2026-2027学年人教版数学八年级上册9月 月考

人教版2024_八上_9月 月考（2026~2027学年） 人教版2024_八上_9月 月考 苏科版（2024）数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2024_八上_9月 月考（2026~2027学年） 人教版2024_八上_9月 月考 苏科版（2024）数学上册 参考答案与解析 1．（3分）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（　　） A．HL B．ASA C．SAS D．SSS 【答案】A 【解答】解： ∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），故选：A． （来源：2024秋•庆阳期末） 2．（3分）如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA 【答案】B 【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，得到∠A′O′B′＝∠AOB．故选：B． （来源：2021•邗江区二模） 3．（3分）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（　　） A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD 【答案】A 【解答】解： ∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°，A．AD＝CB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项符合题意；B．∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理AAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；C．∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项不符合题意；D．AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理SAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；故选：A． （来源：2023•武侯区校级三模） 4．（3分）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　） A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC 【答案】D 【解答】解：条件是AB＝CD，理由是： ∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠CFD＝∠AEB＝90°，在Rt△ABE和Rt△DCF中，， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），故选：D． （来源：2024秋•汝南县期末） 5．（3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（　　） A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．AB∥DE D．AD＝CF 【答案】D 【解答】解： ∵∠B＝∠E＝90°，AB＝DE， ∴当添加AC＝DF或AD＝CF时，根据“HL”可判定Rt△ABC≌Rt△DEF．故选：D． （来源：2021秋•江陵县期末） 6．（3分）如图，在4×4的正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数为（　　） A．300° B．315° C．320° D．325° 【答案】B 【解答】解：由图可知，∠1所在的三角形与∠7所在的三角形全等， ∴∠1+∠7＝90°．同理得，∠2+∠6＝90°，∠3+∠5＝90°．又∠4＝45°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝315°．故选：B． （来源：2024春•福田区期中） 7．（3分）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：① ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， ∵在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，本选项正确；② ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ABD+∠DBC＝45°， ∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；③ ∵∠ABD+∠DBC＝45°， ∴∠ACE+∠DBC＝45°， ∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，则BD⊥CE，本选项正确；④ ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确，故选：D． （来源：2025•河北模拟） 8．（3分）在直角△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，G为重心，到斜边AB的距离为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【解答】解：设CD是Rt△ABC的斜边上的中线，三角形的重心G在线段CD上，过点G作GE⊥AB于点E，过点C作CE⊥AB于点F， ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB==10，如图，CD是Rt△ABC的斜边上的中线， ∴三角形的重心G在线段CD上， ∴DG=CD， ∵GE∥CF， ∴EG=FC， ∵FC×AB＝AC×BC， ∴FC=， ∴GE=×=，即△ABC的重心到斜边AB的距离为：．故选：A． （来源：1997•台北市） 9．（3分）如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，BE＝DF．若要用“HL”判定Rt△ABF≌Rt△CDE，则需要添加的条件为 ． 【答案】AF＝CE 【解答】解： ∵BE＝DF， ∴BE+BD＝FD+BD， ∴DE＝BF， ∵AB⊥EF，CD⊥EF， ∴∠ABF＝∠CDE＝90°，在Rt△ABF和Rt△CDE中，， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）， ∴需要添加的条件为AF＝CE，故答案为：AF＝CE． （来源：2024秋•大连月考） 10．（3分）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需补充条件 ，就可以根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF． 【答案】AB＝DE 【解答】解：补充条件：AB＝DE．在Rt△ABC和Rt△DEF中，， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．故答案为：AB＝DE． （来源：2022秋•泗洪县期中） 11．（3分）如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边、直角边（HL）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充条件： ． 【答案】BC＝FE 【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DFE中，， ∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）．故答案为：BC＝FE． （来源：2025春•武陵区期末） 12．（3分）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，为了使Rt△ABC≌Rt△DCB，需添加的条件是 （不添加字母和辅助线）． 【答案】AB＝DC（答案不唯一） 【解答】解： ∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC， ∴再添加：AB＝DC， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC， ∴再添加：AC＝BD， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC， ∴再添加：∠ABC＝∠DCB， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（AAS）， ∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC， ∴再添加：∠ACB＝∠DBC， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（AAS），故答案为：AB＝DC（答案不唯一）． （来源：2023春•张店区期末） 13．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为 ． 【答案】 【解答】解：如图所示：连接EC，由作图方法可得：MN垂直平分AC，则AE＝EC， ∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D， ∴BD＝DC＝3，AD⊥BC，在Rt△ABD中，AD===4，设DE＝x，则AE＝EC＝4﹣x，在Rt△EDC中，DE2+DC2＝EC2，即x2+32＝（4﹣x）2，解得：x=，故DE的长为．故答案为：． （来源：2021•眉山） 14．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．则CD与BD的数量关系是 ． 【答案】BD＝2CD 【解答】解： ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝90°﹣30°＝60°，由作图可知AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠BAD＝30°， ∴AD＝2CD， ∵∠BAD＝∠B＝30°， ∴AD＝DB， ∴BD＝2CD，故答案为：BD＝2CD． （来源：2021•孝感） 15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝4cm，CE＝3cm，则DE＝ cm． 【答案】7 【解答】解： ∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90° ∴∠BAD+∠EAC＝90°，∠BAD+∠B＝90° ∴∠EAC＝∠B ∵AB＝AC ∴△ABD≌△ACE（AAS） ∴AD＝CE，BD＝AE ∴DE＝AD+AE＝CE+BD＝7（cm）．故填7． （来源：2023秋•九台区期末） 16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 s时，CF＝AB． 【答案】2或5 【解答】解： ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠CBD＝90°， ∵CD为AB边上的高， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD+∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∵∠BCD＝∠ECF， ∴∠ECF＝∠A， ∵过点E作BC的垂线交直线CD于点F， ∴∠CEF＝90°＝∠ACB，在△CEF和△ACB中，， ∴△CEF≌△ACB（AAS）， ∴CE＝AC＝7cm，①如图，当点E在射线BC上移动时，BE＝CE+BC＝7+3＝10（cm）， ∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动， ∴E移动了：=5（s）；②当点E在射线CB上移动时，CE′＝AC﹣BC＝7﹣3＝4（cm）， ∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动， ∴E移动了：=2（s）；综上所述，当点E在射线CB上移动5s或2s时，CF＝AB；故答案为：2或5． （来源：2024秋•信丰县期末） 17．（6分）如图所示，CD＝CA，∠1＝∠2，EC＝BC，求证：△ABC≌△DEC． 【答案】见解析 【解答】证明： ∵∠1＝∠2， ∴∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，， ∴△ABC≌△DEC（SAS）． （来源：2025•天河区校级三模） 18．（6分）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°． （1）求AE的长度； （2）求∠AED的度数． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵△ABC≌△DEB， ∴BE＝BC＝3， ∴AE＝AB﹣BE＝6﹣3＝3； （2） ∵△ABC≌△DEB， ∴∠DBE＝∠C＝55°， ∴∠AED＝∠DBE+∠D＝55°+25°＝80°． （来源：2024•工业园区校级二模） 19．（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E， ∴DE＝DC．在Rt△CDF与Rt△EDB中，， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）， ∴CF＝EB． （2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB， ∴CD＝DE．在Rt△ACD与Rt△AED中，， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，解得x＝2，即CF＝2． （来源：2024秋•厦门期末） 20．（6分）如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE＝BE． 【答案】见解析 【解答】（1）解：如图所示，即为所求， （2）证明： ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠DAE， ∵AB＝AD，AE＝AE， ∴△BAE≌△DAE（SAS）， ∴DE＝BE． （来源：2023•河南） 21．（6分）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）已知：如图，线段a，c，∠α．求作：△ABC，使得BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α． 【答案】见解析 【解答】解：如图：△ABC即为所求． （来源：2023秋•合肥期末） 22．（6分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF， （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°， ∴在Rt△BED和Rt△CFD中，， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD平分∠BAC； （2）解： ∵∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，DE＝DF， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL） ∴AE＝AF， ∵AC＝20，CF＝BE＝4， ∴AE＝AF＝20﹣4＝16， ∴AB＝AE﹣BE＝16﹣4＝12． （来源：2023秋•洛阳期末） 23．（8分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD． （1）求证：△BAD≌△CAE； （2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明． 【答案】见解析 【解答】证明： （1） ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS）． （2）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：由（1）知，△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE； ∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABD+∠DBC＝45°， ∴∠ACE+∠DBC＝45°， ∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，则BD⊥CE． （来源：2023秋•邵阳期末） 24．（8分）在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC． （1）当点C在线段BD上时，①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 ；②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD； （2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）． 【答案】AE＝BF 【解答】解： （1）①如图1， ∵BA＝BC，∠EBD＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°， ∴∠EAD＝∠FBD＝120°， ∵DE＝DF， ∴∠E＝∠F，在△AEC与△BCF中，， ∴△ADE≌△BDF（AAS）， ∴AE＝BF；故答案为：AE＝BF；②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG， ∵∠EBD＝60°，BG＝BD， ∴△GBD是等边三角形．同理，△ABC也是等边三角形． ∴AG＝CD， ∵DE＝DF， ∴∠E＝∠F．又 ∵∠DGB＝∠DBG＝60°， ∴∠DGE＝∠DBF＝120°，在△DGE与△DBF中，， ∴△DGE≌△DBF（AAS）， ∴GE＝BF， ∴AE＝BF+CD； （2）如图3，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD， ∴AE＝EG﹣AG； ∴AE＝BF﹣CD，如图4，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD， ∴AE＝AG﹣EG； ∴AE＝CD﹣BF． （来源：2023秋•武隆区期末） 25．（10分）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，又∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）． ∴∠ACP＝∠BPQ， ∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°． ∴∠CPQ＝90°，即线段PC与线段PQ垂直． （2）存在，理由：①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，则，解得；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，则，解得：；综上所述，存在或，使得△ACP与△BPQ全等． （来源：2023春•鄠邑区期末） 26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（a，0），B（0，b），且a，b满足（a﹣4）2+|b﹣4|＝0，连接AB，∠OBA＝45°． （1）求点A、点B的坐标． （2）动点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接AP，过点P作PM⊥AP，且PM＝PA，点M在第一象限，请用含有t的式子表示点M的坐标． （3）在（2）的条件下，连接MB并延长交x轴于点Q，连接AM，过点B作PM的平行线交x轴于点R，当S△MQA＝28时，求点R的坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵a，b满足（a﹣4）2+|b﹣4|＝0， ∴a﹣4＝0，b﹣4＝0， ∴a＝4，b＝4， ∴A（4，0），B（0，4）； （2）如图所示，过M作MC⊥y轴于点C，则∠PCM＝∠AOP＝90°， ∵PM⊥AP， ∴∠CPM+∠APO＝∠OAP+∠APO＝90°， ∴∠CPM＝∠OAP，在△CPM和△OAP中，， ∴△CPM≌△OAP（AAS）， ∴CM＝OP＝t，CP＝AO＝BO＝4， ∴CB＝OP＝t， ∴CO＝CP+OP＝4+t， ∴M（t，4+t）； （3）如图所示，连接MB并延长交x轴于点Q，连接AM，过点B作PM的平行线交x轴于点R， ∵CB＝CM＝t， ∴△BCM是等腰直角三角形， ∴∠CBM＝∠OPQ＝45°， ∴△BOQ是等腰直角三角形， ∴OQ＝OB＝4，即Q（﹣4，0），又 ∵A（4，0）， ∴AQ＝8，又 ∵M（t，4+t）， ∴S△MQA=×8×（4+t）＝28， ∴t＝3， ∴OP＝3， ∵BR∥PM， ∴∠OBR＝∠CPM，又 ∵∠CPM＝∠OAP， ∴∠OBR＝∠OAP，在△OBR和△OAP中，， ∴△OBR≌△OAP（ASA）， ∴OR＝OP＝3， ∴R（﹣3，0）． （来源：2023春•新会区校级期末） 27．（10分）如图：等边三角形ABC的边长为1，P为AB边上的一个动点（不包括A、B），过P作PQ⊥BC于Q，过Q作QR⊥AC于R，再过R作RS⊥AB于S．设AP＝x，AS＝y． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围； （2）若SP=，求AP的长； （3）若S、P重合点为T，试说明当P、S不重合时，P、S中的哪一个更接近T点？将上述操作，即按逆时针方向，过垂足作相邻边的垂线，若操作不断进行，试依据你的结论，猜想无论P的初始位置如何，P、S…等这些点最终将会出现怎样的趋势？（只要直接写出结果） 【答案】见解析 【解答】解： （1）在直角三角形PBQ中，∠B＝60°，BP＝1﹣x， ∴BQ=（1﹣x）；在直角三角形ASR中，∠A＝60°，AS＝y， ∴AR＝2y；在直角三角形CQR中，∠C＝60°，RC＝1﹣AR＝1﹣2y， ∴CQ＝2﹣4y ∵BC＝1 ∴（1﹣x）+2﹣4y＝1，即y=-x+（0＜x＜1） （2）当S在P下方， ∵SP=，即y﹣x= ∴x+=-x+，解得x=即AP=．当S在P上方， ∵SP=，即x﹣y=， ∴x-=-x+，解得x=即AP=． （3）S更加接近T． （来源：2006•余姚市） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2024_八上_9月 月考（2026~2027学年） 人教版2024_八上_9月 月考 苏科版（2024）数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（　　） A．HL B．ASA C．SAS D．SSS 2．（3分）如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA 3．（3分）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（　　） A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD 4．（3分）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　） A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC 5．（3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（　　） A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．AB∥DE D．AD＝CF 6．（3分）如图，在4×4的正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数为（　　） A．300° B．315° C．320° D．325° 7．（3分）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（3分）在直角△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，G为重心，到斜边AB的距离为（　　） A． B． C． D．2 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，BE＝DF．若要用“HL”判定Rt△ABF≌Rt△CDE，则需要添加的条件为 　　　　 ． 10．（3分）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需补充条件 　　　　 ，就可以根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF． 11．（3分）如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边、直角边（HL）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充条件：　　　　 ． 12．（3分）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，为了使Rt△ABC≌Rt△DCB，需添加的条件是 　　　　 （不添加字母和辅助线）． 13．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为 　　　　 ． 14．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．则CD与BD的数量关系是 　　　　 ． 15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝4cm，CE＝3cm，则DE＝　　　　 cm． 16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 　　　　 s时，CF＝AB． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）如图所示，CD＝CA，∠1＝∠2，EC＝BC，求证：△ABC≌△DEC． 18．（6分）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°． （1）求AE的长度； （2）求∠AED的度数． 19．（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长． 20．（6分）如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE＝BE． 21．（6分）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）已知：如图，线段a，c，∠α．求作：△ABC，使得BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α． 22．（6分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF， （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长． 23．（8分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD． （1）求证：△BAD≌△CAE； （2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明． 24．（8分）在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC． （1）当点C在线段BD上时，①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 　　　　 ；②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD； （2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）． 25．（10分）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（a，0），B（0，b），且a，b满足（a﹣4）2+|b﹣4|＝0，连接AB，∠OBA＝45°． （1）求点A、点B的坐标． （2）动点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接AP，过点P作PM⊥AP，且PM＝PA，点M在第一象限，请用含有t的式子表示点M的坐标． （3）在（2）的条件下，连接MB并延长交x轴于点Q，连接AM，过点B作PM的平行线交x轴于点R，当S△MQA＝28时，求点R的坐标． 27．（10分）如图：等边三角形ABC的边长为1，P为AB边上的一个动点（不包括A、B），过P作PQ⊥BC于Q，过Q作QR⊥AC于R，再过R作RS⊥AB于S．设AP＝x，AS＝y． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围； （2）若SP=，求AP的长； （3）若S、P重合点为T，试说明当P、S不重合时，P、S中的哪一个更接近T点？将上述操作，即按逆时针方向，过垂足作相邻边的垂线，若操作不断进行，试依据你的结论，猜想无论P的初始位置如何，P、S…等这些点最终将会出现怎样的趋势？（只要直接写出结果） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2024_八上_9月 月考（2026~2027学年） 人教版2024_八上_9月 月考 苏科版（2024）数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2024_八上_9月 月考（2026~2027学年） 人教版2024_八上_9月 月考 苏科版（2024）数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（　　） A．HL B．ASA C．SAS D．SSS 2．（3分）如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA 3．（3分）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（　　） A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD 4．（3分）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　） A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC 5．（3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（　　） A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．AB∥DE D．AD＝CF 6．（3分）如图，在4×4的正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数为（　　） A．300° B．315° C．320° D．325° 7．（3分）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（3分）在直角△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，G为重心，到斜边AB的距离为（　　） A． B． C． D．2 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，BE＝DF．若要用“HL”判定Rt△ABF≌Rt△CDE，则需要添加的条件为 　　　　 ． 10．（3分）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需补充条件 　　　　 ，就可以根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF． 11．（3分）如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边、直角边（HL）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充条件：　　　　 ． 12．（3分）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，为了使Rt△ABC≌Rt△DCB，需添加的条件是 　　　　 （不添加字母和辅助线）． 13．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为 　　　　 ． 14．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．则CD与BD的数量关系是 　　　　 ． 15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝4cm，CE＝3cm，则DE＝　　　　 cm． 16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 　　　　 s时，CF＝AB． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）如图所示，CD＝CA，∠1＝∠2，EC＝BC，求证：△ABC≌△DEC． 18．（6分）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°． （1）求AE的长度； （2）求∠AED的度数． 19．（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长． 20．（6分）如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE＝BE． 21．（6分）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）已知：如图，线段a，c，∠α．求作：△ABC，使得BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α． 22．（6分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF， （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长． 23．（8分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD． （1）求证：△BAD≌△CAE； （2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明． 24．（8分）在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC． （1）当点C在线段BD上时，①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 　　　　 ；②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD； （2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）． 25．（10分）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（a，0），B（0，b），且a，b满足（a﹣4）2+|b﹣4|＝0，连接AB，∠OBA＝45°． （1）求点A、点B的坐标． （2）动点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接AP，过点P作PM⊥AP，且PM＝PA，点M在第一象限，请用含有t的式子表示点M的坐标． （3）在（2）的条件下，连接MB并延长交x轴于点Q，连接AM，过点B作PM的平行线交x轴于点R，当S△MQA＝28时，求点R的坐标． 27．（10分）如图：等边三角形ABC的边长为1，P为AB边上的一个动点（不包括A、B），过P作PQ⊥BC于Q，过Q作QR⊥AC于R，再过R作RS⊥AB于S．设AP＝x，AS＝y． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围； （2）若SP=，求AP的长； （3）若S、P重合点为T，试说明当P、S不重合时，P、S中的哪一个更接近T点？将上述操作，即按逆时针方向，过垂足作相邻边的垂线，若操作不断进行，试依据你的结论，猜想无论P的初始位置如何，P、S…等这些点最终将会出现怎样的趋势？（只要直接写出结果） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2024_八上_9月 月考（2026~2027学年） 人教版2024_八上_9月 月考 苏科版（2024）数学上册 参考答案与解析 1．（3分）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（　　） A．HL B．ASA C．SAS D．SSS 【答案】A 【解答】解： ∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），故选：A． （来源：2024秋•庆阳期末） 2．（3分）如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA 【答案】B 【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，得到∠A′O′B′＝∠AOB．故选：B． （来源：2021•邗江区二模） 3．（3分）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（　　） A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD 【答案】A 【解答】解： ∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°，A．AD＝CB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项符合题意；B．∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理AAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；C．∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项不符合题意；D．AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理SAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；故选：A． （来源：2023•武侯区校级三模） 4．（3分）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　） A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC 【答案】D 【解答】解：条件是AB＝CD，理由是： ∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠CFD＝∠AEB＝90°，在Rt△ABE和Rt△DCF中，， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），故选：D． （来源：2024秋•汝南县期末） 5．（3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（　　） A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．AB∥DE D．AD＝CF 【答案】D 【解答】解： ∵∠B＝∠E＝90°，AB＝DE， ∴当添加AC＝DF或AD＝CF时，根据“HL”可判定Rt△ABC≌Rt△DEF．故选：D． （来源：2021秋•江陵县期末） 6．（3分）如图，在4×4的正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数为（　　） A．300° B．315° C．320° D．325° 【答案】B 【解答】解：由图可知，∠1所在的三角形与∠7所在的三角形全等， ∴∠1+∠7＝90°．同理得，∠2+∠6＝90°，∠3+∠5＝90°．又∠4＝45°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝315°．故选：B． （来源：2024春•福田区期中） 7．（3分）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：① ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， ∵在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，本选项正确；② ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ABD+∠DBC＝45°， ∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；③ ∵∠ABD+∠DBC＝45°， ∴∠ACE+∠DBC＝45°， ∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，则BD⊥CE，本选项正确；④ ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确，故选：D． （来源：2025•河北模拟） 8．（3分）在直角△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，G为重心，到斜边AB的距离为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【解答】解：设CD是Rt△ABC的斜边上的中线，三角形的重心G在线段CD上，过点G作GE⊥AB于点E，过点C作CE⊥AB于点F， ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB==10，如图，CD是Rt△ABC的斜边上的中线， ∴三角形的重心G在线段CD上， ∴DG=CD， ∵GE∥CF， ∴EG=FC， ∵FC×AB＝AC×BC， ∴FC=， ∴GE=×=，即△ABC的重心到斜边AB的距离为：．故选：A． （来源：1997•台北市） 9．（3分）如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，BE＝DF．若要用“HL”判定Rt△ABF≌Rt△CDE，则需要添加的条件为 ． 【答案】AF＝CE 【解答】解： ∵BE＝DF， ∴BE+BD＝FD+BD， ∴DE＝BF， ∵AB⊥EF，CD⊥EF， ∴∠ABF＝∠CDE＝90°，在Rt△ABF和Rt△CDE中，， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）， ∴需要添加的条件为AF＝CE，故答案为：AF＝CE． （来源：2024秋•大连月考） 10．（3分）如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需补充条件 ，就可以根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF． 【答案】AB＝DE 【解答】解：补充条件：AB＝DE．在Rt△ABC和Rt△DEF中，， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．故答案为：AB＝DE． （来源：2022秋•泗洪县期中） 11．（3分）如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边、直角边（HL）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充条件： ． 【答案】BC＝FE 【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DFE中，， ∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）．故答案为：BC＝FE． （来源：2025春•武陵区期末） 12．（3分）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，为了使Rt△ABC≌Rt△DCB，需添加的条件是 （不添加字母和辅助线）． 【答案】AB＝DC（答案不唯一） 【解答】解： ∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC， ∴再添加：AB＝DC， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC， ∴再添加：AC＝BD， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC， ∴再添加：∠ABC＝∠DCB， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（AAS）， ∵∠A＝∠D＝90°，BC＝BC， ∴再添加：∠ACB＝∠DBC， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（AAS），故答案为：AB＝DC（答案不唯一）． （来源：2023春•张店区期末） 13．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为 ． 【答案】 【解答】解：如图所示：连接EC，由作图方法可得：MN垂直平分AC，则AE＝EC， ∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D， ∴BD＝DC＝3，AD⊥BC，在Rt△ABD中，AD===4，设DE＝x，则AE＝EC＝4﹣x，在Rt△EDC中，DE2+DC2＝EC2，即x2+32＝（4﹣x）2，解得：x=，故DE的长为．故答案为：． （来源：2021•眉山） 14．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．则CD与BD的数量关系是 ． 【答案】BD＝2CD 【解答】解： ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝90°﹣30°＝60°，由作图可知AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠BAD＝30°， ∴AD＝2CD， ∵∠BAD＝∠B＝30°， ∴AD＝DB， ∴BD＝2CD，故答案为：BD＝2CD． （来源：2021•孝感） 15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝4cm，CE＝3cm，则DE＝ cm． 【答案】7 【解答】解： ∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90° ∴∠BAD+∠EAC＝90°，∠BAD+∠B＝90° ∴∠EAC＝∠B ∵AB＝AC ∴△ABD≌△ACE（AAS） ∴AD＝CE，BD＝AE ∴DE＝AD+AE＝CE+BD＝7（cm）．故填7． （来源：2023秋•九台区期末） 16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 s时，CF＝AB． 【答案】2或5 【解答】解： ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠CBD＝90°， ∵CD为AB边上的高， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD+∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∵∠BCD＝∠ECF， ∴∠ECF＝∠A， ∵过点E作BC的垂线交直线CD于点F， ∴∠CEF＝90°＝∠ACB，在△CEF和△ACB中，， ∴△CEF≌△ACB（AAS）， ∴CE＝AC＝7cm，①如图，当点E在射线BC上移动时，BE＝CE+BC＝7+3＝10（cm）， ∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动， ∴E移动了：=5（s）；②当点E在射线CB上移动时，CE′＝AC﹣BC＝7﹣3＝4（cm）， ∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动， ∴E移动了：=2（s）；综上所述，当点E在射线CB上移动5s或2s时，CF＝AB；故答案为：2或5． （来源：2024秋•信丰县期末） 17．（6分）如图所示，CD＝CA，∠1＝∠2，EC＝BC，求证：△ABC≌△DEC． 【答案】见解析 【解答】证明： ∵∠1＝∠2， ∴∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，， ∴△ABC≌△DEC（SAS）． （来源：2025•天河区校级三模） 18．（6分）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°． （1）求AE的长度； （2）求∠AED的度数． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵△ABC≌△DEB， ∴BE＝BC＝3， ∴AE＝AB﹣BE＝6﹣3＝3； （2） ∵△ABC≌△DEB， ∴∠DBE＝∠C＝55°， ∴∠AED＝∠DBE+∠D＝55°+25°＝80°． （来源：2024•工业园区校级二模） 19．（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E， ∴DE＝DC．在Rt△CDF与Rt△EDB中，， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）， ∴CF＝EB． （2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB， ∴CD＝DE．在Rt△ACD与Rt△AED中，， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，解得x＝2，即CF＝2． （来源：2024秋•厦门期末） 20．（6分）如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE＝BE． 【答案】见解析 【解答】（1）解：如图所示，即为所求， （2）证明： ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠DAE， ∵AB＝AD，AE＝AE， ∴△BAE≌△DAE（SAS）， ∴DE＝BE． （来源：2023•河南） 21．（6分）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）已知：如图，线段a，c，∠α．求作：△ABC，使得BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α． 【答案】见解析 【解答】解：如图：△ABC即为所求． （来源：2023秋•合肥期末） 22．（6分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF， （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°， ∴在Rt△BED和Rt△CFD中，， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD平分∠BAC； （2）解： ∵∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，DE＝DF， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL） ∴AE＝AF， ∵AC＝20，CF＝BE＝4， ∴AE＝AF＝20﹣4＝16， ∴AB＝AE﹣BE＝16﹣4＝12． （来源：2023秋•洛阳期末） 23．（8分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD． （1）求证：△BAD≌△CAE； （2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明． 【答案】见解析 【解答】证明： （1） ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS）． （2）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：由（1）知，△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE； ∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABD+∠DBC＝45°， ∴∠ACE+∠DBC＝45°， ∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，则BD⊥CE． （来源：2023秋•邵阳期末） 24．（8分）在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC． （1）当点C在线段BD上时，①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为 ；②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD； （2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）． 【答案】AE＝BF 【解答】解： （1）①如图1， ∵BA＝BC，∠EBD＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°， ∴∠EAD＝∠FBD＝120°， ∵DE＝DF， ∴∠E＝∠F，在△AEC与△BCF中，， ∴△ADE≌△BDF（AAS）， ∴AE＝BF；故答案为：AE＝BF；②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG， ∵∠EBD＝60°，BG＝BD， ∴△GBD是等边三角形．同理，△ABC也是等边三角形． ∴AG＝CD， ∵DE＝DF， ∴∠E＝∠F．又 ∵∠DGB＝∠DBG＝60°， ∴∠DGE＝∠DBF＝120°，在△DGE与△DBF中，， ∴△DGE≌△DBF（AAS）， ∴GE＝BF， ∴AE＝BF+CD； （2）如图3，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD， ∴AE＝EG﹣AG； ∴AE＝BF﹣CD，如图4，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD， ∴AE＝AG﹣EG； ∴AE＝CD﹣BF． （来源：2023秋•武隆区期末） 25．（10分）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，又∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）． ∴∠ACP＝∠BPQ， ∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°． ∴∠CPQ＝90°，即线段PC与线段PQ垂直． （2）存在，理由：①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，则，解得；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，则，解得：；综上所述，存在或，使得△ACP与△BPQ全等． （来源：2023春•鄠邑区期末） 26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（a，0），B（0，b），且a，b满足（a﹣4）2+|b﹣4|＝0，连接AB，∠OBA＝45°． （1）求点A、点B的坐标． （2）动点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接AP，过点P作PM⊥AP，且PM＝PA，点M在第一象限，请用含有t的式子表示点M的坐标． （3）在（2）的条件下，连接MB并延长交x轴于点Q，连接AM，过点B作PM的平行线交x轴于点R，当S△MQA＝28时，求点R的坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵a，b满足（a﹣4）2+|b﹣4|＝0， ∴a﹣4＝0，b﹣4＝0， ∴a＝4，b＝4， ∴A（4，0），B（0，4）； （2）如图所示，过M作MC⊥y轴于点C，则∠PCM＝∠AOP＝90°， ∵PM⊥AP， ∴∠CPM+∠APO＝∠OAP+∠APO＝90°， ∴∠CPM＝∠OAP，在△CPM和△OAP中，， ∴△CPM≌△OAP（AAS）， ∴CM＝OP＝t，CP＝AO＝BO＝4， ∴CB＝OP＝t， ∴CO＝CP+OP＝4+t， ∴M（t，4+t）； （3）如图所示，连接MB并延长交x轴于点Q，连接AM，过点B作PM的平行线交x轴于点R， ∵CB＝CM＝t， ∴△BCM是等腰直角三角形， ∴∠CBM＝∠OPQ＝45°， ∴△BOQ是等腰直角三角形， ∴OQ＝OB＝4，即Q（﹣4，0），又 ∵A（4，0）， ∴AQ＝8，又 ∵M（t，4+t）， ∴S△MQA=×8×（4+t）＝28， ∴t＝3， ∴OP＝3， ∵BR∥PM， ∴∠OBR＝∠CPM，又 ∵∠CPM＝∠OAP， ∴∠OBR＝∠OAP，在△OBR和△OAP中，， ∴△OBR≌△OAP（ASA）， ∴OR＝OP＝3， ∴R（﹣3，0）． （来源：2023春•新会区校级期末） 27．（10分）如图：等边三角形ABC的边长为1，P为AB边上的一个动点（不包括A、B），过P作PQ⊥BC于Q，过Q作QR⊥AC于R，再过R作RS⊥AB于S．设AP＝x，AS＝y． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围； （2）若SP=，求AP的长； （3）若S、P重合点为T，试说明当P、S不重合时，P、S中的哪一个更接近T点？将上述操作，即按逆时针方向，过垂足作相邻边的垂线，若操作不断进行，试依据你的结论，猜想无论P的初始位置如何，P、S…等这些点最终将会出现怎样的趋势？（只要直接写出结果） 【答案】见解析 【解答】解： （1）在直角三角形PBQ中，∠B＝60°，BP＝1﹣x， ∴BQ=（1﹣x）；在直角三角形ASR中，∠A＝60°，AS＝y， ∴AR＝2y；在直角三角形CQR中，∠C＝60°，RC＝1﹣AR＝1﹣2y， ∴CQ＝2﹣4y ∵BC＝1 ∴（1﹣x）+2﹣4y＝1，即y=-x+（0＜x＜1） （2）当S在P下方， ∵SP=，即y﹣x= ∴x+=-x+，解得x=即AP=．当S在P上方， ∵SP=，即x﹣y=， ∴x-=-x+，解得x=即AP=． （3）S更加接近T． （来源：2006•余姚市） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $