5.2.3简单复合函数的导数课时练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.2.3　简单复合函数的导数 一、基础落实 1.若函数f(x)=e2x+e2,则f'(1)=(　　) A.e2 B.2e2 C.3e2 D.4e2 2.函数y=exsin 2x的导数为(　　) A.y'=2excos 2x B.y'=ex(sin 2x+2cos 2x) C.y'=2ex(sin 2x+cos 2x) D.y'=ex(2sin 2x+cos 2x) 3.已知函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为(　　) A.3x+4y+5=0 B.3x-4y+5=0 C.x+4y+7=0 D.x-4y+7=0 4.(多选题)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,若f(2-x)是不恒为0的奇函数,则下列选项正确的有(　　) A.f(2)=0 B.f(2-x)+f(x-2)=0 C.f(x+2)为奇函数 D.f'(x+2)为偶函数 5.曲线y=ex-1+2sin(x-1)在点(1,1)处的切线方程为　　　　　.  6.烧水时,水温随着时间的变化而变化.假设水的初始温度为20 ℃,加热时的温度函数T(t)=100-ke-0.1t(k是常数,t表示加热的时间,单位:min),加热到第10 min时,水温的瞬时变化率是　　　　　℃/min.  7.已知函数f(x)=(3x+1)2ln(3x). (1)求函数f(x)的导数; (2)求函数f(x)的图象在点(,0)处的切线方程. 二、素能提升 8.若函数f(x)满足f(x+1)=(ex-e-x)sin x,则f'(1)=(　　) A.0 B.1 C.2 D.-1 9.(多选题)已知f(x)是定义在R上的函数,且不恒为0,f(x+2)为奇函数,f(2x+1)为偶函数,f'(x)为f(x)的导函数,则(　　) A.f(0)=0 B.f'(3)=0 C.导函数y=f'(x)的图象关于直线x=1对称 D.f(i)=0 10.若函数f(x)=ln(ax+2),曲线y=f(x)在x=2处的切线与直线y=-3平行,则a=　 　. 11.已知f(x)=sin(ωx+)(ω>0),若g(x)=f(x)+f'(x)在x=x0处取到最大值为,则f(x0)=　　 　. 12.求曲线y=2sin 2x在点P()处的切线方程. 13.已知曲线y=e2xcos 3x在点(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为,求直线l的方程. 参考答案 一、基础落实 1.B 解析 因为f'(x)=e2x·2+0=2e2x,则f'(1)=2e2,故选B. 2.B 解析 由题意得y'=exsin 2x+ex·2cos 2x=ex(sin 2x+2cos 2x),故选B. 3.B 解析 由题意得f(x)==(3x+1,所以f'(x)=(3x+1×(3x+1)'=(3x+1,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=f'(1)=×(3+1,当x=1时,f(1)==2,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程为y-2=(x-1),整理得3x-4y+5=0,故选B. 4.ACD 解析 因为f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,且f(2-x)是不恒为0的奇函数,所以f(2-x)=-f(x+2),即f(2-x)+f(x+2)=0,故B错误;因为f(2-x)=-f(x+2),则f(x)=-f(4-x),所以f(x+2)=-f(2-x),即f(x+2)为奇函数,故C正确;因为f(x+2)=-f(2-x),两边求导得f'(x+2)=f'(2-x),所以f'(x+2)为偶函数,故D正确;因为f(x+2)=-f(2-x),所以f(2)=-f(2),即f(2)=0,故A正确,故选ACD. 5.3x-y-2=0 解析 令y=f(x)=ex-1+2sin(x-1),得f'(x)=ex-1+2cos(x-1),则f'(1)=e0+2cos 0=3,故切线方程为y-1=3(x-1),整理得3x-y-2=0. 6. 解析 因为水的初始温度为20 ℃,所以T(0)=100-k=20,解得k=80,则T(t)=100-80e-0.1t,所以T'(t)=8e-0.1t,则T'(10)=,所以加热到第10 min时,水温的瞬时变化率是 ℃/min. 7.解 (1)因为f(x)=(3x+1)2ln(3x), 所以f'(x)=2(3x+1)×3ln(3x)+(3x+1)2=6(3x+1)ln(3x)+. (2)由(1)得f'(x)=6(3x+1)ln(3x)+, 所以f'()=6×(3×+1)ln(3×)+=12,所以f(x)在点(,0)处的切线方程为y=12(x-),即12x-y-4=0. 二、素能提升 8.A 解析 由f(x+1)=(ex-e-x)sin x两边分别求导得f'(x+1)=(ex+e-x)sin x+(ex-e-x)cos x,当x=0时,f'(1)=(e0+e0)sin 0+(e0-e0)cos 0=0,所以f'(1)=0,故选A. 9.ABD 解析 由题意得f(x+2)为奇函数,则函数f(x)的图象关于点(2,0)对称.又f(2x+1)为偶函数,则函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以可得f(2-x)=-f(4-x),则f(x)=-f(x+2),即f(x)=f(x+4),则函数f(x)的周期为4,f(x)=f(2-x),令x=0得f(0)=f(2)=0,故A选项正确; 又f(1+x)=f(1-x),对其两边求导得f'(1+x)=-f'(1-x),则导函数f'(x)的图象关于点(1,0)对称,则f'(1)=0,f(x)=-f(4-x),对其两边求导得f'(x)=f'(4-x),令x=1,则f'(1)=f'(3)=0,故B正确; 因为f'(x)=f'(4-x),则导函数y=f'(x)的图象关于直线x=2对称,故C错误; 又0=f(2)=f(0)=f(4)=f(6)=…,所以f(2n)=0,n∈N*,由以上可知,f(2)=f(4)=0,f(1)+f(3)=0,函数f(x)的周期为4,则f(i)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]-f(4)=0,故D正确, 故选ABD. 10.2 解析 由f(x)=ln(ax+2),得f'(x)=,所以在x=2处的切线斜率k=f'(2)=,又曲线y=f(x)在x=2处的切线与直线y=-3平行,则,解得a=2,此时f(x)=ln(2x+2),切线斜率k=f'(2)=,f(2)=ln 6,所以切线方程为y-ln 6=(x-2),即y=x-+ln 6与直线y=-3平行,即a=2成立. 11. 解析 由题意得,f'(x)=ωcos(ωx+),则g(x)=sin(ωx+)+ωcos(ωx+)=sin(ωx++φ),其中tan φ=ω,依题意,解得ω=2,此时g(x)=sin(2x++φ),且2x0++φ=+2kπ,k∈Z,因此f(x0)=sin(2x0+)=sin(-φ)=cos φ=. 12.解 因为y'=(2sin 2x)'=2×(sin 2x)'=2×2cos 2x=4cos 2x,所以切线斜率k=4cos(2×)=2.所以所求切线方程为y-=2(x-),即2x-y+=0. 13.解 由y'=(e2xcos 3x)'=(e2x)'cos 3x+e2x(cos 3x)'=2e2xcos 3x+e2x(-3sin 3x)=e2x(2cos 3x-3sin 3x),得y'|x=0=2. 则切线方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=0. 由直线l与切线平行,可设直线l的方程为2x-y+c=0(c≠1),则两平行线间的距离d=,得c=6或c=-4. 当c=6时,直线l的方程为2x-y+6=0; 当c=-4时,直线l的方程为2x-y-4=0. 故直线l的方程为2x-y+6=0或2x-y-4=0. 学科网（北京）股份有限公司 $