课时作业(17) 简单复合函数的导数（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

课时作业(十七) [基础达标练] 1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(　　 ) A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2 C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1 答案：A 2．若函数f(x)＝3cos，则f′等于(　　 ) A．－3　　　　　　 B．3 C．－6 D．6 解析：选B　∵f′(x)＝－6sin ， ∴f′＝－6sin ＝6sin ＝3． 3．若f(x)＝a－2＋asin 2x为奇函数，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为(　　) A．－2　　　　　　　 B．－4 C．2 D．4 解析：选D　∵f(x)为奇函数，∴a－2＝0， 得a＝2，∴f(x)＝2sin 2x，f′(x)＝4cos 2x， ∴f′(0)＝4． ∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为4．故选D． 4．函数y＝cos 的导数为________． 解析：y′＝′＝－sin·(－3)＝3sin． 答案：3sin 5．曲线y＝f(x)＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于____． 解析：y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1，1)处的切线斜率为f′(1)＝2． 答案：2 6．某铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为160 km/h．假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度v (m/s)与行驶时间t (s)的关系v＝0．4t＋0．6t2，则出站后“绿巨人”速度首次达到24 m/s时加速度为__________(m/s2)． 解析：根据题意v＝0．4t＋0．6t2，若v＝0．4t＋0．6t2＝24，解可得t＝6或－，则t＝6， 又由v＝0．4t＋0．6t2，则v′＝0．4＋1．2t， 则v′|x＝6＝0．4＋1．2×6＝7．6， 即此时“绿巨人”的加速度为7．6 m/s2． 答案：7．6 7．求下列函数的导数： (1)y＝cos(1＋x2)； (2)y＝ln(2x2＋x)． 解：(1)设u＝1＋x2，y＝cos u，所以y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(1＋x2)′＝－sin u·2x＝－2xsin(1＋x2)． (2)设u＝2x2＋x，则y′x＝y′u·u′x ＝(ln u)′·(2x2＋x)′＝·(4x＋1)＝． 8．曲线y＝esin x在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程． 解：∵y＝esin x，∴y′＝esin xcos x， ∴y′|x＝0＝1． ∴曲线y＝esin x在(0，1)处的切线方程为 y－1＝x，即x－y＋1＝0． 又直线l与x－y＋1＝0平行，故可设为x－y＋m＝0． 由＝得m＝－1或3． ∴直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋3＝0． [能力提升练] 9．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为(　　 ) A．1 B．2 C．－1 D．－2 解析：选B　设切点坐标是(x0，x0＋1)， 依题意有 由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2． 10．某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝，则在时刻t＝40 (min)的降雨强度为(　　 ) A．20 mm B．400 mm C． mm/min D． mm/min 解析：选D　f′(t)＝·10＝， 所以f′(40)＝＝． 11．函数y＝ln 在x＝0处的导数为________． 解析：y＝ln＝ln ex－ln(1＋ex)＝x－ln(1＋ex)，则y′＝1－．当x＝0时，y′＝1－＝． 答案： 12．已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________． 解析：设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ln x－3x，又f(x)为偶函数，f(x)＝ln x－3x，f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，切线方程为y＝－2x－1． 答案：y＝－2x－1 13．曲线y＝f(x)＝e2x·cos 3x在(0，1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程． 解：∵f′(x)＝(e2x)′·cos 3x＋e2x·(cos 3x)′ ＝2e2x·cos 3x－3e2x·sin 3x， ∴f′(0)＝2． ∴经过点(0，1)的切线方程为y－1＝2(x－0)， 即y＝2x＋1． 设适合题意的直线方程为y＝2x＋b， 根据题意，得＝， ∴b＝6或－4． ∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4． [素养拓展练] 14．求曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积． 解： 依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2． 所以曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2． 在坐标系中作出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x的图象， 因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1，0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×＝． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$