专题03 旋转（期中真题汇编，湖北专用）九年级数学上学期

专题03 旋转 4大高频考点概览 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，将在平面内绕点C旋转到的位置，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点在的延长线上，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝68°，则∠α的大小是（　　） A. 68° B. 20° C. 28° D. 22° 5．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）如图，绕顶点逆时针旋转30°至，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，三点在同一条直线上，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，在同一平面内，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，连接BB1，若BB1∥AC1，则∠CAC1的度数是（　　） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 8．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　) A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转α得到△A′B′C′．当点B′落在BA的延长线上时，恰好A′B′∥AC，若α=140°，则∠B的度数为（　　） A. 140° B. 30° C. 20° D. 100° 10．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）如图，平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上一个动点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，则线段的最小值是（     ） A.  B. 12 C.  D.  11．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，在等边三角形中，点P在其内部，且，，，将在平面内绕点A按顺时针方向旋转得到．    （1）求证：为等边三角形； （2）求线段的长． 12．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）如图，四边形是正方形，绕点顺时针方向旋转后与重合，连接．试判断是什么三角形？并说明你的理由． 13．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，点为正方形内一点，经逆时针旋转后能与重合． （1）旋转中心是___________，旋转角度最小为___________； （2）判断的形状，并说明理由． 14．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）【问题情景】综合与实践课上，陈老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动． 【实践操作】陈老师让同学们先画出两个等腰直角和，，将绕点O旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决． （1）如图①，“慎思组”的同学们连接，，则与有何数量关系？与有何数量关系？请你探究后直接写出结论； （2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们认为，当点N恰好在边上时，若，，就可以求出的长，请你写出求解过程； 【类比探究】 （3）“智慧组”的同学们认为，当点A，M，N在同一条直线上时，，，之间一定存在某种数量关系，若，，请你探究后直接写出的长． 15．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的长度为　　　　． 16．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）如图，正方形的边长为，将边 绕点 顺时针旋转至，连接， ， 若， 则线段的长为　　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度， 的顶点都在格点上． （1）将．向右平移4个单位长度，点A，B，C的对应点分别为 画出平移后的 （2）将 绕点逆时针旋转，点的对应点分别为画出旋转后的 18．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）如图，在菱形中，，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，则的长是　　　　　． 19．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点，，都是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． （1）在图1中，将线段向上平移2个单位长度，点对应点，点对应点，画出平移后的线段，再将线段绕点顺时针旋转，画出对应线段； （2）在图2中，点是格点上一点，先作点关于点对称的点，再过点作直线分别交，于点，，使得． 20．（25-26学年九上·湖北武汉水果湖第二中学·期中）如图，在中，， ，分别以、为直角边，C为直角顶点向外作等腰和等腰，连接、．在的边变化的过程中，当最大时，的长是　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O对称的； （2）将绕点E顺时针旋转90°得到，画出； （3）若是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为          ． 22．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）已知线段，将线段以点为旋转中心，顺时针旋转得到线段，连接点、点，则的面积　　　　　　． 23．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点在上，且 ．若，求 的度数． 24．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）（1）如图，在正方形中，的顶点，分别在，上，高与正方形的边长相等，求的度数． （2）如图，在中，，，点，是边上的任意两点，且，将绕点逆时针旋转至位置，连接，试判断，，之间的数量关系，并说明理由． （3）在图中，连接分别交，于点，，若，，，求，的长度． 25．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）已知，点是等边三角形内一点，线段绕点逆时针旋转到，连接，．求证：． 26．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到．点的对应点为点，恰好落在上，平分，求的度数． 27．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）在中，，，点D是的中点，将在平面内绕点D逆时针方向旋转α得到，当恰为等腰三角形时，α的值为　　　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）如图1， 是等边三角形，点 D，E分别在上，且，连接．将 绕点A 逆时针旋转某个角度(旋转角小于连接， 如图2． （1）求证： （2）如图3， 当射线经过的中点F时， 连接． ①求证：； ②若，求的长． 29．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）如图1， 在 中，， 将绕点O顺时针旋转某个角度(旋转角小于90°)， 得到，，与交于点P． （1）求证：； （2）如图2，若点C恰好在上，连接．试探究四边形的形状，并说明理由； （3）如图3，点H为的中点， 连接．若点C恰好在上，，求的长． 30．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点为等边的边上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若、、三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是边长为的等边三角形，点为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，且，求的长． 31．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）如图，在四边形中，，，． （1）将绕点逆时针旋转得，求的度数； （2）若，，求的长． 32．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． （1）求证：，； （2）将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 33．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）在等边中，，于，点为边上一点，点为线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）当点与点重合时， ①如图1，连接，若的延长线过点，连接，则线段________； ②如图2，若，连接，，，，分别为，的中点，连接，和，求线段的长； （2）如图3，点不与点，重合，若，的延长线交边于点，连接，．当的周长最小时，________． 34．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）如图，在矩形中，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，当的最小值为时，则　　　　　　　　　． 考点02 中心对称及其性质 1．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（   ） A. 点A与点是对称点 B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　     　，　     　）中心对称． 3．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度） （1）将平移，使点移动到点，请画出； （2）作出关于点成中心对称的，并直接写出的坐标； （3）与是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由． 4．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C均为格点，点P为上一点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题． （1）在图（1）中，作线段关于点C中心对称的线段（点A′与点A对应），并在上作一点Q，使得直线平分四边形的面积； （2）在图（2）中，作格点M，使得，再在上作一点N，使得． 考点03 中心对称图形 1．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A.      B.      C.      D.      3．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）下列四个图形中，为中心对称图形的是(     ) A.      B.      C.      D.      5．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）“嫦娥”奔月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“天和”遨游星辰……在浩瀚的宇宙中谱写着中华民族飞天梦想的乐章，下列航天图标（不考虑字符与颜色）为中心对称图形的是（            ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）下列以数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.  笛卡尔心形线 B.  赵爽弦图 C.  莱洛三角形 D.  科克曲线 9．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      11．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）通过学习多种学科，我们可以接触到不同学科的理论和方法，从而拓宽视野，增强对世界的理解和认识．下面是几个学科的图标，其中是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，， （1）请画出关于原点对称的； （2）请图出绕点逆时针旋转90°后的． 13．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的边长为2，的三个顶点分别是，，． （1）把向左平移8个单位后得到对应的，请画出平移后的； （2）把绕原点旋转后得到对应的，请画出旋转后的； （3）观察图形可知，与关于点（          ，          ）中心对称． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点O对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 4．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 6．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 7．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）已知点与点关于原点对称，则m＋n的值为　　　　　　． 8．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）已知点和关于原点对称，则的值是　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 旋转 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．C 2．B 3．C 4．D 5．B 6．D 7．B 8．B 9．C 10．A 11．【答案】（1） 证明：∵在平面内绕点A按顺时针方向旋转得到． ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质， 正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合旋转得，故，，运用等边三角形的性质得，即，证明为等边三角形； （2）根据，得，因为为等边三角形，得，结合，得，在中，运用勾股定理列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵在平面内绕点A按顺时针方向旋转得到． ∴， ∴， ∵，为等边三角形； ∴， ∵， ∴， 在中，． 12．【答案】是等腰直角三角形．理由如下： ∵ 绕点顺时针旋转后与重合， ∴ ，， ∴ 是等腰直角三角形． 【分析】 本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质（对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 根据旋转的性质，得出对应边相等、对应角相等，再结合旋转角为90°，判断的边和角的关系． 【详解】 略 13．【答案】（1）点，90°     （2） 是等腰直角三角形，理由如下： 四边形是正方形， ， 绕点逆时针旋转后能与重合， ，， 是等腰直角三角形．      【分析】 本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质以及等腰直角三角形的判定定理． （1）因为经逆时针旋转后能与重合，根据旋转的性质，旋转中心是两个三角形的公共点，旋转角度最小为90°； （2）因为四边形是正方形，所以，根据旋转的性质，可得，，从而得到是等腰直角三角形． (1) 小问详解： 经逆时针旋转后能与重合， 旋转中心是点，旋转角度最小为90°， 故答案为：点，90°； (2) 小问详解： 略 14．【答案】（1），； （2）如图②，连接， ， ，即， 和是等腰直角三角形， ，，， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； （3）或 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用以上知识； （1）根据等腰三角形的性质，证明即可； （2）连接，先证，再根据勾股定理求解即可； （3）分两种情况讨论，当点N在线段上时，当点M在线段上时，再根据全等三角形的性质和判定，勾股定理求解即可． 【详解】 解：（1），，理由如下： 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，； （2）略 （3）①如下左图，当点N在线段上时，连接，过点O作于H， ， ， ， 和是等腰直角三角形， ，，， ， ，， ，是等腰直角三角形， ， 在中，， ； ②如下右图，当点M在线段上时，连接，过点O作于H， 同理可得，， ， 综上所述：的长为或． 15．【答案】 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．根据旋转的性质可得，可得，再由含30度角的直角三角形的性质，可得，再由勾股定理，可得，即可求解． 【详解】 解：∵将绕直角顶点C顺时针旋转，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．【答案】 【分析】 作于，证得到由得到再通过勾股定理求出的长． 【详解】 解：作于，如图所示： 正方形中， 在和中， 在中，设则 由即 或（舍去）， ． 【点睛】 本题考查求线段长，涉及正方形的性质、两个三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何概念、判定与性质是解决问题的关键． 17．【答案】（1） 如图：即为所求．      （2） 如图：即为所求．      【分析】 本题主要考查了作图—平移变换、旋转变换等知识点，熟悉平移和旋转作图的方法是解题的关键． （1）先将的三个顶点A，B，C分别向右平移4个单位长度得到再顺次连接即可； （2）把的顶点两点以点为中心逆时针旋转得到，然后连接再连接即可解答． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：略． 18．【答案】 【分析】 连接交于，由菱形的性质得出，，，由直角三角形的性质求出，，得出，由旋转的性质得：，得出，证出，由直角三角形的性质得出，，即可得出结果． 【详解】 解：连接交于，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∴； 故答案为． 【点睛】 考核知识点：菱形性质，旋转性质.解直角三角形是关键. 19．【答案】（1） 如图所示，线段、线段即为所求；      （2） 如图所示： 【分析】 本题主要考查了用无刻度的直尺作图，矩形的性质，旋转作图，全等三角形的性质和判定， （1）由点的平移，将线段的端点向上平移2个单位长度得到，用无刻度的直尺连接，即可得到线段；用无刻度的直尺连接及，再根据是矩形的对角线绕点顺时针旋转，得到与矩形的对角线垂直，从而确定；同理可得到，用无刻度的直尺连接即可得到线段； （2）连接，并延长找到格点，作矩形的对角线，交于点F，作直线，交于点H，则点F，H即为所求作.由，可证明，则. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 20．【答案】 【分析】 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理．根据等腰直角三角形的性质证明可得，确定，再根据当点A，B，D共线时，最大，即最大，然后作出图形，根据勾股定理可得答案． 【详解】 解：， ，即， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 在中，由三角形三边关系可得，则当三点共线，即点在上时，最大，如图所示： ， 最大值为， 过点作于，如图所示： 由等腰三角形“三线合一”得， ， ∴BC， 故答案为：． 21．【答案】（1） 解：如图；      （2） 解：如图      （3）      【分析】 本题主要考查了作关于原点对称的图形，旋转作图，确定旋转中心， （1）根据旋转画出图形即可； （2）根据旋转画出图形即可； （3）根据旋转中旋转中心点到对应点的距离相等的性质，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图； 是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为． 22．【答案】平方厘米 【分析】 本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质与判定、勾股定理、求三角形的面积．关键是掌握等边三角形的判定定理．根据旋转的变换性质得到，由于，得出为等边三角形；由勾股定理得出后，求出． 【详解】 解：如图， 由旋转变换的性质可知，， ， 根据“等腰三角形中，一个角是，那么这个三角形是等边三角形”可知， 为等边三角形，作的高，； ，， 由勾股定理得，， 等边三角形， 故答案为：． 23．【答案】 【分析】 本题考查了旋转的性质、等边对等角、外角的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．利用旋转的性质、等边对等角、外角的性质得出，即可求解． 【详解】 解：将绕点顺时针旋转得到， ，，， 由可得， ， ， ， ， ． 24．【答案】（1）的度数为； （2）解：，，之间的数量关系为，理由如下： 由旋转可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）的长度为，的长度为． 【分析】 （1）根据高与正方形的边长相等，证明三角形全等，可得角相等，从而可得的度数； （2）由旋转的性质，可得，，，结合已知，可证明，对应边相等，根据勾股定理，可得，等量代换，即可得，，之间的数量关系； （3）设正方形的边长为，，则，，，根据勾股定理可得，由三角形全等可得对应边相等，等量代换，结合线段之间的数量关系，列方程求解，即可得，的长度． 【详解】 （1）解：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）略 （3）解：设正方形的边长为，则， ∵，， ∴，， 在中，， 由（1）得，， ∴，， ∴， 解得， ∴， 如图，令与交于点，与交于点， 设， 在中，， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， 解得， ∴， ∴的长度为，的长度为． 【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质． 25．【答案】证明：如下图所示， 是等边三角形， ，， ， 由旋转可知， ，， ， ， 在和中， ， ． 【分析】 本题考查了等边三角形的性质、图形的旋转、全等三角形的判定，根据等边三角形的性质可知，，由旋转的性质可知，，可证，利用可证结论成立． 【详解】 略 26．【答案】 【分析】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握旋转的性质是关键． 由旋转性质得，从而有，，则有，由平分，，设， 则可表示，由三角形内角和建立方程即可求解． 【详解】 解：由旋转图形的性质知：， ∴，． ． 又平分， ， 设， 则， ∵， ∴， 解得：， ． 27．【答案】或或 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，旋转的性质，三角形内角和，连接，根据直角三角形得到，，，再由旋转得到，，即可求出，，，再表示出的三个内角，最后根据恰为等腰三角形，得到的三个内角中有两个角相等，据此列方程求解即可． 【详解】 解：连接， ∵在中，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∵将在平面内绕点D逆时针方向旋转α得到， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，， 即的三个内角分别为，，， ∵恰为等腰三角形， ∴的三个内角中有两个角相等， ∴当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 28．【答案】（1） 证明： ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又， ∴；     （2） ① 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴ 又， ∴是等边三角形． ∴． 又F为的中点， ∴ ∵， ∴． ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②      【分析】 （1）根据等边三角形的性质证明即可； （2）① 先得到是等边三角形，则，由三线合一得到，则，由 可得，则，然后在中运用内角和定理求解即可； ② 先在含的中，求出，，然后在中，由勾股定理求得，则由全等得到，最后对运用勾股定理求解． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： ① 略； ② 解：∵， ∴ ∴在中， ， ∴．· ∴在中，， ． ∵， ∴ ∵是等边三角形， ∴． ∴在中，． 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 29．【答案】（1） 证明：如图，连接， 根据题意可知， ， 又， ， 在和中， ， ．     （2）四边形是矩形， 理由：如图，连接， 由（1）可知， ， 由题意可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形．     （3）7      【分析】 （1）连接，通过题目中的条件证和全等，即可得到线段相等． （2）连接，通过角度转化，先证，结合，证四边形是平行四边形，找到之间等量的关系，结合，证四边形是平行四边形，最后再根据证矩形． （3）延长和交于点F，先证四边形是平行四边形，得到的长度，再证求出的长度，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图，延长和交于点F，和交于点E， 由题意可知， ， H是的中点， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的判定，直角三角形斜边上的中线等知识点，掌握相应的知识并熟练添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 30．【答案】（1） ， 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴；     （2） 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分．     （3）      【分析】 （1）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得； （2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，从而求得，即可得出结论； （3）由旋转可得，，则是等边三角形，所以，由（1）知，证明，可得，进而勾股定理求得，的长，即可得出，再在中，用勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 略； (3) 小问详解： 解：连接，延长交于点，如图， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴点在的垂直平分线上 又∵ ∴ ∴， 在中， ∴ ∴ 在中，． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 31．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由旋转性质得到，，，再由等腰直角三角形的判定与性质得到，进而等量代换得到，从而得到，最后在中，由三角形内角和定理计算即可得到答案； （2）将绕点顺时针旋转得，连接，过点作的延长线于点，如图所示，由旋转性质及四边形内角和得到，从而得到是等腰直角三角形，由勾股定理列方程求解得到，在中，由勾股定理求出，再由旋转性质、等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理列方程求解得到． (1) 小问详解： 解：将绕点逆时针旋转得， ，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴； (2) 小问详解： 解：将绕点顺时针旋转得，连接，过点作的延长线于点，如图所示： ，，，， 在四边形中，，， ∴， ， ， ∴， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴， ， ，即， 解得， ∴， ， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得． 【点睛】 本题考查几何综合，难度较大，涉及旋转性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理、四边形内角和为、邻补角求角度、勾股定理等知识，灵活运用旋转性质构造等腰直角三角形是解决问题的关键． 32．【答案】（1）证明：在和中， ，，， ， ，． 是斜边的中点， ， ， ， ． ， ， ． ；     （2）①； ② 证明： ∵， ， ， ．      【分析】 （1）先证明得到，，根据直角三角形斜边中线性质得到，根据等边对等角证明，进而可证明； （2）① 延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．先证明，得到，，进而，．证明得到，然后利用三角形的中位线性质得到，则，进而证明即可得到结论； ② 根据得到即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点． ，，， ， ，， ， ， ， ， ． ， ． 在和中， ，，， ， ． 是中点，是中点， 是中位线， ． ， ， ． ， ． 故答案为：； ② 略 33．【答案】（1）① 6；②     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理； （1）① 由等边三角形和旋转证明，得到，再证明，得到，根据直角三角形和勾股定理得到，解方程即可； ② 先证明，得到，，再证明，得到，即可证明是等边三角形，得到，取中点，连接，则是中位线，利用勾股定理求出，即可得到； （2）取中点，中点，连接，，，，过作于，先证明，得到，，则、、三点共线，即点运动轨迹在直线上，再证明，得到，即可得到是直角三角形， 设，则，，，的周长，当与重合时，最小，此时的周长最小，求出即可． (1) 小问详解： 解：① ∵等边中，，， ∴，，，，， ∵当点与点重合时，将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得（负值舍去）， 故答案为：； ② ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，分别为，的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 取中点，连接，则是中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， (2) 小问详解： 解：取中点，中点，连接，，，，过作于，则，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是中位线， ∴， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、、三点共线，即点运动轨迹在直线上， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∴的周长， ∵， ∴， ∴当与重合时，最小，此时的周长最小， 此时，， ∴当的周长最小时，． 故答案为：． 34．【答案】10 【分析】 本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质等，过点作于，的延长线交于点N，过点E作于H，可证四边形是矩形，得到，进而证明，得到，，即可知点在边上移动时，点G在射线上移动，又可证明四边形是矩形，得到，，作点A关于的对称点Q，连接，交于点G，可得，可知此时的值最小，最小值为线段的长，即为，再根据勾股定理列出关于a的方程即可求解． 【详解】 解：如图，过点作于，的延长线交于点N，过点E作于H， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由旋转可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F在边上移动时，点G在射线上移动， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 如图，作点A关于的对称点Q，连接，交于点G， ∴，， ∴， 由两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值为线段的长，即为， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：10． 考点02 中心对称及其性质 1．D 2．【答案】（1）A1B1C1即为所求； （2）A2B2C2即为所求；    （3）﹣2，0． 【分析】 （1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1； （2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2； （3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点成中心对称． 故答案为：﹣2，0． 【点睛】 本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的关键． 3．【答案】（1） 如图，△为所作；      （2） 如图，△为所作． ；     （3）与成中心对称，对称中心的坐标为      【分析】 本题考查作图平移变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，中心对称变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出，的对应点，即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）根据中心对称的性质求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接，，， 根据与的顶点坐标的特点可得，，，交于点， ∵点和点关于点，点和点关于点，点和点关于点， ∴与成中心对称，对称中心的坐标为． 4．【答案】（1） 如图（1）中，线段，直线即为所求；      （2）如图（2）中，线段，点即为所求．      【分析】 本题考查作图-旋转变换，平行线的判定，等腰直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）延长至，使，延长至，使，连接，则四边形为平行四边形，作直线交于点Q，则直线平分四边形的面积； （2）绕点逆时针旋转得到，则为等腰直角三角形，即可得到；由横五竖一，再过横一竖五得到格点J，连接，则，垂直平分，得到关于直线对称；设与交于点，连接，延长交于点，连接交于点，根据对称可得，得，则，线段即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点03 中心对称图形 1．D 2．A 3．D 4．B 5．D 6．D 7．D 8．D 9．D 10．D 11．D 12．【答案】（1）如下图： 为所求三角形， （2）如下图：为所求三角形． 【分析】 （1）利用方格纸的特点及中心对称的性质，分别作出点A、B、C关于坐标原点对称的点、、，再顺次连接即可得出所求的，根据关于坐标原点对称的点，其横坐标互为相反数、纵坐标也互为相反数即可得出、、的坐标； （2）利用方格纸的特点及旋转的性质，分别作出点A、C绕点B逆时针旋转90°后的对应点、，再顺次连接即可． 【详解】 解：（1）的坐标为（-2，-4）、的坐标为（-1，-1）、的坐标为（-4，-3）； （2）略 【点睛】此题主要考查关于原点对称的坐标特征、旋转作图，熟练掌握中点对称和旋转对称的性质是解题关键． 13．【答案】（1） 解：如下图，即为所求；      （2） 如图所示，即为所求；     （3），0      【分析】 本题主要考查了平移变换、旋转变换、中心对称图形等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据平移的性质确定点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据旋转的性质确定点的位置，然后顺次连接即可； （3）分别连接与，与，与，它们都相交于同一点，由此可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 观察图形可知，与关于点中心对称． 故答案为：，0． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．C 2．C 3．【答案】 【分析】 根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：根据关于原点对称的点的坐标规律，可得点关于原点对称的点的坐标为． 4．【答案】 【分析】 本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】 解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 5．【答案】 【分析】 本题考查坐标与中心对称，根据点关于原点对称时，其横坐标和纵坐标均变为相反数，据此进行作答即可． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 6．【答案】（-2，-3） 【分析】 根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】 解：点（2，3）关于原点对称的点的 坐标是（-2，-3）， 故答案为：（-2，-3）． 【点睛】 本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键． 7．【答案】1 【分析】 根据点关于原点对称的点的坐标为进行解答即可． 【详解】 解：点与点关于原点对称， ，， ， 故答案为：1． 【点睛】 本题考查关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点的坐标变换规律是解答的关键． 8．【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数”解答． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 本题考查了直角坐标系中点关于原点对称，解决本题的关键是熟练掌握点关于原点对称的性质． 根据点关于原点对称，则对应坐标互为相反数，再由乘方运算计算即可． 【详解】 解：点和关于原点对称， ，， ，， ． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 旋转 4大高频考点概览 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，将在平面内绕点C旋转到的位置，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由旋转的性质得，，则可得． 【详解】 解：由旋转得，，， ∴． 故选：C． 2．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】 解：如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． 点的坐标为， ，， 点的坐标为． 故选：B． 3．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点在的延长线上，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，，然后根据等边对等角以及三角形的内角和定理可得，最后利用即可得解． 【详解】 解：将绕点顺时针旋转得到， ，，， ， ， 故选：． 4．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝68°，则∠α的大小是（　　） A. 68° B. 20° C. 28° D. 22° 【答案】D 【分析】 根据旋转的性质求得∠B＝∠D'＝90°，根据四边形内角和为360°，进而求得，根据是的余角，即可求得∠α的大小． 【详解】 解：如图： ∵∠1＝68°， ∴∠2＝180°﹣∠1＝112°， ∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置， ∴∠B＝∠D'＝90°， ∴∠3＝360°﹣∠2﹣∠B﹣∠D'＝68°， ∴∠α＝90°﹣∠3＝22°， 故选：D． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 5．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）如图，绕顶点逆时针旋转30°至，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了图形的旋转、三角形内角和定理，根据旋转的性质可知，，根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】 解：绕顶点逆时针旋转至， ，， ， ， 在中，， ． 故选：B． 6．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，三点在同一条直线上，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 根据旋转的性质即可得到，，，［公式］，再根据三角形内角和定理求出［公式］，再根据三角形内角和定理得出，再根据平角的定义求出［公式］，进而可求出． 【详解】 解：∵将绕点C顺时针旋转得到． ∴，，，［公式］， ∴，， ∵在中，， ∴， ∵，，三点在同一条直线上， ∴［公式］ ∴［公式］ 故选D． 7．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，在同一平面内，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，连接BB1，若BB1∥AC1，则∠CAC1的度数是（　　） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，得到∠C1AB1＝∠CAB＝100°，AB1＝AB，∠CAC1＝∠BAB1，根据平行线的性质得到∠C1AB1+AB1B＝180°，然后由等腰三角形的性质，即可得到结论. 【详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置， ∴∠C1AB1＝∠CAB＝100°，AB1＝AB，∠CAC1＝∠BAB1， ∵BB1∥AC1， ∴∠C1AB1+AB1B＝180°， ∴∠AB1B＝80°， ∵AB＝AB1， ∴∠ABB1＝∠AB1B＝80°， ∴∠BAB1＝20°， ∴∠CAC1＝20°， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键. 8．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　) A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】 解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，    设Q(，)，则PM=，QM=， ∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°， ∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′， ∴∠QPM=∠PQ′N， 在△PQM和△Q′PN中， ， ∴△PQM≌△Q′PN(AAS)， ∴PN=QM=，Q′N=PM=， ∴ON=1+PN=， ∴Q′(，)， ∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5， 当m=2时，OQ′2有最小值为5， ∴OQ′的最小值为， 故选：B． 【点睛】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键． 9．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转α得到△A′B′C′．当点B′落在BA的延长线上时，恰好A′B′∥AC，若α=140°，则∠B的度数为（　　） A. 140° B. 30° C. 20° D. 100° 【答案】C 【分析】 本题重点考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后的图形全等，还考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形内角和为等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 先根据旋转的性质得到，，利用等腰三角形等边对等角得到，最后利用三角形内角和算出答案． 【详解】 解：由题意知，绕点顺时针旋转得到，， ∴， 又∵落在的延长线上且， ∴， ∴， 故选：C． 10．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）如图，平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上一个动点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，则线段的最小值是（     ） A.  B. 12 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了坐标与图形变换−旋转，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用以及二次函数的性质，表示出点Q的坐标是解题的关键．设，则，证明，由全等三角形的性质可得，，可确定点Q的坐标，然后根据勾股定理得到，即可求得当时，有最小值，即可获得答案． 【详解】 解：∵， ∴， 设，则， 作轴于点，如下图， ∵将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，BQ有最小值，最小值为． 故选：A． 11．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，在等边三角形中，点P在其内部，且，，，将在平面内绕点A按顺时针方向旋转得到．    （1）求证：为等边三角形； （2）求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵在平面内绕点A按顺时针方向旋转得到． ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质， 正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合旋转得，故，，运用等边三角形的性质得，即，证明为等边三角形； （2）根据，得，因为为等边三角形，得，结合，得，在中，运用勾股定理列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵在平面内绕点A按顺时针方向旋转得到． ∴， ∴， ∵，为等边三角形； ∴， ∵， ∴， 在中，． 12．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）如图，四边形是正方形，绕点顺时针方向旋转后与重合，连接．试判断是什么三角形？并说明你的理由． 【答案】是等腰直角三角形．理由如下： ∵ 绕点顺时针旋转后与重合， ∴ ，， ∴ 是等腰直角三角形． 【分析】 本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质（对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 根据旋转的性质，得出对应边相等、对应角相等，再结合旋转角为90°，判断的边和角的关系． 【详解】 略 13．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，点为正方形内一点，经逆时针旋转后能与重合． （1）旋转中心是___________，旋转角度最小为___________； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）点，90°     （2） 是等腰直角三角形，理由如下： 四边形是正方形， ， 绕点逆时针旋转后能与重合， ，， 是等腰直角三角形．      【分析】 本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质以及等腰直角三角形的判定定理． （1）因为经逆时针旋转后能与重合，根据旋转的性质，旋转中心是两个三角形的公共点，旋转角度最小为90°； （2）因为四边形是正方形，所以，根据旋转的性质，可得，，从而得到是等腰直角三角形． (1) 小问详解： 经逆时针旋转后能与重合， 旋转中心是点，旋转角度最小为90°， 故答案为：点，90°； (2) 小问详解： 略 14．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）【问题情景】综合与实践课上，陈老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动． 【实践操作】陈老师让同学们先画出两个等腰直角和，，将绕点O旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决． （1）如图①，“慎思组”的同学们连接，，则与有何数量关系？与有何数量关系？请你探究后直接写出结论； （2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们认为，当点N恰好在边上时，若，，就可以求出的长，请你写出求解过程； 【类比探究】 （3）“智慧组”的同学们认为，当点A，M，N在同一条直线上时，，，之间一定存在某种数量关系，若，，请你探究后直接写出的长． 【答案】（1），； （2）如图②，连接， ， ，即， 和是等腰直角三角形， ，，， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； （3）或 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用以上知识； （1）根据等腰三角形的性质，证明即可； （2）连接，先证，再根据勾股定理求解即可； （3）分两种情况讨论，当点N在线段上时，当点M在线段上时，再根据全等三角形的性质和判定，勾股定理求解即可． 【详解】 解：（1），，理由如下： 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，； （2）略 （3）①如下左图，当点N在线段上时，连接，过点O作于H， ， ， ， 和是等腰直角三角形， ，，， ， ，， ，是等腰直角三角形， ， 在中，， ； ②如下右图，当点M在线段上时，连接，过点O作于H， 同理可得，， ， 综上所述：的长为或． 15．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的长度为　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．根据旋转的性质可得，可得，再由含30度角的直角三角形的性质，可得，再由勾股定理，可得，即可求解． 【详解】 解：∵将绕直角顶点C顺时针旋转，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）如图，正方形的边长为，将边 绕点 顺时针旋转至，连接， ， 若， 则线段的长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 作于，证得到由得到再通过勾股定理求出的长． 【详解】 解：作于，如图所示： 正方形中， 在和中， 在中，设则 由即 或（舍去）， ． 【点睛】 本题考查求线段长，涉及正方形的性质、两个三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何概念、判定与性质是解决问题的关键． 17．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度， 的顶点都在格点上． （1）将．向右平移4个单位长度，点A，B，C的对应点分别为 画出平移后的 （2）将 绕点逆时针旋转，点的对应点分别为画出旋转后的 【答案】（1） 如图：即为所求．      （2） 如图：即为所求．      【分析】 本题主要考查了作图—平移变换、旋转变换等知识点，熟悉平移和旋转作图的方法是解题的关键． （1）先将的三个顶点A，B，C分别向右平移4个单位长度得到再顺次连接即可； （2）把的顶点两点以点为中心逆时针旋转得到，然后连接再连接即可解答． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：略． 18．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）如图，在菱形中，，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，则的长是　　　　　． 【答案】 【分析】 连接交于，由菱形的性质得出，，，由直角三角形的性质求出，，得出，由旋转的性质得：，得出，证出，由直角三角形的性质得出，，即可得出结果． 【详解】 解：连接交于，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∴； 故答案为． 【点睛】 考核知识点：菱形性质，旋转性质.解直角三角形是关键. 19．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点，，都是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． （1）在图1中，将线段向上平移2个单位长度，点对应点，点对应点，画出平移后的线段，再将线段绕点顺时针旋转，画出对应线段； （2）在图2中，点是格点上一点，先作点关于点对称的点，再过点作直线分别交，于点，，使得． 【答案】（1） 如图所示，线段、线段即为所求；      （2） 如图所示： 【分析】 本题主要考查了用无刻度的直尺作图，矩形的性质，旋转作图，全等三角形的性质和判定， （1）由点的平移，将线段的端点向上平移2个单位长度得到，用无刻度的直尺连接，即可得到线段；用无刻度的直尺连接及，再根据是矩形的对角线绕点顺时针旋转，得到与矩形的对角线垂直，从而确定；同理可得到，用无刻度的直尺连接即可得到线段； （2）连接，并延长找到格点，作矩形的对角线，交于点F，作直线，交于点H，则点F，H即为所求作.由，可证明，则. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 20．（25-26学年九上·湖北武汉水果湖第二中学·期中）如图，在中，， ，分别以、为直角边，C为直角顶点向外作等腰和等腰，连接、．在的边变化的过程中，当最大时，的长是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理．根据等腰直角三角形的性质证明可得，确定，再根据当点A，B，D共线时，最大，即最大，然后作出图形，根据勾股定理可得答案． 【详解】 解：， ，即， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 在中，由三角形三边关系可得，则当三点共线，即点在上时，最大，如图所示： ， 最大值为， 过点作于，如图所示： 由等腰三角形“三线合一”得， ， ∴BC， 故答案为：． 21．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O对称的； （2）将绕点E顺时针旋转90°得到，画出； （3）若是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为          ． 【答案】（1） 解：如图；      （2） 解：如图      （3）      【分析】 本题主要考查了作关于原点对称的图形，旋转作图，确定旋转中心， （1）根据旋转画出图形即可； （2）根据旋转画出图形即可； （3）根据旋转中旋转中心点到对应点的距离相等的性质，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图； 是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为． 22．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）已知线段，将线段以点为旋转中心，顺时针旋转得到线段，连接点、点，则的面积　　　　　　． 【答案】平方厘米 【分析】 本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质与判定、勾股定理、求三角形的面积．关键是掌握等边三角形的判定定理．根据旋转的变换性质得到，由于，得出为等边三角形；由勾股定理得出后，求出． 【详解】 解：如图， 由旋转变换的性质可知，， ， 根据“等腰三角形中，一个角是，那么这个三角形是等边三角形”可知， 为等边三角形，作的高，； ，， 由勾股定理得，， 等边三角形， 故答案为：． 23．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点在上，且 ．若，求 的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了旋转的性质、等边对等角、外角的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．利用旋转的性质、等边对等角、外角的性质得出，即可求解． 【详解】 解：将绕点顺时针旋转得到， ，，， 由可得， ， ， ， ， ． 24．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）（1）如图，在正方形中，的顶点，分别在，上，高与正方形的边长相等，求的度数． （2）如图，在中，，，点，是边上的任意两点，且，将绕点逆时针旋转至位置，连接，试判断，，之间的数量关系，并说明理由． （3）在图中，连接分别交，于点，，若，，，求，的长度． 【答案】（1）的度数为； （2）解：，，之间的数量关系为，理由如下： 由旋转可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）的长度为，的长度为． 【分析】 （1）根据高与正方形的边长相等，证明三角形全等，可得角相等，从而可得的度数； （2）由旋转的性质，可得，，，结合已知，可证明，对应边相等，根据勾股定理，可得，等量代换，即可得，，之间的数量关系； （3）设正方形的边长为，，则，，，根据勾股定理可得，由三角形全等可得对应边相等，等量代换，结合线段之间的数量关系，列方程求解，即可得，的长度． 【详解】 （1）解：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）略 （3）解：设正方形的边长为，则， ∵，， ∴，， 在中，， 由（1）得，， ∴，， ∴， 解得， ∴， 如图，令与交于点，与交于点， 设， 在中，， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， 解得， ∴， ∴的长度为，的长度为． 【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质． 25．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）已知，点是等边三角形内一点，线段绕点逆时针旋转到，连接，．求证：． 【答案】证明：如下图所示， 是等边三角形， ，， ， 由旋转可知， ，， ， ， 在和中， ， ． 【分析】 本题考查了等边三角形的性质、图形的旋转、全等三角形的判定，根据等边三角形的性质可知，，由旋转的性质可知，，可证，利用可证结论成立． 【详解】 略 26．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到．点的对应点为点，恰好落在上，平分，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握旋转的性质是关键． 由旋转性质得，从而有，，则有，由平分，，设， 则可表示，由三角形内角和建立方程即可求解． 【详解】 解：由旋转图形的性质知：， ∴，． ． 又平分， ， 设， 则， ∵， ∴， 解得：， ． 27．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）在中，，，点D是的中点，将在平面内绕点D逆时针方向旋转α得到，当恰为等腰三角形时，α的值为　　　　　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，旋转的性质，三角形内角和，连接，根据直角三角形得到，，，再由旋转得到，，即可求出，，，再表示出的三个内角，最后根据恰为等腰三角形，得到的三个内角中有两个角相等，据此列方程求解即可． 【详解】 解：连接， ∵在中，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∵将在平面内绕点D逆时针方向旋转α得到， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，， 即的三个内角分别为，，， ∵恰为等腰三角形， ∴的三个内角中有两个角相等， ∴当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 28．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）如图1， 是等边三角形，点 D，E分别在上，且，连接．将 绕点A 逆时针旋转某个角度(旋转角小于连接， 如图2． （1）求证： （2）如图3， 当射线经过的中点F时， 连接． ①求证：； ②若，求的长． 【答案】（1） 证明： ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又， ∴；     （2） ① 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴ 又， ∴是等边三角形． ∴． 又F为的中点， ∴ ∵， ∴． ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②      【分析】 （1）根据等边三角形的性质证明即可； （2）① 先得到是等边三角形，则，由三线合一得到，则，由 可得，则，然后在中运用内角和定理求解即可； ② 先在含的中，求出，，然后在中，由勾股定理求得，则由全等得到，最后对运用勾股定理求解． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： ① 略； ② 解：∵， ∴ ∴在中， ， ∴．· ∴在中，， ． ∵， ∴ ∵是等边三角形， ∴． ∴在中，． 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 29．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）如图1， 在 中，， 将绕点O顺时针旋转某个角度(旋转角小于90°)， 得到，，与交于点P． （1）求证：； （2）如图2，若点C恰好在上，连接．试探究四边形的形状，并说明理由； （3）如图3，点H为的中点， 连接．若点C恰好在上，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 根据题意可知， ， 又， ， 在和中， ， ．     （2）四边形是矩形， 理由：如图，连接， 由（1）可知， ， 由题意可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形．     （3）7      【分析】 （1）连接，通过题目中的条件证和全等，即可得到线段相等． （2）连接，通过角度转化，先证，结合，证四边形是平行四边形，找到之间等量的关系，结合，证四边形是平行四边形，最后再根据证矩形． （3）延长和交于点F，先证四边形是平行四边形，得到的长度，再证求出的长度，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图，延长和交于点F，和交于点E， 由题意可知， ， H是的中点， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的判定，直角三角形斜边上的中线等知识点，掌握相应的知识并熟练添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 30．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点为等边的边上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若、、三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是边长为的等边三角形，点为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，且，求的长． 【答案】（1） ， 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴；     （2） 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分．     （3）      【分析】 （1）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得； （2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，从而求得，即可得出结论； （3）由旋转可得，，则是等边三角形，所以，由（1）知，证明，可得，进而勾股定理求得，的长，即可得出，再在中，用勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 略； (3) 小问详解： 解：连接，延长交于点，如图， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴点在的垂直平分线上 又∵ ∴ ∴， 在中， ∴ ∴ 在中，． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 31．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）如图，在四边形中，，，． （1）将绕点逆时针旋转得，求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由旋转性质得到，，，再由等腰直角三角形的判定与性质得到，进而等量代换得到，从而得到，最后在中，由三角形内角和定理计算即可得到答案； （2）将绕点顺时针旋转得，连接，过点作的延长线于点，如图所示，由旋转性质及四边形内角和得到，从而得到是等腰直角三角形，由勾股定理列方程求解得到，在中，由勾股定理求出，再由旋转性质、等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理列方程求解得到． (1) 小问详解： 解：将绕点逆时针旋转得， ，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴； (2) 小问详解： 解：将绕点顺时针旋转得，连接，过点作的延长线于点，如图所示： ，，，， 在四边形中，，， ∴， ， ， ∴， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴， ， ，即， 解得， ∴， ， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得． 【点睛】 本题考查几何综合，难度较大，涉及旋转性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理、四边形内角和为、邻补角求角度、勾股定理等知识，灵活运用旋转性质构造等腰直角三角形是解决问题的关键． 32．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． （1）求证：，； （2）将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 【答案】（1）证明：在和中， ，，， ， ，． 是斜边的中点， ， ， ， ． ， ， ． ；     （2）①； ② 证明： ∵， ， ， ．      【分析】 （1）先证明得到，，根据直角三角形斜边中线性质得到，根据等边对等角证明，进而可证明； （2）① 延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．先证明，得到，，进而，．证明得到，然后利用三角形的中位线性质得到，则，进而证明即可得到结论； ② 根据得到即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点． ，，， ， ，， ， ， ， ， ． ， ． 在和中， ，，， ， ． 是中点，是中点， 是中位线， ． ， ， ． ， ． 故答案为：； ② 略 33．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）在等边中，，于，点为边上一点，点为线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）当点与点重合时， ①如图1，连接，若的延长线过点，连接，则线段________； ②如图2，若，连接，，，，分别为，的中点，连接，和，求线段的长； （2）如图3，点不与点，重合，若，的延长线交边于点，连接，．当的周长最小时，________． 【答案】（1）① 6；②     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理； （1）① 由等边三角形和旋转证明，得到，再证明，得到，根据直角三角形和勾股定理得到，解方程即可； ② 先证明，得到，，再证明，得到，即可证明是等边三角形，得到，取中点，连接，则是中位线，利用勾股定理求出，即可得到； （2）取中点，中点，连接，，，，过作于，先证明，得到，，则、、三点共线，即点运动轨迹在直线上，再证明，得到，即可得到是直角三角形， 设，则，，，的周长，当与重合时，最小，此时的周长最小，求出即可． (1) 小问详解： 解：① ∵等边中，，， ∴，，，，， ∵当点与点重合时，将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得（负值舍去）， 故答案为：； ② ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，分别为，的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 取中点，连接，则是中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， (2) 小问详解： 解：取中点，中点，连接，，，，过作于，则，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是中位线， ∴， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、、三点共线，即点运动轨迹在直线上， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∴的周长， ∵， ∴， ∴当与重合时，最小，此时的周长最小， 此时，， ∴当的周长最小时，． 故答案为：． 34．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）如图，在矩形中，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，当的最小值为时，则　　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质等，过点作于，的延长线交于点N，过点E作于H，可证四边形是矩形，得到，进而证明，得到，，即可知点在边上移动时，点G在射线上移动，又可证明四边形是矩形，得到，，作点A关于的对称点Q，连接，交于点G，可得，可知此时的值最小，最小值为线段的长，即为，再根据勾股定理列出关于a的方程即可求解． 【详解】 解：如图，过点作于，的延长线交于点N，过点E作于H， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由旋转可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F在边上移动时，点G在射线上移动， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 如图，作点A关于的对称点Q，连接，交于点G， ∴，， ∴， 由两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值为线段的长，即为， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：10． 考点02 中心对称及其性质 1．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（   ） A. 点A与点是对称点 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键． 【详解】 解：A．∵与关于点O成中心对称， 点A与是一组对称点，故A正确，不符合题意； B．∵对应点到对称中心的距离相等， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵与是对应线段， ∴，故C正确，不符合题意； D．与不是对应角， ∴不成立，故D符合题意． 故选：D． 2．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　     　，　     　）中心对称． 【答案】（1）A1B1C1即为所求； （2）A2B2C2即为所求；    （3）﹣2，0． 【分析】 （1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1； （2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2； （3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点成中心对称． 故答案为：﹣2，0． 【点睛】 本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的关键． 3．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度） （1）将平移，使点移动到点，请画出； （2）作出关于点成中心对称的，并直接写出的坐标； （3）与是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） 如图，△为所作；      （2） 如图，△为所作． ；     （3）与成中心对称，对称中心的坐标为      【分析】 本题考查作图平移变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，中心对称变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出，的对应点，即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）根据中心对称的性质求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接，，， 根据与的顶点坐标的特点可得，，，交于点， ∵点和点关于点，点和点关于点，点和点关于点， ∴与成中心对称，对称中心的坐标为． 4．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C均为格点，点P为上一点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题． （1）在图（1）中，作线段关于点C中心对称的线段（点A′与点A对应），并在上作一点Q，使得直线平分四边形的面积； （2）在图（2）中，作格点M，使得，再在上作一点N，使得． 【答案】（1） 如图（1）中，线段，直线即为所求；      （2）如图（2）中，线段，点即为所求．      【分析】 本题考查作图-旋转变换，平行线的判定，等腰直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）延长至，使，延长至，使，连接，则四边形为平行四边形，作直线交于点Q，则直线平分四边形的面积； （2）绕点逆时针旋转得到，则为等腰直角三角形，即可得到；由横五竖一，再过横一竖五得到格点J，连接，则，垂直平分，得到关于直线对称；设与交于点，连接，延长交于点，连接交于点，根据对称可得，得，则，线段即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点03 中心对称图形 1．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】 解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项符合题意； D．既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项合题意． 故选：D． 【点睛】 本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键． 2．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 根据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】 解：A、是中心对称图形，故符合要求； B、不是中心对称图形，故不符合要求； C、不是中心对称图形，故不符合要求； D、不是中心对称图形，故不符合要求； 故选：A． 【点睛】 本题考查了中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 3．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 4．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）下列四个图形中，为中心对称图形的是(     ) A.      B.      C.      D.      【答案】B 【分析】 根据中心对称图形的定义：一个图形绕某一点旋转后与原来的图形重合；由此问题可求解． 【详解】 选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 5．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 6．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）“嫦娥”奔月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“天和”遨游星辰……在浩瀚的宇宙中谱写着中华民族飞天梦想的乐章，下列航天图标（不考虑字符与颜色）为中心对称图形的是（            ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了中心对称图形的概念，解决此题的关键是正确理解中心对称图形的概念；根据中心对称图形的概念：把一个图形绕着某一个点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，对各选项分析判断即可得解． 【详解】 解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 7．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知二者的定义是解题的关键； 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】 解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，不符合题意，故此选项错误； B、既是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误； C、既是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误； D、是轴对称图形但不是中心对称图形，符合题意，故此选项正确； 故选：D． 8．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）下列以数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.  笛卡尔心形线 B.  赵爽弦图 C.  莱洛三角形 D.  科克曲线 【答案】D 【分析】 本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】 解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 9．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据中心对称图形：将图形沿某点旋转得到的图形与原图形重合的图形叫中心对称图形；轴对称图形：将图形沿某条直线折叠两边完全重合的图形叫轴对称图形逐个判断即可得到答案． 【详解】 解：由题意可得， A选项图形不是中心对称图形，故不符合题意， B选项图形不是轴对称图形，故不符合题意， C选项图形不是轴对称图形，故不符合题意， D即是中心对称图形也是轴对称图形，符合题意， 故选D． 【点睛】 本题考查中心对称图形：将图形沿某点旋转得到的图形与原图形重合的图形叫中心对称图形；轴对称图形：将图形沿某条直线折叠两边完全重合的图形叫轴对称图形． 10．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】 解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 11．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）通过学习多种学科，我们可以接触到不同学科的理论和方法，从而拓宽视野，增强对世界的理解和认识．下面是几个学科的图标，其中是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】 解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 12．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，， （1）请画出关于原点对称的； （2）请图出绕点逆时针旋转90°后的． 【答案】（1）如下图： 为所求三角形， （2）如下图：为所求三角形． 【分析】 （1）利用方格纸的特点及中心对称的性质，分别作出点A、B、C关于坐标原点对称的点、、，再顺次连接即可得出所求的，根据关于坐标原点对称的点，其横坐标互为相反数、纵坐标也互为相反数即可得出、、的坐标； （2）利用方格纸的特点及旋转的性质，分别作出点A、C绕点B逆时针旋转90°后的对应点、，再顺次连接即可． 【详解】 解：（1）的坐标为（-2，-4）、的坐标为（-1，-1）、的坐标为（-4，-3）； （2）略 【点睛】此题主要考查关于原点对称的坐标特征、旋转作图，熟练掌握中点对称和旋转对称的性质是解题关键． 13．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的边长为2，的三个顶点分别是，，． （1）把向左平移8个单位后得到对应的，请画出平移后的； （2）把绕原点旋转后得到对应的，请画出旋转后的； （3）观察图形可知，与关于点（          ，          ）中心对称． 【答案】（1） 解：如下图，即为所求；      （2） 如图所示，即为所求；     （3），0      【分析】 本题主要考查了平移变换、旋转变换、中心对称图形等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据平移的性质确定点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据旋转的性质确定点的位置，然后顺次连接即可； （3）分别连接与，与，与，它们都相交于同一点，由此可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 观察图形可知，与关于点中心对称． 故答案为：，0． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点O对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了关于原点的对称的点的坐标，知道关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解决本题的关键． 关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，据此求解即可． 【详解】 解：∵点关于原点对称， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 故选C． 2．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了平行四边形的性质，关于原点对称的点的坐标特点，掌握这两个知识点是关键；由平行四边形的性质得A、C两点关于原点对称，再由关于原点对称的点的坐标特点即可求得点C的坐标． 【详解】 解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 即A、C两点关于原点对称， ∵， ∴， 故选：C． 3．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：根据关于原点对称的点的坐标规律，可得点关于原点对称的点的坐标为． 4．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】 解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 5．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查坐标与中心对称，根据点关于原点对称时，其横坐标和纵坐标均变为相反数，据此进行作答即可． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 6．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】（-2，-3） 【分析】 根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】 解：点（2，3）关于原点对称的点的 坐标是（-2，-3）， 故答案为：（-2，-3）． 【点睛】 本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键． 7．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）已知点与点关于原点对称，则m＋n的值为　　　　　　． 【答案】1 【分析】 根据点关于原点对称的点的坐标为进行解答即可． 【详解】 解：点与点关于原点对称， ，， ， 故答案为：1． 【点睛】 本题考查关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点的坐标变换规律是解答的关键． 8．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数”解答． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 9．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）已知点和关于原点对称，则的值是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了直角坐标系中点关于原点对称，解决本题的关键是熟练掌握点关于原点对称的性质． 根据点关于原点对称，则对应坐标互为相反数，再由乘方运算计算即可． 【详解】 解：点和关于原点对称， ，， ，， ． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $