课时分层检测(17)简单复合函数的导数-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

能力提升练 课时分层检测（十七） 1.CD[因为y=e+ 4 ·基础达标练 1.C[y=3(2023-8x)2×(2023-8.x)=3×(2023-8.x)2×(-8) -4e -4e* -4 所以y'= e+1。+2e+。+1+2 =-24(2023-8.x)2.故选C.] 2.A[y=(1-ax)2-2ax(1-ax),则ylr=2=12a2-8a十1=5(a>0), 因为e>0, :解得a=1.] 桥以。十≥2（当且仅当z=0时取等号 3.D[令fx）=a-ln(x+1D,则f)=a市由f0)=2,得 所以y'∈[-1,0)， a0十=2，解得a=3.] 所以tana∈[-1,0) 又因为a∈[0，π)， 4.ACD[对于A=ms子，则=之n子故错误：对于Bv 所以∈[要)结合选项可选CD] sinx2,则y'=2 rcos2,故正确：对于C,y=cos5z,则y= 2.-[g(x) [门-@，由超因T为，直发1经 一5sin5,故错误：对于Dy-之sim2,则y=之in2x十c0s2,故 错误，] 过点P(0,3)和Q4,5),故-。合.由导数的几何意义可得5.B[由N)=N,e立，得NW()=一2云V,e五，图为1=24时，该同 5-3_1 f'(4)=2,由点Q(4,5)在曲线y=f八x)上，得f(4)=5.故g(4)=: 位素含量的时交化率为-e1,所以N(24)=一N,e别=一e, 解得N。=24,所以N120)=24Xe号=24e5,故选B.] 42 :6.2[设直线y=x+1切曲线y=ln(x十a)于点(xo,yo), 3.[设切点坐标为(，-a1十a),因为f(=3x2-a,则切线的 则yo=1十xoyo=ln(xo十a), Q 斜率k=f(t)=32-a①，所以切线方程为y-(t-at十a)=} 又曲线导数为了=干a 1 (3t2-a)(x-t)②，将(1,0)代入@式得-(t3-at十a)=(3t2-a): 小y1=%=十a1,即ta=1. 1-),解得1=0或1=号，将1=0或1=号代入①式，得=一a或 又yo=1n(x0十a),∴.%=0，x0=-1, .a=2.] 女琴-a,南满条初线的预针角豆补，即a十平-a=0,解得.z十1[：=e十n(2x十1.则f()=e+z品 2 4 .f(0)=3,因此，曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1= 4.解(1)由题意，函数的定义域为(0，十∞) 3x,即y=3x+1.] 由fu)=ar+lnx,得fu)=2au+子， 8.2ze2 y=1:fx)=e2,故f(x)=(a)'e2=2e2,则f(0)=0. :故曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=1,] 所以f(1)十f'(1)=3a+1. :9.解(1)设y=u8,u=1十2x2, (2)因为曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为！∴y=(u8)'(1十2x2)'=8u?·4x 0,问题转化为当x>0时，导函数f()=2ax十上存在零点， =8(1+2x2)7·4x=32x(1十2x2)7 (2)设y=w立，u=1一x2, 即f(x)=0>2ax十士=0有正实教解，即2ax2=-1有正实数解， 则y'=(w专)'(1-x2)' 故有a0,所以实数a的取值范围是（一∞，0）. 5.解(1)f(x)=3a.x2-2.x-1. =(2“)(-2x)=(1-). ”f(x)的图象在x= 号处的切线方程为y=寻：十号 9 (3),=(sin 2x-cos 2x) =(sin2x)'-(c0s2x)1 f() =2cos2x+2sin2z=2sin(2x+年）】 (4)设y=cosu,u=x2, 即a（）+1-1=，解得a=1 则y=(cos)′·(x2) 又f)的图象过点（合，是） =(-sinu)·2x=(-sinx2)·2.x =-2xsin x2 10.解易得f(x)=e-aeT,x∈R ()-()()+= f(x)为奇函数，.f(x)十f(一x)=0对任意x∈R恒成立， 即(1-a)(e十ex)=0对任意x∈R恒成立， 解得6=号 ∴.a=1, .f(x)=ete*,f(x)=e*-e*, 综上，a=1,b=8 设切点的横坐标为x0, (2)设直线y=子十号与通数尽(x)的图象相切于点A(o 3 由题可得西-。%=号，合6=1>0，到1一=号，解得 t 1=2或1= 之（合去） .e2o=2,∴.xo=ln2. 解得x=一立 :能力提升练 将x0=一 代人R)3。 1.AB [y'=e(2cos 3x-3sin 3x), .y'|0=2, 4 则所求的切线方程为y=2x十1， 设直线1的方程为y=2x十b, 33 切线方程为y子-子(+合)： 则5=h11 5, 化简得y=十， 解得b=6或一4. 9 .直线1的方程为y=2x十6或y=2x一4.] 故直线y=子+号与品数g红)的图象相切，切点坐新2.B[“y=子血2红+誓=十如2红十9×中g2红 2 2 是() :n(2+吾)+9。 176 ÷y=cos(2x+号)） 方程gx)=2,即2Esin(+晋)=2， ∴.曲线的切线斜率在「一1,1]范围内， 又曲线在两点处的切线互相垂直， 故在A(工1y1),B(x2,2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是 2kπ，k∈Z, -1. 不妨设在A点处切线的斜率为1， 方程的两个不同的解分别为x1时，一的最小值为受D 则有2x1十号=21x(1∈Z, 正确，故选A、D.] 课时分层检测（十八） 2x十号=2kx+x(k,∈Z, !基础达标练 则1一=(1一)元受=元受(k∈刀， :1,D[易知f'(x)=-sinx-1,x∈(0，π)， ∴f(x)<0,则f(x)=cosx-x在(0，π)上单调递减.] 所以1-xm=受.] 2.D[f'()=cosx-分，由f(x)>0,得cosx>分，在区间(0，x) 3.解1)由fx)=aeln+be 内，当0<<号时，满足0sx>子.故选D] 得f(x)=(ae)'+(e 3.B[对于B,y=xe2,则y=e,y=xe2在R上为增函数，在 x (0,十∞)上也为增函数，故选B.] =ae'In z+aetbe-Izbe-i 4.C[f）=lnx+1.当0<x<号时，fx)K0:当是<x<1时. (2)由题意得，切点既在曲线y=f(x)上，又在切线v=e(x-1)十：f(z)>0.故选C.] 2上， 5.B[由导函数的图象可知函数在[一1,1]上为增函数，又导函数的 将x=1代入切线方程，得y=2, 函数值在[一1,0]上递增，原函数在[一1,0]上切线的斜率递增，导函 将x=1代入函数y=f(x),得f(1)=b, 数的函数值在[0,1]上递减，原函数在[0,1]上切线的斜率递减，故 所以b=2. 选B.] 将x=1代入导函数f(x)中， 得f(1)=ae=e,所以a=1, a(-1r=-品a>0合f>0.每释-1<1 4.解设直线y=kx十b与曲线y=1nx十2的切点的横坐标为x1, :故f(x)的单调递增区间是(-1,1).] 与曲线y=n(x十1)的切点的横坐标为x2, 所以曲线y=lnx十2在相应切点处的切线为y= 1 7 ·x+lnx1+1, [厂子1]U[2,3)[由函数的单调性与导教的关系可知，f(x)≤ 0的解集为函数f(x)的单调递减区间，结合图象可知其解集为 曲线y=ln(x十1)在相应切，点处的切线为 +·x+ln(x2+1)- -1 [-号1]u2,3.] 2十1 8.(-∞，一1)[函数y=1n(x2-x-2)的定义域为(-∞，一1)U 1 1 k= 所以 x1x2十1" 2,+o,◆f)=--2f)=2z1<0.得<号 2X2 b=lnx1+1=ln(x2+1)- 22十1： ∴.函数y=1n(x2一x一2)的单调递减区间为（一∞，一1）.] 9.解(1)由题意得，f(x)=(x2十x-1)e,所以f'(x)=(2x十1)e十 1 （1= 2 (x2十x一1)e=(x2十3x)e,所以曲线f(x)在，点(1，f(1))处的切线 解得 1 于是b=1-1n2. 斜率为k=f'(1)=4e,又因为f(1)=e,所以所求切线方程为y-e= x2= 2 4e(x-1),即4ex-y-3e=0. 创新拓展练 (2)f(x)=(-x2十x-1)e",f'(x)=-x(x+1)e. AD[根据题中品数f)=Asn(or十p)的图象知A=2,有=号 T2π 令f(x)0,得x<-1或x>0:令f(x)>0,得-1<x<0. 所以f(x)的单调递减区间为（一∞，-1），(0，十∞)，单调递增区间 为(-1,0). 10.解(1)a=1,f(x)=x3十x2-x十2， 一1. .T=2x-T ∴.f(x)=3.x2十2x-1,.f(1)=4. 又f(1)=3, 当x=吾时，a十g=吾+g-受+26x,∈Z .切，点坐标为(1,3)， .所求切线方程为y一3=4(x一1)， 即4x-y-1=0. fx)=2sim(+吾） (2)f(x)=3.x2+2a.x-a =(x十a)(3x-a), ·f(x)=2cos（+牙） 由f()=0得x=a或x=号 .g(x)=f(x)十f'(x) 又a>0,由f(x)<0,得-a<x<号， -2sm(+号)+2o(+号) 由fx)>0,得<-a或>号， =2sim(+号+子） 故f(x)的单调递减区间为（a,号）单调递增区间为 -2sim(+受） 令x+径受十kx,∈Z. (-∞，-a)和（号+∞）月 ,能力提升练 解得x=一 2+km,k∈Z, :1.B[由题图知f(x)≥0的区间是（一o∞，2），故函数y=f(x)的单调 !递增区间为(-∞，2)，故选B.] 面数8)图象的对称轴方程为=一是十∈乙，A正确： :2.B[令k≤0，得x0≤2，由导数与函数单调性的关系可知，函数的单 :调递减区间为（一∞，2].门 当x十径-吾+2，k∈7时，画数g取得接大值2厄.B错民：3所以0)国为在0十R20 :所以f(x)在(0，十o∞)上单调递增，又f(x)是R上的 易得g'x)=2Eo(e+受) 偶函数，所以f(-1)=f(1)=0, 且f(x)在（一∞，0）上单调递减，f(x)的草图如图 ”g'(x)≤22<3，不存在点P,使得g(x)的图象在点P处的切 所示， 线与直线l:y=3x一1平行，C错误； 所以xf(x)<0的解集为（一∞，一1）U(0,1).] 177班级 姓名 课时分层检测（十七）》 0 基础达标练 0 1.函数y=(2023一8.x)3的导数y=( A.3(2023-8.x)2 B.-24x C.-24(2023-8x)2D.24(2023-8.x)2 2.函数y=x(1-ax)2(a>0),且y'|x=2=5, 则a= A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0，f(0))处的 切线方程为y=2x,则a= A.0 B.1 C.2 D.3 4.（多选)下列结论不正确的是 A若y=ca子则y=一sin 1 B.若y=sinx2,则y'=2 ccos x2 C.若y=cos5x,则y'=-sin5x D.若y=7xsin2x,则，y=xsin2z 5.某放射性同位素在衰变过程中，其含量N (单位：贝克)与时间（单位：天）满足函数关 系N(t)=Noe,其中N。为t=0时该同 位素的含量.已知t=24时，该同位素含量的 时变化率为-e1,则N(120)= A.24贝克 B.24e5贝克 C.1贝克 D.e一5贝克 6.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相 切，则a的值为 7.已知函数f(x)=e+ln(2x十1)，e是自然对 数的底数，设函数f(x)的导函数为f(x), 则f(0)= ,曲线y=f(x)在点(0， 1)处的切线的方程为 得分 简单复合函数的导数 8.我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆 术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边 形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π 的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传 统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计 算方法，在切点附近，可以用函数图象的切 线近似代替在切点附近的曲线来近似计算. 设f(x)=ex,则f'(x)=,其在点 (0,1)处的切线方程为 9.求下列函数的导数： 03=(1+2x2)8,20y7-7 (3)y=sin 2x-cos 2x;(4)y=cos x2. 10.已知a∈R,函数f(x)=ex十a·er的导函 数是f(.x),且f(x)是奇函数.若曲线y= f(x)的一条切线的斜率是多，求切点的横 坐标x0. 班级 姓名 得分 :4.若直线y=kx十b是y=lnx十2的切线，也 …0 能力提升练 是y=ln(x十1)的切线，求b的值. 1.(多选)曲线y=e2xcos3.x在点(0,1)处的切 线与其平行直线1的距离为√5，则直线1的 方程可能为 ( A.y=2x+6 B.y=2x-4 C.y=3x+1 D.y=3x-4 2若曲线y=sn2x+ 2c0s2x在A(c1y), B(x2,y2)两点处的切线互相垂直，则|x1 x2|的最小值为 ( ) A. B. c D.元 3.设函数f(x)=ae"In x+ bez-1 0 创新拓展练0… (1)求导函数∫(x); (多选)已知函数f(x)=Asin(wx+)(A> (2)若曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线 0,w>0,p<7,x∈R)的图象如图所示，令 方程为y=e(x一1)+2，求a,b的值. g(x)=f(x)十f'(x),则下列关于函数g(x) 的说法正确的是 y 2 r=f(x) 2元 6 3 A.函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ一 是∈z) B.函数g(x)的最大值为2 C.函数g(x)的图象上存在点P,使得其在点 P处的切线与直线l:y=3.x一1平行 D.若方程g(x)=2的两个不同的解分别为 x2,则1西一x2的最小值为罗 106