精品解析：山西太原市志达中学校2026-2027学年上学期九年级10月学业诊断数学试题

山西太原市志达中学校2026-2027学年上学期九年级10月学业诊断数学试题 注意事项： 1．本试卷共5页，满分120分，时间90分钟． 2．考生务必将自己的姓名、班级、地点、座位号填写在答题卡相应的位置上． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. 1，1，2，3 B. 1，2，3，4 C. 2，3，4，5 D. 2，6，3，9 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．，四条线段不是成比例线段； B． ，四条线段不是成比例线段； C． ，四条线段不是成比例线段； D．，四条线段是成比例线段． 2. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】由的取值可快速判断，根据可知方程有两个不相等的实数根． 【详解】由得， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，可以利用的值进行快速判断方程根的个数． 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程—配方法．利用配方法解答，即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 4. 如图，直线，直线，与这三条直线分别交于点，，和点，，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行线可得比例式，进一步可得结论． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键． 5. 木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量两组对边是否相等 B. 测量一组邻边是否相等 C. 测量对角线是否相等 D. 测量对角线是否互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可．本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法，是关键． 【详解】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量对角线是否相等； 故选C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点，，点D在轴上，则点C的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质和勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考题．由菱形的性质得，，再由勾股定理求出，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，， ∴， 故选：D． 7. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 8. 如图，把一个矩形纸片分割成三个全等的小矩形纸片，若小矩形纸片与原矩形纸片相似，则原矩形纸片的长与宽之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的对应边的比相等，设原矩形纸片的长为x，宽为y，则小矩形纸片的长为y，宽为，根据题意得，进行计算即可得，分清楚对应边是解题的关键． 【详解】解：设原矩形纸片的长为x，宽为y， 则小矩形纸片的长为y，宽为， ∵小矩形纸片与原矩形纸片相似， ∴， ， ， 故选：C． 9. 杭州第十九届亚洲运动会期间，小宇设计了一幅亚运会宣传画，其形状为矩形，长，宽.现要在其外围配置等宽的边框.使宣传画面积占加框后作品总面积的，若设边框的宽为，则x满足的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，能够找出等量关系式“加框后矩形的面积宣传画的面积”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 加框后的矩形长为：（），宽为（），则有 故选：D． 10. 如图，在中，，平分交于点，过点作于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，如图所示，结合角平分线的性质，利用三角形全等的判定得到，进而求出线段长度，再由三角形相似的判定得到，再由相似比求出线段长，在中，由勾股定理求出，最后由等面积法列方程求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ，则， 是直角三角形，且． 平分． ， ， ，则， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理、角平分线性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质、三角形面积公式等知识，熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，11-15题每小题4分，16题2分，共22分） 11. 已知，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等比性质的应用，若，且，则，熟练掌握等比性质是解题关键. 【详解】解：设，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的面积为． 13. 已知关于的方程的一个根是1，则实数等于________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入已知方程，列出关于的一元一次方程，解出即可得出的值． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴把代入， 可得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 14. 如图，，，相交于点O，，，，则的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．证明，根据对应边成比例代数求解即可． 【详解】解：∵， ，， ， ． ∴，即 ． 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，是等边三角形，，平分交于点，连接．线段的长等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形、等边三角形与矩形的综合：由对角线互相平分及等边三角形得出等腰三角形的顶角为，从而判定矩形；利用三线合一及“含角的直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”求出边长，再用勾股定理求． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，在中，为边上的中线，是的角平分线，交于点F．则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作EG⊥AB，垂足为G，证明△CBE≌△GBE，求得CE，EG，AE的长，过点F作FO⊥AC，垂足为O，利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】∵ ∴AB==10， 过点E作EG⊥AB，垂足为G， ∵是的角平分线， ∴∠CBE=∠GBE， ∵∠C=∠BGE=90°，BE=BE， ∴△CBE≌△GBE， ∴BC=BG=6，EC=EG， 设CE=x，则EG=x，AE=8-x,AG=AB-BG=4, 在直角三角形AEG中，根据勾股定理，得， 即， 解得x=3， ∴CE=3，AE=5， 过点F作FO⊥AC，垂足为O，， ∴FO∥BC， ∴， ∴即FO=2OE， ∵AD是中线，BC=6， ∴CD=3， ∵FO∥DC， ∴， ∴， 解得OE=， 在直角三角形OEF中，， ∴EF==． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形全等，平行线分线段成比例定理，中线，角的平分线，构造辅助线实施全等证明，平行线分线段成比例证明是解题的关键． 三、解答题（本大题共6个小题，共58分） 17. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： 开平方得或， 解得； 【小问2详解】 解： 这里， ， ， ； 【小问3详解】 解： 或， 解得； 【小问4详解】 解：； 移项得，， 配方得，， ， ， 解得． 18. 为满足师生阅读需求，学校建立了“阅读广场”，并且不断完善藏书数量，年该校的“阅读广场”有藏书册，到年该校的“阅读广场”的藏书数量增长到册． （1）求该校的“阅读广场”这两年藏书的平均增长率； （2）按照这样的增长方式，请你估算出年该校的“阅读广场”的藏书量是多少？ 【答案】（1）该校的“阅读广场”这两年藏书的平均增长率为 （2）预测年该校的“阅读广场”的藏书量是册 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． ()设该校的“阅读广场”这两年藏书的平均增长率为，利用该校的“阅读广场”年的藏书量该校的“阅读广场”年的藏书量藏书的年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之，取其正值即可得出结论； ()利用该校的“阅读广场”年的藏书量等于该校的“阅读广场”年的藏书量(藏书的年平均增长率)，即可求出该校的“阅读广场”年的藏书量． 【小问1详解】 解：设该校的“阅读广场”这两年藏书的平均增长率为， 根据题意，得 解得（不合题意，舍去） 答：该校的“阅读广场”这两年藏书的平均增长率为； 【小问2详解】 解：（册）， 所以，预测年该校的“阅读广场”的藏书量是册． 19. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点，在的延长线上取点F，使，连接判断四边形的形状并说明理由. 【答案】四边形是矩形， 理由如下： ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的判定与性质、菱形的性质等知识，证明四边形是平行四边形是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，再由四边形是菱形得出，最后证得结果即可． 【详解】略 20. 2026年9月27日，第17届太原马拉松在五一广场鸣枪开赛，作为世界田联金标赛事，4万名国内外选手参赛．赛道沿着迎泽大街、汾河两岸奔跑，多项赛事纪录被选手刷新，向全国展示了太原的城市风貌．为庆祝太马的成功举办，某服装厂设计了一种纪念T恤深受市民的喜爱．已知一件T恤的成本为100元，当售价为200元时，平均每天可售出120件；经智能模拟分析，发现该T恤售价每降低1元，平均每天可多售出3件．设每件T恤降价元． （1）每件T恤的利润为__________元，每天售出T恤的数量为__________件，每天可获得的总利润为_______________元；（用含的式子表示） （2）若要使每天的利润为13500元，求每件T恤的售价． 【答案】（1），， （2）元或元 【解析】 【小问1详解】 解：每件T恤的利润为元，每天售出T恤的数量为件， 每天可获得的总利润为元； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得， 时，售价为（元），时，（元）， 答：每件T恤的售价为元或元． 21. 阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》中提出了射影定理，又称“欧几里得定理”，定理内容：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理． 其符号语言：如图1，在中，，，垂足为． 结论：①；②；③． 下面是对结论①的证明： 是斜边上的高， ， ，， ， （依据）， ，即． 任务： （1）材料中的依据是指______． （2）证明结论②：． （3）运用射影定理解决问题：如图2，，，，，求的长． 【答案】（1）两角分别相等的两个三角形相似 （2） 证明：，， ， ， ， ， ． （3）2 【解析】 【分析】本题重点考查了相似三角形的判定和性质，以及全等三角形的性质和判定，读懂题意并熟练掌握相似三角形、全等三角形的性质和判定是解题的关键． （1）相似三角形的判定，两角分别相等的两个三角形相似． （2）证明直角三角形与直角三角形相似，即可得到，进而完成证明． （3）延长至点，使，连接，证明，得到，并设，得到，，利用第二步的结论，代入即可求得的值，进而完成求解． 【小问1详解】 解：两角分别相等的两个三角形相似． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长至点，使，连接， 又，， ， ， ， ，即， 设，则， 由（2）可知，， ，， 即，整理得， 解得，（负值舍去）， 的长为． 22. 已知矩形纸片ABCD，点是边AD的中点，将沿BE折叠得到． （1）如图1，延长BF交CD于点，连接EG，求证：； （2）如图2，连接DF并延长，交BC于点．猜想BH与CH的数量关系，并说明理由； （3）如图3，延长BF交CD于点，再将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好落在点处，折痕交BC于点．若，直接写出的面积． 【答案】（1）证明：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点为的中点， ， ∵将沿翻折后得到． ，， ， ∵，， ∴， ∴； （2）， 理由：点是的中点， ， 折叠， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； ， ，， ． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据矩形的性质得出， ，根据点为的中点，得出，根据折叠得出， ，则，即可证明 ，从而得出； （2）根据矩形的性质和折叠的性质，证明四边形是平行四边形，则，即可证明； （3）根据（1）的结论以及折叠的性质可得，，设，证明求得，进而证明，设，根据勾股定理建立方程，解方程求得的值，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，，， ， ∵折叠， ∴，， ∴，， ， 设， ∴， 又， ∴， 解得：， ∴ ，， 设， 在中，， 在中，， 在中，， ， 解得：（负值舍去）， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西太原市志达中学校2026-2027学年上学期九年级10月学业诊断数学试题 注意事项： 1．本试卷共5页，满分120分，时间90分钟． 2．考生务必将自己的姓名、班级、地点、座位号填写在答题卡相应的位置上． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. 1，1，2，3 B. 1，2，3，4 C. 2，3，4，5 D. 2，6，3，9 2. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线，与这三条直线分别交于点，，和点，，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量两组对边是否相等 B. 测量一组邻边是否相等 C. 测量对角线是否相等 D. 测量对角线是否互相垂直 6. 如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点，，点D在轴上，则点C的坐标是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把一个矩形纸片分割成三个全等的小矩形纸片，若小矩形纸片与原矩形纸片相似，则原矩形纸片的长与宽之比为（ ） A. B. C. D. 9. 杭州第十九届亚洲运动会期间，小宇设计了一幅亚运会宣传画，其形状为矩形，长，宽.现要在其外围配置等宽的边框.使宣传画面积占加框后作品总面积的，若设边框的宽为，则x满足的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，平分交于点，过点作于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，11-15题每小题4分，16题2分，共22分） 11. 已知，且，则________． 12. 已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的面积为_______． 13. 已知关于的方程的一个根是1，则实数等于________． 14. 如图，，，相交于点O，，，，则的长为_____． 15. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，是等边三角形，，平分交于点，连接．线段的长等于_______． 16. 如图，在中，为边上的中线，是的角平分线，交于点F．则的长为______． 三、解答题（本大题共6个小题，共58分） 17. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）； 18. 为满足师生阅读需求，学校建立了“阅读广场”，并且不断完善藏书数量，年该校的“阅读广场”有藏书册，到年该校的“阅读广场”的藏书数量增长到册． （1）求该校的“阅读广场”这两年藏书的平均增长率； （2）按照这样的增长方式，请你估算出年该校的“阅读广场”的藏书量是多少？ 19. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点，在的延长线上取点F，使，连接判断四边形的形状并说明理由. 20. 2026年9月27日，第17届太原马拉松在五一广场鸣枪开赛，作为世界田联金标赛事，4万名国内外选手参赛．赛道沿着迎泽大街、汾河两岸奔跑，多项赛事纪录被选手刷新，向全国展示了太原的城市风貌．为庆祝太马的成功举办，某服装厂设计了一种纪念T恤深受市民的喜爱．已知一件T恤的成本为100元，当售价为200元时，平均每天可售出120件；经智能模拟分析，发现该T恤售价每降低1元，平均每天可多售出3件．设每件T恤降价元． （1）每件T恤的利润为__________元，每天售出T恤的数量为__________件，每天可获得的总利润为_______________元；（用含的式子表示） （2）若要使每天的利润为13500元，求每件T恤的售价． 21. 阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》中提出了射影定理，又称“欧几里得定理”，定理内容：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理． 其符号语言：如图1，在中，，，垂足为． 结论：①；②；③． 下面是对结论①的证明： 是斜边上的高， ， ，， ， （依据）， ，即． 任务： （1）材料中的依据是指______． （2）证明结论②：． （3）运用射影定理解决问题：如图2，，，，，求的长． 22. 已知矩形纸片ABCD，点是边AD的中点，将沿BE折叠得到． （1）如图1，延长BF交CD于点，连接EG，求证：； （2）如图2，连接DF并延长，交BC于点．猜想BH与CH的数量关系，并说明理由； （3）如图3，延长BF交CD于点，再将纸片沿过点的直线折叠，使点恰好落在点处，折痕交BC于点．若，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $