专题03 有理数的简便运算及规律题7大题型38题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材人教版

专题03 有理数的简便运算及规律题 基础·固本强基 题型一、有理数的混合运算（重点） 提升·进阶突破 题型二、有理数的简便运算（重点） 题型三、拆项法 题型四、倒数法 拔高·压轴破难 题型五、数字规律问题（难点） 题型六、图形表格规律问题（难点） 题型七、新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一、有理数的混合运算 【模型】遵循有理数运算优先级：先乘方，再乘除，最后加减；同级从左向右，有括号先算括号内。 【步骤】①确定运算顺序；②优先处理乘方、括号；③依次乘除，最后加减，注意符号。 【易错】符号处理失误；跳步计算；混淆乘方与乘法；括号前负号去括号忘记变号。 1．使式子的运算结果为正整数，“”中的运算符号为（     ） A． B． C． D． 2．有个填写运算符号的游戏：在“”中的每个内，填入“”，“”，“”，“”中的某一个（可重复使用），然后计算结果，若，则内填写的符号为_______________； 3．计算： (1) (2) (3) (4) 4．计算： (1)； (2) (3) (4) 5．计算： (1)； (2)． 6．计算； (1)； (2)． 7．王老师在黑板上写了一个算式，并用手遮挡了一个数，如图所示． (1)如果遮挡的数是，求该算式的计算结果； (2)如果该算式的结果是，求被遮挡的数； (3)若该算式的计算结果是负整数，请直接写出满足条件的被遮挡的正整数的个数． 提升·进阶突破 题型二、有理数的简便运算 【模型】利用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律重组算式，简化复杂计算。 【步骤】①观察式子结构；②分组凑整、拆分；③运用运算律简化，再算出结果。 【易错】使用分配律漏乘项；符号随重组出错；强行简便，不适合的式子硬凑导致错误。 8．计算，下列运算正确且最简便的是（   ） A． B． C． D． 9．请用简便运算 (1)； (2)． 10．简便运算 (1) (2) 11．简便运算 (1) (2) (3) 12．简便运算： (1)； (2)． 13．学习了有理数的运算后，书上有这样的一道习题．用简便方法计算：，下面是两位同学的解法： 小李：原式 小张：原式． 请写出另一种更好的解法． 题型三、拆项法 【模型】将分数拆成两个分数之差，求和时中间项相互抵消，简化分式加减运算。 【步骤】①识别裂项结构；②按照规则拆分每一项；③逐项相消，计算剩余首尾项。 【易错】记错拆项公式，系数出错；忽略分母结构，盲目套用；正负符号写错。 14．数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫作拆项法．请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 15．阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； (2)用拆项法计算：． 16．学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算．看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． (1)淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是（     ） A．乘法交换律        B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律    D．加法结合律 (2)请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 17．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容，阅读下列材料，并完成相应任务． 关于“用拆项法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：用拆项法计算的值． 研究思路：由于2025与2024相差1，2033与2034相差1，因而可以将问题改写成． 研究方法：先利用拆项法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） = ▲ ． 任务： (1)上述研究报告中的依据1是指________，依据2是指________． (2)研究报告中的“▲”处空缺的内容为________． (3)请用另外一种拆分方法计算． 题型四、倒数法 【模型】对于分子复杂、分母为多项式的分数，先对整个式子取倒数，用分配律简化，最后再还原。 【步骤】①对原式整体取倒数；②用分配律展开计算；③求出结果后再取倒数得到答案。 【易错】只对部分取倒数；颠倒最后还原步骤；运算过程中符号计算出错。 18．数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题，他认为原式的倒数为，所以．请你运用小明的解法计算：． 19．数学老师布置了一道思考题“计算：”甲乙丙三位同学仔细思考了一番，分别用了一种不同的方法解决了这个问题． 甲同学的解法是：原式； 乙同学的解法是： 原式的倒数为， 所以； 丙同学的解法是：原式． (1)你认为解答过程完全正确的是________． (2)请你运用恰当的解法解答下面的问题． 计算： 20．阅读下面的材料. 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值，原式． (1)上述解法中，你认为解法_____是错误的； (2)请用你认为简便的方法计算：． 21．请你先认真阅读材料： 计算 解：原式的倒数是 .........................................①依据： ②依据： ....................③依据： 故原式等于 (1)写出上面解题过程中每一步的依据． (2)再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算： ． 22．数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算． 刘聪和他的小伙伴选择常规解法：； 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法： 原式的倒数． 所以，原式． (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算：． 拔高·压轴破难 题型五、数字规律问题 【模型】给出一列有理数，观察相邻项的差、倍数，归纳通项规律，再代入有理数运算求值。 【步骤】①计算前几项；②寻找变化规律；③写出规律表达式，代入求解。 【易错】找规律只看绝对值，忽略正负交替；项数计数错误；归纳规律不具备普遍性。 23．设是个给定的数，从这个数中每次或者取一个，或者取几个不同的数求和（每个数只能取一次），可以得到一个新数，这样共得到个新数，如果把它们从小到大依次排列起来是...那么第个数是（     ）． A． B． C． D． 24．观察下列各式： ①； ②； ③； ④； 根据规律，下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 25．观察下列式子： ①； ②； ③； ④． (1)第5个式子是________； (2)第n个式子是________； (3)从计算结果中找规律，利用规律计算： 26．观察下列等式：①；②；③；④； 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出⑥⑦两个等式：⑥_________，⑦_________； (2)根据以上式子的规律，请写出第1013个式子：_________； (3)利用这个规律计算的值． 27．从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如表： 加数的个数 1 2 3 4 5 (1)若时，则的值为______． (2)根据上题的规律计算：的值（要有过程）． 28．我们规定：n个相同的非零有理数的商可以表示为（，2，………），读作“a的圈n次方”．，读作“的圈4次方”． (1)直接写出计算结果：_____，_____． (2)若n为任意正整数，下列结论：①任何非零整数的圈n次方小于或等于本身；②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；③互为相反数的两个数的圈n次方互为相反数；④互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数；⑤圈n次方等于它本身的数是1或．其中所有正确结论的序号是_____． (3)试说明（m，n为正整数，且）． 题型六、图形表格规律问题 【模型】从图形、表格中提取对应的有理数，观察数量变化，结合运算归纳周期或递推规律。 【步骤】①提取表格/图形中的数字；②寻找数字变化特征；③推导规律，计算目标项。 【易错】读表识图提取数据出错；混淆项数；忽略正负号；周期判断错误。 29．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第个图形是正方形，第个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第个图形，…，则第个图形中正方形的个数（     ） A． B． C． D． 30．如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成如图图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，以此类推，的值为 ________． 31．数学中，我们经常用平移、旋转等方式将不规则图形转化成规则图形．观察下表中每组图形与算式的变化，你有什么发现？ 图形 算式 根据发现的规律填空： (1) ， ． (2) × ． 32．在解决数学问题时，我们经常会用到“数形结合”的思想方法，它的核心在于建立“数”与“形”之间的关系，从而将抽象的数量关系用直观的图形表现出来． (1)如图1，为了计算的值，我们构造以下图形共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有 个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有个点，由此可得 ，用此方法，可求得 ______； (2)如图3，观察点阵图，回答下列问题： ①， ， ， 则______，______， ② ______（用含的代数式表示）； (3)如图4是一个边长为1的正方形，请借助图形求的值．（要求：画出示意图，借助示意图求出式子的运算结果） 题型七、新定义问题 【模型】题目自定义全新运算符号，读懂规则，转化为常规有理数混合运算进行计算。 【步骤】①读懂新定义运算规则；②把新符号替换成常规四则、乘方运算；③代入计算。 【易错】自行套用旧运算规则；漏看定义中的限制条件；代入数值时符号出错。 33．定义一种新运算：，例：． (1)计算：； (2)比较：和的大小． 34．定义新运算，如；那么_________，若，则x可以取的值有_____________． 35．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式．已知用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．则当时，的值为__________． 36．新方向[新定义]对于一个三位数，它的各个数位上的数字互不相等，如果它满足百位上的数字减去个位上数字的差等于十位上的数字的2倍，我们称这个三位数为“互差数”．定义一个新运算，我们把一个“互差数”a的百位数字减去个位数字的差加上十位数字的和记为，例如：，因为，所以723是一个“互差数”，． （1）计算________； （2）若m是一个“互差数”，且，那么m的值是________． 37．观察下列两个等式：，，给出定义：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为．如数对，都是“共生有理数对”． (1)在数对，中，“共生有理数对”是_____________； (2)小明说：“与均为共生有理数对”，请你验证小明的说法； (3)请你再写出一对“共生有理数对”：_____________．（不能与题目中已有的“共生有理数对”重复） 38．【概念学习】 定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，记作． （1）直接写出计算结果：_____________，_____________． 【深入探究】 （2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例： 仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式（包括写出过程）： ①___________________________________________________， ②___________________________________________________． （3）将写成幂的形式是：_____________．（，的正整数，只写最后结果）． 【结论应用】 （4）计算： $专题03 有理数的简便运算及规律题 基础·固本强基 题型一、有理数的混合运算（重点） 提升·进阶突破 题型二、有理数的简便运算（重点） 题型三、拆项法 题型四、倒数法 拔高·压轴破难 题型五、数字规律问题（难点） 题型六、图形表格规律问题（难点） 题型七、新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一、有理数的混合运算 【模型】遵循有理数运算优先级：先乘方，再乘除，最后加减；同级从左向右，有括号先算括号内。 【步骤】①确定运算顺序；②优先处理乘方、括号；③依次乘除，最后加减，注意符号。 【易错】符号处理失误；跳步计算；混淆乘方与乘法；括号前负号去括号忘记变号。 1．使式子的运算结果为正整数，“”中的运算符号为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， A．由，故该选项不符合题意； B．由，故该选项符合题意； C．由，则该选项不符合题意； D．由，则该选项不符合题意． 2．有个填写运算符号的游戏：在“”中的每个内，填入“”，“”，“”，“”中的某一个（可重复使用），然后计算结果，若，则内填写的符号为_______________； 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴□内填写的符号为：. 3．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 4．计算： (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．计算； (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．王老师在黑板上写了一个算式，并用手遮挡了一个数，如图所示． (1)如果遮挡的数是，求该算式的计算结果； (2)如果该算式的结果是，求被遮挡的数； (3)若该算式的计算结果是负整数，请直接写出满足条件的被遮挡的正整数的个数． 【答案】(1)； (2) (3)3个 【分析】 【详解】（1）解：当遮挡的数是时， ； （2） ， ， 答：被遮挡的数为； （3）设被遮挡的数为x，则原式变为：， 整理得：， 因为计算结果是负整数， 所以x是3的倍数，且， 又因为被遮挡的数为正整数， 解得：x可以为3或6或9， 答：满足条件的被遮挡的正整数有3个． 提升·进阶突破 题型二、有理数的简便运算 【模型】利用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律重组算式，简化复杂计算。 【步骤】①观察式子结构；②分组凑整、拆分；③运用运算律简化，再算出结果。 【易错】使用分配律漏乘项；符号随重组出错；强行简便，不适合的式子硬凑导致错误。 8．计算，下列运算正确且最简便的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：原式为，发现和均为负数，并且和可以凑成整数，可先结合相加：再将结果与相加：此方法通过先将负数相加，进行凑整来简化运算. D、计算过程最少且计算简便,选项正确，符合题意. C、因错误地将改为，选项错误，不符合题意. A、计算结果正确但计算步骤较繁琐，不符合题意. B、计算结果正确但计算步骤较繁琐，不符合题意. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了有理数加法运算中如何通过凑整的方法进行简便运算，需要观察式子中数字的特点，找出能使计算简便的组合方式. 9．请用简便运算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：原式 （2）原式 10．简便运算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．简便运算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 12．简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．学习了有理数的运算后，书上有这样的一道习题．用简便方法计算：，下面是两位同学的解法： 小李：原式 小张：原式． 请写出另一种更好的解法． 【答案】 解：原式 ． 【详解】略 题型三、拆项法 【模型】将分数拆成两个分数之差，求和时中间项相互抵消，简化分式加减运算。 【步骤】①识别裂项结构；②按照规则拆分每一项；③逐项相消，计算剩余首尾项。 【易错】记错拆项公式，系数出错；忽略分母结构，盲目套用；正负符号写错。 14．数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫作拆项法．请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 15．阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； (2)用拆项法计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）解：拆为，拆为， 故答案为：，； （2）解： ． 16．学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算．看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． (1)淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是（     ） A．乘法交换律        B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律    D．加法结合律 (2)请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 【答案】(1)C (2) 【分析】 【详解】（1）解：她们运用的运算律是乘法对加法的分配律， 故选：C； （2）解： ． 17．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容，阅读下列材料，并完成相应任务． 关于“用拆项法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：用拆项法计算的值． 研究思路：由于2025与2024相差1，2033与2034相差1，因而可以将问题改写成． 研究方法：先利用拆项法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） = ▲ ． 任务： (1)上述研究报告中的依据1是指________，依据2是指________． (2)研究报告中的“▲”处空缺的内容为________． (3)请用另外一种拆分方法计算． 【答案】(1)拆项法；乘法分配律 (2)9 (3) 解：原式 ． 【分析】 【详解】（1）解：研究报告中的依据1是指拆项法，依据2是指乘法分配律； （2）解：原式 ， 故“▲”处空缺的内容为9； （3）略 题型四、倒数法 【模型】对于分子复杂、分母为多项式的分数，先对整个式子取倒数，用分配律简化，最后再还原。 【步骤】①对原式整体取倒数；②用分配律展开计算；③求出结果后再取倒数得到答案。 【易错】只对部分取倒数；颠倒最后还原步骤；运算过程中符号计算出错。 18．数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题，他认为原式的倒数为，所以．请你运用小明的解法计算：． 【答案】 【分析】 【详解】 ， ， ． 19．数学老师布置了一道思考题“计算：”甲乙丙三位同学仔细思考了一番，分别用了一种不同的方法解决了这个问题． 甲同学的解法是：原式； 乙同学的解法是： 原式的倒数为， 所以； 丙同学的解法是：原式． (1)你认为解答过程完全正确的是________． (2)请你运用恰当的解法解答下面的问题． 计算： 【答案】(1)甲，乙 (2) 【分析】 【详解】（1）解：甲同学的解法：原式，运算过程正确； 乙同学的解法：原式的倒数为， 所以，运算过程正确； 丙同学的解法：原式，除法没有分配律，运算过程错误； 所以甲、乙同学的运算过程都正确，丙同学的运算过程错误； 故答案为：甲、乙． （2）解：按乙的解法： 原式的倒数               ， ；     ∴．     20．阅读下面的材料. 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值，原式． (1)上述解法中，你认为解法_____是错误的； (2)请用你认为简便的方法计算：． 【答案】(1)二 (2) 【分析】 【详解】（1）解：上述解法中．我认为解法二是错误的，因为除法没有分配律； 故答案为：二； （2）解：的倒数为， ， ∴． 21．请你先认真阅读材料： 计算 解：原式的倒数是 .........................................①依据： ②依据： ....................③依据： 故原式等于 (1)写出上面解题过程中每一步的依据． (2)再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算： ． 【答案】(1)①有理数除法法则；②乘法分配律；③有理数加减法法则 (2) 【分析】 【详解】（1）解：① 依据：有理数除法法则； ② 依据：乘法分配律；    ③依据：有理数加减法法则； 故答案为：有理数除法法则；乘法分配律；有理数加减法法则； （2）解： 故原式 ． 22．数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算． 刘聪和他的小伙伴选择常规解法：； 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法： 原式的倒数． 所以，原式． (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算：． 【答案】(1) 喜欢张明的解法． 理由如下：观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，所以更喜欢张明的解法； (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：原式的倒数 ， ∴． 拔高·压轴破难 题型五、数字规律问题 【模型】给出一列有理数，观察相邻项的差、倍数，归纳通项规律，再代入有理数运算求值。 【步骤】①计算前几项；②寻找变化规律；③写出规律表达式，代入求解。 【易错】找规律只看绝对值，忽略正负交替；项数计数错误；归纳规律不具备普遍性。 23．设是个给定的数，从这个数中每次或者取一个，或者取几个不同的数求和（每个数只能取一次），可以得到一个新数，这样共得到个新数，如果把它们从小到大依次排列起来是...那么第个数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵最大的数是：， 第二大的数是：， 第三大的数是：， 第四大的数是：， ∴第个数是． 24．观察下列各式： ①； ②； ③； ④； 根据规律，下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据①； ②； ③； ④； 可得出，； 即首项为的连续整数相加，若末项为，则和为． 故首项时，若末项为，则和为， 即，只有C选项运算正确． 25．观察下列式子： ①； ②； ③； ④． (1)第5个式子是________； (2)第n个式子是________； (3)从计算结果中找规律，利用规律计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵第一个式子为：， 第二个式子为：， 第三个式子为：， 第四个式子为：， ∴第5个式子为：； （2）解：∵第一个式子为：， 第二个式子为：， 第三个式子为：， 第四个式子为：， ∴第个式子为： （3）解： ． 26．观察下列等式：①；②；③；④； 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出⑥⑦两个等式：⑥_________，⑦_________； (2)根据以上式子的规律，请写出第1013个式子：_________； (3)利用这个规律计算的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）解：第个式子为，取，得⑥：；取，得⑦：． （2）解：取，则，，，故第1013个式子为． （3）解：由规律， 取，将各式相加，中间项两两抵消，得 ， 于是． 故原式． 27．从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如表： 加数的个数 1 2 3 4 5 (1)若时，则的值为______． (2)根据上题的规律计算：的值（要有过程）． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：由表知，当时，； （2）可以看作是从2到的连续偶数之和减去从2到的连续偶数之和， 从2到的连续偶数一共有个，所以它们的和为， 从2到的连续偶数一共有个，所以它们的和为， ． 28．我们规定：n个相同的非零有理数的商可以表示为（，2，………），读作“a的圈n次方”．，读作“的圈4次方”． (1)直接写出计算结果：_____，_____． (2)若n为任意正整数，下列结论：①任何非零整数的圈n次方小于或等于本身；②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；③互为相反数的两个数的圈n次方互为相反数；④互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数；⑤圈n次方等于它本身的数是1或．其中所有正确结论的序号是_____． (3)试说明（m，n为正整数，且）． 【答案】(1)1，4 (2)②④ (3)证明：根据“a的圈n次方”的定义，可得，， ∴ ． 【分析】 【详解】（1）解：， ； （2）根据题意，可得， ①令，因为， 所以原说法错误； ②根据可得，负数的圈奇数次方即为奇数，则为奇数，此时结果是负数， 负数的圈偶数次方即为偶数，则为偶数，此时结果是正数，该说法正确； ③，当为偶数时，， 所以互为相反数的两个数的圈次方不一定互为相反数，故原说法错误； ④，即互为倒数的两个数的圈次方互为倒数，该说法正确； ⑤当，n为偶数时，不满足圈次方等于它本身，故原说法错误． 综上所述，所有正确结论的序号是②④； （3）略 题型六、图形表格规律问题 【模型】从图形、表格中提取对应的有理数，观察数量变化，结合运算归纳周期或递推规律。 【步骤】①提取表格/图形中的数字；②寻找数字变化特征；③推导规律，计算目标项。 【易错】读表识图提取数据出错；混淆项数；忽略正负号；周期判断错误。 29．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第个图形是正方形，第个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第个图形，…，则第个图形中正方形的个数（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意可知， 第个图形中正方形的个数为个， 第个图形中正方形的个数为个， 第个图形中正方形的个数为个， 则第个图形中正方形的个数为个， 故第个图形中正方形的个数为个． 30．如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成如图图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，以此类推，的值为 ________． 【答案】 【详解】解：由图可知，，，，， 则可推出， ∴原式 ． 31．数学中，我们经常用平移、旋转等方式将不规则图形转化成规则图形．观察下表中每组图形与算式的变化，你有什么发现？ 图形 算式 根据发现的规律填空： (1) ， ． (2) × ． 【答案】(1)； (2)99；101 【分析】 【详解】（1）解：由所给图形及算式可得， 因此，； （2）解：由（1）中发现规律可得： 即． 32．在解决数学问题时，我们经常会用到“数形结合”的思想方法，它的核心在于建立“数”与“形”之间的关系，从而将抽象的数量关系用直观的图形表现出来． (1)如图1，为了计算的值，我们构造以下图形共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有 个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有个点，由此可得 ，用此方法，可求得 ______； (2)如图3，观察点阵图，回答下列问题： ①， ， ， 则______，______， ② ______（用含的代数式表示）； (3)如图4是一个边长为1的正方形，请借助图形求的值．（要求：画出示意图，借助示意图求出式子的运算结果） 【答案】(1) (2)①，② (3)， 【分析】 【详解】（1）解：； （2）解：①， ， ， ，， ②由① 可得； （3）解：由题意画出图形如下： 第一次将正方形分割为和两部分， 第二次将正方形的部分分割为和两部分， 第三次将正方形的部分分割为和两部分， 第四次将正方形的部分分割为和两部分， 由分割图形可知． 题型七、新定义问题 【模型】题目自定义全新运算符号，读懂规则，转化为常规有理数混合运算进行计算。 【步骤】①读懂新定义运算规则；②把新符号替换成常规四则、乘方运算；③代入计算。 【易错】自行套用旧运算规则；漏看定义中的限制条件；代入数值时符号出错。 33．定义一种新运算：，例：． (1)计算：； (2)比较：和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解： ， ， ∵， ∴． 34．定义新运算，如；那么_________，若，则x可以取的值有_____________． 【答案】 和 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 当时，方程化为，解得，符合条件， 当时，方程化为，无解， 当时，方程化为，解得，符合条件， 故x可以取的值为和， 故答案为：；和． 35．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式．已知用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．则当时，的值为__________． 【答案】 1 【详解】解：由定义，，， 所以 ， 当 且 不是整数时， 设 ，其中 为整数，，则 ，， 故 ， 于是 ， 所以 ， 当 是整数时，，， 所以 ， 于是 ， 从题干可知，已考虑非整数情况，且 时通常关注非整数， 因此值为 1， 故答案为 1． 36．新方向[新定义]对于一个三位数，它的各个数位上的数字互不相等，如果它满足百位上的数字减去个位上数字的差等于十位上的数字的2倍，我们称这个三位数为“互差数”．定义一个新运算，我们把一个“互差数”a的百位数字减去个位数字的差加上十位数字的和记为，例如：，因为，所以723是一个“互差数”，． （1）计算________； （2）若m是一个“互差数”，且，那么m的值是________． 【答案】 3 630或731或832 【分析】 【详解】（1）； （2）设m的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c． ∵m是互差数， ∴． ∵， ∴， 解得． ∴． ∵a为1至9的数字，b、c均为0至9的数字，且互不相等． 可能情况：，；，；，；，（但与相等，舍去）． ∴或731或832． 故答案为：630或731或832． 37．观察下列两个等式：，，给出定义：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为．如数对，都是“共生有理数对”． (1)在数对，中，“共生有理数对”是_____________； (2)小明说：“与均为共生有理数对”，请你验证小明的说法； (3)请你再写出一对“共生有理数对”：_____________．（不能与题目中已有的“共生有理数对”重复） 【答案】(1) (2) 解：∵，， ∴， ∴数对是“共生有理数对”． ∵，， ∴， ∴数对是“共生有理数对”． ∴小明的说法正确． (3)（答案不唯一） 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴数对不是“共生有理数对”． ∵，， ∴， ∴数对是“共生有理数对”． 故答案为：． （2）略 （3）解：写出一对“共生有理数对”：． 验证：∵，， ∴， ∴数对是“共生有理数对”． 故答案为：（答案不唯一）． 38．【概念学习】 定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，记作． （1）直接写出计算结果：_____________，_____________． 【深入探究】 （2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例： 仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式（包括写出过程）： ①___________________________________________________， ②___________________________________________________． （3）将写成幂的形式是：_____________．（，的正整数，只写最后结果）． 【结论应用】 （4）计算： 【答案】（1）；3（2）； ；（3）；（4） 【分析】 【详解】（1）， ； （2）①， ； （3） ； （4） ． $