精品解析：山东东营市河口区实验中学2026-2027学年第一学期学科阶段性测试九年级数学试题

河口区实验中学2026-2027学年第一学期学科阶段性测试九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，进行求解即可． 【详解】解：由特殊角的三角函数值，得． 2. 在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：， ， ， ， ． 3. 如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点到桥面的距离（单位：米）是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作于C，求出长，再解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，作于C， ∵大桥主塔是一个轴对称图形， ∴， ∴(米)， ∵， ∴（米) ． 4. 一传送带和地面所成斜坡的坡比为，如果要把物体从地面送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程是（ ） A. 12米 B. 13米 C. 24米 D. 26米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查坡比的概念，由坡比定义为垂直高度与水平距离之比，已知坡比和垂直高度10米，可求水平距离，再应用勾股定理求斜坡长度． 【详解】∵坡比为，即垂直高度：水平距离， ∴垂直高度米时，水平距离米， 在中，斜坡米． ∴物体所经过的路程为26米． 故选：D． 5. 如图，网格图中每个小正方形的边长都为1．A，B，C是网格线的交点，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中，利用勾股定理求出的长，再求出的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴， ∴，即． 6. 已知锐角满足，则锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值，即可求解． 【详解】解：∵，为锐角， ∴， ∴． 7. 如图，点在第一象限，与x轴所夹的锐角为，则t的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过A作轴于B，则，，在中，利用正切定义求解即可． 【详解】解：过A作轴于B， ∵点在第一象限， ∴，， 在中，， ∴，即． 8. 山西曲沃县望母楼，始建于明朝万历年间，是曲沃县的标志性古建筑．如图，有一建筑物与望母楼的水平距离为米，从建筑物顶A点测得望母楼楼顶D点的俯角为，测得望母楼楼底C点的俯角为，则望母楼的高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作于点E，在中可得，在 中可得，再通过线段的和差关系求解即可． 此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作于点E， 由题意得，， ，， 在中，， 在 中，． ∴米． 故选：D． 9. 已知：如图，在中，是边上的高，为边的中点，，，．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解直角三角形得出，根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∴． 10. 陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座点米的点处测量，塑像底部点的仰角为，顶部点的仰角为，点在同一条直线上，则塑像的高度为（ ）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】在中，，在中，，即可求出答案． 【详解】解：由题意得，在中， ， 在中，， ∴米． 二、填空题（11-14题，每题3分，15-18题，每题4分） 11. 在中，若（其中，为锐角），则的形状是___________． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】由非负数的性质求出和的值，再根据三角函数值确定角和的度数，结合三角形内角和定理判断形状． 【详解】解：∵， ∴，， ，， ，为锐角， ，， ， 是直角三角形． 12. 如图，顾客站在某商场内的自动扶梯上从一楼移动15.6米到二楼，已知商场第一层楼的高度大约为6米，那么此自动扶梯斜坡的坡比是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和坡比的计算，正确掌握勾股定理和坡比的计算方法是解题的关键． 先根据勾股定理，计算出水平距离的长，再计算坡比即可求解． 【详解】解：如图， 在中，米，米， 则（米）， 所以坡比． 故答案为：． 13. 如图，已知中，，分别以、为圆心，为半径作弧，所作弧交于、，连接交于．连接，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由作图步骤可知，垂直平分，过点作于，在中解直角三角形可得，进而可得的长，在中解直角三角形即可求解． 【详解】解：由作图步骤可知，垂直平分， ∴， ∵在中，， ∴，， 如图，过点作于， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，在等腰三角形中，，点D为的中点，于点E，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，，勾股定理求出，求出，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵三角形是等腰三角形，，点D为的中点， ∴，， ∴， ∵于点E， ∴ 即， ∴． 15. 如图，河坝横断面迎水坡的坡角是，坝高，则坡面的长度是________m． 【答案】 【解析】 【分析】利用坡角的度数结合锐角三角函数即可求解． 【详解】解：根据题意可知，，， 在中，， ， ， ， 即坡面的长度是． 16. 如图，无人机飞到某大桥桥面的正上方，与桥面相距600米的点处悬停，此时测得的俯角分别为和，则桥面的长是___________米．（，结果保留整数） 【答案】1639 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点C作，垂足为F，根据题意可得：米，，从而可得，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点C作，垂足为F， 由题意得：米，， ∴，， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴桥面的长约为1639米， 故答案为：1639． 17. 如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则灯塔C与码头B的距离是____海里．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】过点B作于点F，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长即可． 【详解】解：如图， 由题意可得，，，（海里）， ， ． 过点B作于点F，如图： 在中，， （海里）， 在中，， （海里）． 即灯塔C与码头B的距离是海里． 18. 如图，将矩形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，，．折叠后，点落在边上的处，点落在边上的处．则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据矩形的折叠证明为等边三角形，解求出，再由等边三角形的性质以及折叠可得，即可求解． 【详解】解：∵将矩形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴由折叠得， 又矩形中，， ∴ 又 ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共62分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先代入特殊三角函数值，再计算即可； （2）先计算绝对值、特殊三角函数值、零指数幂和算术平方根，再计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 已知在中，，a，b，c分别是，，对应的边． （1）若，，求a，c的长； （2）若，，求a，b的长． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】利用特殊角三角函数的定义进行求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ，； 【小问2详解】 解：在中，，， ，． 21. 已知：如图，在中，是边上的高，E为边的中点，，，． （1）求线段的长； （2）计算的值． 【答案】（1）15 （2） 【解析】 【分析】（1）在中，根据已知条件求出边的长，再由的长，可以求出的长； （2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可得，从而求出的正切值即求出了的值． 【小问1详解】 解：是边上的高， 和是直角三角形， 在中，，， ， ． 又， ； 【小问2详解】 解：在中，为斜边的中点， ， ， ． 22. 如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 【答案】小亮沿垂直方向上升了米 【解析】 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，分别在直角三角形和直角三角形中，利用正弦分别求出和，于是可求出沿垂直方向上升的米数． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得四边形是矩形， ， 在直角三角形和直角三角形中， 、， 、， 、， （米）． 答：小亮沿垂直方向上升了米． 23. 近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东方向，3小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离．（结果精确到整数，参考数据：，） 【答案】该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里 【解析】 【分析】过点作于点，在中，利用三角函数求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，然后根据即可求解． 【详解】解：由题意，得海里，，， 过点作于点， ， 在中，， 在中，， ． 海里， ， 解得海里． 答：该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里． 24. 为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形，，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】斜坡AF的长度为20.61米． 【解析】 【分析】先由DE的坡度计算DC的长度，根据矩形性质得AB长度，再由AF的坡度得出BF的长度，根据勾股定理计算出AF的长度． 【详解】∵，其坡度为， ∴在中， ∴解得 ∵四边形ABCD为矩形 ∴ ∵斜坡的坡度为 ∴ ∴ 在中，（m） ∴斜坡的长度为20.61米． 【点睛】本题考查了坡度的概念，及用勾股定理解直角三角形的用法，熟知以上知识点是解题的关键． 25. 2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”α为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”β为．（参考数据：取，取） （1）如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”α为，时，求眼睛A与屏幕的距离； （2）如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，根据求解即可； （2）延长交于点M，则，，求解，在中，根据求出，再根据求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 故眼睛A与屏幕的距离约为． 【小问2详解】 解：延长交于点M，则，， ， ， 在中，，， ， ． 故桌面到地面的距离约为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河口区实验中学2026-2027学年第一学期学科阶段性测试九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点到桥面的距离（单位：米）是（ ） A. B. C. D. 4. 一传送带和地面所成斜坡的坡比为，如果要把物体从地面送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程是（ ） A. 12米 B. 13米 C. 24米 D. 26米 5. 如图，网格图中每个小正方形的边长都为1．A，B，C是网格线的交点，的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知锐角满足，则锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点在第一象限，与x轴所夹的锐角为，则t的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 8. 山西曲沃县望母楼，始建于明朝万历年间，是曲沃县的标志性古建筑．如图，有一建筑物与望母楼的水平距离为米，从建筑物顶A点测得望母楼楼顶D点的俯角为，测得望母楼楼底C点的俯角为，则望母楼的高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 已知：如图，在中，是边上的高，为边的中点，，，．则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座点米的点处测量，塑像底部点的仰角为，顶部点的仰角为，点在同一条直线上，则塑像的高度为（ ）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、填空题（11-14题，每题3分，15-18题，每题4分） 11. 在中，若（其中，为锐角），则的形状是___________． 12. 如图，顾客站在某商场内的自动扶梯上从一楼移动15.6米到二楼，已知商场第一层楼的高度大约为6米，那么此自动扶梯斜坡的坡比是_______． 13. 如图，已知中，，分别以、为圆心，为半径作弧，所作弧交于、，连接交于．连接，则________． 14. 如图，在等腰三角形中，，点D为的中点，于点E，则_______． 15. 如图，河坝横断面迎水坡的坡角是，坝高，则坡面的长度是________m． 16. 如图，无人机飞到某大桥桥面的正上方，与桥面相距600米的点处悬停，此时测得的俯角分别为和，则桥面的长是___________米．（，结果保留整数） 17. 如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则灯塔C与码头B的距离是____海里．（结果保留根号） 18. 如图，将矩形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，，．折叠后，点落在边上的处，点落在边上的处．则_____． 三、解答题（共62分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 已知在中，，a，b，c分别是，，对应的边． （1）若，，求a，c的长； （2）若，，求a，b的长． 21. 已知：如图，在中，是边上的高，E为边的中点，，，． （1）求线段的长； （2）计算的值． 22. 如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 23. 近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东方向，3小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离．（结果精确到整数，参考数据：，） 24. 为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形，，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度．（结果精确到，参考数据：，） 25. 2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”α为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”β为．（参考数据：取，取） （1）如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”α为，时，求眼睛A与屏幕的距离； （2）如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $