专题02 数轴上的动点问题8大题型41题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材人教版

专题02 数轴上的动点问题 基础·固本强基 题型一、平移问题 题型二、中点问题 提升·进阶突破 题型三、单动点运动问题（重点） 题型四、动线段问题（重点） 题型五、动点的规律探究问题（难点） 拔高·压轴破难 题型六、双动点运动问题（重点） 题型七、定值不变问题（难点） 题型八、新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一、平移问题 【模型】数轴点平移遵循“左减右加”核心规则，向左平移数值变小，向右平移数值变大，属于数轴最基础变换模型。 【步骤】①确定点初始位置；②根据平移方向和距离列式；③计算平移后对应点的数值。 【易错】左右平移符号写反；多个连续平移顺序混乱；平移距离不带正负直接计算。 1．在数轴上，点A表示，从点A出发，沿数轴向右移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是（     ） A．1 B． C．1或 D．以上都不对 【答案】A 【详解】解：点表示，向右移动个单位长度到达点， 点表示的数为. 2．对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘，再把所得数对应的点向右平移1个单位长度，得到点的对应点．已知点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点表示的数是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：设点表示的数为， 则， 解得：． 故选：C． 3．在数轴上，点A表示的数是2．若将点A向左移动4个单位长度得到点，则点表示的数为______． 【答案】 【详解】解：∵点表示的数是，向左移动个单位长度得到点， ∴点表示的数为 ． 4．如图，数轴上点、所表示的数分别为、4，、两点分别从、两点出发在数轴上同向移动，点移动8个单位长度，点移动4个单位长度．则移动后、两点之间的距离是______________． 【答案】或/10或2 【详解】解：当两点同时向右移动时， 数轴上点、所表示的数分别为、4，点移动8个单位长度，点移动4个单位长度 点P表示的数为，点Q表示的数为， 移动后、两点之间的距离是； 当两点同时向左移动时， 数轴上点、所表示的数分别为、4，点移动8个单位长度，点移动4个单位长度 点P表示的数为，点Q表示的数为， 移动后、两点之间的距离是； 故移动后、两点之间的距离是2或10． 5．如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A、B、C三点分别表示 、 、 ； (2)将点B向左平移3个单位长度，点B所表示的数是 ； (3)将点A平移个单位长度，点A所表示的数是 ． 【答案】(1)3 (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）解：根据数轴可得，点A、B、C三点表示的数分别为3； 故答案为：3 （2）∵， ∴将点B向左移动3个单位长度后，点B所表示的数是． 故答案为：； （3）将点A向右平移个单位长度，点A所表示的数是，将点A向左平移个单位长度，点A所表示的数是． 故答案为：或． 6．如图，数轴上有一点，它表示的数为，只交换数字2和3的位置，符号不变，得到一个新数，用表示． (1)判断点在点的左侧还是右侧（说明理由），并计算两点间的距离． (2)将点向右平移得到点，使，求点向右移动的距离． 【答案】(1) 解：点在点的左侧； 理由如下：由题意，点表示的数为， ∵， ∴， ∵数轴上的数左边的比右边的小， ∴点在点的左侧； ∴两点间的距离为； (2)20或44 【分析】 【详解】（1）略 （2）∵， ∴点表示的数为或12， ∴点向右移动的距离为或． 题型二、中点问题 【模型】利用数轴中点公式，两点中点数值等于两数之和的一半，是数轴动点通用基础工具模型。 【步骤】①找出线段两端点对应数值；②代入中点公式计算；③验证结果是否在两点之间。 【易错】记错中点公式，误用两数之差计算；动点题型中忘记随时间更新中点表达式。 7．在数轴上点表示数，点表示数，点表示数3，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，运动时间（）为_____秒时，、、三点中恰有一点为另外两点的中点． 【答案】或12 【详解】解：∵在数轴上点表示数，点表示数，点、点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， ∴点一定在点的左边， 运动秒后，点的位置为，点的位置为，点的位置为， 当点为点和点的中点时，有，解得； 当点为点和点的中点时，有，解得（不符合题意，舍去）； 当点为点和点的中点时，有，解得； 故答案为：或12． 8．如图；在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数7，点、、在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒4个单位长度和2个单位长度的速度向右运动，当点运动至中点时，______． 【答案】 【详解】解：根据题意得：t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∵点运动至中点， ∴， 解得：， 即当点运动至中点时，． 故答案为： 9．如图，数轴上点A、B所表示的数分别为、4．有P、Q两点分别从A、B两点出发同时以2个单位长度每秒的速度在数轴上同向运动，M、N分别是与的中点，当运动时间为4秒时，M、N两点之间的距离是________． 【答案】6 【分析】 【详解】解：①当点P，Q同时向右运动时， 当运动时间为4秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵、分别是与的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴、两点之间的距离是； ②当点P，Q同时向左运动时， 当运动时间为4秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵、分别是与的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴、两点之间的距离是； 故答案为： 6． 10．如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C中的其中1个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 【答案】(1) (2) 当点A移动时，此时只需将A向左移动8个单位即可． 当点B移动时，此时只需将B向左移动8个单位即可． 当点C移动时，此时只需要将C向右移动4个单位即可． 【分析】 【详解】（1）解：∵点A表示的数为4， ∴将点A向左移动5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）略 11．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有________________． ①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变． 【答案】②④/④② 【详解】解：∵点A对应的数为4，且，在的左侧， ∴点对应的数是，故①错误； 由题意得：， ∴时，点到达点，故②正确； 分两种情况：当点在点的右侧， ， ， ， 时，； 当点在点的左侧， ， ， ， 时，， 综上所述，时，或4，故③错误； 分两种情况：当点在点的右侧， ∵分别为的中点， ， ， 当点在点的左侧， ∵分别为的中点， ∴， ， ∴在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确． 所以，上述结论中正确的是②④． 提升·进阶突破 题型三、单动点运动问题 【模型】单个点在数轴匀速运动，用时间、速度、初始位置，构造动点位置代数式求解问题。 【步骤】①写出动点初始位置；②根据运动方向列出含的位置式子；③根据题意列方程求解。 【易错】运动方向改变符号出错；漏写时间取值范围；距离计算忘记加绝对值。 12．已知数轴上、两点分别表示数、．点从表示的点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向右运动，运动时间为秒． (1)用含的式子表示点所表示的数； (2)当点到点的距离等于它到点的距离时，求的值．（提示：数轴上两点的距离等于两点所表示数的差的绝对值） 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：点从出发，以每秒个单位长度的速度向右运动秒，向右运动走过的路程为， 故点到达的点所表示的数为． （2）解：根据题意可知，点是线段的中点， 点表示、点表示，两点间的距离为， 则中点在点右侧个单位长度处， 则中点表示的数为， 据（1）可知点表示的数为， 令，解得， 故当秒时，点到点、点的距离相等． 13．如图，数轴上的A，B两点分别表示数a，b，满足．对于数轴上任意一点P（不与点A，点B重合），线段之间满足． (1)求线段的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的正方向运动，设运动时间为t秒，当时，求t的值． 【答案】(1)8 (2)3 【分析】 【详解】（1）解：，，， ，， ，， ； （2）解：t秒时，点P表示的数为，， 分两种情况：点P在点B左侧时， ， ， 解得； 点P在点B右侧时， ， ， 解得，不合题意，舍去； 综上可知，t的值为3． 14．如图，数轴上有两点，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为． (1)当时，求线段和线段的长； (2)当时，________，________（用含有的式子表示）； (3)当时，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)或． 【分析】 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ∵当时， ∴，在线段上， ∴，； （2）由题意可知，，，， ∵， ∴， ∴在线段上， ∴，； （3）由题意可知，，，， 分类： ①若在线段上，那么，即， ∴，； ∵， ∴， 解得：； ②若在线段的延长线上，那么，即， ∴，； ∵， ∴， 解得：； ∴综上，或． 15．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【答案】(1) (2) (3)当在之间时，点表示的数为，；当在点左边时，点P表示的数为， 【分析】 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴点到点的距离与点到点的距离之和为， ∴点为点、的“格距点”， ∴， 故答案为：； （2）解：∵整点为点、的“格距点”， ∴，即在线段上， ∴整点所表示的数是，，，，，，共个， 故答案为：； （3）解：①当在之间时，， 点表示的数为：， 此时； ②当在点左边时，， 点P表示的数为：， 此时． 16．已知如图，，为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，点也是数轴上的点，如果点到点的距离是点到点的距离的倍，即，则可称点是的偶点，回答下列问题： （1）当在点，之间，点表示的数为______； （2）当为数轴上一点，点表示的数为________； 【深入思考】 （3）如图，、为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，现有一个动点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，到达点停止，若运动时间为，求当为何值时，，，中恰有一个点为其余两点的偶点？ 【答案】（1）；（2）或；（3）秒或秒或秒 【分析】 【详解】（1）解：设点表示的数是， 点是的偶点，在点、之间， ，即， ，即点表示的数是． 故答案为：． （2）解：设点表示的数是， 依题得：或， 解得：或． 故答案为：或． （3）解：点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，到达点停止， 若运动时间为，则动点表示的数为，，， 分四种情况讨论： ①当点是的偶点时，， ， 解得：（秒）； ②当点是的偶点时，， ， 解得：（秒）； ③当点是的偶点时，， ， 解得：（秒）； ④当点是的偶点时，， ， 解得：（秒）． 综上所述，当为秒、秒或秒时，、、中恰有一个点为其余两点的偶点． 【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的实际应用，数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，解题关键是根据题意列出正确的方程并求解． 题型四、动线段问题 【模型】线段整体在数轴平移运动，将线段两个端点分别表示为含的式子，固定线段长度不变。 【步骤】①表示出线段两端点运动后的位置；②利用定长列式计算；③求解时间或对应位置。 【易错】混淆端点运动顺序；误把动线段当成动点，错误改变线段长度。 17．【问题情境】 如图1所示，点，在数轴上分别表示数，，且．小聪将一根木棒放置在数轴上，并将其沿数轴从左向右匀速移动． 【问题解决】 (1)和的值分别为___________，___________； (2)若木棒完全通过点所需时间是完全通过线段所需时间的，求木棒长度； (3)在（2）的条件下，小聪发现木棒移动至线段上某处时，恰好．受此启发，他突然理解了老师课间对他说的一段话：“当我是你现在这么大时，你还要18年才出生；当你到我现在这么大时，我已81岁了．”他画出了如图2的示意图．请你写出图2数轴上点和的实际意义，并求出小聪和老师现在的年龄． 【答案】(1)， (2)木棒长度为8 (3)点表示小聪现在的年龄，点表示老师现在的年龄，小聪现在的年龄15岁，老师现在的年龄48岁 【分析】 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴，； （2）解：设木棒的长度为， 根据题意得， 解得， 答：木棒长度为8； （3）解：点表示小聪现在的年龄，点表示老师现在的年龄， （岁） （岁），（岁） 答：小聪现在的年龄15岁，老师现在的年龄48岁． 18．如图，在数轴上，点表示，点表示8，点从原点出发，沿数轴负方向以的速度向终点运动，同时，点从点出发沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为． (1)求的长； (2)若，，且，求的长； (3)直接写出点、表示的数（用含、、的式子表示）； (4)点为、之间的动点，在、运动过程中，设，，且，始终为定值，直接写出、满足的数量关系． 【答案】(1)10 (2)7 (3)点表示的数为：，点表示的数为：； (4)． 【分析】 【详解】（1）解：； （2）解：若，，且， 则点P表示的数为：，点Q表示的数为：， ∴； （3）解：∵点从原点出发，沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为， ∴点表示的数为； ∵点从点出发沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为， ∴点表示的数为； （4）解：∵点表示的数为：， ∴， ∵点表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵始终为定值， ∴， ∴． 19．如图，数轴上，点与点对应的数分别是，将一根质地均匀的直尺放在数轴上（点在点的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当点移动到点的位置时，点与点重合，当点移动到点的位置时，点与点重合． (1)直尺的长为__________个单位长度； (2)若直尺在数轴上，且满足点与点的距离等于点与点距离的倍时，求此时点对应的数； (3)当点对应的数为时，作为起始位置，直尺以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度也沿数轴向右运动，设运动时间为秒． ①若、、三点恰好在同一时刻重合，求的值； ②当时，、、三个点中恰好有一个点到另外两点的距离相等，若点不与点、重合，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)或 (3)①；②或或 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴或， ∵， ∴或， ∴点对应的数是或， 即点对应的数是或； （3）解：①当点对应的数为时，点运动前表示的数是， ∵直尺以个单位秒的速度沿数轴匀速向右运动， ∴两点重合时秒， ∵点从点出发，以个单位秒的速度也沿数轴匀速向右移动， ∴点在数轴上对应的数为， 若三点恰好在同一时刻重合，则， 解得； ②当时，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， 当点是两点中点时，则， 解得； 当点是两点中点时，则， 解得； 当点是两点中点时，则， 解得； 综上，的值为或或． 20．如图，一把长度为5个单位的直尺放置在如图所示的数轴上（点在点左侧），点、、表示的数分别是、、，若、同时满足：． (1)______，______，_______． (2)设直尺以2个单位/秒的速度沿数轴匀速向右移动，同时点从点出发，以个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为秒． ①若、、三点恰好在同一时刻重合，求的值； ②当时，、、三个点中恰好有一个点到另外两个点的距离相等，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)，4，7 (2)①；②或7或7.5或8或9 【分析】 【详解】（1）解： 则 解得 由题意得，而点表示的数是 ∴点表示的数； （2）解：①， 当、重合时，依题意有，解得， 依题意有，解得． ②当时，， 当是、中点时，依题意有，解得； 当与重合时，依题意有，解得； 当是、中点时，依题意有，解得； 当与重合时，； 当是、中点时，依题意有，解得． 综上所述，或7或7.5或8或9． 题型五、动点的规律探究问题 【模型】动点做往复、往返循环运动，无固定方程，通过列举前几次运动位置，寻找周期规律解题。 【步骤】①依次列举动点前几次位置；②找出循环周期；③用除法求余数判断最终位置。 【易错】周期找错、余数理解错误；遗漏初始位置，列举规律不完整。 21．如图，在数轴上，点表示的数是，现将点做如下移动：第次将点向左移动个单位长度至点，第次将点向右移动个单位长度至点，第次将点向左移动个单位长度至点，．按照这种移动方式进行下去，点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知，点表示的数为， 第次移动后，点表示的数为； 第次移动后，点表示的数为； 第次移动后，点表示的数为； 第次移动后，点表示的数为； 每次移动，点向右移动个单位长度， ， 前次移动后，点表示的数为， 第次向左移动个单位长度， 点表示的数为． 22．如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母A，B，C，D，先让正方形上的顶点A与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2026将与正方形上的哪个字母重合（     ） A．字母A B．字母B C．字母C D．字母D 【答案】B 【详解】解：∵正方形边长为1， ∴正方形周长为4， ∵起点对应数，终点对应数2026， ∴滚动的总距离为， ∵， ∴数轴上的数2026对应的点与正方形滚动1个单位长度后落在数轴上的顶点重合， ∵正方形顺时针滚动，起始点为，则滚动1个单位长度后落在数轴上的点为， ∴数轴上的数2026将与正方形上的字母重合． 23．如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上字母，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动．那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母_______________所对应的点重合． 【答案】 【详解】解：数轴上与之间的距离为． 圆的周长为，且等分， 每滚动个单位长度，圆周上的点循环一次． 由于圆向左滚动，由图可知，圆周上与数轴接触的点依次为， 用总距离除以周期长度，余数为对应，余数为对应，余数为对应，余数为对应． ， 余数为，对应的点为． 故数轴上的所对应的点将与圆周上字母所对应的点重合． 24．如图，长方形的边在数轴上，点、对应的数分别为和，且边．若长方形沿数轴正方向在数轴上顺时针翻滚，每次翻滚，第1次绕着点顺时针翻滚后，点落在数轴上，对应的数为；第次绕点顺时针翻滚；继续翻滚，则翻滚次后，此时贴着数轴的那条边，其右端点对应的数是______． 【答案】 【详解】解：由题意可知，，， 四边形是长方形， 长方形的周长为 ， 观察翻滚过程可知，每翻滚次，长方形回到初始直立状态，且向右移动的距离等于周长6， ， 翻滚次相当于经历了个完整的循环后，又翻滚了次， 经过个循环后，长方形向右移动的总距离为 ，此时（第次翻滚后），长方形状态与初始状态相同，边在数轴上，右端点对应的数为 ， 第次翻滚（即第次）：绕点顺时针翻滚，边落在数轴上，右端点为，对应的数为 ， 第次翻滚（即第次）：绕点顺时针翻滚，边落在数轴上，右端点为，对应的数为 ， 故此时贴着数轴的那条边，其右端点对应的数是． 25．某智能巡检机器人沿一条笔直轨道（将轨道画成如图所示的数轴）执行巡检任务，机器人从点O出发，第1次向右移动1个单位长度，第2次向左移动2个单位长度，第3次向右移动3个单位长度，第4次向左移动4个单位长度…依此移动，机器人每秒移动2个单位长度．轨道上有一处故障点A，点A在点O的左侧，且与点O的距离为4个单位长度，则机器人在出发后______秒能第一次到达故障点． 【答案】18 【详解】解：故障点A在数轴上对应的数是，我们按移动顺序逐步分析机器人的位置： 第1次：从0向右移1个单位，到达位置1，累计移动总路程为1； 第2次：从1向左移2个单位，到达位置，累计移动总路程为； 第3次：从向右移3个单位，到达位置2，累计移动总路程为； 第4次：从2开始向左移动4个单位，到达位置，累计移动总路程为； ……， 第n次：当n为奇数时，到达位置为，当n为偶数时，到达位置为， ∵目标位置是， ∴， 解得， 此时机器人累计需要移动的总路程为：， 已知机器人每秒移动2个单位长度， 因此总时间为 秒，就是第一次到达故障点的时间． 26．已知，等边三角形（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将三角形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），点表示的数是________； (2)将三角形从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2026对应的点与点________重合； (3)将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：2，，，，． ①第________次滚动后，点A离原点最远； ②当三角形结束滚动时，点表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)B (3)①三；② 【分析】 【详解】（1）解：由题意得：， 所以将等边从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈，A表示的数是； （2）解：因为， 所以将等边从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2026表示的点与点B重合； （3）解：因为五次运动后，点A对应的数依次为： ； ； ； ； ； 所以第三次滚动后，点A离原点最远；     由知，运动结束后A点对应的是，所以点对应的数是． 拔高·压轴破难 题型六、双动点运动问题 【模型】两个点同时不同速、不同向运动，用含式子表示两点位置，结合相距、相遇条件列方程。 【步骤】①分别表示两点运动位置；②根据相遇、相距列绝对值方程；③分类讨论求解时间。 【易错】忽略先后、双向运动差异；相距问题不分类，漏解、多解；忘记取舍时间。 27．如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，点在点的右侧，且线段的长为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向正半轴运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向负半轴运动，设运动时间为秒． (1)求点表示的数； (2)求当为何值时，． 【答案】(1)点表示的数为； (2)当为或时，． 【分析】 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点在点的右侧，且线段的长为， ∴点表示的数为； （2）解：由题意可知：点表示的数为，点表示的数为， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向正半轴运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向负半轴运动， ∴点表示的数，点表示的数为， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得：或， ∴当为或时，． 28．数轴上依次有A，B，C三个点，对应的数分别为a，b，c．已知点A表示的数是，，．点P以每秒3个单位的速度从点A出发沿数轴向右运动，同时，点Q以每秒2个单位的速度从点C出发沿数轴向左运动，当点Q到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为． (1)直接写出b，c的值：_________，_________； (2)若点K是线段AP的中点，当t为何值时，； (3)若数轴上另外两个动点M，N分别随着P，Q一起运动，且始终保持，（点M在点P右边，点N在点Q左边），当点P运动到C点时，线段立即以原速度的倍返回向左运动，在整个运动过程中，是否存在使和两条线段重叠部分为的三分之一的情况，若存在，请求出t的值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，3 (2) (3)或或． 【分析】 【详解】（1）解：∵点A表示的数是，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴最长运动时间． ∵点Q以每秒2个单位的速度从点C出发沿数轴向左运动， ∴点Q表示的数为， ∵点P以每秒3个单位的速度从点A出发沿数轴向右运动， ∴点P表示的数为， ∵点K是线段的中点， ∴K表示的数为， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得：或（舍去）． 综上：． （3）解：∵（点M在点P右边，点N在点Q左边）， ∴M表示，N表示， 当点P向右运动时： 当M与N重合时， ∴， 解得：， ∵和两条线段重叠部分为的三分之一， ∴M在N的右边或Q在P的右边， ∴或， ∴或， 解得：或， 或 当点P向左运动时， 当点P运动到C点时，则， 解得：， 此时Q表示，N表示，M表示， 此后线段立即以原速度的倍返回向左运动， ∴P表示，M表示， 当P在Q的左边时，此时， ∴， 解得：，符合题意， 当N在M的左边时，此时， ∴， 解得：，不符合题意舍去． 综上：或或． 29．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为，动点P从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒 (1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是______． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②动点运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点返回到点时动点两点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)2 (2)①4秒；②1秒或7秒或9秒 【分析】 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为8， ∴点B表示的数为， ∴P点运动到线段的中点时，它所表示的数是； （2）解：①当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点追上点时，， 解得：， 即当点P运动4秒时，点P追上点Q； ②点P到点C所用的时间为（秒）， 点Q到点C所用的时间为（秒）， 点P从点C返回到点A所用的时间为（秒）， 点Q从点C返回到点A所用时间为（秒） 当时， 若点P在点Q的右侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 若点P在点Q的左侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 当时，点P从点C向点A运动，点Q从点B向点C运动，点P表示的数为， 若点P在点Q左侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得，不合题意，舍去 若点P在点Q右侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 当时，点P从点C向点A运动，点Q从点C向点B运动，且点P在点Q的右侧， 点Q表示的数为， 点P与点Q之间的距离为6个单位长度，则， 解得，不合题意，舍去； 综上，点P运动1秒或7秒或9秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度． 30．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)则___________； (2)若点在数轴上运动，点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点以每秒2个单位长度向右运动．请问：运动秒后，点与点之间的距离为多少？(用含的代数式表示) (3)若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点与点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，当秒时，试推出之间的数量关系． 【答案】(1)8 (2) (3)当时，；当时， 【分析】 【详解】（1）解：； 故答案为：8； （2）解：运动秒后，点表示的数为，点表示的数为， 故； （3）解：运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为． ∴，，． 当时，，则； 当时，，则； 综上，当时，；当时，． 31．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是________（用含t的代数式表示）． (2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，求： ①点Q表示的数是________（用含t的代数式表示）． ②当点P运动多少秒时，点P与点Q重合？ ③若点P与点Q之间的距离用表示，点B与点Q之间的距离用表示，当时，求出点P运动的时间． 【答案】(1)； (2)①；②当点运动5秒时，点与点重合；③点运动的时间为秒或10秒 【分析】 【详解】（1）解：∵点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10， ∴点B表示的数为； ∵点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， ∴点P表示的数为； 故答案为：；． （2）解：①∵点B表示的数为，点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒， ∴点Q表示的数为， 故答案为：； ②∵点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴当点与点重合时，则， 解得． 答：当点运动5秒时，点与点重合． ③当点运动秒时，此时， 当不超过时，， ∵， ∴， 解得； 当超过时，， ∵， ∴， 解得； 综上所述，点运动的时间为秒或10秒． 题型七、定值不变问题 【模型】动点运动过程中，线段和、差、中点距离等代数式结果不受时间影响，始终为固定数值。 【步骤】①列出运动后的动态代数式；②化简消去时间；③得出恒定定值。 【易错】化简不彻底，误判变量为定值；未验证任意时刻均成立，以偏概全。 32．如图，已知直线上有两条可以左右移动的线段：，，且，满足，点，分别为，中点． (1)求线段，的长； (2)线段以每秒个单位长度向右运动，同时线段以每秒个单位长度也向右运动．若运动秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒个单位长度向左运动，在线段向左运动的某一个时间段内，是否存在的值为定值？如果存在，请求出这个定值，并求出在哪一个时间段内；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的长为或 (3)当秒时，为定值，定值为 【分析】 【详解】（1）解： ， ，， ，， ，； （2）解：设直线为数轴， ，， ， 设点表示的数为，点表示的数为， 点分别为的中点， 点表示的数是，点表示的数是， 运动后点表示的数是， 点表示的数是， ， ， 解得或， 运动后， 运动后或； 的长为或； （3）解：，，，，， ，， 线段固定不动，线段以每秒个单位速度向左运动， 运动秒后，，， 当秒时，， 当秒时，， 当秒时， ∴当秒时，为定值，定值为． 33．如图1，已知数轴上点A表示的数为6，点B在点A左边，且．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒． (1)数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含t的式子表示）． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，则点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度？并求出此时点P表示的数． (3)若点P，Q以（2）中的速度同时分别从点A，B向右运动，同时点R从原点O以每秒4个单位长度的速度向右运动，是否存在常数m，使得为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)6秒或14秒，或 (3)存在常数m，使得为定值，m的值为，这个定值为20 【分析】 【详解】（1）解：∵点A表示的数为6，点B在点A左边，且， ∴点B表示的数是， ∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P表示的数是， 故答案为：，； （2）解：t秒时，Q表示的数为， 根据题意，得， 解得或， 当时，点P表示的数为； 当时，点P表示的数为； 答：点P运动6秒或14秒时与点Q相距4个单位长度，点P表示的数为或； （3）解：设t秒后为定值， 由题意得， ， ∵为定值， ∴的值与t无关， ∴， 解得， ∴当时，为定值，定值为20． 34．若数轴上存在两动点，当第一次相遇后，速度都变为原来的两倍，第二次相遇后又都能恢复到原来的速度，则称这条数轴为魔幻数轴． 如图，已知一魔幻数轴上有，，三点，其中，对应的数分别为，，为47个单位长度，，分别从，两点同时出发，沿数轴正方向同向而行，的速度为3个单位／秒，的速度为1个单位／秒，设运动时间为秒，到达点后以当时的速度立即返回（掉头时间不计），当回到点时，、同时停止运动． (1)点对应的数为______，出发______秒后追上（即第一次相遇）； (2)当到达点立即返回后第二次与相遇时，______，相遇点在数轴上表示的数是______； (3)，运动过程中是否存在某段时间内为定值？若能，求出该定值并写出对应的的取值范围，若不能，请说明理由． 【答案】(1)37；5 (2)13；21 (3)存在，当时，为定值，定值为64 【分析】 【详解】（1）解：∵其中，对应的数分别为，，为47个单位长度， ∴点B对应的数为； 设点P出发秒后追上Q（即第一次相遇）， 由题意得， 解得， 故答案为：37；5． （2）解：由（1）可知，点P和点Q在第5秒的时候第一次相遇， 即第一次相遇时点P和点Q对应的数字为5， ∴第一次相遇的点到点B的距离为， 设第一次相遇后到第二次相遇所用的时间为， ∵第一次相遇后点的速度为6个单位／秒，点的速度为2个单位／秒，当到达点立即返回， ∴由题意得， 解得， ∴当到达点立即返回后第二次与相遇时间（秒）， 相遇点表示的数为； 故答案为：13；21． （3）解：①由（1）可知，点P和点Q第一次相遇前，，点B表示的数为37， 此时点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴，， ∴， 即当时，不是定值； ②∵第一次相遇后点的速度为6个单位／秒，点的速度为2个单位／秒， ∴第一次相遇到后，点P到点B所用时间为（秒）， （秒）， ∴当时， 此时点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴，， ∴， 即当时，不是定值； ③由（2）可知，第二次相遇的时间为13秒， ∴当时， 此时点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴，， ∴， 即当时，为定值，定值为64； ④∵第二次相遇点对应的数为21，相遇后点的速度为3个单位／秒，点的速度为1个单位／秒，且当回到点时，、同时停止运动， ∴第二次相遇到后，点P回到点A的时间为（秒）， ∵，即此时点Q还没有运动到点B， （秒）， ∴当时， 此时点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴，， ∴， 即当时，不是定值； 综上所述，当时，为定值，定值为64． 35．在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且满足． (1)求出的值． (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与表示数____________的点重合；若此数轴上、两点之间的距离为2025（在的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，则点表示的数是____________． (3)点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，点从出发以每秒1个单位长度的速度运动，假设秒钟过后，请问：是否存在常数，使的值为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2； (3)存在，或 【分析】 【详解】（1）解：是最小的正整数， ； 将代入，则， ，且， ，， 解得：； 综上所述，； （2）解：由（1）知， 将数轴折叠，使得点与点重合时，对称中心表示的数是， ， 与点重合的点表示的数是； 设点表示的数是为， 数轴上、两点之间的距离为2025（在的左侧）， 点表示的数是， 当点与点重合时，点与点也恰好重合， ， 解得； 故答案为：2；； （3）解：存在， 经秒后对应的数是；经过秒后对应的数是， ， 分两种情况： ①点向左运动经过秒后对应的数是，则， ， 当，即时，的值是定值，为； ②点向右运动经过秒后对应的数是，则， ， 当，即时，的值是定值，为； 综上所述：当或时，的值为定值． 36．数轴原点为O，A，B是数轴上的两点，点A对应的数是a，点B对应的数是b，且a，b满足，动点M，N同时从A，B出发，分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)A，B两点间的距离是______；动点M对应的数是______（用含t的代数式表示）． (2)几秒后，线段与线段恰好满足？ (3)若M，N开始运动的同时，R从出发以2个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，当R与M不重合时，求与之间的数量关系． 【答案】(1)6， (2)秒或秒 (3) 当时，；当时， 【分析】 【详解】（1）解： ∴，， ∴，， ∴， 当运动时间为秒时，动点对应的数是， 故答案为：， ； （2）解：当运动时间为秒时，动点对应的数是，动点对应的数是， 根据题意得：， 解得：或， 答：秒或秒后，线段与线段恰好满足； （3）解：当运动时间为秒时，动点对应的数是，动点对应的数是，动点对应的数是， ∴， ， ， ∵与不重合， ∴， ∴， ∴分及两种情况考虑： 当时， ， ， ∴； 当时， ，， ∴， 综上所述， 当时，；当时， . 37．给出如下定义：对于数轴上两点M，N和常数d，如果在数轴上存在点P，使得，那么称点P是M，N的“d关联点”．例如：点M表示的数为0，点N表示的数为2，，当点P表示的数为3时，，所以称点P是M，N的“4关联点” (1)点M表示的数为1． ①点N表示的数为2，P是M，N的“3关联点”．则点P表示的数是_______（直接写出结果）； ②点P表示的数为，且是M，N的“10关联点”，求点N表示的数； (2)数轴上点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为2，数轴正半轴上的点D是B，C的“12关联点”．若线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当线段完全运动到线段上（不与A，B两点重合）时开始计时，设运动时间为t秒． ①运动t秒后，点B恰是C，D的“4关联点”，求t的值； ②点P是A，B的“8关联点”，Q为的中点，若存在有理数n使为定值，请直接写出符合条件的n的值为_______． 【答案】(1)①0或3；②或 (2)①1；② 【分析】 【详解】（1）解：①设点P表示的数为x，则， ∵P是M，N的“3关联点”， ∴， ∴， 当点P在点M左侧时，则，解得， 当点P在点M和点N之间时，则，此时方程无解； 当点P在点N右侧时，则，解得； 综上所述，点P表示的数为0或3； ②设点N表示的数为y，则， ∵点P是M，N的“10关联点”， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴点N表示的数为或； （2）解：①设运动前点D表示的数为m，， ∵数轴正半轴上的点D是B，C的“12关联点”， ∴， ∴， 当时，则，此时方程无解； 当时，则，解得； 综上所述，运动前点D表示的数为4； 设运动s秒时，点D刚好与点B重合，则， 解得， ∴从开始运动到线段完全运动到线段上（不与A，B两点重合）时，需要10秒， ∴运动t秒时，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为， ∴，， ∵运动t秒后，点B恰是C，D的“4关联点”， ∴， ∴， 解得； ②由（2）①得运动t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为， ∴； ∵Q为的中点， ∴点Q表示的数为； 设点P表示的数为p， ∴， ∵点P是A，B的“8关联点”， ∴， ∴， 当时，则，解得； 当时，则，此时方程无解； 当时，则，解得； 综上所述，点P表示的数为或； 当点P表示的数为时，则， ∴， ∵为定值， ∴， ∴； 当点P表示的数为时，则， ∴，此时不存在n使得为定值， 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，解绝对值方程，一元一次方程的应用，整式的加减运算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 题型八、新定义问题 【模型】题目给出数轴动点全新定义、新运算，抛弃固有思路，严格按题目新规则转化列式求解。 【步骤】①读懂并拆解新定义规则；②结合动点位置列式；③按新运算化简求解。 【易错】套用旧知识点解题，违背新定义；理解题意偏差，列式完全出错。 38．【概念理解】定义：在数轴上，我们称数轴上某点到定点（点表示的数为6）的距离为该点的“绝对坐标”，记作（其中是点表示的数）．如：数轴上有一点表示的数为8，则 【问题情境】如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是6，点表示的数是16，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，到达点后立即以同样的速度向点运动；动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动．，两点同时出发，设运动的时间为秒，当点到点时停止运动，点也随之停止． 【初步探究】（1）根据定义，_____，_____． 【深入思考】（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【综合探究】（3）我们发现，在，两点运动的过程中的某个阶段，的值是个定值，则定值为_____． 【答案】（1）16，10；（2）存在，；（3）32． 【分析】 【详解】解：（1）∵（是点表示的数），点表示的数是，点表示的数是16， ∴，． 故答案为：16，10． （2）∵点从点出发到B的距离为：， ∴所需时间秒， ∴当时，点P表示的数为； 当时，点Q从点B到A的距离为16，所需时间为：（秒）， ∴点P表示的数为， ∵点Q表示的数为， ①当时，， ∵， ∴， 当，解得：（不符合题意舍去）； 当，解得：（符合题意）； ②当时，， ∵， ∴， 当，解得：（不符合题意舍去）； 当，解得：（不符合题意舍去）． 综上，． （3）①当时，， ∴． ②当时，， ∵， ∴． 综上，当P在A、B之间，Q在B、A之间时，的值是个定值，则定值为32． 故答案为：32． 39．定义：为数轴上三点，当点在线段上时，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们称点是的美好点．例如：如图①，点表示数，点表示数，点表示数，点表示数．点到点的距离是，到点的距离是，那么点是的美好点；又如，点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是的美好点，但点是的美好点． 如图②，为数轴上两点，点表示数，点表示数． （）①求的美好点表示的数为__________． ②求的美好点表示的数为_____________． （）数轴上有一个动点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向右运动．设点运动的时间为秒，当点和中恰有一个点为其余两点的美好点时，求的值． 【答案】（）①；②；（）或或或 【分析】 【详解】解：（）①设的美好点表示的数为， 由题意得，， 解得， ∴的美好点表示的数为， 故答案为：； ②设的美好点表示的数为， 由题意得，， 解得， ∴的美好点表示的数为， 故答案为：； （）由题意得，点运动秒后在数轴上表示的数为， 当点是的美好点时，则， 解得； 当点是的美好点时，则， 解得； 当点是的美好点时，则， 解得； 当点是的美好点时，则， 解得； 综上，的值为或或或． 40．【数学概念】如图，A、B为数轴上不重合的两个点，P为数轴上任意一点，我们比较线段和的长度，将较短线段的长度定义为点P到线段的“靠近距离”．特别地，若线段和的长度相等，则将线段或的长度定义为点P到线段的“靠近距离”． 【概念理解】如图①，点A表示的数是，点B表示的数是2． (1)若点P表示的数是，则点P到线段的“靠近距离”为 ； (2)若点P表示的数是m，点P到线段的“靠近距离”为3，则m的值为 ．（写出所有结果）； 【概念应用】 (3)如图②，在数轴上，点P表示的数是，点A表示的数是，点B表示的数是2．点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动的时间为t秒，当点P到线段的“靠近距离”为2时，求t的值． 【答案】(1)2 (2)或或5 (3)t的值为2.5或0.5或10或6 【分析】 【详解】（1）解：∵点A表示的数是，点B表示的数是2，点P表示的数是， ∴，， ∴点P到线段的“靠近距离”为2； （2）解：根据两点间的距离可得，，， ∴当时，解得或， 当时，解得或， 故m的值为或或5； （3）解：当运动时间为t秒时，点P表示的数是，点B表示的数是， ∴，， ∴当时，解得或0.5， 当时，解得或6， 综上所述，t的值为2.5或0.5或10或6． 41．定义：若数轴上有两个点位于一点两侧，且到该点的距离相等，则称这两个点是关于该点的“联盟点”． 【初步感知】 （1）在数轴上，若点B表示的数是5，点M表示的数是3，点A与点B是关于点M的“联盟点”，则点A表示的数是_______； （2）在数轴上，若点A表示的数是a，点B表示的数是b，点M表示的数是m，点A与点B是关于点M的“联盟点”，则a，b，m满足的数量关系是______； 【问题探究】 如图1，点O为原点，点M表示的数是3，如果点C所表示的数是，点C关于O点的“联盟点”是点D，点C关于点M的“联盟点”是点E，求线段DE的长度； 【拓展延伸】 如图2，点F表示的数是1，点P，Q分别从数轴上表示的数是3和的点出发向右匀速运动，点P的速度是1个单位长度/秒，点Q的速度是k个单位长度/秒，设运动时间为t秒．点F关于点P的联盟点为点G，点G关于点Q的联盟点为点H，是否存在一个k值，使得FH为定值．若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】初步感知 （1）1；（2）； 问题探究 ； 拓展延伸 存在， 【分析】 【详解】初步感知 解：（1）设点A表示的数为x，点B表示的数是5，点M表示的数是3， ∴点在点的右边， ∴点在点的左边， 根据题意可得， 解得， 故点A表示的数为1， 故答案是：1； （2）根据题意可得点是的中点， 故， 化简得． 问题探究 解：点C关于O点的“联盟点”是D， 点D表示的数为， 点C关于点M的“联盟点”是E， 点E所表示的数为， ． 拓展延伸 解：存在，理由如下， 根据题意，可知点P表示的数为，点Q表示的数为， 点F关于点P的联盟点为点G，点F表示的数是1， 点G表示的数为， 点G关于点Q的联盟点为点H， 点H表示的数为， 所以， 因为为定值，所以， 解得． $专题02 数轴上的动点问题 基础·固本强基 题型一、平移问题 题型二、中点问题 提升·进阶突破 题型三、单动点运动问题（重点） 题型四、动线段问题（重点） 题型五、动点的规律探究问题（难点） 拔高·压轴破难 题型六、双动点运动问题（重点） 题型七、定值不变问题（难点） 题型八、新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一、平移问题 【模型】数轴点平移遵循“左减右加”核心规则，向左平移数值变小，向右平移数值变大，属于数轴最基础变换模型。 【步骤】①确定点初始位置；②根据平移方向和距离列式；③计算平移后对应点的数值。 【易错】左右平移符号写反；多个连续平移顺序混乱；平移距离不带正负直接计算。 1．在数轴上，点A表示，从点A出发，沿数轴向右移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是（     ） A．1 B． C．1或 D．以上都不对 2．对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘，再把所得数对应的点向右平移1个单位长度，得到点的对应点．已知点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点表示的数是（   ） A． B．3 C． D． 3．在数轴上，点A表示的数是2．若将点A向左移动4个单位长度得到点，则点表示的数为______． 4．如图，数轴上点、所表示的数分别为、4，、两点分别从、两点出发在数轴上同向移动，点移动8个单位长度，点移动4个单位长度．则移动后、两点之间的距离是______________． 5．如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A、B、C三点分别表示 、 、 ； (2)将点B向左平移3个单位长度，点B所表示的数是 ； (3)将点A平移个单位长度，点A所表示的数是 ． 6．如图，数轴上有一点，它表示的数为，只交换数字2和3的位置，符号不变，得到一个新数，用表示． (1)判断点在点的左侧还是右侧（说明理由），并计算两点间的距离． (2)将点向右平移得到点，使，求点向右移动的距离． 题型二、中点问题 【模型】利用数轴中点公式，两点中点数值等于两数之和的一半，是数轴动点通用基础工具模型。 【步骤】①找出线段两端点对应数值；②代入中点公式计算；③验证结果是否在两点之间。 【易错】记错中点公式，误用两数之差计算；动点题型中忘记随时间更新中点表达式。 7．在数轴上点表示数，点表示数，点表示数3，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，运动时间（）为_____秒时，、、三点中恰有一点为另外两点的中点． 8．如图；在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数7，点、、在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒4个单位长度和2个单位长度的速度向右运动，当点运动至中点时，______． 9．如图，数轴上点A、B所表示的数分别为、4．有P、Q两点分别从A、B两点出发同时以2个单位长度每秒的速度在数轴上同向运动，M、N分别是与的中点，当运动时间为4秒时，M、N两点之间的距离是________． 10．如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C中的其中1个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 11．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有________________． ①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变． 提升·进阶突破 题型三、单动点运动问题 【模型】单个点在数轴匀速运动，用时间、速度、初始位置，构造动点位置代数式求解问题。 【步骤】①写出动点初始位置；②根据运动方向列出含的位置式子；③根据题意列方程求解。 【易错】运动方向改变符号出错；漏写时间取值范围；距离计算忘记加绝对值。 12．已知数轴上、两点分别表示数、．点从表示的点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向右运动，运动时间为秒． (1)用含的式子表示点所表示的数； (2)当点到点的距离等于它到点的距离时，求的值．（提示：数轴上两点的距离等于两点所表示数的差的绝对值） 13．如图，数轴上的A，B两点分别表示数a，b，满足．对于数轴上任意一点P（不与点A，点B重合），线段之间满足． (1)求线段的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的正方向运动，设运动时间为t秒，当时，求t的值． 14．如图，数轴上有两点，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为． (1)当时，求线段和线段的长； (2)当时，________，________（用含有的式子表示）； (3)当时，求的值． 15．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 16．已知如图，，为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，点也是数轴上的点，如果点到点的距离是点到点的距离的倍，即，则可称点是的偶点，回答下列问题： （1）当在点，之间，点表示的数为______； （2）当为数轴上一点，点表示的数为________； 【深入思考】 （3）如图，、为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，现有一个动点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，到达点停止，若运动时间为，求当为何值时，，，中恰有一个点为其余两点的偶点？ 题型四、动线段问题 【模型】线段整体在数轴平移运动，将线段两个端点分别表示为含的式子，固定线段长度不变。 【步骤】①表示出线段两端点运动后的位置；②利用定长列式计算；③求解时间或对应位置。 【易错】混淆端点运动顺序；误把动线段当成动点，错误改变线段长度。 17．【问题情境】 如图1所示，点，在数轴上分别表示数，，且．小聪将一根木棒放置在数轴上，并将其沿数轴从左向右匀速移动． 【问题解决】 (1)和的值分别为___________，___________； (2)若木棒完全通过点所需时间是完全通过线段所需时间的，求木棒长度； (3)在（2）的条件下，小聪发现木棒移动至线段上某处时，恰好．受此启发，他突然理解了老师课间对他说的一段话：“当我是你现在这么大时，你还要18年才出生；当你到我现在这么大时，我已81岁了．”他画出了如图2的示意图．请你写出图2数轴上点和的实际意义，并求出小聪和老师现在的年龄． 18．如图，在数轴上，点表示，点表示8，点从原点出发，沿数轴负方向以的速度向终点运动，同时，点从点出发沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为． (1)求的长； (2)若，，且，求的长； (3)直接写出点、表示的数（用含、、的式子表示）； (4)点为、之间的动点，在、运动过程中，设，，且，始终为定值，直接写出、满足的数量关系． 19．如图，数轴上，点与点对应的数分别是，将一根质地均匀的直尺放在数轴上（点在点的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当点移动到点的位置时，点与点重合，当点移动到点的位置时，点与点重合． (1)直尺的长为__________个单位长度； (2)若直尺在数轴上，且满足点与点的距离等于点与点距离的倍时，求此时点对应的数； (3)当点对应的数为时，作为起始位置，直尺以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度也沿数轴向右运动，设运动时间为秒． ①若、、三点恰好在同一时刻重合，求的值； ②当时，、、三个点中恰好有一个点到另外两点的距离相等，若点不与点、重合，请直接写出所有满足条件的的值． 20．如图，一把长度为5个单位的直尺放置在如图所示的数轴上（点在点左侧），点、、表示的数分别是、、，若、同时满足：． (1)______，______，_______． (2)设直尺以2个单位/秒的速度沿数轴匀速向右移动，同时点从点出发，以个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为秒． ①若、、三点恰好在同一时刻重合，求的值； ②当时，、、三个点中恰好有一个点到另外两个点的距离相等，请直接写出所有满足条件的的值． 题型五、动点的规律探究问题 【模型】动点做往复、往返循环运动，无固定方程，通过列举前几次运动位置，寻找周期规律解题。 【步骤】①依次列举动点前几次位置；②找出循环周期；③用除法求余数判断最终位置。 【易错】周期找错、余数理解错误；遗漏初始位置，列举规律不完整。 21．如图，在数轴上，点表示的数是，现将点做如下移动：第次将点向左移动个单位长度至点，第次将点向右移动个单位长度至点，第次将点向左移动个单位长度至点，．按照这种移动方式进行下去，点表示的数是（     ） A． B． C． D． 22．如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母A，B，C，D，先让正方形上的顶点A与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2026将与正方形上的哪个字母重合（     ） A．字母A B．字母B C．字母C D．字母D 23．如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上字母，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动．那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母_______________所对应的点重合． 24．如图，长方形的边在数轴上，点、对应的数分别为和，且边．若长方形沿数轴正方向在数轴上顺时针翻滚，每次翻滚，第1次绕着点顺时针翻滚后，点落在数轴上，对应的数为；第次绕点顺时针翻滚；继续翻滚，则翻滚次后，此时贴着数轴的那条边，其右端点对应的数是______． 25．某智能巡检机器人沿一条笔直轨道（将轨道画成如图所示的数轴）执行巡检任务，机器人从点O出发，第1次向右移动1个单位长度，第2次向左移动2个单位长度，第3次向右移动3个单位长度，第4次向左移动4个单位长度…依此移动，机器人每秒移动2个单位长度．轨道上有一处故障点A，点A在点O的左侧，且与点O的距离为4个单位长度，则机器人在出发后______秒能第一次到达故障点． 26．已知，等边三角形（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将三角形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），点表示的数是________； (2)将三角形从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2026对应的点与点________重合； (3)将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：2，，，，． ①第________次滚动后，点A离原点最远； ②当三角形结束滚动时，点表示的数是多少？ 拔高·压轴破难 题型六、双动点运动问题 【模型】两个点同时不同速、不同向运动，用含式子表示两点位置，结合相距、相遇条件列方程。 【步骤】①分别表示两点运动位置；②根据相遇、相距列绝对值方程；③分类讨论求解时间。 【易错】忽略先后、双向运动差异；相距问题不分类，漏解、多解；忘记取舍时间。 27．如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，点在点的右侧，且线段的长为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向正半轴运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向负半轴运动，设运动时间为秒． (1)求点表示的数； (2)求当为何值时，． 28．数轴上依次有A，B，C三个点，对应的数分别为a，b，c．已知点A表示的数是，，．点P以每秒3个单位的速度从点A出发沿数轴向右运动，同时，点Q以每秒2个单位的速度从点C出发沿数轴向左运动，当点Q到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为． (1)直接写出b，c的值：_________，_________； (2)若点K是线段AP的中点，当t为何值时，； (3)若数轴上另外两个动点M，N分别随着P，Q一起运动，且始终保持，（点M在点P右边，点N在点Q左边），当点P运动到C点时，线段立即以原速度的倍返回向左运动，在整个运动过程中，是否存在使和两条线段重叠部分为的三分之一的情况，若存在，请求出t的值．若不存在，请说明理由． 29．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为，动点P从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒 (1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是______． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②动点运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点返回到点时动点两点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 30．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)则___________； (2)若点在数轴上运动，点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点以每秒2个单位长度向右运动．请问：运动秒后，点与点之间的距离为多少？(用含的代数式表示) (3)若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点与点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，当秒时，试推出之间的数量关系． 31．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是________（用含t的代数式表示）． (2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，求： ①点Q表示的数是________（用含t的代数式表示）． ②当点P运动多少秒时，点P与点Q重合？ ③若点P与点Q之间的距离用表示，点B与点Q之间的距离用表示，当时，求出点P运动的时间． 题型七、定值不变问题 【模型】动点运动过程中，线段和、差、中点距离等代数式结果不受时间影响，始终为固定数值。 【步骤】①列出运动后的动态代数式；②化简消去时间；③得出恒定定值。 【易错】化简不彻底，误判变量为定值；未验证任意时刻均成立，以偏概全。 32．如图，已知直线上有两条可以左右移动的线段：，，且，满足，点，分别为，中点． (1)求线段，的长； (2)线段以每秒个单位长度向右运动，同时线段以每秒个单位长度也向右运动．若运动秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒个单位长度向左运动，在线段向左运动的某一个时间段内，是否存在的值为定值？如果存在，请求出这个定值，并求出在哪一个时间段内；如果不存在，请说明理由． 33．如图1，已知数轴上点A表示的数为6，点B在点A左边，且．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒． (1)数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含t的式子表示）． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，则点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度？并求出此时点P表示的数． (3)若点P，Q以（2）中的速度同时分别从点A，B向右运动，同时点R从原点O以每秒4个单位长度的速度向右运动，是否存在常数m，使得为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 34．若数轴上存在两动点，当第一次相遇后，速度都变为原来的两倍，第二次相遇后又都能恢复到原来的速度，则称这条数轴为魔幻数轴． 如图，已知一魔幻数轴上有，，三点，其中，对应的数分别为，，为47个单位长度，，分别从，两点同时出发，沿数轴正方向同向而行，的速度为3个单位／秒，的速度为1个单位／秒，设运动时间为秒，到达点后以当时的速度立即返回（掉头时间不计），当回到点时，、同时停止运动． (1)点对应的数为______，出发______秒后追上（即第一次相遇）； (2)当到达点立即返回后第二次与相遇时，______，相遇点在数轴上表示的数是______； (3)，运动过程中是否存在某段时间内为定值？若能，求出该定值并写出对应的的取值范围，若不能，请说明理由． 35．在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且满足． (1)求出的值． (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与表示数____________的点重合；若此数轴上、两点之间的距离为2025（在的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，则点表示的数是____________． (3)点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，点从出发以每秒1个单位长度的速度运动，假设秒钟过后，请问：是否存在常数，使的值为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 36．数轴原点为O，A，B是数轴上的两点，点A对应的数是a，点B对应的数是b，且a，b满足，动点M，N同时从A，B出发，分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)A，B两点间的距离是______；动点M对应的数是______（用含t的代数式表示）． (2)几秒后，线段与线段恰好满足？ (3)若M，N开始运动的同时，R从出发以2个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，当R与M不重合时，求与之间的数量关系． 37．给出如下定义：对于数轴上两点M，N和常数d，如果在数轴上存在点P，使得，那么称点P是M，N的“d关联点”．例如：点M表示的数为0，点N表示的数为2，，当点P表示的数为3时，，所以称点P是M，N的“4关联点” (1)点M表示的数为1． ①点N表示的数为2，P是M，N的“3关联点”．则点P表示的数是_______（直接写出结果）； ②点P表示的数为，且是M，N的“10关联点”，求点N表示的数； (2)数轴上点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为2，数轴正半轴上的点D是B，C的“12关联点”．若线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当线段完全运动到线段上（不与A，B两点重合）时开始计时，设运动时间为t秒． ①运动t秒后，点B恰是C，D的“4关联点”，求t的值； ②点P是A，B的“8关联点”，Q为的中点，若存在有理数n使为定值，请直接写出符合条件的n的值为_______． 题型八、新定义问题 【模型】题目给出数轴动点全新定义、新运算，抛弃固有思路，严格按题目新规则转化列式求解。 【步骤】①读懂并拆解新定义规则；②结合动点位置列式；③按新运算化简求解。 【易错】套用旧知识点解题，违背新定义；理解题意偏差，列式完全出错。 38．【概念理解】定义：在数轴上，我们称数轴上某点到定点（点表示的数为6）的距离为该点的“绝对坐标”，记作（其中是点表示的数）．如：数轴上有一点表示的数为8，则 【问题情境】如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是6，点表示的数是16，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，到达点后立即以同样的速度向点运动；动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动．，两点同时出发，设运动的时间为秒，当点到点时停止运动，点也随之停止． 【初步探究】（1）根据定义，_____，_____． 【深入思考】（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【综合探究】（3）我们发现，在，两点运动的过程中的某个阶段，的值是个定值，则定值为_____． 39．定义：为数轴上三点，当点在线段上时，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们称点是的美好点．例如：如图①，点表示数，点表示数，点表示数，点表示数．点到点的距离是，到点的距离是，那么点是的美好点；又如，点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是的美好点，但点是的美好点． 如图②，为数轴上两点，点表示数，点表示数． （）①求的美好点表示的数为__________． ②求的美好点表示的数为_____________． （）数轴上有一个动点从点出发，沿数轴以每秒个单位长度的速度向右运动．设点运动的时间为秒，当点和中恰有一个点为其余两点的美好点时，求的值． 40．【数学概念】如图，A、B为数轴上不重合的两个点，P为数轴上任意一点，我们比较线段和的长度，将较短线段的长度定义为点P到线段的“靠近距离”．特别地，若线段和的长度相等，则将线段或的长度定义为点P到线段的“靠近距离”． 【概念理解】如图①，点A表示的数是，点B表示的数是2． (1)若点P表示的数是，则点P到线段的“靠近距离”为 ； (2)若点P表示的数是m，点P到线段的“靠近距离”为3，则m的值为 ．（写出所有结果）； 【概念应用】 (3)如图②，在数轴上，点P表示的数是，点A表示的数是，点B表示的数是2．点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动的时间为t秒，当点P到线段的“靠近距离”为2时，求t的值． 41．定义：若数轴上有两个点位于一点两侧，且到该点的距离相等，则称这两个点是关于该点的“联盟点”． 【初步感知】 （1）在数轴上，若点B表示的数是5，点M表示的数是3，点A与点B是关于点M的“联盟点”，则点A表示的数是_______； （2）在数轴上，若点A表示的数是a，点B表示的数是b，点M表示的数是m，点A与点B是关于点M的“联盟点”，则a，b，m满足的数量关系是______； 【问题探究】 如图1，点O为原点，点M表示的数是3，如果点C所表示的数是，点C关于O点的“联盟点”是点D，点C关于点M的“联盟点”是点E，求线段DE的长度； 【拓展延伸】 如图2，点F表示的数是1，点P，Q分别从数轴上表示的数是3和的点出发向右匀速运动，点P的速度是1个单位长度/秒，点Q的速度是k个单位长度/秒，设运动时间为t秒．点F关于点P的联盟点为点G，点G关于点Q的联盟点为点H，是否存在一个k值，使得FH为定值．若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． $