精品解析：山东省东营市河口区实验中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷

河口区实验中学2025-2026学年度第一学期学科阶段性测试 九年级数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，是的高．若，，，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 3. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 5. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（　 　）米． A. 160 B. C. 200 D. 7. 已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数和二次函数（，，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线，则下列说法中正确的有（ ）个． ①；②；③；④；⑤方程其中一个解的取值范围为． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共8小题，11-14题，每题3分，15-18题，每题4分，共28分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是________； 12. 若是关于x的二次函数，且该函数图象开口向下，则_______． 13. 抛物线的顶点坐标是________． 14. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为________． 15. 如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，则关于的方程的解为______． 16. 如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升______米． 17. 如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，，，则的值是__________． 18. 已知函数与x轴只有一个交点，则________． 三、解答题（共7小题，共62分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，在中，，是边上的中线，，，． （1）求的长； （2）求的值． 21. 如图是一个抛物线拱桥的横截面，水面宽度米，水面离拱桥的最大高度为16米，现有一艘宽20米，高出水面11米的轮船． （1）求出抛物线解析式； （2）请通过计算说明这艘船能否通过这座拱桥？ 22. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为33，设与墙垂直的一边长为，饲养室的面积为， （1）求关于的函数解析式； （2）当为何值时，能建成的饲养室的面积最大，最大为多少？ 23. 小明在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡比为（点、、在同一条直线上）． （1）求小明从点到点的过程中上升的高度； （2）大树的高度大约是多少米？（参考数据：，结果精确到米） 24. 某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价（元） … 60 65 70 … 周销量（盒） … 240 210 180 … （1）求关于的函数表达式． （2）当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ （3）若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润． 25. 如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线与y轴的交点； ①点P在抛物线上，且，求点P点坐标； ②设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河口区实验中学2025-2026学年度第一学期学科阶段性测试 九年级数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次函数的定义：形如且a，b，c为常数的函数，叫做二次函数，再根据定义逐一进行判断即可． 【详解】解：，自变量的最高次数是1，故A不符合题意； ，当时，不是二次函数，故B不符合题意； ，符合二次函数的定义，故C符合题意； 不是整式形式的函数，故D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，是解题的关键． 2. 如图，在中，是的高．若，，，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形和勾股定理，正确作辅助线构造直角三角形是解题的关键．解直角三角形得，由勾股定理得：，求得的长，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故选：A． 3. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可，掌握函数图象平移的法则是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到的抛物线的表达式为：， 即， 故选：． 4. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，求正弦，证明是直角三角形是解题的关键．先根据勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，进而根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：根据网格可得： ，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， 故选：C． 5. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是确定抛物线的解析式，已知抛物线的形状和开口方向由二次项系数决定，顶点坐标确定顶点式；原抛物线的二次项系数为，故新抛物线的二次项系数也为；顶点为，代入顶点式即可求解. 【详解】解：原抛物线的二次项系数为，因此新抛物线的解析式可设为顶点式： 其中顶点为，代入得： ； 故选C 6. 如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（　 　）米． A. 160 B. C. 200 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵是的一个外角，，， ∴， ∵， ∴米， 在中，（米）， ∴该主塔的高度是米， 故选：D． 7. 已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的开口大小的规律和开口方向，的绝对值越大，开口越小，根据此规律判断即可． 【详解】解：∵由图像可知，开口向上，并且开口小于的开口， ∴ ∵由图像可知，开口向下，并且开口小于的开口， ∴ 又 ∴ ∴， 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 8. 一次函数和二次函数（，，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断，解题的关键是根据一次函数、二次函数的图象，分别确定系数的符号，再作出判断． 对每个图象中的一次函数的图象确定，的符号，再对照二次函数得出，的符号比较是否一致，然后作出选择． 【详解】从选项A中的直线可知，，，抛物线开口向下，所以错误； 从选项B中的直线可知，，，抛物线对称轴在轴左侧，所以错误； 从选项C中的直线可知，，，抛物线开口向上，所以错误； 从选项D中的直线可知，，，抛物线开口向上，对称轴在轴右侧，所以正确． 故选：D． 9. 观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的估算，解题的关键是根据表格数据找出位于哪两个数之间即可． 【详解】解：由表格可知， 当时，与时， ∴时，， 故选C． 10. 如图，二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线，则下列说法中正确的有（ ）个． ①；②；③；④；⑤方程其中一个解的取值范围为． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．由抛物线开口方向、以及与y轴的交点即可判断①；根据对称轴公式可判断②，根据抛物线与x轴的交点情况可判断③；由即可判断④；由抛物线与x轴的交点即可判断⑤． 【详解】解：由图象开口向下，可知， 图象与y轴的交点在x轴的上方，可知， 又， ， ，故①正确； ， ，故②正确； 二次函数与x轴交于A，B两点， ， 即，故③正确； ，故④正确； 抛物线对称轴为直线，其中一个交点的横坐标为， 方程另一个解的取值范围为，故⑤错误． 故选：C 二、填空题（共8小题，11-14题，每题3分，15-18题，每题4分，共28分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是________； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件和一元一次不等式的求解，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件得出求解，然后进行验证即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，且当时，， 故答案为：． 12. 若是关于x的二次函数，且该函数图象开口向下，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义和图象，熟练掌握二次函数的定义和图象特征是解题关键．根据二次函数的定义和二次函数的图象特征可得，且，由此即可得． 【详解】解：∵是关于的二次函数，且该函数图象开口向下， ∴，且， ∴， 故答案为：． 13. 抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为．可将抛物线的一般式化成顶点式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是， 故答案为： 14. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，先求出对称轴，利用对称性求出的对称点为，再根据二次函数的图象和性质得到当时，y随x的增大而减小，即可得出结论． 【详解】解： 对称轴 ∴的对称点为 ∵ ∴二次函数的图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵ ∴ 故答案为：． 15. 如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，则关于的方程的解为______． 【答案】或5 【解析】 【分析】本题考查了根据直线和抛物线交点确定方程的解．解题的关键在于对知识的熟练掌握与数形结合． 由题意知，直线与抛物线的图象交点的横坐标即为方程的解，据此即可解答． 【详解】解：由题意知，直线与抛物线交于，两点，图象交于点，点， 则关于x的方程，即解为或5 故答案为：或5． 16. 如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升______米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确地建立坐标系进行求解． 如图建立平面直角坐标系，由题意得：C为抛物线顶点且坐标为，求出抛物线解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：如图，以水面所在直线为x轴，的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系， 由题意得：C为抛物线顶点且坐标为， 可设抛物线解析式为 ， ∴ 即 ， ∴抛物线解析式为 ， 当水面宽度为米时，即当 ， ， ∴水面上升的高度为米， 故答案为：． 17. 如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，，，则的值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，求正切值，由勾股定理逆定理得出是直角三角形是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用正切定义解答即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 已知函数与x轴只有一个交点，则________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了判别式的应用，抛物线与x轴的交点问题，先理解函数与x轴只有一个交点，进行分类讨论，当时，得出，再解得或，当时，则为一次函数，满足与x轴只有一个交点，即可作答． 【详解】解：∵函数与x轴只有一个交点， ∴当时，令则， 则 则 即 ∴ 解得或， 当时，则为一次函数，满足与x轴只有一个交点， 综上：的值为或或0． 故答案为：或或0 三、解答题（共7小题，共62分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解此题的关键． （1）代入特殊角的三角函数值计算即可得解； （2）代入特殊角的三角函数值计算即可得解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在中，，是边上的中线，，，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理． （1）先利用勾股定理求出、，再利用线段的和差关系求出，最后利用线段中点求出； （2）先利用线段的和差关系求出，再利用勾股定理求出，最后利用直角三角形的边角间关系得结论． 【小问1详解】 解：在中， ∵，， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∵是边上的中线， ∴； 【小问2详解】 解：在中， ∵， ∴， ∴． 21. 如图是一个抛物线拱桥的横截面，水面宽度米，水面离拱桥的最大高度为16米，现有一艘宽20米，高出水面11米的轮船． （1）求出抛物线解析式； （2）请通过计算说明这艘船能否通过这座拱桥？ 【答案】（1） （2）能，理由如下： 对于抛物线， 令，可得， 解得，， ∵， ∴这艘船能通过这座拱桥 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确确定该抛物线解析式是解题关键． （1）设抛物线解析式为，将点坐标代入求解即可； （2）令，可得，求解即可获得答案． 【小问1详解】 解：如图，设点为原点，根据题意，可知米，米， 则，，， 设抛物线解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 略 22. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为33，设与墙垂直的一边长为，饲养室的面积为， （1）求关于的函数解析式； （2）当为何值时，能建成的饲养室的面积最大，最大为多少？ 【答案】（1）， （2）当时，能建成的饲养室的面积最大，最大为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数及其性质： （1）求出平行于墙的材料长，根据矩形的面积公式即可求解； （2）根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题可知平行于墙的材料长为，即， ∴， 其中，则； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，能建成的饲养室的面积y最大，最大为． 23. 小明在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡比为（点、、在同一条直线上）． （1）求小明从点到点的过程中上升的高度； （2）大树的高度大约是多少米？（参考数据：，结果精确到米） 【答案】（1）小明从点到点的过程中上升的高度为米； （2）大树的高度是米． 【解析】 【分析】（）过点作于点，则，由斜面的坡比为，设米，则米，最后由勾股定理即可求解； （）过点作于点，设米，则可得四边形为矩形，故有米，米，然后利用仰角，俯角及正切即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，坡度问题，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，则， 由题意知米， ∵斜面的坡比为， ∴， 设米，则米， ∵， ∴， ∴， ∴（米）， ∴小明从点到点的过程中上升的高度为米； 【小问2详解】 解：过点作于点，设米， 由（）得：（米）， ∴（米）， ∵， ∴四边形为矩形， ∴米，（米）， ∵， ∴（米）， ∴米， ∵， 在中，， ∴， ∴， 经检验：是原方程的解， ∴（米）， 答：大树的高度是米． 24. 某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价（元） … 60 65 70 … 周销量（盒） … 240 210 180 … （1）求关于的函数表达式． （2）当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ （3）若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润． 【答案】（1） （2）当销售单价定为70元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元 （3）每周至少可获得3000元的利润． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用： （1）用待定系数法求解即可； （2）设销售利润为W元，列出W关于x的函数关系式，利用二次函数的性质即可求得最大利润； （3）由（2）每周出售这种糕点所获利润，利用二次函数的性质结合自变量的取值范围即可解答． 【小问1详解】 解：由题意，设y关于x的函数表达式为， ∴． ∴． ∴y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设销售利润为W元， 由题意，可得每周出售这种糕点所获利润 ， ∵， ∴当时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元； 【小问3详解】 解：由（2）每周出售这种糕点所获利润 又∵， ∴当时，所获利润最小为3000元；当时，所获利润最大为5400元． ∴销售单价需满足，则每周至少可获得3000元的利润． 25. 如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线与y轴的交点； ①点P在抛物线上，且，求点P点坐标； ②设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 【答案】（1） （2）或； 【解析】 【分析】本题考查了二次函数—几何综合，解题关键是熟练掌握二次函数的图像及性质． （1）因为抛物线的对称轴为点坐标为与在为物线上，代入为物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标； ②先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【小问1详解】 解：因为抛物线的对称轴为点坐标为与在抛物线上，则∶ 解得∶． 所以抛物线的解析式为∶． 【小问2详解】 ①抛物线的解析式为， 抛物线与y轴交点坐标为， ， 设点坐标为， ∵ ， ． 当时，， 当时，． 点的出动或， ②设直线的解析式为，将代入， 得， 解得∶． 即直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标为，， 当时，有最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $