精品解析：上海市民办新复兴初级中学2025-2026学年九年级数学上学期12月联考卷

2025学年第一学期九年级第二次数学学科阶段练习 （测试时间：100分钟，满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 如果，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（ ） A. 都含有一个的内角 B. 都含有一个的内角 C. 都含有一个的内角 D. 都含有一个的内角 3. 如果，、分别对应、，且，那么下列等式一定成立的是（ ） A. B. 的面积：的面积 C. 的度数：的度数 D. 的周长：的周长 4. 如果（，均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线（、、是常数，）的顶点为．某同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而增大；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且∠AED＝∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是( ) A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 抛物线的顶点坐标是__________． 8. 化简：2（﹣）﹣3（+）=__． 9. 点A（-1，m）和点B（-2，n）都在抛物线上，则m与n的大小关系为m______n（填“”或“”）． 10. 请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为（0，4）的抛物线的表达式_____． 11. 如图，，，如果，那么________． 12. 如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是_____． 13. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝9，cosA＝，那么AB＝________. 14. 如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降了50米，那么该斜坡的坡度是1∶_______ 15. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，M是AB中点，MH⊥BC，垂足为点H，CM与AH交于点O，如果AB=12，那么CO=_______． 16. 已知抛物线，那么点P（-3，4）关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是______． 17. 如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是__________． 18. 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，__________． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=，点D、E分别在边AB、BC上，且AD∶DB=2∶3，DE⊥BC． （1）求∠DCE的正切值； （2）如果设，，试用、表示. 21. 甲、乙两人分别站在相距 6 米的 A ， B 两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面 1 米的C 处发出一球，乙在离地面 1.5 米的 D 处成功击球，球飞行过程中的最高点 H 与甲的水平距离 AE 为 4 米，现以 A 为原点，直线 AB 为 x 轴， 建立平面直角坐标系（如图所示）. （1）求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式； （2）求羽毛球飞行的最高高度． 22. 主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图 【阅读理解】 任务：如图1，点、分别在的边、上，，仅用一把无刻度的直尺作、的中点． 操作：如图2，连接交于点，连接交于点，延长交于点，则分别为、的中点． 理由：由可得及，所以，．所以．同理，由及，可得，．所以．所以，则，，即M、N分别为、的中点． 【实践操作】 请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． 如图3，，点、在直线上． ①作线段的中点； ②在①中作图的基础上，在直线上位于点的右侧作一点，使得； 【探索发现】 如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（为正整数）的线段．如图4，，已知点、在上，利用上述方法作出了，点E、F在直线上，请在图4中作出线段的三等分点． 23. 已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC上，且∠BEF=∠BAC． （1）求证：△AED∽△CFE； （2）当EF//DC时，求证：AE=DE． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图像与轴交于A、B两点（点在点的左侧），顶点为． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与轴交于另一点，点在线段上（与点、不重合）． 求的取值范围； 求的最大值； 25. 如图，在中，，． （1）求边的长； （2）点在边上，，点是边上的一个动点．把沿着直线翻折后得到， 当时，求的长； 当的一条边与垂直时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级第二次数学学科阶段练习 （测试时间：100分钟，满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 如果，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积． 比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案． 【详解】解：A．，则，故此选项正确，符合题意； B．，则，故此选项错误，不符合题意； C．，，则，故此选项错误，不符合题意； D．∵， ∴有无数组解，，只是其中一组解，故此选项错误，不符合题意； 故选：A． 2. 下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（ ） A. 都含有一个的内角 B. 都含有一个的内角 C. 都含有一个的内角 D. 都含有一个的内角 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质．根据相似三角形的判定定理，等腰三角形的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、若角为顶角，则两底角均为；若角为底角，则顶角均为， ∴都含有一个的内角的两个三角形不一定相似，故本选项不符合题意； B、若角为顶角，则两底角均为；若角为底角，则顶角均为， ∴都含有一个的内角的两个三角形不一定相似，故本选项不符合题意； C、若角为顶角，则两底角均为；若角为底角，则顶角均为， ∴都含有一个的内角的两个三角形不一定相似，故本选项不符合题意； D、角为钝角，则顶角只能为，此时等腰三角形的形状可以确定， ∴都含有一个的内角的两个三角形一定相似，故本选项符合题意； 故选：D 3. 如果，、分别对应、，且，那么下列等式一定成立的是（ ） A. B. 的面积：的面积 C. 的度数：的度数 D. 的周长：的周长 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴相似比， 、 和不是对应边，所以不一定等于，该选项等式不一定成立，不符合题意； 、面积比等于相似比的平方，即等于，该选项等式不成立，不符合题意； 、 和是对应角，它们相等，所以度数比为，该选项等式不成立，不符合题意； 、周长比等于相似比，即等于，该选项等式成立，符合题意； 故选：． 4. 如果（，均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面向量的定义与性质，平面向量的定义：平面内既有大小，又有方向的量；平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量；零向量和任何向量平行．根据向量相等的定义和性质，判断各选项是否正确 【详解】∵ ，且 , 均为非零向量 ∴ 与 平行，A正确，不符合题意； ∴ ，C正确，不符合题意； ∴ ，D正确，不符合题意； 对于B， 是向量，应与零向量相等，而非数字0，因此B错误，符合题意； 故选：B． 5. 已知抛物线（、、是常数，）的顶点为．某同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而增大；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键． 根据抛物线的顶点公式可得，结合，，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④． 【详解】解：∵抛物线（、、是常数，）的顶点为， ∴， ， ， 即， ， ， 的值可正也可负， 不能确定的正负；故①错误； ， 抛物线开口向下，且关于直线对称， 当时，随的增大而减小；故②不正确； ， 抛物线为， 依题意，将代入， 得， ，故③正确； 抛物线， 将向左平移1个单位得：， 抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误； 正确的有③， 故选：C 6. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且∠AED＝∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：C. 两组边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似. 必须是夹角，但是不一定等于 故选C. 点睛：三角形相似的判定方法：两组角对应相等，两个三角形相似. 两组边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似. 三边的比相等，两三角形相似. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知抛物线的性质是解题关键． 根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 8. 化简：2（﹣）﹣3（+）=__． 【答案】﹣4 【解析】 【详解】根据向量的运算，先去掉括号，再合并即可得解． 解：2（﹣）﹣3（+） =2﹣﹣﹣3 =﹣4． 故答案为﹣4． 9. 点A（-1，m）和点B（-2，n）都在抛物线上，则m与n的大小关系为m______n（填“”或“”）． 【答案】＜. 【解析】 【详解】试题解析：当时， 当时， 故答案为 10. 请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为（0，4）的抛物线的表达式_____． 【答案】y=﹣x2+4. 【解析】 【详解】试题解析：开口向下，则 y轴的交点坐标为 这个抛物线可以是 故答案为 11. 如图，，，如果，那么________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，分别求出，，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：12． 12. 如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是_____． 【答案】36. 【解析】 【详解】试题解析：∵在▱ABCD中, ∵点E是OA的中点， ∵AD∥BC， ∴△AFE∽△CBE， 故答案为36. 点睛：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方. 13. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝9，cosA＝，那么AB＝________. 【答案】27 【解析】 【详解】试题解析： 解得： 故答案为 14. 如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降了50米，那么该斜坡的坡度是1∶_______ 【答案】2.4. 【解析】 【详解】试题解析： 如图所示：AC=130米，BC=50米， 则米， 则坡比 故答案为 15. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，M是AB中点，MH⊥BC，垂足为点H，CM与AH交于点O，如果AB=12，那么CO=_______． 【答案】4. 【解析】 【详解】试题解析：有题意可知： 故答案为 16. 已知抛物线，那么点P（-3，4）关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是______． 【答案】（1，4）. 【解析】 【详解】试题解析：抛物线的对称轴为： 点关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是 故答案为 17. 如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，作出辅助线是解题关键． 延长交的延长线于点E，根据含30度角的直角三角形的性质得出，，再由勾股定理确定，，然后结合图形求解即可． 【详解】解：延长交的延长线于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积， 故答案为：． 18. 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了新定义概念的理解与应用，相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用．先理解出“邻等对补四边形”的定义，再分析出“对角互补”与相似三角形的关系，紧接着分情况讨论“仅有一组邻边相等”的可能性，最后综合所有有效情况进行汇总即可． 【详解】解：在中，， 由定义可知，， 又∵， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∴， ①如图，当时， ∴， ∴， ②如图，当时， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，或 ∴， ③如图，当时， 易证得， ∴，故不符合题意， ④当时， 同理③可得：，故不符合题意， 综上所述，的长为或． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 ． 【解析】 【详解】试题分析：把特殊角的三角函数值代入运算即可. 试题解析：原式 20. 已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=，点D、E分别在边AB、BC上，且AD∶DB=2∶3，DE⊥BC． （1）求∠DCE的正切值； （2）如果设，，试用、表示. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：在中，根据 ，设 则 根据得出：根据平行线分线段成比例定理，用表示出即可求得. 先把用表示出来，根据向量加法的三角形法则即可求出. 试题解析：（1）， ∴，∴设 则 即 又，∴AC//DE． ∴，，∴，． ∴，． ∴． （2） ∵，，∴．． ∵，∴． 21. 甲、乙两人分别站在相距 6 米的 A ， B 两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面 1 米的C 处发出一球，乙在离地面 1.5 米的 D 处成功击球，球飞行过程中的最高点 H 与甲的水平距离 AE 为 4 米，现以 A 为原点，直线 AB 为 x 轴， 建立平面直角坐标系（如图所示）. （1）求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式； （2）求羽毛球飞行的最高高度． 【答案】（1）；（2）飞行的最高高度为米. 【解析】 【分析】（1）首先利用函数对称轴以及图象上点的坐标，进而求出解析式，进而得出答案； （2）把表达式化为顶点式，即可得到. 【详解】解：（1）由题意得：C（0，1），D（6，1.5），抛物线的对称轴为直线x=4， 设抛物线的表达式为：y=ax2+bx+1（a≠0）， ， 解得：， ∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：， （2）由（1）知，表达式化为顶点式为：， ∴飞行的最高高度为：米. 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 22. 主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图 【阅读理解】 任务：如图1，点、分别在的边、上，，仅用一把无刻度的直尺作、的中点． 操作：如图2，连接交于点，连接交于点，延长交于点，则分别为、的中点． 理由：由可得及，所以，．所以．同理，由及，可得，．所以．所以，则，，即M、N分别为、的中点． 【实践操作】 请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． 如图3，，点、在直线上． ①作线段的中点； ②在①中作图的基础上，在直线上位于点的右侧作一点，使得； 【探索发现】 如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（为正整数）的线段．如图4，，已知点、在上，利用上述方法作出了，点E、F在直线上，请在图4中作出线段的三等分点． 【答案】 实践操作： ①如图， 点即为所求作的点； ②如图，作射线交于点，作射线交于点，点即为所求； 由①得：点N为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 探索发现：连接并延长交于点A，连接并延长交直线于点M、N，即为所求； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴N、M为线段的三等分点． 【解析】 【分析】本题主要相似三角形的性质与判定，复杂的几何作图，考查类比的数学思想，理解[阅读理解]部分中，为中点是解题关键． 实践操作：①根据[阅读理解]部分的作法：在上方任取一点，得到，交于点，交于点，连接，交于点，作射线交，分别于，，点即为所求点； ②作射线交于点，作射线交于点，点即为所求，利用相似三角形的判定和性质即可证明； 探索发现：连接并延长交于点A，连接并延长交直线于点M、N，即为所求；再由相似三角形的判定和性质即可证明． 【详解】略 23. 已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC上，且∠BEF=∠BAC． （1）求证：△AED∽△CFE； （2）当EF//DC时，求证：AE=DE． 【答案】 （1） 又 ∵AD//BC， （2）∵EF//DC， ∴． ∵AD//BC， ∴，∴． 即， 【解析】 【详解】试题分析：两组角对应相等，两个三角形相似. 证明根据相似三角形对应边成比例，即可证明. 试题解析：略 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图像与轴交于A、B两点（点在点的左侧），顶点为． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与轴交于另一点，点在线段上（与点、不重合）． 求的取值范围； 求的最大值； 【答案】（1），， （2）①且；②当时，有最大值，最大值为4． 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值问题等相关知识，熟练掌握相关知识是解题基础． （1）根据顶点式可直接得出点的坐标；令，解方程，可得出点，的坐标； （2）①由对称轴的性质可知，二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，，再由对称性可知，，由点在线段上，且与端点不重合，可得，即，而当时，过点，，三点的二次函数不存在，由此可得且； ②，根据二次函数的性质可得结论． 【小问1详解】 解：二次函数的图象的顶点为， ； 令，解得或， ，； 【小问2详解】 解：①设二次函数的解析式为：， 将，，两点代入，得， ， ， ， 二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，， ，两点关于对称轴对称，点， ， 点在线段上，且与端点不重合， ，即， 时，过点，，三点的二次函数不存在， 且； ②，， ． ， 且， 时，有最大值，最大值为4． 25. 如图，在中，，． （1）求边的长； （2）点在边上，，点是边上的一个动点．把沿着直线翻折后得到， 当时，求的长； 当的一条边与垂直时，求的长． 【答案】（1） （2）①；②的长为或或或 【解析】 【分析】题目主要考查解三角形，等腰三角形的性质，折叠的性质，理解题意，进行分情况分析是解题关键． （1）作于点，根据题意得出，，再由勾股定理求解即可； （2）①当时，过点A作，过点M作，根据相似三角形的判定和性质及解三角形得出，，确定，设，利用正弦得出，结合图形，继续利用相似三角形的判定和性质求解即可． ②分三种情况分析：当时，再分开若点在上，，若点在上，由折叠知：；根据等腰直角三角形点性质及勾股定理求解即可；当时，根据折叠的性质及勾股定理求解即可；当时，利用的三角函数求出即可． 【小问1详解】 解：作于点H，如图， ∵在中， ， ， ； 【小问2详解】 ①当时，过点A作，过点M作，如图所示： ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵把沿着直线翻折后得到， ∴， ∵， ∴， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴，即，， 解得：，， ∴， ∴， 同理， ∴， 解得：， ∴； ②当时，如图，作于点G， ∵在中， ∴ ， 若点在上，，由折叠知：， ， ∵， ， ， 若点在上，由折叠知：， ∵， ， ， 当时，如图，由折叠知：设，， ， ， ， ∴； 当时，如图， ∵，， ∴． 综上所述，的长为或或或时，满足的一条边与垂直． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $