4和x＝﹣5分别代入y＝x2+4x+m得到y1、y2，根据y1y2＜0，结合判别式大于0求出m的取值范围． 【解答】解：（1）将x1＝1代入得，y1＝﹣3；当x2＝2时，y2＝5， 所以y1•y2＜0，所以方程的解落在1和2之间． （2）∵方程x2+4x+m＝0有两个不同的解， ∴Δ＝42﹣4m＞0， ∴m＜4， 将x1＝﹣4，x2＝﹣5分别代入得y1＝m，y2＝m+5， ∵恰有一个解落在﹣4与﹣5之间， ∴y1y2＝m（m+5）＜0，所以﹣5＜m＜0． 【点评】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，掌握其相关知识点是解题的关键． 题型7 二次函数与不等式 【模型】认＂抛物线与坐标轴、直线的上下位置关系＂一直接套图象对应解集结论，数形结合不硬解。 【步骤】①定对应函数：将不等式转化为二次函数与常数、一次函数的大小比较，对应到图象的上下位置关系；②求分界交点：令两边函数值相等，解方程求出图象交点的横坐标，确定解集的分界点；③写解集范围：根据不等号方向，结合抛物线开口方向确定对应x的取值区间，不等式组取各解集的公共部分。 【易错】混淆图象上下位置与不等号的对应关系，解集区间写反；忽略二次项系数符号对开口的影响，导致解集方向完全颠倒；含等号的不等式漏写分界点的等号；不等式组不取交集，直接合并范围；限定自变量范围时，遗漏区间限制导致解集超出实际范围。 70．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的部分对应值列表如下： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 则不等式ax2+bx+c≤3的解集为（　　） A．0≤x≤2 B．x≤0或x≥2 C．﹣1≤x≤3 D．x≤﹣1或x≥3 【答案】B 【分析】根据表格可得抛物线开口向下，顶点为（1，4），进而可得ax2+bx+c≤3的解集． 【解答】解：根据表格可得抛物线开口向下，顶点为（1，4），过点（0，3），（2，3）， ∴不等式ax2+bx+c≤3的解集为x≤0或x≥2， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数和不等式的关系，掌握其相关知识点是解题的关键． 71．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B在y轴上，则不等式ax2+bx﹣mx≤0的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥0 B．x≤﹣1或x≥0 C．﹣3≤x≤0 D．﹣1≤x≤0 【答案】C 【分析】结合图象可得答案． 【解答】本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．解：∵对于二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0），令x＝0，则y＝c， ∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与y轴的交点为（0，c）， ∵对于一次函数y＝mx+n，令x＝0，则y＝n， ∴一次函数y＝mx+n的图象与y轴的交点为（0，n）， ∵两个图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B在y轴上， c＝n． 则不等式ax2+bx﹣mx≤0可变形为ax2+bx+c﹣mx≤c，即ax2+bx+c≤mx+n， ∴由图象可得，它的解集是﹣3≤x≤0． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 72．已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1，y2，都有点（x，y1）、（x，y2）关于点（x，x）对称，则称这两个函数为关于直线y＝x的对称函数．下列结论： ①y1＝x+2和y2＝x﹣2为关于y＝x的对称函数； ②y1和y2为关于y＝x的对称函数； ③若y1＝﹣3x+1和y2＝kx+b（k≠0）为关于y＝x的对称函数，则k＝5、b＝﹣1； ④若二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和y2＝x2+n为关于y＝x的对称函数，则当n时，y1＜y2恒成立． 其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据题意得出y1+y2＝2x，然后根据y1+y2＝2x逐项求解即可． 【解答】解：∵对于任意的自变量x，点（x，y1）、（x，y2）关于点（x，x）对称， ∴x， ∴y1+y2＝2x， ①y1＝x+2和y2＝x﹣2， ∵y1+y2＝x+2+x﹣2＝2x， ∴y1＝x+2和y2＝x﹣2为关于y＝x的对称函数，故①正确； ②y1和y2， ∵y1+y22x， ∴y1和y2＝不是关于y＝x的对称函数，故②错误； ③∵y1＝﹣3x+1和y2＝kx+b（k≠0）为关于y＝x的对称函数， ∴﹣3x+1+kx+b＝2x， ∴（k﹣3）x+（b+1）＝2x， ∴k﹣3＝2，b+1＝0， ∴k＝5，b＝﹣1，故③正确； ④∵二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和y2＝x2+n为关于y＝x的对称函数， ∴ax2+bx+c+x2+n＝2x， 整理得：（a+1）x2+bx+（c+n）＝2x， ∴a+1＝0，b＝2，c+n＝0， ∴a＝﹣1，b＝2，c＝﹣n， ∴y1＝﹣x2+2x﹣n， 要使y1＜y2恒成立，即﹣x2+2x﹣n＜x2+n， 整理得：x2﹣x+n＞0恒成立， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×n＜0， 解得n，故④正确． 故选：D． 【点评】本题考查二次函数、一次函数的性质；能理解题意，将所求问题转化为一元一次方程和二次函数问题求解是关键． 73. 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0），其中a+b＝﹣1． ①若这个函数的图象经过点（﹣1，0），则函数必有最大值； ②若0＜x＜1时，y随x的增大而减小，则必有a＞0； ③若这个函数的图象经过点（4，1），则不等式ax2+bx＞0的解集为x＜0或x＞4； ④若方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有一根为x1，且﹣2＜x1＜﹣1，则必有a＞b． 上述四个结论中：所有正确的个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】依据题意，由二次函数为y＝ax2+bx+1（a≠0），又a+b＝﹣1．则b＝﹣a﹣1，从而y＝ax2﹣（a+1）x+1，再结合二次函数的性质逐个判断即可得解． 【解答】解：由题意，∵a+b＝﹣1， ∴b＝﹣1﹣a． 把b＝﹣1﹣a代入y＝ax2+bx+1， ∴y＝ax2﹣（a+1）x+1． 又∵图象过点（﹣1，0）， ∴a•（﹣1）2﹣（a+1）•（﹣1）+1＝0，则a+a+1+1＝0． ∴a＝﹣1＜0． ∴二次函数图象开口向下，必有最大值，故①正确； ∵二次函数为y＝ax2﹣（a+1）x+1， ∴对称轴是直线x， 又∵当0＜x＜1时，y随x增大而减小， ∴分两种情况讨论： 当a＞0时， ∵0＜x＜1时，y随x的增大而减小， ∴对称轴直线x， ∴0＜a≤1； 当a＜0时， ∵0＜x＜1时，y随x的增大而减小， ∴对称轴是直线x0， ∴a≥﹣1． ∵a＜0， ∴﹣1≤a＜0． 综上，﹣1≤a＜0或0＜a≤1，故②错误； 由题意，∵函数图象过点（4，1）， ∴16a﹣4（a+1）+1＝1． ∴a，则b＝﹣1， ∴不等式ax2+bx＞0化为：x2﹣4x＞0． ∴x＜0或x＞4，故③正确； 由题意，方程ax2+bx+1＝0可化为ax2﹣（a+1）x+1＝0， ∴（ax﹣1）（x﹣1）＝0． ∴x1，x2＝1． 又∵一根x1满足﹣2＜x1＜﹣1，即﹣2， ∴a＜0． ∴﹣1， ∴﹣1＜2a+1＜0． 又∵b＝﹣1﹣a，则a﹣b＝a﹣（﹣1﹣a）＝2a+1， ∴a﹣b＜0，则a＜b，故④错误． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数与不等式（组）、二次函数的最值、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 74．如图，抛物线y1（x+2）2﹣1与y2＝a（x﹣4）2+3交于第四象限点A（1，﹣4），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点，则下列结论正确的是（　　） A．AB＜AC B．当x＞1时，y1＞y2 C．△ACE是等边三角形 D．△ABD是等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据抛物线对称轴及点A坐标可以判断A、C、D，由抛物线高度可以判断B． 【解答】解：由抛物线解析式可知，两个抛物线对称轴分别位置线x＝﹣2和直线x＝4，点A坐标为（1，﹣4），则点DE水平距离为6，且AB＝AC＝3则A错误； 由图象可知，当x＞1时，y1图象低于y2图象，则B错误； 由已知，AC＝6，点E到AC距离为3﹣（﹣4）＝7，则△ABD不是等边三角形，则C错误； 由点D（﹣2，﹣1），A（1，﹣4）点D到AB距离为3，AB＝6，则△ABD为等腰直角三角形． 故选：D． 【点评】本题是代数几何综合题，综合考查了二次函数图象的性质、等腰直角三角形和等边三角形的判定，解答关键是要注意数形结合． 75．一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．ax2+2ax﹣b＞kx﹣c时，n＜x＜m B．当x≥0时，ax2+2ax+c≤c C．若（，y1）在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，则y1＜c D．﹣ac+bk＞0 【答案】C 【分析】A选项将ax2+2ax﹣b＞kx﹣c，移项可得，ax2+2ax+c＞kx+b，根据图象求解判断为对； B选项当x≥0时，抛物线最高点（即ax2+2ax﹣b的最大值）为抛物线与y的交点，此点为（0，c），即可求解判断为对； C选项抛物线的对称轴是直线x1，所以在抛物线上与点（0，c）关于对称轴为直线x＝﹣1对称的点是（﹣2，c），但是﹣21，所以，y1＞c，可判断为错； D选项因为抛物线开口向下，且与y轴交点在正半轴，所以，a＜0，c＞0，因为直线经过二、四象限，且与y轴交于负半轴，所以k＜0，b＜0，即可判断为对． 【解答】解：A选项，对于ax2+2ax﹣b＞kx﹣c，移项可得，ax2+2ax+c＞kx+b，对应于图中即是抛物线在直线上方的部分，由图可知，两个曲线交点的x坐标为x＝n和x＝m，所以，n＜x＜m，所以A正确； B选项，当x≥0时，抛物线最高点（即ax2+2ax+c的最大值）为抛物线与y的交点，此点为（0，c），所以，当x≥0时，ax2+2ax+c≤c，所以B正确； C选项，在抛物线中，有对称轴公式可知，抛物线的对称轴是直线x1，所以在抛物线上与点（0，c）关于对称轴为直线x＝﹣1对称的点是（﹣2，c），但是﹣21，所以，y1＞c，所以C错误； D选项，因为抛物线开口向下，且与y轴交点在正半轴，所以，a＜0，c＞0，因为直线经过二、四象限，且与y轴交于负半轴，所以k＜0，b＜0，所以，﹣ac+bk＞0，D正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数与不等式，二次函数图象与系数的关系等知识点，熟练掌握二次函数图象与系数关系以及结合不等式运算是解决问题的关键． 题型8 根据实际问题列二次函数关系式 【模型】认＂实际问题的数量等量关系＂→转化为二次函数解析式，结合实际意义定自变量范围。 【步骤】①审题意定变量：读懂题目背景，区分已知量与未知量，确定自变量和因变量，理清各数量间的关联；②找等量列关系式：依据面积、利润、运动变化等问题的对应公式，列出包含两个变量的等式；③整理写定义域：将等式变形整理为二次函数的规范形式，结合自变量的实际含义，写出符合要求的取值范围。 【易错】找错问题中的等量关系，公式记错导致解析式列错；忽略自变量的实际意义，漏写取值范围或范围不符合现实；数量变化关系理解偏差，如单价涨降与销量变化的对应关系搞反；整理函数式时展开计算失误，系数符号或次数出错；单位不统一就直接列式，造成最终解析式数值错误。 76．如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别在边BC，CD上，DF＝2BE，设BE＝x，五边形ABEFD的面积＝y，则y关于x的函数表达式为（　　） A．y＝﹣x2+3x+2（0＜x＜1） B．y＝﹣x2+3x+2（1＜x＜2） C．y＝x2﹣3x﹣2（0＜x＜1） D．y＝x2﹣3x﹣2（1＜x＜2） 【答案】A 【分析】依据题意，由正方形ABCD的边长为2，DF＝2BE，BE＝x，则DF＝2x，从而CE＝BC﹣BE＝2﹣x，CF＝CD﹣DF＝2﹣2x，故五边形ABEFD的面积y＝正方形ABCD面积﹣三角形ECF的面积＝4CE•CF＝﹣x2+3x+2，结合2﹣x＞0，2﹣2x＞0且x＞0，可得0＜x＜1，进而可以得解． 【解答】解：由题意，∵正方形ABCD的边长为2，DF＝2BE，BE＝x， ∴DF＝2x， ∴CE＝BC﹣BE＝2﹣x，CF＝CD﹣DF＝2﹣2x， ∴五边形ABEFD的面积y＝正方形ABCD面积﹣三角形ECF的面积 ＝4CE•CF ＝4（2﹣x）（2﹣2x） ＝﹣x2+3x+2， ∵2﹣x＞0，2﹣2x＞0且x＞0， ∴0＜x＜1． ∴y＝﹣x2+3x+2（0＜x＜1）． 故选：A． 【点评】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 77．某门店销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝（10﹣x）（200+5x） B．y＝（15﹣x）（200+5x） C．y＝（10﹣x）（200﹣5x） D．y＝（15﹣x）（200﹣5x） 【答案】A 【分析】根据每下降1元时，日销售量会增加5盒，利润＝每盒的利润×销售的盒数，列出函数关系式即可． 【解答】解：根据题意可得：y＝（10﹣x）（200+5x）． 故选：A． 【点评】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是掌握利润＝每盒的利润×销售的盒数． 78．某校饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB＝x米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝x（18﹣4x） B．y＝x（18﹣2x） C．y＝x（12﹣4x） D．y＝x（12﹣2x） 【答案】A 【分析】由铁栅栏的全长及AB的长，可得出平行于墙的一边长为（18﹣4x）米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式． 【解答】解：平行于墙的一边长为15+3﹣4x＝（18﹣4x）米． 根据题意得：y＝x（18﹣4x）． 故选：A． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确找到题中的等量关系是解题关键． 79．黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为a万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达y万元，若把增长率记作x，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝a（1+2x） B．y＝a（1+x）2 C．y＝a+a（1+x）+a（1+2x） D．y＝a+a（1+x）+a（1+x）2 【答案】D 【分析】由第一天的销售额及以后每天销售额的增长率，可得出第二、三天的销售额，再将三天的销售额相加，即可找出y关于x的函数关系式． 【解答】解：∵该地第一天销售额为a万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，增长率记作x， ∴第二天销售额为a（1+x）万元，第三天销售额为a（1+x）2万元． 根据题意得：y＝x+a（1+x）+a（1+x）2． 故选：D． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 80．某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为x，如果第三季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是（　　） A．y＝50（1+x）2 B．y＝50+50（1+x） C．y＝50（1+x）+50（1+x）2 D．y＝50+50（1+x）+50（1+x）2 【答案】D 【分析】设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件50（1+x）万个，九月份生产零件50（1+x）2万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出y与x之间的函数关系式． 【解答】解：七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为x， 则八月份生产零件50（1+x）万个， 九月份生产零件50（1+x）2万个， ∴y＝50+50（1+x）+50（1+x）2． 故选：D． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确记忆相关知识点是解题关键． 81．（25-26九年级上•上海浦东新区期中）某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件，设涨价x元，利润y元，函数关系式正确的是（　　） A．y＝（10+x）（100﹣10x） B．y＝（1+x）（100﹣10x）﹣9 C．y＝（10+x﹣9）（100﹣10x） D．y＝（10+x）（100﹣10x）﹣9×100 【答案】C 【分析】先确定涨价后的每件售价、每件利润，再确定涨价后的销售量，最后根据“利润＝每件利润×销售量”列出函数式． 【解答】解：商品原售价为10元，涨价x元后，新售价为（10+x）元， 由题意得利润y＝每件利润×销售量， y＝（10+x﹣9）（100﹣10x）， 故选：C． 【点评】本题考查实际问题与二次函数的应用，解题的关键是明确“利润＝每件利润×销售量”的数量关系． 82．在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形，它的底边长20厘米．要截得的矩形的边在上，顶点分别在边、上，设的长为厘米，矩形的面积为平方厘米，那么关于的函数解析式是__________．（不必写定义域） 【答案】 【分析】本题考查等腰直角三角形、矩形的性质和函数表达式．根据图中的几何关系先把表示出来，再利用矩形面积公式得到与的表达式． 【详解】解：是等腰直角三角形，四边形是矩形， 、是等腰直角三角形， ，， ． 故答案为：． 82．如图，是由长方形和抛物线构成的图案，由6个全等的基本图案组成，建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为，则抛物线的表达式为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．根据题意得出的顶点坐标为，进而利用顶点式求出函数解析式即可． 【详解】解：∵抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵图形是由长方形和抛物线构成的图案，由6个全等的基本图案组成， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的表达式为． 故答案为：． 83．【问题背景】在劳动技术实践课上，老师布置了一项“智能家居控制面板”的设计任务．创新小组设计的控制面板效果图如图所示． 外形参数：如图，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上．    【问题解决】如图，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)请在下列选项中，选出抛物线和的函数表达式，其中的函数表达式为_____；的函数表达式为_____；（填序号） ①；② (2)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． (3)老师建议创新小组设计的控制面板外观可以设计更美观．如图，创新小组决定把抛物线的形状改为抛物线，将抛物线沿轴折叠，再向上平移个单位得到抛物线，抛物线与矩形交于两点，装置内部的矩形电子显示屏与抛物线交于，；当的长与求出的长度相等，请求出的长． 【答案】(1)②；① (2) (3) 【分析】利用待定系数法解答即可求解； 由矩形的性质得，设，可得，，即得，求出的值再根据二次函数的对称性解答即可求解； 由二次函数的平移得抛物线的解析式为，由知，得到，又可得，进而根据解答即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，点坐标为， 设抛物线的表达式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为， 同理可得抛物线的表达式为， 其中的函数表达式为②；的函数表达式为①； （2）解：∵四边形是矩形， ， 轴， ， 设， ，， ， 解得或（不合，舍去）， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； （3）解：∵抛物线沿轴折叠，再向上平移个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， 由知，且四边形是矩形， ， 又∵点在抛物线上， ， 又∵， ． 拔高·压轴破难 题型1 二次函数4类区间最值问题 区间最值问题 区间是高中概念，初中阶段可以简单理解为一段连续的取值范围（不必深究），如分别是关于的区间. 已知二次函数. ①若抛物线的对称轴不在区间内，则在两端取最值（如图①②）. ②若抛物线的对称轴在区间内，则在对称轴处和离对称轴较远的端点处取最值（如图③④⑤. 数形结合分析：（这个是二次函数区间最值，开口向上） 1．对称轴不在区间里面 整个区间图像严格递增（爬坡）或递减（下坡），最大值、最小值在区间两个端点处取得. -对称轴在区间左边：在严格递增（爬坡）； -对称轴在区间右边：在严格递减（下坡）. 2．对称轴落在区间内部 -最小值：在对称轴处取得（开口向上，顶点最低） -最大值：比较两个端点谁离对称轴更远，更远的那个端点取最大值. 类型1 定轴定区间 84. 已知二次函数，当时，函数值y的最大值为4，则a的值为________． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的对称性质和增减性质，是解决问题的关键． 根据二次函数的对称轴为直线，若，当时，函数y取得最大值，得；若，根据与关于对称轴对称，得当时，y随x增大而增大，得当时，y取得最大值，得． 【详解】∵二次函数， ∴对称轴为直线． ∴当时， 在范围内，当时，函数y取得最大值． ∴； 当时， ∵与关于对称轴对称，当时，y随x增大而增大，且， ∴在范围内，当时，y取得最大值． ∴． ∴a的值为2或． 故答案为：2或． 85. 已知二次函数（其中x是自变量），当时，y随x的增大而减小，且时，y的最大值为9，则a的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出对称轴，根据二次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为：， ∵时，y随x的增大而减小， ∴，抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数有最大值：， 解得：或（舍去）； 故答案为：1． 类型2 定轴动区间 86. 当时，函数的最小值为，则的值为___________． 【答案】或 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：． ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，随的增大而减少，当时，y随x的增大而增大， ∵当时，函数有最小值，分两种情况讨论： 若时，当时，的最小值是， ∴ ∴ 若时，当时，y的最小值是， ∴， 解得， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键． 87. 已知抛物线，当时，函数的最大值是6，最小值是2，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，先将解析式配方成顶点式，根据二次函数的增减性和最值问题解答． 【详解】解：，抛物线顶点坐标，开口向上，对称轴为直线， ∵时，函数y的最大值是6，最小值是2， 当函数值为2时，， 解得， 当函数值为6时，， 解得：或． ∴． 故答案为：． 类型3 动轴定区间 88. 若二次函数（m为常数），当自变量 x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为5，则m的值为___________ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先求出二次函数的对称轴为直线，图象的开口向下，再分三种情况：、和，利用二次函数的增减性求出最值，建立方程，解方程即可得． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，图象的开口向下， 当时，， 当时，， ①当，即时，则在内，随的增大而减小， ∴此时函数值的取值范围是，没有最大值，不符合题意，舍去； ②当，即时， 在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴当时，函数值的值最大，最大值为， ∴， 解得或（均不符合题设，舍去）； ③当，即时，则在内，随的增大而增大， ∴当时，函数值的值最大，最大值为， ∴， 解得，符合题设； 综上，的值为， 故答案为：． 类型4 动轴动区间 89. 已知关于的二次函数（，为常数）．若时，函数的最大值为，最小值为，且，则的值为________． 【答案】3或 【分析】此题是二次函数的综合题，考查二次函数图象，二次函数的最值问题，正确掌握二次函数的知识是解题的关键． 确定抛物线的对称轴为直线，开口向下，最大值为，再分两种情况：当时，当时，求出的值． 【详解】解：二次函数（为常数）， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 把代入， 得， 抛物线的顶点坐标为， 当时，函数的最大值为， 若，则时函数有最小值， 且函数最小值， ， 解得， 若，则时函数有最小值， 且函数最小值， ， 解得，（舍去）或， 综上所述，或． 故答案为：3或． 90. 已知：二次函数在的范围内有最小值，则这个最小值是________． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，正确理解二次函数的性质是解题的关键．判断图象开口向下，顶点坐标为，结合，，可得当时，函数取最小值，再进一步可得答案. 【详解】解：∵， ∴图象开口向下，顶点坐标为， ∵，， ∵当时，函数有最小值， ∴当时，函数取最小值，最小值为：； 故答案为：． 题型2 点参法求二次函数解析式 点参法步骤 1．设点：抛物线上动点，只用一个字母设横坐标，纵坐标直接代入抛物线表达式. 例：抛物线，设动点. 只用1个参数，因为点在抛物线上，横纵坐标自动满足函数关系. 2．求线：拿设好的点＋已知定点，写出过两点的直线解析式. 3．列式：根据题目条件（垂直、长度、定值、角度等）列方程，化简，消参，求结果. 91．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可． 【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：    当时，则，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴点， ∴， 解得：， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键． 92．如图，已知平行四边形顶点的坐标为，点在轴上，且轴，过，，三点的抛物线的顶点坐标为，则抛物线的表达式是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质， 根据抛物线的对称性求得，根据平行四边形的性质求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得． 【详解】解：∵过B，C，D三点的抛物线的顶点坐标为，轴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵A的坐标为， ∴， 设抛物线为， 代入D的坐标得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． 故答案为：． 93．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的负半轴上，点在轴的负半轴上，抛物线的顶点为，且经过点、，若△为等腰直角三角形，则的值是________． 【答案】 【分析】过E作EF⊥x轴于F，交AB于D，求出E、A的坐标，代入函数解析式，即可求出答案． 【详解】解：∵抛物线的顶点为E，且经过点A、B， ∴抛物线的对称轴是直线，且A、B关于直线对称， 过E作EF⊥x轴于F，交AB于D， ∵△ABE为等腰直角三角形， ∴AD=BD=3， ∴AB=6，DE=AB=3， ∵四边形OABC是正方形， ∴OA=AB=BC=OC=6，EF=6+3=9， ∴A(0，-6)，E(-3，-9)， 把A、E的坐标代入得： ，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，等腰直角三角形以及正方形的性质，准确求出A、E的坐标是解题关键． 94．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_________．    【答案】 【分析】根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ， 抛物线、为常数）与线段交于、两点，且， 设点的坐标为，则点的坐标为，， 抛物线， 解得，． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 题型3 新定义问题 95．定义：如果直线与开口向下的抛物线有两个交点，那么这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，抛物线随其顶点沿直线平移一定距离后，得到新抛物线的“反碟长”恰好为4，那么抛物线的表达式是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，二次函数的平移，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式．设平移后抛物线的顶点坐标为，根据顶点式得出，然后根据根与系数的关系，结合抛物线的“反碟长”恰好为4，列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：设平移后抛物线的顶点坐标为，则抛物线的表达式为： ， 把代入得：， 整理得：， 设方程的两根为，，且，则： ，， ∵抛物线的“反碟长”恰好为4， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：． 故答案为：． 96．我们定义：把叫做函数的伴随函数．比如：就是的伴随函数．数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数（的常数），若点在函数的图象上，则点也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于轴对称．解答下列问题： (1)的图象关于 轴对称； (2)直接写出函数的伴随函数的表达式 ； 在如图所示的平面直角坐标系中画出的伴随函数的大致图象； (3)若直线与的伴随函数图象交于、两点（点在点的上方），连接、，且的面积为12，求的值； 【答案】(1) (2)①； ②描点连线绘制函数图象如下： (3) 【分析】（1）根据点和点都在的图象上即可得解； （2）①由伴随函数的定义即可得出答案；②描点连线画出函数图象即可； （3）由，消去得到，由一元二次方程根与系数的关系，，推出，求出，再由，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点和点都在的图象上， ∴的图象关于轴对称； （2）解：①由伴随函数的定义可得：函数的伴随函数的表达式； ②在中， 当时，； 当时，， 当时，， （3）解：如图： 由，消去得到， ∴，， ∴， 在中，令，则， 解得， ∴， ∴，即， 解得：． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质、一次函数的性质、伴随函数的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 97．在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点．      (1)请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法； (2)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (3)将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标． 【答案】(1) 解：将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线， 如图：      (2) (3) 【分析】（1）将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线； （2）根据“关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A1的坐标； （3）根据“待定关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A2的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，得点的“关联点”为， 由点在抛物线上，可得， ∴， 又在抛物线上， ， 解得． 将代入，得； （3）解：点的“待定关联点”为， ∵在抛物线的图象上， ， ． 又 , 当时，， 故可得． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出关联点的坐标． 98．若二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可表示为，我们称为此函数的特征数，如函数的特征数是． (1)若一个函数的特征数为，求此函数图象的顶点坐标； (2)探究下列问题： ①若一个函数的特征数为，将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，求得到的图象对应的函数的特征数； ②若一个函数的特征数为，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为？ 【答案】(1) (2)①得到的图象对应的函数的特征数为；②原来函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移9个单位长度 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象的平移，理解特征函数的定义是解此题的关键． （1）根据特征函数的定义，先确定二次函数的表达式，再将其化为顶点式，即可得解； （2）①根据特征函数的定义，先确定二次函数的表达式，再根据二次函数图象的平移法则即可得解；②根据特征函数的定义，先确定两个二次函数的表达式，再根据二次函数图象的平移法则即可得解． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴此函数图象的顶点坐标为． （2）解：①根据题意，得， ∴将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得． ∴得到的图象对应的函数的特征数为． ②∵一个函数的特征数为， ∴函数的表达式为． ∵一个函数的特征数为， ∴函数的表达式为． ∴原来函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移9个单位长度． 99．若两个二次函数图象的顶点相同，开口大小相同，但开口方向相反，则称这两个二次函数为“对称二次函数”． (1)请写出二次函数的“对称二次函数”； (2)已知关于的二次函数和，若与互为“对称二次函数”，求函数的表达式，并求出当时，的最大值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（）根据“对称二次函数”的定义解答即可； （）把转化为顶点式，再根据“对称二次函数”的定义可得的解析式，进而根据二次函数的性质可得的最大值； 本题考查了二次函数的新定义，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：二次函数的“对称二次函数”是； （2）∵， 又∵与互为“对称二次函数”， ∴， ∴的对称轴为直线， ∵，且， ∴当时，． $专题01 二次函数的基础概念、图像和性质 基础·固本强基 题型1 二次函数的定义（重点） 题型2 二次函数的图象 题型3 二次函数的性质（重点） 题型4 二次函数图象上点的坐标特征 提升·进阶突破 题型1 二次函数图象与系数的关系（难点） 题型2 二次函数图象与几何变换（难点） 题型3 二次函数的最值（难点） 题型4 待定系数法求二次函数解析式（重点） 题型5 抛物线与x轴的交点 题型6 图象法求一元二次方程的近似根 题型7 二次函数与不等式（重点） 题型8 根据实际问题列二次函数关系式 拔高·压轴破难 题型1 二次函数4类区间最值问题（重难点） 题型2 点参法求二次函数解析式（重难点） 题型3 新定义问题（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 二次函数的定义 【模型】认＂的整式函数标准形式＂→直接套定义判定规则，不做多余变形。 【步骤】①化整式：将函数表达式整理为整式形式，去除分母、根号等非整式结构；②验双条件：检查最高次项次数为2，且二次项系数不等于0；③定结论：同时满足两个条件即为二次函数，任一条件不满足则不是。 【易错】忽略二次项系数的核心前提，误把的一次函数或常函数判定为二次函数；未化简就直接判断，忽略整理后二次项抵消、系数为0的情况；混淆函数类型，将含分式、二次根式的二次式函数错认成二次函数；误认为必须同时具备三项才是二次函数，漏判等缺项的二次函数形式。 1．[25-26九年级上•上海浦东新区期中]下列函数中，y是关于x的二次函数的是（　　） A． B．y＝ax2+bx+c C． D． 2．[25-26九年级上•上海嘉定区期中]下列函数中，一定是二次函数的是（　　） A．（其中m是常数） B．y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数） C．y＝（2x﹣1）x D．y＝（x+4）2﹣x2 3．[25-26九年级上•上海长宁区期中]下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是（　　） A．y＝（x﹣1）2﹣x2 B．y＝x（2x﹣1） C．yx+m2（其中m是常数） D．y＝ax2+1（其中a是常数） 4．[25-26九年级上•上海闵行区期中]如果的图象是抛物线，那么m＝________ 题型2 二次函数的图象 【模型】认＂抛物线的基本图象属性＂性直接套开口、顶点、对称轴、截距等特征结论，数形对应定位。 【步骤】①定开口：由a的符号定方向，定宽窄；②找核心：用公式或配方法定对称轴与顶点；③标交点：定与y轴交点，判与x轴交点情况。 【易错】记错对称轴公式符号，导致顶点与增减区间判断错位；忽略判别式的作用，误判抛物线与x轴的交点个数；混淆a对开口的影响，错认a越大开口越宽。 5．[25-26九年级上•上海浦东新区期中]已知一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象如图所示，则y＝ax2+bx﹣c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．[25-26九年级上•上海普陀区期中]在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+b2与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．[25-26九年级上•上海普陀区期中]已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+c的图象经过的象限是（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 8．[24-25九年级上•上海浦东新区期中]已知一次函数的图象如下，则函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　） A． B． C．D． 9．[长宁区期中]如果a＜0，b＞0，c＞0，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象大致是（　　） A．B． C．D． 10．[24-25九年级上•上海虹口区期中]已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则bc＝__ ． 11．[25-26九年级上•上海长宁区期中]已知二次函数y＝﹣2x2+4x+6． （1）求这个函数图象的顶点坐标，并指出它的变化情况； （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，该函数图象与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，求四边形OADC的面积． 12．已知二次函数的图象经过四个象限，则的值可以是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 题型3 二次函数的性质 【模型】认＂抛物线的核心性质体系＂→直接套开口方向、增减区间、最值、对称性等结论，数形对应定位特征。 【步骤】①定基准：由二次项系数a的符号定开口方向，由对称轴公式确定对称轴直线，锁定顶点坐标；②判增减：以对称轴为分界，分别判断两侧区间的增减性，开口向上左减右增，开口向下左增右减；③定最值：结合开口方向与顶点纵坐标，确定函数的最大（小）值，限定定义域时结合区间端点验证。 【易错】脱离区间谈增减性，误称二次函数在全体实数上单调；记错对称轴公式符号，导致增减区间与最值位置判断颠倒；求最值忽略自变量取值范围，直接套用顶点纵坐标；混淆开口方向与最值的对应关系，开口向上误判有最大值。 13．[25-26九年级上•上海长宁区期中]下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（　　） A．它们的形状相同，开口方向也相同 B．它们都关于y轴对称 C．它们的顶点不相同 D．点（﹣2，2）既在抛物线上也在上． 14．[25-26九年级上•上海浦东新区期中]已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0），下列说法正确的是（　　） A．图象开口向上 B．当时，y随x增大而增大 C．图象顶点横坐标为 D．若c＞0，则图象与y轴交于负半轴 15．[25-26九年级上•上海上海期中]已知y关于x的函数解析式y＝（m2﹣1）x2+（m﹣1）x+m+1，则下列说法正确的是（　　） A．若m＝1，则函数图象平行于y轴 B．若m＝﹣1，则函数图象过原点，且经过一、三象限 C．若m＞1，则函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧 D．若m＜﹣1，则函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧 16．[24-25九年级上•上海•长宁区期中]二次函数y＝（a2+1）x2﹣3x+1的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．[25-26九年级上•上海青浦区期中]二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的x与y的部分对应值如下表，则当x＝5时，y的值为__ ． x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 15 10 7 6 7 … 18．[25-26九年级上•上海静安区期中]若二次函数y＝x2﹣（a+3）x+4的顶点在y轴上，则a＝_____________． 19．[24-25九年级上•上海普陀区期中]已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+3a2﹣6，当x＜0时，y随x的增大而减小．且当﹣1≤x≤3时，y有最大值16．则a的值为__ ． 20．[24-25九年级上•上海普陀区期中]抛物线y＝﹣2（x﹣5）（x+3）的对称轴是直线_____________． 21．[24-25九年级上•上海青浦区期中]已知函数y＝（a2+1）x2+a2x+1，在x＜﹣1范围内，函数y的值随x的值的增大而_____________． 22．[24-25九年级上•上海长宁区期中]已知抛物线y为常数）的顶点为A，与y轴交于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为点C．若△ABC是等腰直角三角形，则BC＝ __ ____________． 题型4 二次函数图象上点的坐标特征 【模型】认＂抛物线上的点坐标满足函数解析式＂→直接套代入验证、对称性质、函数值比较结论，不做复杂变形。 【步骤】①代入验证：点在抛物线上则横纵坐标满足解析式，代入可求参数值或判断点是否在图象上；②对称定位：横坐标到对称轴距离相等的点纵坐标相等，对称点横坐标之和等于对称轴的2倍；③值数互推：已知横坐标代入求纵坐标，已知纵坐标解方程求对应横坐标，结合图象取舍。 【易错】代入坐标时横纵坐标位置混淆，导致参数计算错误；利用对称性时记错对称点横坐标关系，符号或倍数出错；比较函数值时忽略开口方向，仅按横坐标大小判断纵坐标大小；已知函数值求横坐标时漏解，只保留一个解忽略抛物线的对称性。 23．[24-25九年级上•上海•松江区期中]已知A（﹣1，y1）、B（3，y2）是抛物线y＝x2﹣2x+c上两点，那么y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定 24．[24-25九年级上•上海浦东新区期中改编]抛物线y＝x2﹣2x+m过三点（2026，y1），（﹣2026，y2），（2027，y3），则（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1 25．[24-25九年级上•上海黄浦区期中]已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）的图象上有A（，y1）、B（，y2）两个点，则（　　） A．y1＝y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．无法确定 26．[25-26九年级上•上海浦东新区期中]二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … 则当x＝2时对应的函数值y＝________． 27．[24-25九年级上•上海徐汇区期中]如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为________． 28．[24-25九年级上•上海静安区期中]如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（1，0），（﹣3，0），如果实数P表示9a﹣3b+c的值，实数Q表示a+b的值，那么P、Q的大小关系为（　　） A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法确定 提升·进阶突破 题型1 二次函数图象与系数的关系 【模型】认＂及特殊组合式的符号＂一直接套抛物线与系数的对应结论，数形互推不硬算。 【步骤】①定基础系数：由开口方向定的符号，由抛物线与轴交点位置定的符号；②判与组合式：依对称轴位置用＂左同右异＂判的符号，结合对称轴公式推导等组合式的符号；③验综合特征：由判别式判断与轴的交点个数，代入等特殊值验证复杂代数式的符号。 【易错】记错＂左同右异＂规律，导致的符号判断颠倒；混淆对称轴与的数量关系，倍数计算出错；特殊点代入时符号处理失误；由系数反推图象时考虑不全，出现漏解；忽略的作用，错判抛物线与轴的交点个数。 29．[普陀区期中]二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＞0，b＜0，c＜0 C．a＞0，b＞0，c＞0 D．a＜0，b＞0，c＜0 30．[25-26九年级上•上海浦东新区期中]如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③2a+b＝0；④4a﹣2b+c＜0，正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 31．[24-25九年级上•上海青浦区期中]已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③3a+c＞0；④am2+bm≥a+b（m为任意实数）；⑤若（﹣5，y1），（﹣2，y2），（3，y3）是抛物线上三点，则y1＞y2＞y3；⑥关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；其中正确的个数是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 32．[25-26九年级上•上海浦东新区期中]二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论中不正确的是（　　） A．3a+c＜0 B．a﹣b≤am2+bm（m为任意实数） C．9a﹣3b+c＜0 D．关于x的方程|ax2+bx+c|＝1有四个根 33．[25-26九年级上•上海青浦区期中]如图，二次函数：y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为（﹣1，0），则下面的五个结论： ①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③当y＜0时，x＜﹣1或x＞3；④2c+3b＝0；⑤a+b≥m（am+b）（m为实数），其中正确的结论是（　　） A．②③④⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 34．[25-26九年级上•上海崇明区期中]二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①c＞0；②；③a+b+c＜0；④当﹣3＜x＜2时，y＞0．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 35．[24-25九年级上•上海青浦区期中]如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且该抛物线与x轴交于点A，与y轴的交点B在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（不含端点），下列四个结论中，正确的是（　　） A．abc＞0 B．2a+b＝0 C．4a+2b+c＜0 D． 36．[24-25九年级上•上海徐汇区期中]如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，直线x＝﹣1是对称轴，且经过点（2，0）．有下列判断：①2a﹣b＝0；②16a﹣4b+c＜0；③a﹣b+c＝﹣9a；④若A（﹣3，y1），B（1.5，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 37．[24-25九年级上•上海宝山区期中]如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论中正确的有（　　） ①abc＜0；②4ac﹣b2＞0；③c﹣a＞0；④当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．[25-26九年级上•上海青浦区期中]二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，已知它与x轴的一个交点坐标是（6，0），且对称轴是直线x＝2． （1）填空： ①a与b的数量关系为：b＝________； ②图象与x轴的另一个交点坐标为________． （2）如果该函数图象经过点（0，﹣3），求它的顶点坐标． 题型2 二次函数图象与几何变换 【模型】认＂平移、轴对称、旋转三类图象变换＂一直接套顶点变换规律，抓顶点定图象，不硬算全式。 【步骤】①化顶点式：将原二次函数整理为顶点式，确定原顶点坐标与开口方向；②变顶点：按变换规侧更新顶点，平移依＂左加右减、上加下减＂，轴对称对应坐标变号、开口按需反向，旋转180°顶点不变、开口反向；③写新解析式：由变换后的顶点与开口方向写出新顶点式，按需化为一般式。 【易错】混淆平移＂左加右减＂的作用对象，误对常数项加减导致平移方向颠倒；轴对称变换仅改顶点坐标，遗漏二次项系数变号；旋转180°时错误移动顶点位置，或未改变开口方向；多步变换顺序颠倒，导致最终解析式出错；一般式转化时展开计算符号失误。 39．[25-26九年级上•上海浦东新区期中]将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2先向上平移4个单位，再向左平移5个单位，所得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝（x﹣8）2﹣6 B．y＝（x﹣8）2+2 C．y＝（x+2）2﹣6 D．y＝（x+2）2+2 40．[25-26九年级上•上海静安区期中]把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是________． 41．[24-25九年级上•上海虹口区期中]把函数y＝2x2的图象平移变换，得到函数y＝2（x+2）2﹣3的图象，需要（　　） A．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 B．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 D．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 42．[24-25九年级上•上海嘉定区期中]如果抛物线向右平移一个单位后，顶点落在抛物线上，那么a的值等于________． 43．[25-26九年级上•上海上海期中]在直角坐标系中，点P是抛物线y＝2（2﹣x）（x+1）的顶点， （1）用配方法求此抛物线顶点P的坐标； （2）将上述抛物线平移后顶点坐标为Q（0，1），求平移后的抛物线的表达式． 44．[24-25九年级上•上海浦东新区期中]如图，将抛物线P：y＝x2+2x+m平移后得到抛物线P2：y＝x2﹣5x+n两抛物线与y轴分别交于点C，D．抛物线P1，P2的交点E的横坐标是1，过点E作x轴的平行线，分别交抛物线P1，P2于点A，B． （1）求点A的横坐标． （2）求线段CD的长度． 45．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 46．如图，将函数的图像沿y轴向上平移得到一条新函数的图像，其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图像的函数表达式是___________． 47．本题探究函数的图像，请按要求探究并解决问题． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下，求表中的值； … 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … … 3 1.25 0 0.75 1 0.75 0 1.25 … （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出了部分点，画出了部分图象；请在答题卷上描出另一部分点，并画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，并根据函数图象解决下面问题: ①若方程有4个实数根，求实数的取值范围； ②若是方程的一个实数根，结合的图像，直接写出方程的另外实数根． 题型3 二次函数的最值 【模型】认＂顶点坐标与自变量取值范围＂一直接套顶点最值结论，结合区间端点比对。 【步骤】①化顶点式：将函数配方为顶点式，确定顶点坐标与开口方向；②判范围：明确自变量的取值区间，判断顶点横坐标是否落在区间内；③定最值：顶点在区间内，顶点处取对应最值，再比较两端点函数值得另一最值；顶点不在区间内，依区间单调性比较端点函数值得最值。 【易错】默认自变量取全体实数，忽略限定区间，顶点不在区间内仍套用顶点最值；开口方向判断错误，混淆最大值与最小值的位置；实际应用类问题未考虑自变量的实际意义，取值范围判断出错；多端点区间漏算某一端点的函数值，导致最值找错。 48．[青浦区期中]已知抛物线y＝（a﹣1）x2+a2﹣1的最高点为（0，3），则a＝________． 49．[浦东新区期中]二次函数y＝x2﹣4x图象上的最低点的纵坐标为________． 50．[25-26九年级上•上海静安区期中]二次函数y＝x2+4x+a图象上的最低点的横坐标为________． 51．[奉贤区期中]如果抛物线y＝（m+1）x2的最低点是原点，那么实数m的取值范围是________． 52．[青浦区期中]已知x﹣y2+4＝0，求u＝y4+2x的最小值． 53．[静安区期中]如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2+x＝0是“差1方程”．若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”设t＝10a﹣b2，t的最大值为________． 54．点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．12 D． 题型4 待定系数法求二次函数解析式 【模型】认＂已知点的类型特征＂一选对应解析式形式，代入列方程求解，不盲目套一般式。 【步骤】①选形式：已知任意三点选一般式，已知顶点或最值选顶点式，已知与x轴两交点选交点式；②代点列方程：将已知点坐标代入所选解析式，得到方程或方程组；③求解写式：解方程求出各系数的值，代回原式，整理为规范的解析式形式。 【易错】盲目选用一般式，计算量大且易出错；顶点式记错符号，误将顶点写成；交点式漏负号，错写为；代入坐标时横纵坐标位置混淆，方程组求解计算失误；求出系数后未整理化简，解析式书写不规范。 55．[静安区期中]小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 6 7 6 3 … 请根据表格中的信息，写出抛物线C1的解析式：________________． 56．[24-25九年级上•上海静安区期中]二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ﹣1 ？ 3 … （1）由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图象的顶点D的坐标； （2）如果该二次函数图象与y轴交于点A，点P（5，t）是图象上一点，求△PAD的面积． 57．[普陀区期中]已知二次函数y＝ax2+bx+c（其中a、b、c为常数，且a≠0）的自变量x的值与它对应的函数值y如下表所示： x … ﹣1 0 1 3 … y … 0 m n 0 … （1）该二次函数图象的对称轴是直线 __ ． （2）如果n＝﹣2，求此二次函数的解析式及其图象与y轴的交点坐标． 58．[奉贤区期中]请你写出一个抛物线使它满足以下条件：（1）开口向下，（2）顶点坐标为（1，3），则这个抛物线的表达式是________________． 59．[25-26九年级上•上海青浦区期中]如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点在y轴上，那么这条抛物线的表达式可以是________________．（只需写一个） 题型5 抛物线与x轴的交点 【模型】认＂判别式与交点个数的对应关系＂→直接套的判定结论，解方程求交点坐标。 【步骤】①算判别式：代入系数求，根据的符号判定交点个数；②求交点坐标：令，解一元二次方程，方程的根即为交点的横坐标；③推相关结论：结合开口方向判断交点附近函数值符号，或用根与系数的关系求交点间距、坐标和积。 【易错】记错与交点个数的对应关系，时误判为无交点；解方程计算失误，导致交点坐标求错；含参数问题忽略二次项系数不为0的前提，造成的范围出错；判断函数值正负时脱离开口方向，仅靠根的大小直接下结论。 60．[25-26九年级上•上海浦东新区期中]已知二次函数y＝2x2+bx+1的图象与x轴有且只有一个交点，则b＝________． 61．[25-26九年级上•上海上海期中]二次函数y＝2x2﹣3x的图象与x轴的交点坐标是________________． 62．[25-26九年级上•上海浦东新区期中]我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“镜像”函数．如图所示，某数学兴趣小组画出了“镜像”函数G：y＝|x2﹣x﹣6|的图象，则当直线y＝﹣x+m与函数G的图象有2个交点时，m的取值范围是________________． 63．[25-26九年级上•上海上海期中]如图，抛物线y＝x2﹣2x与x轴正半轴交于A，直线BC分别交x轴正半轴、y轴正半轴于B、C（B在A的右侧），联结AC交抛物线对称轴于E，抛物线对称轴交x轴于H；若CE平分∠OCB，且∠EBH＝∠OCB，则B的横坐标是________________． 64．[25-26九年级上•上海崇明区期中]已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P，与y轴相交于点Q． （1）求点P、Q的坐标； （2）将该二次函数图象向上平移，使平移后所得图象经过坐标原点，与x轴的另一个交点为M，求sin∠OMQ的值． 64．[25-26九年级上•上海上海期中]如图，已知抛物线y＝a（x﹣2）2﹣4（a≠0）与x轴交于原点O与点A，顶点为点B． （1）求抛物线的表达式以及点A、B的坐标； （2）已知点P（﹣1，t）在抛物线上，联结PB交x轴于E，求面积比的值． 题型6 图象法求一元二次方程的近似根 【模型】认＂抛物线与x轴交点对应方程的根＂一直接套图象定位规律，逐步缩范围，不做精确求根。 【步骤】①对函数：将一元二次方程整理为标准形式，对应写出二次函数解析式；②定区间：画出函数图象，观察抛物线与x轴交点位置，结合交点两侧函数值异号，确定根所在的整数区间；③缩精度：用二分法逐步缩小根的取值范围，直到满足精确度要求，得到方程的近似根。 【易错】方程与函数对应出错，未整理为标准形式就匹配二次函数；判断根的区间时不验证函数值正负，区间定位不准；二分法计算函数值失误，导致近似根偏差大；只找一个根，遗漏方程的另一个近似根；精确度把控不严，区间未达要求就确定近似值。 65．二次函数y＝x2﹣2x+c的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程x2﹣2x+c＝0的较大的根的取值范围是（　　） A．0.4＜x＜0.5 B．0.5＜x＜0.6 C．2.4＜x＜2.5 D．2.5＜x＜2.6 66．二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根的取值范围为（　　） x 2.01 2.02 2.03 2.04 y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06 A．2.01＜x＜2.02 B．2.02＜x＜2.03 C．2.03＜x＜2.04 D．x＞2.04 67．已知抛物线y＝ax2+bx+c上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … ﹣7.21 ﹣7.20 ﹣7.19 ﹣7.18 ﹣7.17 … y … ﹣0.04 ﹣0.03 0.01 0.02 0.03 … 则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根的范围是（　　） A．﹣7.21＜x＜﹣7.20 B．﹣7.20＜x＜﹣7.19 C．﹣7.19＜x＜﹣7.18 D．﹣7.18＜x＜﹣7.17 68．下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c中x，y的部分对应值，估计方程ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围是__ ． x … 0.25 0.5 0.75 1 … y … ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 … 69．【阅读理解】 同学们，我们来学习近似计算二次方程解的方法．例如，求2x2+2x﹣7＝0的解． 思路：在二次函数y＝2x2+2x﹣7中，若取x的值为x1，x2，x1＜x2，使得相应的函数值y1•y2＜0，则抛物线与x轴的交点中至少有一个在（x1，0）与（x2，0）之间，也就是说，方程2x2+2x﹣7＝0至少有一个解在x1与x2之间． （1）【尝试探究】 小明按照上述方法求方程2x2+2x﹣7＝0的一个解，过程如表： x的值 0 1 2 3 y＝2x2+2x﹣7 ﹣7 a b c 请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间． （2）【迁移应用】 若关于x的方程x2+4x+m＝0有两个不同的解，恰有一个解落在﹣4与﹣5之间，求m的取值范围． 题型7 二次函数与不等式 【模型】认＂抛物线与坐标轴、直线的上下位置关系＂一直接套图象对应解集结论，数形结合不硬解。 【步骤】①定对应函数：将不等式转化为二次函数与常数、一次函数的大小比较，对应到图象的上下位置关系；②求分界交点：令两边函数值相等，解方程求出图象交点的横坐标，确定解集的分界点；③写解集范围：根据不等号方向，结合抛物线开口方向确定对应x的取值区间，不等式组取各解集的公共部分。 【易错】混淆图象上下位置与不等号的对应关系，解集区间写反；忽略二次项系数符号对开口的影响，导致解集方向完全颠倒；含等号的不等式漏写分界点的等号；不等式组不取交集，直接合并范围；限定自变量范围时，遗漏区间限制导致解集超出实际范围。 70．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的部分对应值列表如下： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 则不等式ax2+bx+c≤3的解集为（　　） A．0≤x≤2 B．x≤0或x≥2 C．﹣1≤x≤3 D．x≤﹣1或x≥3 71．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B在y轴上，则不等式ax2+bx﹣mx≤0的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥0 B．x≤﹣1或x≥0 C．﹣3≤x≤0 D．﹣1≤x≤0 72．已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1，y2，都有点（x，y1）、（x，y2）关于点（x，x）对称，则称这两个函数为关于直线y＝x的对称函数．下列结论： ①y1＝x+2和y2＝x﹣2为关于y＝x的对称函数； ②y1和y2为关于y＝x的对称函数； ③若y1＝﹣3x+1和y2＝kx+b（k≠0）为关于y＝x的对称函数，则k＝5、b＝﹣1； ④若二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和y2＝x2+n为关于y＝x的对称函数，则当n时，y1＜y2恒成立． 其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 73. 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0），其中a+b＝﹣1． ①若这个函数的图象经过点（﹣1，0），则函数必有最大值； ②若0＜x＜1时，y随x的增大而减小，则必有a＞0； ③若这个函数的图象经过点（4，1），则不等式ax2+bx＞0的解集为x＜0或x＞4； ④若方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有一根为x1，且﹣2＜x1＜﹣1，则必有a＞b． 上述四个结论中：所有正确的个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 74．如图，抛物线y1（x+2）2﹣1与y2＝a（x﹣4）2+3交于第四象限点A（1，﹣4），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点，则下列结论正确的是（　　） A．AB＜AC B．当x＞1时，y1＞y2 C．△ACE是等边三角形 D．△ABD是等腰直角三角形 75．一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．ax2+2ax﹣b＞kx﹣c时，n＜x＜m B．当x≥0时，ax2+2ax+c≤c C．若（，y1）在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，则y1＜c D．﹣ac+bk＞0 题型8 根据实际问题列二次函数关系式 【模型】认＂实际问题的数量等量关系＂→转化为二次函数解析式，结合实际意义定自变量范围。 【步骤】①审题意定变量：读懂题目背景，区分已知量与未知量，确定自变量和因变量，理清各数量间的关联；②找等量列关系式：依据面积、利润、运动变化等问题的对应公式，列出包含两个变量的等式；③整理写定义域：将等式变形整理为二次函数的规范形式，结合自变量的实际含义，写出符合要求的取值范围。 【易错】找错问题中的等量关系，公式记错导致解析式列错；忽略自变量的实际意义，漏写取值范围或范围不符合现实；数量变化关系理解偏差，如单价涨降与销量变化的对应关系搞反；整理函数式时展开计算失误，系数符号或次数出错；单位不统一就直接列式，造成最终解析式数值错误。 76．如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别在边BC，CD上，DF＝2BE，设BE＝x，五边形ABEFD的面积＝y，则y关于x的函数表达式为（　　） A．y＝﹣x2+3x+2（0＜x＜1） B．y＝﹣x2+3x+2（1＜x＜2） C．y＝x2﹣3x﹣2（0＜x＜1） D．y＝x2﹣3x﹣2（1＜x＜2） 77．某门店销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝（10﹣x）（200+5x） B．y＝（15﹣x）（200+5x） C．y＝（10﹣x）（200﹣5x） D．y＝（15﹣x）（200﹣5x） 78．某校饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB＝x米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝x（18﹣4x） B．y＝x（18﹣2x） C．y＝x（12﹣4x） D．y＝x（12﹣2x） 79．黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为a万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达y万元，若把增长率记作x，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝a（1+2x） B．y＝a（1+x）2 C．y＝a+a（1+x）+a（1+2x） D．y＝a+a（1+x）+a（1+x）2 80．某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为x，如果第三季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是（　　） A．y＝50（1+x）2 B．y＝50+50（1+x） C．y＝50（1+x）+50（1+x）2 D．y＝50+50（1+x）+50（1+x）2 81．（25-26九年级上•上海浦东新区期中）某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件，设涨价x元，利润y元，函数关系式正确的是（　　） A．y＝（10+x）（100﹣10x） B．y＝（1+x）（100﹣10x）﹣9 C．y＝（10+x﹣9）（100﹣10x） D．y＝（10+x）（100﹣10x）﹣9×100 82．在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形，它的底边长20厘米．要截得的矩形的边在上，顶点分别在边、上，设的长为厘米，矩形的面积为平方厘米，那么关于的函数解析式是__________．（不必写定义域） 82．如图，是由长方形和抛物线构成的图案，由6个全等的基本图案组成，建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为，则抛物线的表达式为________． 83．【问题背景】在劳动技术实践课上，老师布置了一项“智能家居控制面板”的设计任务．创新小组设计的控制面板效果图如图所示． 外形参数：如图，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上．    【问题解决】如图，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)请在下列选项中，选出抛物线和的函数表达式，其中的函数表达式为_____；的函数表达式为_____；（填序号） ①；② (2)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． (3)老师建议创新小组设计的控制面板外观可以设计更美观．如图，创新小组决定把抛物线的形状改为抛物线，将抛物线沿轴折叠，再向上平移个单位得到抛物线，抛物线与矩形交于两点，装置内部的矩形电子显示屏与抛物线交于，；当的长与求出的长度相等，请求出的长． 拔高·压轴破难 题型1 二次函数4类区间最值问题 区间最值问题 区间是高中概念，初中阶段可以简单理解为一段连续的取值范围（不必深究），如分别是关于的区间. 已知二次函数. ①若抛物线的对称轴不在区间内，则在两端取最值（如图①②）. ②若抛物线的对称轴在区间内，则在对称轴处和离对称轴较远的端点处取最值（如图③④⑤. 数形结合分析：（这个是二次函数区间最值，开口向上） 1．对称轴不在区间里面 整个区间图像严格递增（爬坡）或递减（下坡），最大值、最小值在区间两个端点处取得. -对称轴在区间左边：在严格递增（爬坡）； -对称轴在区间右边：在严格递减（下坡）. 2．对称轴落在区间内部 -最小值：在对称轴处取得（开口向上，顶点最低） -最大值：比较两个端点谁离对称轴更远，更远的那个端点取最大值. 类型1 定轴定区间 84. 已知二次函数，当时，函数值y的最大值为4，则a的值为________． 85. 已知二次函数（其中x是自变量），当时，y随x的增大而减小，且时，y的最大值为9，则a的值为______． 类型2 定轴动区间 86. 当时，函数的最小值为，则的值为___________． 87. 已知抛物线，当时，函数的最大值是6，最小值是2，则的取值范围是______． 类型3 动轴定区间 88. 若二次函数（m为常数），当自变量 x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为5，则m的值为___________ 类型4 动轴动区间 89. 已知关于的二次函数（，为常数）．若时，函数的最大值为，最小值为，且，则的值为________． 90. 已知：二次函数在的范围内有最小值，则这个最小值是________． 题型2 点参法求二次函数解析式 点参法步骤 1．设点：抛物线上动点，只用一个字母设横坐标，纵坐标直接代入抛物线表达式. 例：抛物线，设动点. 只用1个参数，因为点在抛物线上，横纵坐标自动满足函数关系. 2．求线：拿设好的点＋已知定点，写出过两点的直线解析式. 3．列式：根据题目条件（垂直、长度、定值、角度等）列方程，化简，消参，求结果. 91．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 92．如图，已知平行四边形顶点的坐标为，点在轴上，且轴，过，，三点的抛物线的顶点坐标为，则抛物线的表达式是__________． 93．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的负半轴上，点在轴的负半轴上，抛物线的顶点为，且经过点、，若△为等腰直角三角形，则的值是________． 94．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_________．    题型3 新定义问题 95．定义：如果直线与开口向下的抛物线有两个交点，那么这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，抛物线随其顶点沿直线平移一定距离后，得到新抛物线的“反碟长”恰好为4，那么抛物线的表达式是____． 96．我们定义：把叫做函数的伴随函数．比如：就是的伴随函数．数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数（的常数），若点在函数的图象上，则点也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于轴对称．解答下列问题： (1)的图象关于 轴对称； (2)直接写出函数的伴随函数的表达式 ； 在如图所示的平面直角坐标系中画出的伴随函数的大致图象； (3)若直线与的伴随函数图象交于、两点（点在点的上方），连接、，且的面积为12，求的值； 97．在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点．      (1)请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法； (2)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (3)将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标． 98．若二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可表示为，我们称为此函数的特征数，如函数的特征数是． (1)若一个函数的特征数为，求此函数图象的顶点坐标； (2)探究下列问题： ①若一个函数的特征数为，将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，求得到的图象对应的函数的特征数； ②若一个函数的特征数为，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为？ 99．若两个二次函数图象的顶点相同，开口大小相同，但开口方向相反，则称这两个二次函数为“对称二次函数”． (1)请写出二次函数的“对称二次函数”； (2)已知关于的二次函数和，若与互为“对称二次函数”，求函数的表达式，并求出当时，的最大值． $