专题04 圆（期中真题汇编，湖北专用）九年级数学上学期

专题04 圆 7大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 圆的切线 考点07 正多边形与圆 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，零件轮廓由一个半圆和一段抛物线围成．若，则（     ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】C 【分析】 此题考查了二次函数的图象和性质，求出．得到，代入得到，则，即可求出答案． 【详解】 解：由题意可得，． ∴, 将代入抛物线，， 解得， ∴, ∴ ． 故选：C 考点02 过三点的圆 1．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（       ） A. 为等腰三角形 B. 与相互垂直平分 C. 点A、B都在以为直径的圆上 D. 为的边上的中线 【答案】B 【分析】 连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明与相互垂直平分，即可得出答案． 【详解】 解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB， ∵B，C为切点， ∴∠OBP=∠OAP=90°， ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OPB≌Rt△OPA， ∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC， ∴为等腰三角形，故A正确； ∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边， ∴PM=OM=BM=AM ∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确； ∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC， ∴△OBC≌△OAC， ∴∠OCB=∠OCA=90°， ∴PC⊥AB， ∵△BPA为等腰三角形， ∴为的边上的中线，故D正确； 无法证明与相互垂直平分， 故选：B． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运用是解题关键． 2．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）直角三角形的两直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于　　　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查了勾股定理以及三角形外接圆的性质，难度不大，注意直角三角形的斜边是其外接圆的直径是解题的关键. 由直角三角形的两直角边长分别为6，8，利用勾股定理可求得其斜边；又由直角三角形的斜边是其外接圆的直径，即可求得答案． 【详解】 ∵直角三角形的两直角边长分别为6，8， ∴斜边长为：    ∴这个三角形的外接圆半径是， 故答案为5． 考点03 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）某地有一座四弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长），共高（弧的中点到弦的距离），则拱桥的半径为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 设拱桥的圆心为，连接、，设拱桥的半径为，由垂径定理可得，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出拱桥的半径． 【详解】 解：如图，设拱桥的圆心为，连接、， 设拱桥的半径为， 由题意可得：，，， 则， ， 在中，根据勾股定理，可得： ， 即：， 解得：， 故选：． 2．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，连接、相交于点D，根据垂径定理求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】 解：连接、相交于点D， 由题意得，，则， 设圆的半径为，则， 在中，， 即， 解得：， 则该铁球的直径为， 故选：D． 3．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）杭温高铁的开通，进一步完善了区域铁路网布局，便利沿线人民群众出行，带动旅游资源开发，有力地服务长三角一体化高质量发展．如图是其中一个隧道的横截面示意图，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，若是弦的中点，经过圆心交优弧于点，且，则的半径为（　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查垂径定理，勾股定理的运用，掌握垂径定理是关键，根据题意设圆的半径为，则，，，由勾股定理即可求解． 【详解】 解：如图所示，连接， 设此圆的半径为，则， ∵是弦的中点，经过圆心， ∴， ∵， ∴，， 在中，， 即， 解得：， 即的半径长为． 故选：A． 4．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点，，量出半径，弦，则直尺的宽度为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理，圆的性质． 作于点，连接，则，，可得，，根据勾股定理计算即可． 【详解】 解：作于点，连接，则，， ∵，， ∴，， ∴， ∴直尺的宽度为． 故选：B． 5．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）如图所示，的半径是6，弦，，且于点P，则的长为(       ) A.  B.  C. 7 D. 4 【答案】B 【分析】 作于M，于N，连接，，首先利用勾股定理求得、的长，然后判定四边形是矩形，求得，根据勾股定理求出即可． 【详解】 解：作于M，于N，连接，， ∵，， ∴，， ∵的半径是， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴在中，由勾股定理得： ，故B正确． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查的是垂径定理及勾股定理，矩形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 6．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）（多选）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于两点．求证：． 【答案】证明：如图所示，过点O作OP⊥AB，垂足为点P， 由垂径定理可得PA＝PB，PC＝PD，PA－PC＝PB－PD， AC＝BD． 【分析】 过点O作OP⊥AB，由等腰三角形的性质可知AP=BP，再由垂径定理可知CP=DP，故可得出结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键． 7．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车．如图所示，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为6米，水面到运行轨道最低点C的距离为1米，则的半径为　　　　　　　　　　　　米． 【答案】5 【分析】 本题主要考查了垂径定理的应用及勾股定理，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键．连接交于点，连接，根据题意得米，，利用垂径定理得出，再利用勾股定理建立方程即可解决问题． 【详解】 解：连接交于点，连接， 则米，， 所以点M为的中点． 因为米， 所以米， 令的半径为米， 在中，， 解得， 所以的半径为5米． 故答案为：5． 8．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）如图，一根排水管的截面是一个半径为的圆，管内水面宽，，则水的最大深度为　　　　　　　　． 【答案】20 【分析】 本题考查的是垂径定理的应用，根据题意在直角三角形运用勾股定理求边长是解答此题的关键． 由题意知，由垂径定理可得出的长，在中，根据勾股定理求出 的长，由即可得出结论． 【详解】 解：如图，连接， 由题意知， ． 在中，，， ． ． 故答案为：20． 9．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O半径为　　　　　　　　． 【答案】10． 【分析】 连结OC，设⊙O半径为r，则OC=r，OE=r-2，根据垂径定理得到CE=DE=CD=6，在Rt△OCE中，利用勾股定理列出关于r的等式，然后解方程求出r即可． 【详解】 解：连结OC，设⊙O半径为r，则OC=r，OE=r-BE=r-2， ∵CD⊥AB，CD＝12 ∴CE=DE=CD=6， 在Rt△OCE中，∵OE2+CE2=OC2， ∴（r-2）2+62=r2，解得r=10， 即⊙O半径为10． 故答案为10． 【点睛】 本题考查了垂径定理和勾股定理得综合应用，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 10．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）已知⊙的直径为26cm，AB、CD是⊙的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，则、之间的距离为　　　　　　　cm． 【答案】7或17 或7 【分析】 首先分先AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，画出图形，过圆心O作两弦的垂线，利用垂径定理可分别求出圆心到两弦的距离，从而可求出两弦间的距离． 【详解】 ① 当弦AB、CD在圆心的同侧时，如图1 过点O作OF⊥CD交AB于点E，连接OA，OC ∵ ∴OE⊥AB ∵AB=24，CD=10 ∴AE=12，CF=5 又∵⊙的直径为26 ∴OA=OC=13 ∴， ∴EF=OF-OE=7 ② 当弦AB、CD在圆心的异侧时，如图2 过点O作OF⊥CD，延长FO交AB于点E，连接OA，OC ∵ ∴OE⊥AB ∵AB=24，CD=10 ∴AE=12，CF=5 又∵⊙的直径为26 ∴OA=OC=13 ∴， ∴EF=OF+OE=17 故答案为：7或17． 【点睛】 本题主要考查了垂径定理，解题是要注意分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论． 11．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）如图，是的直径，弦交于点E，点B是劣弧的中点． （1）求证：． （2）若，的半径为1，求弦的长． 【答案】（1） 证明：∵点B是劣弧的中点，是的直径， ∴，， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是求出． （1）根据垂径定理可得答案； （2）先求出，再求出，最后根据勾股定理可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， ∵，，， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ． 12．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺的圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，求圆形工件的半径为多少？ 【答案】圆形工件的半径为 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 【详解】 解：假设圆心为点，作， ∴， 设半径为， 则在中， ， 即， 解得：． ∴圆形工件的半径为． 考点04 圆心角 1．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查弧、弦、圆心角之间的关系，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质． 连接，由已知可得，从而可得，根据三角形的内角和定理，结合等腰三角形的性质计算即可． 【详解】 解：连接， ∵、是的弦，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 故选：D． 2．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）如图，在中，，则下列结论错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系．根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项． 【详解】 解：， ， ， 即， ， 和无法确定相等， 无法判断， 故选：D． 考点05 圆周角 1．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）如图所示，在中，是直径，弦交于点，连接，，若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确求出的度数是解题的关键． 连接，先由同弧所对的圆周角相等得到，再由直径所对的圆周角是直角得到，则． 【详解】 解：如图所示，连接，    ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选． 2．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度数为（　　） A. 64° B. 128° C. 120° D. 116° 【答案】B 【分析】 根据邻补角的概念求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可． 【详解】 解：∵∠DCE=64°， ∴∠BCD=180°-∠DCE=116°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A=180°-∠BCD=64°， 由圆周角定理，得∠BOD=2∠A=128°， 故选：B． 【点睛】 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 3．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）如图，在中，弦相交于点P，，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，先根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和可得． 【详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 4．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，在中，直径与弦相交，连接．若，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查圆周角定理，连接，根据圆周角定理，得到，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】 解：连接，则 ∵为直径， ∴， ∴； 故选B． 5．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）半径为的中，弦，弦所对的圆周角的度数为（       ） A.  B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质，圆周角定理，圆内接四边形求角度，由题意得，所以为等边三角形，则，根据圆周角定理，然后通过圆内接四边形性质可得，从而可得弦所对的圆周角度数为或，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：如图， 由题意得， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴弦所对的圆周角度数为或， 故选：． 6．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）如图， 为 的直径， ， 为 上两点， 若， 则的大小为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，根据 为 的直径，可知，再由圆周角定理求出，根据直角三角形的两锐角互余即可求出的度数． 【详解】 解： 为 的直径， ， ， ， ． 故选：B． 7．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）如图，已知为半圆的直径，点为半圆上一点，且．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交边于点；②分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查圆周角定理，角平分线的作图，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，根据圆周角定理可得，可推出，最后根据所画射线为的角平分线可求得答案． 【详解】 解：∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 根据作图步骤可得：平分， ∴， 故选：A． 8．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，将的圆周12等分后得到表盘模型，整钟点为（n为1～12的整数），分别连接，和，得到，射线和射线相交于圆外一点M，若，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查正多边形与圆，解直角三角形，含的直角三角形，等腰直角三角形等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题．如图连接，过点作于点，由题意，求出，再求出圆的半径可得结论． 【详解】 解：如图，连接，过点作于点，过点作于点． 由题意， ∴，， 同法可得， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴． 故选：A． 9．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1） 证明：∵点、、在上，于点， ∴， ∴垂直平分， ∴．     （2）．      【分析】 （1）由垂径定理，结合线段垂直平分线的性质，即可证得结论； （2）由直径所对的圆周角为直角，可得，由垂径定理可得，根据勾股定理可得，从而可得，，根据勾股定理可得，从而可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点在圆上，是的直径， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查垂径定理，线段垂直平分线的性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理． 10．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为　　　　　　． 【答案】4度 【分析】 本题考查了圆内接四边形的性质，同（等）弧所对的圆周角相等；由得，即；再由圆内接四边形的性质得的度数，从而可求解． 【详解】 解：∵， ∴， 即； ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，在中，直径弦于点E，于点F，交于点H，连接． （1）求证：； （2）， ，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）5      【分析】 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了垂径定理和圆周角定理． （1）连接，如图，利用垂直的定义得到，，则利用等角的余角相等得到，再根据圆周角定理得到，所以，然后根据等腰三角形的判定得到结论； （2）设，则，根据等腰三角形的性质得到，，在中利用勾股定理得到，解方程即可得到圆的半径． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 解得（舍）， ∴， 即的半径为5． 12．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）如图，四边形内接于，点E在的延长线上．若，则的度数是　　　　　　　　　　． 【答案】 度 【分析】 本题考查圆内接四边形性质，以及圆周角定理，根据平角的定义求出，利用圆内接四边形对角互补得到，最后根据圆周角定理即可求得． 【详解】 解：， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，是圆O的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，圆周角定理，轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定，正确作出辅助线推出能取得最小值的情形是解题的关键． 作A关于的对称点Q，连接交于P，此时根据两点之间线段最短，的最小值为的长度． 【详解】 解：作A关于的对称点Q，连接交 于P， ∵点B 为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值为2， 故答案为：2． 14．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，是的直径，是的一条弦，且于点，连接，，． （1）当时，求的度数； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据在同一个三角形中，等边对等角可得，然后根据同弧所对的圆周角相等即可求出，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论； （2）根据垂径定理即可求出，然后设，则，再根据勾股定理列出方程即可求出结论． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵是的直径，，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即的半径为． 【点睛】 此题考查的是圆周角定理的推论、等腰三角形的性质、垂径定理和勾股定理，掌握同弧所对的圆周角相等、等边对等角、垂径定理和勾股定理是解决此题的关键． 15．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）如图，为的直径，，垂足为，点是上一动点，连接分别交，于点，． （1）当时，与有何关系？证明你的结论． （2）当点在什么位置时，？证明你的结论． 【答案】（1） ； 证明：连接， 为的直径， ． 又， ． ， ． ． ．     （2） 当弧弧时，， 证明：∵弧弧， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴．      【分析】 主要考查了圆中的有关性质，掌握其中的圆周角定理、圆心角、弧、圆周角之间的关系是解题的关键． （1）由圆周角定理知：，在中，，证得，已知，可得，所以，即； （2）当弧弧时，，可得，进而可得，因此当弧弧时，． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 16．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，已知正方形与正方形共顶点C，且在正方形的内部，连接，直线交于点H． （1）如图（1）， 求证： （2）如图（2），连接，请用一个等式表示线段之间的数量关系，并证明你的结论： （3）如图（2）， 若 ，当线段的长最大时，直接写出线段的长． 【答案】（1） 证明：∵正方形与正方形， ∴， ∴， ∴；     （2） ，证明如下： 在上截取，如图， 由（1）可知：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；     （3）      【分析】 （1）利用证明即可； （2）在上截取，证明，得到，推出，勾股定理得到，再根据线段的和差关系进行求解即可； （3）连接，证明点在以为直径的圆上，进而得到当重合时，此时为直径，最大，勾股定理求出和的长，进而求出的长，根据（2）中的结论进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 连接， 由（2）可知：为等腰直角三角形， ∴， ∵正方形， ∴，，， ∴点在以为直径的圆上， ∴当重合时，此时为直径，最大，如图： ∵，， ∴，， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形和特殊图形，确定动点的位置，是解题的关键． 17．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）【课本再现】在人教版九年级上册课本第88页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点A，B，C，D在上，求证：． 【解决问题】 （2）如图②，已知点A，B，C，D在上，若的半径为4． ①求BD的长； ②连接CA．若CA平分，如图③，请判断BC，CD，AC之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：连接OD，OB，如图① ． ，， ． （2）① ②．理由如下： 延长CB至点N，使，连接AN，如图③ ． 平分， ． 由（1）可知， ， ． 点在上， ． ． 在和中， ， ． 又， 为等边三角形， ． 即． 【分析】 （1）根据圆内接四边形对角互补可以得出； （2）①连接OB，OD，过点O作于点M，根据垂径定理求出，再利用勾股定理求出；②延长CB至点N，使，连接AN，先证明，再判定为等边三角形，即可得出． 【详解】 （1）略 （2）① 由（1）可知． ， ． 连接OB，OD，过点O作于点M，如图② ． ， ， 则， ． ② 略 考点06 圆的切线 1．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）如图，已知点A，B，C在上，，，垂足为D，，则面积的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 过点A作直线l平行，则直线l与之间的距离即为中， 边的高线的长，再由垂径定理可得，从而得到，可得到当边的高线最长时，的面积最大，此时的面积最大，继而得到当时直线l平移至直线m处，直线m与圆O相切时，直线l与之间的距离最大，此时的面积最大，设直线m与圆O的切点为点F，连接，并延长交于点E，此时，再证明是等边三角形，可求出的长，可得到的面积，即可求解． 【详解】 解：如图，过点A作直线l平行，则直线l与之间的距离即为中， 边的高线的长， ∵， ∴， ∴ ∵为定长， ∴当边的高线最长时，的面积最大，此时的面积最大， 当时直线l平移至直线m处，直线m与圆O相切时，直线l与之间的距离最大，此时的面积最大， ∴， 设直线m与圆O的切点为点F，连接，并延长交于点E，此时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． 故选：D 【点睛】 本题主要考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质，根据题意得到当时直线l平移至直线m处，直线m与圆O相切时，直线l与之间的距离最大，此时的面积最大是解题的关键． 2．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）如图，已知AB是的直径，点C，D在上，，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：， ． ，， 在和中： ；     （2）      【分析】 （1）利用弧相等得出圆心角相等，再结合圆的半径相等，通过证明三角形全等． （2）先利用等腰三角形性质求出的度数，再结合弧的关系求出的度数，最后根据圆周角定理求出的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查圆的性质与三角形全等的判定，掌握弧相等则对应圆心角相等，圆周角定理及等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）如图， 已知 ，点O为上一点，经过点B， 与相切于点D， 点E为上一点， 连接．    （1）求证：平分 ； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明： 如图， 连接，    ∵与相切， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分；     （2）      【分析】 本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质． （1）连接，根据切线的性质易证，推出，结合，进而得到，即可得出结论； （2）利用三角形外角的性质求出，再根据圆周角定理即可求解． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 4．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）如图，中，，以为直径的交于点，点在上，，的延长线交于点F．    （1）求证：与相切； （2）若的半径为3，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接、，    则， ， ，， ， ， 经过的半径的外端，且， 与相切．     （2）6      【分析】 （1）连接、，则，所以，由，得，所以，即可证明与相切； （2）由切线的性质得，，，得，则，即可根据勾股定理列方程，求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知与相切， ∴ ∵，， ， ， ∵ ∴， ∵，， ， ， 的长为6． 【点睛】 此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 5．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）如图是一个由小正方形构成的8×8的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，经过，，三个格点，请仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）在图1中，画的切线； （2）在图2中，画的弦，使点为弧的中点． 【答案】（1） 如图1中，直线即为所求．      （2） 如图2中，线段即为所求． 【分析】 本题考查了网格作图，切线的判定，垂径定理； （1）取格点，证明是直角三角形，且得出，即可得出是的切线 （2）取的格点，则，进而证明，根据垂径定理，即可求解． (1) 小问详解： 解：如图， 根据网格可得， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴ 又∵是直径， ∴是的切线； (2) 小问详解： 解：如图， 取的格点，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点为弧的中点． 考点07 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【详解】 连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长． 解：连接AC，过B作BD⊥AC于D； ∵AB=BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴AD=CD； ∵此多边形为正六边形， ∴∠ABC==120°， ∴∠ABD==60°， ∴∠BAD=30°，AD=AB•cos30°=2×=， ∴a=2cm． 故选A． “点睛”此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆 7大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 圆的切线 考点07 正多边形与圆 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，零件轮廓由一个半圆和一段抛物线围成．若，则（     ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 考点02 过三点的圆 1．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（       ） A. 为等腰三角形 B. 与相互垂直平分 C. 点A、B都在以为直径的圆上 D. 为的边上的中线 2．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）直角三角形的两直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于　　　　　　　　　　． 考点03 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）某地有一座四弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长），共高（弧的中点到弦的距离），则拱桥的半径为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）杭温高铁的开通，进一步完善了区域铁路网布局，便利沿线人民群众出行，带动旅游资源开发，有力地服务长三角一体化高质量发展．如图是其中一个隧道的横截面示意图，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，若是弦的中点，经过圆心交优弧于点，且，则的半径为（　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点，，量出半径，弦，则直尺的宽度为（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）如图所示，的半径是6，弦，，且于点P，则的长为(       ) A.  B.  C. 7 D. 4 6．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）（多选）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于两点．求证：． 7．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车．如图所示，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为6米，水面到运行轨道最低点C的距离为1米，则的半径为　　　　　　　　　　　　米． 8．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）如图，一根排水管的截面是一个半径为的圆，管内水面宽，，则水的最大深度为　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O半径为　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）已知⊙的直径为26cm，AB、CD是⊙的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，则、之间的距离为　　　　　　　cm． 11．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）如图，是的直径，弦交于点E，点B是劣弧的中点． （1）求证：． （2）若，的半径为1，求弦的长． 12．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺的圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，求圆形工件的半径为多少？ 考点04 圆心角 1．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）如图，在中，，则下列结论错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  考点05 圆周角 1．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）如图所示，在中，是直径，弦交于点，连接，，若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度数为（　　） A. 64° B. 128° C. 120° D. 116° 3．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）如图，在中，弦相交于点P，，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，在中，直径与弦相交，连接．若，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）半径为的中，弦，弦所对的圆周角的度数为（       ） A.  B. 或 C. 或 D. 或 6．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）如图， 为 的直径， ， 为 上两点， 若， 则的大小为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）如图，已知为半圆的直径，点为半圆上一点，且．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交边于点；②分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，将的圆周12等分后得到表盘模型，整钟点为（n为1～12的整数），分别连接，和，得到，射线和射线相交于圆外一点M，若，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 10．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为　　　　　　． 11．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，在中，直径弦于点E，于点F，交于点H，连接． （1）求证：； （2）， ，求的半径． 12．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）如图，四边形内接于，点E在的延长线上．若，则的度数是　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，是圆O的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，是的直径，是的一条弦，且于点，连接，，． （1）当时，求的度数； （2）若，，求的半径． 15．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）如图，为的直径，，垂足为，点是上一动点，连接分别交，于点，． （1）当时，与有何关系？证明你的结论． （2）当点在什么位置时，？证明你的结论． 16．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，已知正方形与正方形共顶点C，且在正方形的内部，连接，直线交于点H． （1）如图（1）， 求证： （2）如图（2），连接，请用一个等式表示线段之间的数量关系，并证明你的结论： （3）如图（2）， 若 ，当线段的长最大时，直接写出线段的长． 17．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）【课本再现】在人教版九年级上册课本第88页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点A，B，C，D在上，求证：． 【解决问题】 （2）如图②，已知点A，B，C，D在上，若的半径为4． ①求BD的长； ②连接CA．若CA平分，如图③，请判断BC，CD，AC之间有怎样的数量关系，并说明理由． 考点06 圆的切线 1．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）如图，已知点A，B，C在上，，，垂足为D，，则面积的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）如图，已知AB是的直径，点C，D在上，，． （1）求证：； （2）求的度数． 3．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）如图， 已知 ，点O为上一点，经过点B， 与相切于点D， 点E为上一点， 连接．    （1）求证：平分 ； （2）若，求的度数． 4．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）如图，中，，以为直径的交于点，点在上，，的延长线交于点F．    （1）求证：与相切； （2）若的半径为3，，求的长． 5．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）如图是一个由小正方形构成的8×8的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，经过，，三个格点，请仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）在图1中，画的切线； （2）在图2中，画的弦，使点为弧的中点． 考点07 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是　　　　　　　　　　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 圆的切线 考点07 正多边形与圆 考点01 圆的有关概念 1．C 考点02 过三点的圆 1．B 2．【答案】5 【分析】 本题考查了勾股定理以及三角形外接圆的性质，难度不大，注意直角三角形的斜边是其外接圆的直径是解题的关键. 由直角三角形的两直角边长分别为6，8，利用勾股定理可求得其斜边；又由直角三角形的斜边是其外接圆的直径，即可求得答案． 【详解】 ∵直角三角形的两直角边长分别为6，8， ∴斜边长为：    ∴这个三角形的外接圆半径是， 故答案为5． 考点03 垂直于弦的直径 1．D 2．D 3．A 4．B 5．B 6．【答案】证明：如图所示，过点O作OP⊥AB，垂足为点P， 由垂径定理可得PA＝PB，PC＝PD，PA－PC＝PB－PD， AC＝BD． 【分析】 过点O作OP⊥AB，由等腰三角形的性质可知AP=BP，再由垂径定理可知CP=DP，故可得出结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键． 7．【答案】5 【分析】 本题主要考查了垂径定理的应用及勾股定理，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键．连接交于点，连接，根据题意得米，，利用垂径定理得出，再利用勾股定理建立方程即可解决问题． 【详解】 解：连接交于点，连接， 则米，， 所以点M为的中点． 因为米， 所以米， 令的半径为米， 在中，， 解得， 所以的半径为5米． 故答案为：5． 8．【答案】20 【分析】 本题考查的是垂径定理的应用，根据题意在直角三角形运用勾股定理求边长是解答此题的关键． 由题意知，由垂径定理可得出的长，在中，根据勾股定理求出 的长，由即可得出结论． 【详解】 解：如图，连接， 由题意知， ． 在中，，， ． ． 故答案为：20． 9．【答案】10． 【分析】 连结OC，设⊙O半径为r，则OC=r，OE=r-2，根据垂径定理得到CE=DE=CD=6，在Rt△OCE中，利用勾股定理列出关于r的等式，然后解方程求出r即可． 【详解】 解：连结OC，设⊙O半径为r，则OC=r，OE=r-BE=r-2， ∵CD⊥AB，CD＝12 ∴CE=DE=CD=6， 在Rt△OCE中，∵OE2+CE2=OC2， ∴（r-2）2+62=r2，解得r=10， 即⊙O半径为10． 故答案为10． 【点睛】 本题考查了垂径定理和勾股定理得综合应用，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 10．【答案】7或17 或7 【分析】 首先分先AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，画出图形，过圆心O作两弦的垂线，利用垂径定理可分别求出圆心到两弦的距离，从而可求出两弦间的距离． 【详解】 ① 当弦AB、CD在圆心的同侧时，如图1 过点O作OF⊥CD交AB于点E，连接OA，OC ∵ ∴OE⊥AB ∵AB=24，CD=10 ∴AE=12，CF=5 又∵⊙的直径为26 ∴OA=OC=13 ∴， ∴EF=OF-OE=7 ② 当弦AB、CD在圆心的异侧时，如图2 过点O作OF⊥CD，延长FO交AB于点E，连接OA，OC ∵ ∴OE⊥AB ∵AB=24，CD=10 ∴AE=12，CF=5 又∵⊙的直径为26 ∴OA=OC=13 ∴， ∴EF=OF+OE=17 故答案为：7或17． 【点睛】 本题主要考查了垂径定理，解题是要注意分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论． 11．【答案】（1） 证明：∵点B是劣弧的中点，是的直径， ∴，， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是求出． （1）根据垂径定理可得答案； （2）先求出，再求出，最后根据勾股定理可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， ∵，，， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ． 12．【答案】圆形工件的半径为 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 【详解】 解：假设圆心为点，作， ∴， 设半径为， 则在中， ， 即， 解得：． ∴圆形工件的半径为． 考点04 圆心角 1．D 2．D 考点05 圆周角 1．B 2．B 3．B 4．B 5．B 6．B 7．A 8．A 9．【答案】（1） 证明：∵点、、在上，于点， ∴， ∴垂直平分， ∴．     （2）．      【分析】 （1）由垂径定理，结合线段垂直平分线的性质，即可证得结论； （2）由直径所对的圆周角为直角，可得，由垂径定理可得，根据勾股定理可得，从而可得，，根据勾股定理可得，从而可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点在圆上，是的直径， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查垂径定理，线段垂直平分线的性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理． 10．【答案】4度 【分析】 本题考查了圆内接四边形的性质，同（等）弧所对的圆周角相等；由得，即；再由圆内接四边形的性质得的度数，从而可求解． 【详解】 解：∵， ∴， 即； ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）5      【分析】 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了垂径定理和圆周角定理． （1）连接，如图，利用垂直的定义得到，，则利用等角的余角相等得到，再根据圆周角定理得到，所以，然后根据等腰三角形的判定得到结论； （2）设，则，根据等腰三角形的性质得到，，在中利用勾股定理得到，解方程即可得到圆的半径． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设，则， ∵， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 解得（舍）， ∴， 即的半径为5． 12．【答案】 度 【分析】 本题考查圆内接四边形性质，以及圆周角定理，根据平角的定义求出，利用圆内接四边形对角互补得到，最后根据圆周角定理即可求得． 【详解】 解：， ， ， ， ， 故答案为：． 13．【答案】2 【分析】 本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，圆周角定理，轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定，正确作出辅助线推出能取得最小值的情形是解题的关键． 作A关于的对称点Q，连接交于P，此时根据两点之间线段最短，的最小值为的长度． 【详解】 解：作A关于的对称点Q，连接交 于P， ∵点B 为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值为2， 故答案为：2． 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据在同一个三角形中，等边对等角可得，然后根据同弧所对的圆周角相等即可求出，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论； （2）根据垂径定理即可求出，然后设，则，再根据勾股定理列出方程即可求出结论． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵是的直径，，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即的半径为． 【点睛】 此题考查的是圆周角定理的推论、等腰三角形的性质、垂径定理和勾股定理，掌握同弧所对的圆周角相等、等边对等角、垂径定理和勾股定理是解决此题的关键． 15．【答案】（1） ； 证明：连接， 为的直径， ． 又， ． ， ． ． ．     （2） 当弧弧时，， 证明：∵弧弧， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴．      【分析】 主要考查了圆中的有关性质，掌握其中的圆周角定理、圆心角、弧、圆周角之间的关系是解题的关键． （1）由圆周角定理知：，在中，，证得，已知，可得，所以，即； （2）当弧弧时，，可得，进而可得，因此当弧弧时，． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 16．【答案】（1） 证明：∵正方形与正方形， ∴， ∴， ∴；     （2） ，证明如下： 在上截取，如图， 由（1）可知：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；     （3）      【分析】 （1）利用证明即可； （2）在上截取，证明，得到，推出，勾股定理得到，再根据线段的和差关系进行求解即可； （3）连接，证明点在以为直径的圆上，进而得到当重合时，此时为直径，最大，勾股定理求出和的长，进而求出的长，根据（2）中的结论进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 连接， 由（2）可知：为等腰直角三角形， ∴， ∵正方形， ∴，，， ∴点在以为直径的圆上， ∴当重合时，此时为直径，最大，如图： ∵，， ∴，， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形和特殊图形，确定动点的位置，是解题的关键． 17．【答案】（1）证明：连接OD，OB，如图① ． ，， ． （2）① ②．理由如下： 延长CB至点N，使，连接AN，如图③ ． 平分， ． 由（1）可知， ， ． 点在上， ． ． 在和中， ， ． 又， 为等边三角形， ． 即． 【分析】 （1）根据圆内接四边形对角互补可以得出； （2）①连接OB，OD，过点O作于点M，根据垂径定理求出，再利用勾股定理求出；②延长CB至点N，使，连接AN，先证明，再判定为等边三角形，即可得出． 【详解】 （1）略 （2）① 由（1）可知． ， ． 连接OB，OD，过点O作于点M，如图② ． ， ， 则， ． ② 略 考点06 圆的切线 1．D 2．【答案】（1） 证明：， ． ，， 在和中： ；     （2）      【分析】 （1）利用弧相等得出圆心角相等，再结合圆的半径相等，通过证明三角形全等． （2）先利用等腰三角形性质求出的度数，再结合弧的关系求出的度数，最后根据圆周角定理求出的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查圆的性质与三角形全等的判定，掌握弧相等则对应圆心角相等，圆周角定理及等腰三角形的性质是解题的关键． 3．【答案】（1） 证明： 如图， 连接，    ∵与相切， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分；     （2）      【分析】 本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质． （1）连接，根据切线的性质易证，推出，结合，进而得到，即可得出结论； （2）利用三角形外角的性质求出，再根据圆周角定理即可求解． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 4．【答案】（1） 证明：如图，连接、，    则， ， ，， ， ， 经过的半径的外端，且， 与相切．     （2）6      【分析】 （1）连接、，则，所以，由，得，所以，即可证明与相切； （2）由切线的性质得，，，得，则，即可根据勾股定理列方程，求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知与相切， ∴ ∵，， ， ， ∵ ∴， ∵，， ， ， 的长为6． 【点睛】 此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 5．【答案】（1） 如图1中，直线即为所求．      （2） 如图2中，线段即为所求． 【分析】 本题考查了网格作图，切线的判定，垂径定理； （1）取格点，证明是直角三角形，且得出，即可得出是的切线 （2）取的格点，则，进而证明，根据垂径定理，即可求解． (1) 小问详解： 解：如图， 根据网格可得， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴ 又∵是直径， ∴是的切线； (2) 小问详解： 解：如图， 取的格点，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点为弧的中点． 考点07 正多边形与圆 1．【答案】 【详解】 连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长． 解：连接AC，过B作BD⊥AC于D； ∵AB=BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴AD=CD； ∵此多边形为正六边形， ∴∠ABC==120°， ∴∠ABD==60°， ∴∠BAD=30°，AD=AB•cos30°=2×=， ∴a=2cm． 故选A． “点睛”此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $