2026-2027学年人教版数学八年级上册10月 月考练习卷

人教版2024_八上_10月 月考（2026~2027学年） 人教版2024_八上_10月 月考 人教版（2024）八年级上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）若a，b是正整数，且满足2a+2a+⋯+2a=2b×2b×⋯×2b，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b 【答案】A 【解答】解：由题意得：8×2a＝（2b）8， ∴23×2a＝28b， ∴3+a＝8b，故选：A． （来源：2025•驿城区三模） 2．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A．AC＝A′C′ B．△ABC≌△A′B′C′ C．AA′⊥MN D．AB∥B′C′ 【答案】D 【解答】解：由题意可得：AC＝A′C′，△ABC≌△A′B′C′，AA′⊥MN，故ABC正确，不符合题意．故选：D． （来源：2025秋•南昌期末） 3．（3分）如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（　　） A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b） 【答案】A 【解答】解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2，矩形的面积＝（a+b）（a﹣b），故（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故选：A． （来源：2024秋•扶沟县期末） 4．（3分）下列生活实例中，利用了“三角形稳定性”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、不是利用“三角形稳定性”，不符合题意；B、利用了“三角形稳定性”，符合题意；C、不是利用“三角形稳定性”，不符合题意；D、不是利用“三角形稳定性”，不符合题意；故选：B． （来源：2023春•榆树市期末） 5．（3分）如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（　　） A．∠BAQ＝40° B．DE=BD C．AF＝AC D．∠EQF＝25° 【答案】D 【解答】解：A．由作图可知，AQ平分∠BAC， ∴∠BAP＝∠CAP=∠BAC＝40°，故选项A正确，不符合题意；B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线， ∴∠DEB＝90°， ∵∠B＝30°， ∴DE=BD，故选项B正确，不符合题意；C． ∵∠B＝30°，∠BAP＝40°， ∴∠AFC＝70°， ∵∠C＝70°， ∴AF＝AC，故选项C正确，不符合题意；D． ∵∠EFQ＝∠AFC＝70°，∠QEF＝90°， ∴∠EQF＝20°；故选项D错误，符合题意．故选：D． （来源：2022•聊城） 6．（3分）下列分类正确的是（　　） A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 【答案】D 【解答】解：三角形可分为不等边三角形和等腰三角形．故选：D． （来源：2025秋•扶绥县校级月考） 7．（3分）在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，不能够验证平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A．原图阴影部分面积为a2﹣b2，拼后新图是平行四边形，其中底为a+b，底边上高为a﹣b，则阴影部分面积为（a+b）（a﹣b），则有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故可以验证；B．原图阴影部分面积为a2﹣b2，拼后新图形中阴影部分是长方形，长为a+b，宽为a﹣b，阴影部分面积为（a+b）（a﹣b），则有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故可以验证；C．原图阴影部分面积为a2﹣b2，拼后新图是由两个相同的直角梯形组成的平行四边形，其底为a+b，底边上高为a﹣b，阴影部分面积为（a+b）（a﹣b），则有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故可以验证；D．原图阴影部分面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2，拼后新图是由四个相同长方形组成的大长方形，长为2a，宽为2b，阴影部分面积为4ab，则有（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故不能验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．故选：D． （来源：2026春•和平区校级期中） 8．（3分）下列算式中，可以利用平方差公式计算的有（　　）①（2﹣m）（m+2）；②（x+5）（﹣x﹣5）；③（﹣a+b）（a﹣b）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解答】解：①（2﹣m）（m+2）＝（2﹣m）（2+m），是两个数的和与这两个数的差相乘，可以利用平方差公式计算，符合题意；②（x+5）（﹣x﹣5）＝﹣（x+5）（x+5），不是两个数的和与这两个数的差相乘，不可以利用平方差公式计算，不符合题意；③（﹣a+b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）（a﹣b），不是两个数的和与这两个数的差相乘，不可以利用平方差公式计算，不符合题意； ∴可以利用平方差公式计算的有1个．故选：B． （来源：2026春•青山区校级期中） 9．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ °． 【答案】180 【解答】解： ∵∠1和∠4所在的三角形全等， ∴∠1+∠4＝90°， ∵∠2和∠3所在的三角形全等， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠1+∠2+∠3十∠4＝180°．故答案为：180． （来源：2025春•普陀区期末） 10．（3分）等腰三角形的一个底角是30°，那么顶角是 °，按角分它是 三角形． 【答案】120 【解答】解：180°﹣30°﹣30°＝120°它的顶角是120°；按角来分，这是一个钝角三角形．故答案为：120；钝角． （来源：2023•青羊区校级开学） 11．（3分）如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的 性． 【答案】稳定 【解答】解：三角形的支架很牢固，这是利用了三角形的稳定性，故答案为：稳定． （来源：2023秋•佳木斯期末） 12．（3分）如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为11，则△BCD的周长是 ． 【答案】9 【解答】解： ∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD， ∵△ABD的周长为11，AB＝5，BC＝3， ∴△BCD的周长是11﹣（5﹣3）＝9，故答案为9． （来源：2022秋•鞍山期中） 13．（3分）一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x+y＝ ． 【答案】11 【解答】解： ∵一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，这两个三角形全等， ∴x＝6，y＝5，则x+y＝11．故答案为：11． （来源：2023秋•泗阳县期末） 14．（3分）如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9]＝2．若（3，21]＝a，（7，21]＝b，则= ． 【答案】 【解答】解：根据题意可知，3a＝21，7b＝21， ∴（3a）b＝21b，（7b）a＝21a， ∴3ab＝21b，7ab＝21a， ∴3ab•7ab＝21b•21a， ∴（3×7）ab＝21a+b， ∴21ab＝21a+b， ∴ab＝a+b， ∴==．故答案为：． （来源：2026春•锡山区校级期中） 15．（3分）如图，△ABC中，点D在AC上，连接BD，E是BD的中点，连接AE，若∠AED＝∠ABC，BC＝3AE，则的值为 ． 【答案】19+19 【解答】解：如图，过点C作CG∥BD交AB的延长线于点G， ∵∠AED＝∠ABE+∠BAE，∠ABC＝∠ABE+∠DBC，∠AED＝∠ABC， ∴∠BAE＝∠DBC， ∵CG∥BD， ∴∠DBC＝∠BCG，∠ABE＝∠G， ∴∠BAE＝∠BCG， ∴△BAE∽△GCB，又 ∵BC＝3AE， ∴===，设AB＝x，BE＝a，根据E为BD中点，则BD＝2a，故GC＝3x，BG＝3a，由CG∥BD，可得△ABD∽△AGC，故=，即=，解得x=（负值舍去）， ∵CG∥BD，故===，故答案为：． （来源：2025春•青羊区校级月考） 16．（3分）如图，等边△ABC的边长为6，点D在边AC上，线段PQ在边BA上运动，且AD＝PQ＝1，则四边形PQDC周长的最小值为 ． 【答案】6+39 【解答】解：如图所示，作点D关于AB的对称点D'，连接D'Q，以D'Q、PQ为边作平行四边形PQD'M，则DQ＝D'Q＝MP，DD'＝2×AD×sin60°=，D'M＝PQ＝1，CD＝6﹣1＝5， ∴四边形PQDC周长＝DQ+PQ+CP+CD＝DQ+1+CP+5＝6+DQ+CP＝6+D'Q+CP＝6+MP+PC≥6+CM，即四边形PQDC周长的最小值＝6+CM，过C作CH⊥AB，交D'M的延长线于N，则CH＝BC×sin60°＝3，NH=DD'=， ∴MN＝AH﹣D'M﹣AD•cos60°＝AC×cos60°﹣1-=3﹣1-=，CN＝NH+CH=+3=，在Rt△MNC中，由勾股定理，得CM===， ∴四边形PCDQ周长的最小值为6+．故答案为：6+． （来源：2025春•仓山区校级期中） 17．（6分）计算： （1）﹣4x2（3x+1）； （2）（y+2）（y﹣2）﹣y2． 【答案】见解析 【解答】解： （1）原式＝﹣12x3﹣4x2； （2）（y+2）（y﹣2）﹣y2＝y2﹣4﹣y2＝﹣4． （来源：2026春•上城区校级月考） 18．（6分）计算： （1）(-5)2×(-)+(-22)×|-|； （2）（a3）2•（a4）3+a2． 【答案】见解析 【解答】解： （1）(-5)2×(-)+(-22)×|-|=25×(-)+(-4)× ＝﹣15﹣1＝﹣16； （2）（a3）2•（a4）3+a2＝a6•a12+a2＝a18+a2． （来源：2026春•南山区校级期中） 19．（6分）计算： （1）314×(-)7； （2）用乘法公式计算：1004×996． 【答案】见解析 【解答】解： （1）314×(-)7＝（32）7×（-）7＝97×（-）7＝[9×（-）]7＝（﹣1）7＝﹣1； （2）1004×996＝（1000+4）×（1000﹣4）＝1000000﹣16＝999984． （来源：2026春•金坛区期中） 20．（6分）用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）若底边长比腰长多2cm，求三边长； （2）能否围成一边长为8cm的等腰三角形？若能，求另两边；若不能，说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1）设底长为xcm，则腰边长为 （x﹣2 ）cm，根据题意得x+（x﹣2）+（x﹣2）＝20，解得x＝8，当x＝8时，x﹣2＝6，所以三角形的腰长为6cm、6cm，底边长为8cm； 即三边为6cm，6cm，8cm． （2）能否围成一边长为8cm的等腰三角形，理由如下：若8cm为底边，设腰为x，则2x+8 ＝ 20 x ＝ 6，6+6＞8，成立．若8cm为腰，则另一腰8，底边＝20﹣8﹣8＝4，8+4＞8，成立．故能，另两边为6cm，6cm或8cm，4cm． （来源：2025秋•富锦市月考） 21．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图，点D，射线AE即为所求． （2） ∵DF垂直平分线段AB， ∴DB＝DA， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∵∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°， ∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE=∠DAC＝40°． （来源：2025春•介休市期末） 22．（6分）一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，利用这种方法解答下列问题． （1）如图1，一个边长为a的大正方形被分割成两个较小正方形和两个长方形，通过计算图中阴影部分的面积可以得到的数学等式为 ； （2）已知a﹣b＝3，a2+b2＝17，求ab的值； （3）如图2，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD内作长方形CEPF，在长方形ABCD外作等腰直角△CFG和等腰直角△CEH，若长方形CEPF的面积为21，求图中阴影部分的面积之和． 【答案】（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 【解答】解： （1）图1中阴影部分是边长为a﹣b的正方形，因此面积为（a﹣b）2，图1中阴影部分也可以看作大正方形的面积与空白部分的面积差，即a2﹣2ab+b2，所以有（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2； （2） ∵a﹣b＝3，a2+b2＝17，而（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， ∴9＝17﹣2ab， ∴ab＝4； （3） ∵AB＝8，AD＝4，BE＝DF＝x， ∴PE＝FC＝8﹣x，EC＝PF＝4﹣x， ∵长方形CEPF的面积为21， ∴（8﹣x）（4﹣x）＝21，设a＝8﹣x，b＝4﹣x，则a﹣b＝4，ab＝（8﹣x）（4﹣x）＝21， ∴S阴影部分＝S△CFG+S△CEH=（8﹣x）2+（4﹣x）2=（a2+b2）=[（a﹣b）2+2ab]=×（16+2×21）＝29，即阴影部分的面积为29． （来源：2026春•通川区期末） 23．（8分）定义：在四边形中，如果有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中有一个是直角，那么这样的四边形叫做双直四边形．在双直四边形ABCD中，∠ADB＝∠ABC＝90°，过点D作DE⊥CD交AB于点E，∠A＝45°． （1）如图1，请猜想AE和BC之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，连接CE，作点D关于直线CE的对称点F，连接CF，EF，BF，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出所有与∠BCE互余的角． 【答案】见解析 【解答】解： （1）AE＝BC；理由如下： ∵∠ADB＝∠ABC＝90°，∠A＝45°， ∴∠ABD＝45°， ∴∠CBD＝45°， ∴∠A＝∠CBD，AD＝BD， ∵DE⊥CD， ∴∠CDE＝90°， ∵∠BDC+∠BDE＝90°，∠ADE+∠BDE＝90°， ∴∠ADE＝∠BDC， ∴△ADE≌△BDC（ASA）， ∴AE＝BC； （2）与∠BCE互余的角为：∠CEB，∠EDA，∠BDC，∠CFB．理由如下： ∵∠ABC＝90°， ∴∠BCE+∠CEB＝90°，即∠CEB与∠BCE互余；由（1）可知，△ADE≌△BDC， ∴∠EDA＝∠BDC，在△BCD中， ∵∠BCD+∠CDB+∠CBD＝180°，即∠BCE+∠ECD+∠CDB+∠CBD＝180°，由（1）可知△ADE≌△BDC，∠CDE＝90°， ∴DC＝DE， ∴△CDE是等腰直角三角形， ∴∠DCE＝45°， ∴∠BCE+45°+∠CDB+45°＝180°， ∴∠BCE+∠BDC＝90°， ∴∠BDC与∠BCE互余；又 ∵∠BDC＝∠EDA，∠BCE+∠BDC＝90°， ∴∠EDA与∠BCE互余； ∵点D关于直线CE的对称点为F， ∴CF＝CD，∠FCE＝∠DCE，CE＝CE， ∴△CFE≌△CDE（SAS）， ∴∠CFE＝∠CDE＝90°， ∵∠BCE+∠CEB＝90°，即∠CBE＝90°， ∴∠CBE＝∠CFE， ∴C，B，F，E四点共圆， ∴∠CFB＝∠CEB， ∵∠BCE+∠CEB＝90°， ∴∠BCE+∠CFB＝90°， ∴∠CFB与∠BCE互余；综上所述，与∠BCE互余的角为：∠CEB，∠EDA，∠BDC，∠CFB． （来源：2026•南岗区校级二模） 24．（8分）新定义：如果xn＝y，则规定（x，y）＝n，例如：32＝9，所以（3，9）＝2． （1）填空：（2，4）＝ ；（﹣3，81）＝ ； （2）若（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，试说明a+b＝c； （3）若（e，5）＝（f，125），求e与f的数量关系． 【答案】2，4 【解答】（1）解： ∵22＝4， ∴（2，4）＝2． ∵（﹣3）4＝81， ∴（﹣3，81）＝4．故答案为：2，4． （2）证明： ∵（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c， ∴4a＝12，4b＝5，4c＝60， ∴4a×4b＝12×5＝60＝4c， ∴a+b＝c． （3）解：设（e，5）＝（f，125）＝k， ∴ek＝5，fk＝125＝53， ∵（ek）3＝53， ∴（e3）k＝53， ∴（e3）k＝fk，当k为偶数时，e3+f＝0或e3＝f；当k为奇数时，e3＝f． （来源：2026春•江宁区校级月考） 25．（10分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上（不含端点）的动点，且∠EDC＝∠ECD． （1）如图1，若CD恰好是△ABC的角平分线，试说明DE∥BC； （2）如图2，若DF平分∠BDE交BC于点F，在D、E运动的过程中，试用一个等式表示∠A与∠CDF的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若CD是△ABC的中线，过点E作EG∥AB交CD于点G，连接BE交CD于点Q，当S△ADE＝3，S△DEG＝2时，求DQ：CQ的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵CD恰好是△ABC的角平分线， ∴∠ACD＝∠BCD，又 ∵∠EDC＝∠ECD， ∴∠EDC＝∠BCD， ∴DE∥BC； （2）∠CDF=∠A，理由如下：设∠EDC＝∠ECD＝α， ∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∠BDE＝∠BDC+∠CDE， ∴∠BDE＝∠A+2α，又 ∵DF平分∠BDE， ∴∠EDF=∠BDE=(∠A+2α)=∠A+α， ∴∠CDF＝∠EDF﹣∠EDC=A+α﹣α=∠A． （3）过点E作EM∥CD，连接MG，AG，MC，BG．又 ∵EG∥AB， ∴S△DEG＝S△DMG＝S△DME＝S△AEG＝S△MEC＝2， ∵S△ADE＝3， ∴S△AME＝S△ADE﹣S△DME＝3﹣2＝1， ∴AE：EC＝S△AME：S△CME＝1：2， ∴S△ADE：S△DEC＝1：2， ∴S△DEC＝2S△ADE＝6， ∴DG：DC＝S△DEG：S△DEC＝2：6＝1：3， ∴GC＝2DG，过点D作DH⊥BE，垂足为H，过点G作KG⊥BE，垂足为K， ∵EG∥AB，S△DEG＝S△BEG＝2， ∵CD是△ABC的中线，即AD＝BD， ∴S△ADE＝S△BDE＝3， ∵S△BDG=BE•KG，S△BDE=BE⋅DH， ∴==， ∴==， ∴==， ∴DQ=DG，GQ=DG， ∴CQ=CG+GQ=DG， ∴DQ：CQ=：=1：4． （来源：2025春•泉州期末） 26．（10分）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE． （1）求证：AB＝AC； （2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形． 【答案】见解析 【解答】证明： （1）过点A作AF⊥BC于点F， ∵AD＝AE， ∴DF＝EF， ∵BD＝CE， ∴BF＝CF， ∴AB＝AC． （2） ∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC， ∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC， （来源：2020秋•平房区期末） 27．（10分）综合与实践在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干正方形纸片． （1）【操作判断】将正方形纸片ABCD与等腰直角三角尺DEF按如图1放置，三角尺DEF的边DE，DF分别与正方形ABCD的边AB，BC交于P，Q两点．小明将△DQC绕点D顺时针旋转90°，此时点C与点A重合，点Q的对应点为Q，通过推理小明得出了△PDQ≌△PDQ'．根据以上信息，请填空：①∠PDQ'＝ °；②线段AP，PQ，QC之间的数量关系为 ， （2）【迁移探究】小明将正方形纸片ABCD换成了图2中的形状，若∠ADC＝2α，∠PDQ＝α，AD＝CD，P，Q分别在AB，BC上，且∠BCD+∠DAB＝180°，线段AP，PQ，QC之间的数量关系是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明； （3）【拓展应用】如图3，已知Rt△ADC，∠ADC＝90°，AD=CD=6．小明以点D为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺EDF，其中射线DE，DF分别交射线AC于点M，N，当点M恰好为线段AC的三等分点时，请直接写出MN的长． 【答案】45° 【解答】解： （1） ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝90°，由旋转变换可知：△DQC≌△DQ'A， ∴∠ADQ'＝∠CDQ，CQ＝AQ'，DQ＝DQ'，∠DAQ'＝∠DCQ＝90°， ∴∠DAP+∠DAQ'＝180°， ∴P、A、Q'三点共线， ∵∠PDQ＝45°， ∴∠ADP+∠CDQ＝45°， ∴∠ADP+∠ADQ'＝45°，即∠PDQ'＝45°， ∴∠PDQ'＝∠PDQ＝45°，在△PDQ和△PDQ'中，， ∴△PDQ≌△PDQ'（SAS）， ∴PQ＝AQ'＝AP+AQ'＝AP+QC．故答案为：45°；PQ＝AP+QC． （2）线段AP，PQ，QC之间的数量关系仍成立，理由如下：如图2，延长BC至E，使CE＝AP，连接DE． ∵∠QCD+∠DAP＝180°，∠QCD+∠DCE＝180°， ∴∠DAP＝∠DCE，在△DAP和△DCE中，， ∴△DAP和≌△DCE（SAS）， ∴∠ADP＝∠CDE，DP＝DE， ∵∠ADC＝2α，∠PDQ＝α， ∴∠ADP+∠CDQ＝α， ∴∠CDE+∠CDQ＝α， ∴∠EDQ＝α＝∠PDQ，在△PDQ和△EDQ中，， ∴△PDQ和≌△EDQ（SAS）， ∴PQ＝EQ＝CE+CQ＝AP+CQ． （3）如图3，将△DNC绕D点顺时针旋转90°至△DFA，连接FM．则CN＝AF，DN＝DF，∠FDA＝∠NDC，∠FAD＝∠NCD＝∠MAD＝45°， ∴∠FAM＝90°， ∵∠EDF＝45°， ∴∠ADM+∠NDC＝45°， ∴ADM+∠ADF＝45°， ∴∠FDM＝45°＝∠NDM，在△FDM和△NDM中，， ∴△FDM和≌△NDM（SAS）， ∴FM＝NM， ∵AD＝CD=6， ∴AC＝12， ∵M恰好为线段AC的三等分点（靠近A点）， ∴AM＝4，CM＝8，设MN＝FM＝x，则AF＝CN＝8﹣x，在Rt△AMF中：AM2+AF2＝FM2， ∴16+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5， ∴MN＝5；如图4，M为靠近C点的三等分点，CM＝4，AM＝8，作DH⊥AC于H，则AH＝DH＝CH＝6， ∴HM＝CH﹣CM＝2， ∴DM===2， ∵∠MDC+∠CDN＝45°，∠CDN+∠CND＝∠DCM＝45°， ∴∠CND＝∠MDC， ∴△DMC∽△NMD， ∴MD2＝MC•MN， ∴MN＝10．综上所述，MN＝5或10． （来源：2025春•金水区校级期中） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2024_八上_10月 月考（2026~2027学年） 人教版2024_八上_10月 月考 人教版（2024）八年级上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）若a，b是正整数，且满足2a+2a+⋯+2a=2b×2b×⋯×2b，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b 2．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A．AC＝A′C′ B．△ABC≌△A′B′C′ C．AA′⊥MN D．AB∥B′C′ 3．（3分）如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（　　） A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b） 4．（3分）下列生活实例中，利用了“三角形稳定性”的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（　　） A．∠BAQ＝40° B．DE=BD C．AF＝AC D．∠EQF＝25° 6．（3分）下列分类正确的是（　　） A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 7．（3分）在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，不能够验证平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）下列算式中，可以利用平方差公式计算的有（　　）①（2﹣m）（m+2）；②（x+5）（﹣x﹣5）；③（﹣a+b）（a﹣b）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　　　　 °． 10．（3分）等腰三角形的一个底角是30°，那么顶角是 　　　　 °，按角分它是 　　　　 三角形． 11．（3分）如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的 　　　　 性． 12．（3分）如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为11，则△BCD的周长是　　　　 ． 13．（3分）一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x+y＝　　　　 ． 14．（3分）如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9]＝2．若（3，21]＝a，（7，21]＝b，则=　　　　 ． 15．（3分）如图，△ABC中，点D在AC上，连接BD，E是BD的中点，连接AE，若∠AED＝∠ABC，BC＝3AE，则的值为 　　　　 ． 16．（3分）如图，等边△ABC的边长为6，点D在边AC上，线段PQ在边BA上运动，且AD＝PQ＝1，则四边形PQDC周长的最小值为 　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）计算： （1）﹣4x2（3x+1）； （2）（y+2）（y﹣2）﹣y2． 18．（6分）计算： （1）(-5)2×(-)+(-22)×|-|； （2）（a3）2•（a4）3+a2． 19．（6分）计算： （1）314×(-)7； （2）用乘法公式计算：1004×996． 20．（6分）用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）若底边长比腰长多2cm，求三边长； （2）能否围成一边长为8cm的等腰三角形？若能，求另两边；若不能，说明理由． 21．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 22．（6分）一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，利用这种方法解答下列问题． （1）如图1，一个边长为a的大正方形被分割成两个较小正方形和两个长方形，通过计算图中阴影部分的面积可以得到的数学等式为 　　　　 ； （2）已知a﹣b＝3，a2+b2＝17，求ab的值； （3）如图2，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD内作长方形CEPF，在长方形ABCD外作等腰直角△CFG和等腰直角△CEH，若长方形CEPF的面积为21，求图中阴影部分的面积之和． 23．（8分）定义：在四边形中，如果有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中有一个是直角，那么这样的四边形叫做双直四边形．在双直四边形ABCD中，∠ADB＝∠ABC＝90°，过点D作DE⊥CD交AB于点E，∠A＝45°． （1）如图1，请猜想AE和BC之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，连接CE，作点D关于直线CE的对称点F，连接CF，EF，BF，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出所有与∠BCE互余的角． 24．（8分）新定义：如果xn＝y，则规定（x，y）＝n，例如：32＝9，所以（3，9）＝2． （1）填空：（2，4）＝　　　　 ；（﹣3，81）＝　　　　 ； （2）若（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，试说明a+b＝c； （3）若（e，5）＝（f，125），求e与f的数量关系． 25．（10分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上（不含端点）的动点，且∠EDC＝∠ECD． （1）如图1，若CD恰好是△ABC的角平分线，试说明DE∥BC； （2）如图2，若DF平分∠BDE交BC于点F，在D、E运动的过程中，试用一个等式表示∠A与∠CDF的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若CD是△ABC的中线，过点E作EG∥AB交CD于点G，连接BE交CD于点Q，当S△ADE＝3，S△DEG＝2时，求DQ：CQ的值． 26．（10分）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE． （1）求证：AB＝AC； （2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形． 27．（10分）综合与实践在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干正方形纸片． （1）【操作判断】将正方形纸片ABCD与等腰直角三角尺DEF按如图1放置，三角尺DEF的边DE，DF分别与正方形ABCD的边AB，BC交于P，Q两点．小明将△DQC绕点D顺时针旋转90°，此时点C与点A重合，点Q的对应点为Q，通过推理小明得出了△PDQ≌△PDQ'．根据以上信息，请填空：①∠PDQ'＝　　　　 °；②线段AP，PQ，QC之间的数量关系为　　　　 ， （2）【迁移探究】小明将正方形纸片ABCD换成了图2中的形状，若∠ADC＝2α，∠PDQ＝α，AD＝CD，P，Q分别在AB，BC上，且∠BCD+∠DAB＝180°，线段AP，PQ，QC之间的数量关系是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明； （3）【拓展应用】如图3，已知Rt△ADC，∠ADC＝90°，AD=CD=6．小明以点D为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺EDF，其中射线DE，DF分别交射线AC于点M，N，当点M恰好为线段AC的三等分点时，请直接写出MN的长． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2024_八上_10月 月考（2026~2027学年） 人教版2024_八上_10月 月考 人教版（2024）八年级上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）若a，b是正整数，且满足2a+2a+⋯+2a=2b×2b×⋯×2b，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b 2．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A．AC＝A′C′ B．△ABC≌△A′B′C′ C．AA′⊥MN D．AB∥B′C′ 3．（3分）如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（　　） A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b） 4．（3分）下列生活实例中，利用了“三角形稳定性”的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（　　） A．∠BAQ＝40° B．DE=BD C．AF＝AC D．∠EQF＝25° 6．（3分）下列分类正确的是（　　） A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 7．（3分）在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，不能够验证平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）下列算式中，可以利用平方差公式计算的有（　　）①（2﹣m）（m+2）；②（x+5）（﹣x﹣5）；③（﹣a+b）（a﹣b）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　　　　 °． 10．（3分）等腰三角形的一个底角是30°，那么顶角是 　　　　 °，按角分它是 　　　　 三角形． 11．（3分）如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的 　　　　 性． 12．（3分）如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为11，则△BCD的周长是　　　　 ． 13．（3分）一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x+y＝　　　　 ． 14．（3分）如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9]＝2．若（3，21]＝a，（7，21]＝b，则=　　　　 ． 15．（3分）如图，△ABC中，点D在AC上，连接BD，E是BD的中点，连接AE，若∠AED＝∠ABC，BC＝3AE，则的值为 　　　　 ． 16．（3分）如图，等边△ABC的边长为6，点D在边AC上，线段PQ在边BA上运动，且AD＝PQ＝1，则四边形PQDC周长的最小值为 　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）计算： （1）﹣4x2（3x+1）； （2）（y+2）（y﹣2）﹣y2． 18．（6分）计算： （1）(-5)2×(-)+(-22)×|-|； （2）（a3）2•（a4）3+a2． 19．（6分）计算： （1）314×(-)7； （2）用乘法公式计算：1004×996． 20．（6分）用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）若底边长比腰长多2cm，求三边长； （2）能否围成一边长为8cm的等腰三角形？若能，求另两边；若不能，说明理由． 21．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 22．（6分）一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，利用这种方法解答下列问题． （1）如图1，一个边长为a的大正方形被分割成两个较小正方形和两个长方形，通过计算图中阴影部分的面积可以得到的数学等式为 　　　　 ； （2）已知a﹣b＝3，a2+b2＝17，求ab的值； （3）如图2，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD内作长方形CEPF，在长方形ABCD外作等腰直角△CFG和等腰直角△CEH，若长方形CEPF的面积为21，求图中阴影部分的面积之和． 23．（8分）定义：在四边形中，如果有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中有一个是直角，那么这样的四边形叫做双直四边形．在双直四边形ABCD中，∠ADB＝∠ABC＝90°，过点D作DE⊥CD交AB于点E，∠A＝45°． （1）如图1，请猜想AE和BC之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，连接CE，作点D关于直线CE的对称点F，连接CF，EF，BF，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出所有与∠BCE互余的角． 24．（8分）新定义：如果xn＝y，则规定（x，y）＝n，例如：32＝9，所以（3，9）＝2． （1）填空：（2，4）＝　　　　 ；（﹣3，81）＝　　　　 ； （2）若（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，试说明a+b＝c； （3）若（e，5）＝（f，125），求e与f的数量关系． 25．（10分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上（不含端点）的动点，且∠EDC＝∠ECD． （1）如图1，若CD恰好是△ABC的角平分线，试说明DE∥BC； （2）如图2，若DF平分∠BDE交BC于点F，在D、E运动的过程中，试用一个等式表示∠A与∠CDF的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若CD是△ABC的中线，过点E作EG∥AB交CD于点G，连接BE交CD于点Q，当S△ADE＝3，S△DEG＝2时，求DQ：CQ的值． 26．（10分）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE． （1）求证：AB＝AC； （2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形． 27．（10分）综合与实践在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干正方形纸片． （1）【操作判断】将正方形纸片ABCD与等腰直角三角尺DEF按如图1放置，三角尺DEF的边DE，DF分别与正方形ABCD的边AB，BC交于P，Q两点．小明将△DQC绕点D顺时针旋转90°，此时点C与点A重合，点Q的对应点为Q，通过推理小明得出了△PDQ≌△PDQ'．根据以上信息，请填空：①∠PDQ'＝　　　　 °；②线段AP，PQ，QC之间的数量关系为　　　　 ， （2）【迁移探究】小明将正方形纸片ABCD换成了图2中的形状，若∠ADC＝2α，∠PDQ＝α，AD＝CD，P，Q分别在AB，BC上，且∠BCD+∠DAB＝180°，线段AP，PQ，QC之间的数量关系是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明； （3）【拓展应用】如图3，已知Rt△ADC，∠ADC＝90°，AD=CD=6．小明以点D为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺EDF，其中射线DE，DF分别交射线AC于点M，N，当点M恰好为线段AC的三等分点时，请直接写出MN的长． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2024_八上_10月 月考（2026~2027学年） 人教版2024_八上_10月 月考 人教版（2024）八年级上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2024_八上_10月 月考（2026~2027学年） 人教版2024_八上_10月 月考 人教版（2024）八年级上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2024_八上_10月 月考（2026~2027学年） 人教版2024_八上_10月 月考 人教版（2024）八年级上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）若a，b是正整数，且满足2a+2a+⋯+2a=2b×2b×⋯×2b，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b 【答案】A 【解答】解：由题意得：8×2a＝（2b）8， ∴23×2a＝28b， ∴3+a＝8b，故选：A． （来源：2025•驿城区三模） 2．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A．AC＝A′C′ B．△ABC≌△A′B′C′ C．AA′⊥MN D．AB∥B′C′ 【答案】D 【解答】解：由题意可得：AC＝A′C′，△ABC≌△A′B′C′，AA′⊥MN，故ABC正确，不符合题意．故选：D． （来源：2025秋•南昌期末） 3．（3分）如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（　　） A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+ab＝a（a+b） 【答案】A 【解答】解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2，矩形的面积＝（a+b）（a﹣b），故（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故选：A． （来源：2024秋•扶沟县期末） 4．（3分）下列生活实例中，利用了“三角形稳定性”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、不是利用“三角形稳定性”，不符合题意；B、利用了“三角形稳定性”，符合题意；C、不是利用“三角形稳定性”，不符合题意；D、不是利用“三角形稳定性”，不符合题意；故选：B． （来源：2023春•榆树市期末） 5．（3分）如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（　　） A．∠BAQ＝40° B．DE=BD C．AF＝AC D．∠EQF＝25° 【答案】D 【解答】解：A．由作图可知，AQ平分∠BAC， ∴∠BAP＝∠CAP=∠BAC＝40°，故选项A正确，不符合题意；B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线， ∴∠DEB＝90°， ∵∠B＝30°， ∴DE=BD，故选项B正确，不符合题意；C． ∵∠B＝30°，∠BAP＝40°， ∴∠AFC＝70°， ∵∠C＝70°， ∴AF＝AC，故选项C正确，不符合题意；D． ∵∠EFQ＝∠AFC＝70°，∠QEF＝90°， ∴∠EQF＝20°；故选项D错误，符合题意．故选：D． （来源：2022•聊城） 6．（3分）下列分类正确的是（　　） A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形 B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形 C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形 D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形 【答案】D 【解答】解：三角形可分为不等边三角形和等腰三角形．故选：D． （来源：2025秋•扶绥县校级月考） 7．（3分）在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，不能够验证平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A．原图阴影部分面积为a2﹣b2，拼后新图是平行四边形，其中底为a+b，底边上高为a﹣b，则阴影部分面积为（a+b）（a﹣b），则有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故可以验证；B．原图阴影部分面积为a2﹣b2，拼后新图形中阴影部分是长方形，长为a+b，宽为a﹣b，阴影部分面积为（a+b）（a﹣b），则有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故可以验证；C．原图阴影部分面积为a2﹣b2，拼后新图是由两个相同的直角梯形组成的平行四边形，其底为a+b，底边上高为a﹣b，阴影部分面积为（a+b）（a﹣b），则有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故可以验证；D．原图阴影部分面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2，拼后新图是由四个相同长方形组成的大长方形，长为2a，宽为2b，阴影部分面积为4ab，则有（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故不能验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．故选：D． （来源：2026春•和平区校级期中） 8．（3分）下列算式中，可以利用平方差公式计算的有（　　）①（2﹣m）（m+2）；②（x+5）（﹣x﹣5）；③（﹣a+b）（a﹣b）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解答】解：①（2﹣m）（m+2）＝（2﹣m）（2+m），是两个数的和与这两个数的差相乘，可以利用平方差公式计算，符合题意；②（x+5）（﹣x﹣5）＝﹣（x+5）（x+5），不是两个数的和与这两个数的差相乘，不可以利用平方差公式计算，不符合题意；③（﹣a+b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）（a﹣b），不是两个数的和与这两个数的差相乘，不可以利用平方差公式计算，不符合题意； ∴可以利用平方差公式计算的有1个．故选：B． （来源：2026春•青山区校级期中） 9．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ °． 【答案】180 【解答】解： ∵∠1和∠4所在的三角形全等， ∴∠1+∠4＝90°， ∵∠2和∠3所在的三角形全等， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠1+∠2+∠3十∠4＝180°．故答案为：180． （来源：2025春•普陀区期末） 10．（3分）等腰三角形的一个底角是30°，那么顶角是 °，按角分它是 三角形． 【答案】120 【解答】解：180°﹣30°﹣30°＝120°它的顶角是120°；按角来分，这是一个钝角三角形．故答案为：120；钝角． （来源：2023•青羊区校级开学） 11．（3分）如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的 性． 【答案】稳定 【解答】解：三角形的支架很牢固，这是利用了三角形的稳定性，故答案为：稳定． （来源：2023秋•佳木斯期末） 12．（3分）如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为11，则△BCD的周长是 ． 【答案】9 【解答】解： ∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD， ∵△ABD的周长为11，AB＝5，BC＝3， ∴△BCD的周长是11﹣（5﹣3）＝9，故答案为9． （来源：2022秋•鞍山期中） 13．（3分）一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x+y＝ ． 【答案】11 【解答】解： ∵一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，这两个三角形全等， ∴x＝6，y＝5，则x+y＝11．故答案为：11． （来源：2023秋•泗阳县期末） 14．（3分）如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9]＝2．若（3，21]＝a，（7，21]＝b，则= ． 【答案】 【解答】解：根据题意可知，3a＝21，7b＝21， ∴（3a）b＝21b，（7b）a＝21a， ∴3ab＝21b，7ab＝21a， ∴3ab•7ab＝21b•21a， ∴（3×7）ab＝21a+b， ∴21ab＝21a+b， ∴ab＝a+b， ∴==．故答案为：． （来源：2026春•锡山区校级期中） 15．（3分）如图，△ABC中，点D在AC上，连接BD，E是BD的中点，连接AE，若∠AED＝∠ABC，BC＝3AE，则的值为 ． 【答案】19+19 【解答】解：如图，过点C作CG∥BD交AB的延长线于点G， ∵∠AED＝∠ABE+∠BAE，∠ABC＝∠ABE+∠DBC，∠AED＝∠ABC， ∴∠BAE＝∠DBC， ∵CG∥BD， ∴∠DBC＝∠BCG，∠ABE＝∠G， ∴∠BAE＝∠BCG， ∴△BAE∽△GCB，又 ∵BC＝3AE， ∴===，设AB＝x，BE＝a，根据E为BD中点，则BD＝2a，故GC＝3x，BG＝3a，由CG∥BD，可得△ABD∽△AGC，故=，即=，解得x=（负值舍去）， ∵CG∥BD，故===，故答案为：． （来源：2025春•青羊区校级月考） 16．（3分）如图，等边△ABC的边长为6，点D在边AC上，线段PQ在边BA上运动，且AD＝PQ＝1，则四边形PQDC周长的最小值为 ． 【答案】6+39 【解答】解：如图所示，作点D关于AB的对称点D'，连接D'Q，以D'Q、PQ为边作平行四边形PQD'M，则DQ＝D'Q＝MP，DD'＝2×AD×sin60°=，D'M＝PQ＝1，CD＝6﹣1＝5， ∴四边形PQDC周长＝DQ+PQ+CP+CD＝DQ+1+CP+5＝6+DQ+CP＝6+D'Q+CP＝6+MP+PC≥6+CM，即四边形PQDC周长的最小值＝6+CM，过C作CH⊥AB，交D'M的延长线于N，则CH＝BC×sin60°＝3，NH=DD'=， ∴MN＝AH﹣D'M﹣AD•cos60°＝AC×cos60°﹣1-=3﹣1-=，CN＝NH+CH=+3=，在Rt△MNC中，由勾股定理，得CM===， ∴四边形PCDQ周长的最小值为6+．故答案为：6+． （来源：2025春•仓山区校级期中） 17．（6分）计算： （1）﹣4x2（3x+1）； （2）（y+2）（y﹣2）﹣y2． 【答案】见解析 【解答】解： （1）原式＝﹣12x3﹣4x2； （2）（y+2）（y﹣2）﹣y2＝y2﹣4﹣y2＝﹣4． （来源：2026春•上城区校级月考） 18．（6分）计算： （1）(-5)2×(-)+(-22)×|-|； （2）（a3）2•（a4）3+a2． 【答案】见解析 【解答】解： （1）(-5)2×(-)+(-22)×|-|=25×(-)+(-4)× ＝﹣15﹣1＝﹣16； （2）（a3）2•（a4）3+a2＝a6•a12+a2＝a18+a2． （来源：2026春•南山区校级期中） 19．（6分）计算： （1）314×(-)7； （2）用乘法公式计算：1004×996． 【答案】见解析 【解答】解： （1）314×(-)7＝（32）7×（-）7＝97×（-）7＝[9×（-）]7＝（﹣1）7＝﹣1； （2）1004×996＝（1000+4）×（1000﹣4）＝1000000﹣16＝999984． （来源：2026春•金坛区期中） 20．（6分）用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）若底边长比腰长多2cm，求三边长； （2）能否围成一边长为8cm的等腰三角形？若能，求另两边；若不能，说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1）设底长为xcm，则腰边长为 （x﹣2 ）cm，根据题意得x+（x﹣2）+（x﹣2）＝20，解得x＝8，当x＝8时，x﹣2＝6，所以三角形的腰长为6cm、6cm，底边长为8cm； 即三边为6cm，6cm，8cm． （2）能否围成一边长为8cm的等腰三角形，理由如下：若8cm为底边，设腰为x，则2x+8 ＝ 20 x ＝ 6，6+6＞8，成立．若8cm为腰，则另一腰8，底边＝20﹣8﹣8＝4，8+4＞8，成立．故能，另两边为6cm，6cm或8cm，4cm． （来源：2025秋•富锦市月考） 21．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图，点D，射线AE即为所求． （2） ∵DF垂直平分线段AB， ∴DB＝DA， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∵∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°， ∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE=∠DAC＝40°． （来源：2025春•介休市期末） 22．（6分）一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，利用这种方法解答下列问题． （1）如图1，一个边长为a的大正方形被分割成两个较小正方形和两个长方形，通过计算图中阴影部分的面积可以得到的数学等式为 ； （2）已知a﹣b＝3，a2+b2＝17，求ab的值； （3）如图2，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD内作长方形CEPF，在长方形ABCD外作等腰直角△CFG和等腰直角△CEH，若长方形CEPF的面积为21，求图中阴影部分的面积之和． 【答案】（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 【解答】解： （1）图1中阴影部分是边长为a﹣b的正方形，因此面积为（a﹣b）2，图1中阴影部分也可以看作大正方形的面积与空白部分的面积差，即a2﹣2ab+b2，所以有（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2； （2） ∵a﹣b＝3，a2+b2＝17，而（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， ∴9＝17﹣2ab， ∴ab＝4； （3） ∵AB＝8，AD＝4，BE＝DF＝x， ∴PE＝FC＝8﹣x，EC＝PF＝4﹣x， ∵长方形CEPF的面积为21， ∴（8﹣x）（4﹣x）＝21，设a＝8﹣x，b＝4﹣x，则a﹣b＝4，ab＝（8﹣x）（4﹣x）＝21， ∴S阴影部分＝S△CFG+S△CEH=（8﹣x）2+（4﹣x）2=（a2+b2）=[（a﹣b）2+2ab]=×（16+2×21）＝29，即阴影部分的面积为29． （来源：2026春•通川区期末） 23．（8分）定义：在四边形中，如果有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中有一个是直角，那么这样的四边形叫做双直四边形．在双直四边形ABCD中，∠ADB＝∠ABC＝90°，过点D作DE⊥CD交AB于点E，∠A＝45°． （1）如图1，请猜想AE和BC之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，连接CE，作点D关于直线CE的对称点F，连接CF，EF，BF，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出所有与∠BCE互余的角． 【答案】见解析 【解答】解： （1）AE＝BC；理由如下： ∵∠ADB＝∠ABC＝90°，∠A＝45°， ∴∠ABD＝45°， ∴∠CBD＝45°， ∴∠A＝∠CBD，AD＝BD， ∵DE⊥CD， ∴∠CDE＝90°， ∵∠BDC+∠BDE＝90°，∠ADE+∠BDE＝90°， ∴∠ADE＝∠BDC， ∴△ADE≌△BDC（ASA）， ∴AE＝BC； （2）与∠BCE互余的角为：∠CEB，∠EDA，∠BDC，∠CFB．理由如下： ∵∠ABC＝90°， ∴∠BCE+∠CEB＝90°，即∠CEB与∠BCE互余；由（1）可知，△ADE≌△BDC， ∴∠EDA＝∠BDC，在△BCD中， ∵∠BCD+∠CDB+∠CBD＝180°，即∠BCE+∠ECD+∠CDB+∠CBD＝180°，由（1）可知△ADE≌△BDC，∠CDE＝90°， ∴DC＝DE， ∴△CDE是等腰直角三角形， ∴∠DCE＝45°， ∴∠BCE+45°+∠CDB+45°＝180°， ∴∠BCE+∠BDC＝90°， ∴∠BDC与∠BCE互余；又 ∵∠BDC＝∠EDA，∠BCE+∠BDC＝90°， ∴∠EDA与∠BCE互余； ∵点D关于直线CE的对称点为F， ∴CF＝CD，∠FCE＝∠DCE，CE＝CE， ∴△CFE≌△CDE（SAS）， ∴∠CFE＝∠CDE＝90°， ∵∠BCE+∠CEB＝90°，即∠CBE＝90°， ∴∠CBE＝∠CFE， ∴C，B，F，E四点共圆， ∴∠CFB＝∠CEB， ∵∠BCE+∠CEB＝90°， ∴∠BCE+∠CFB＝90°， ∴∠CFB与∠BCE互余；综上所述，与∠BCE互余的角为：∠CEB，∠EDA，∠BDC，∠CFB． （来源：2026•南岗区校级二模） 24．（8分）新定义：如果xn＝y，则规定（x，y）＝n，例如：32＝9，所以（3，9）＝2． （1）填空：（2，4）＝ ；（﹣3，81）＝ ； （2）若（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，试说明a+b＝c； （3）若（e，5）＝（f，125），求e与f的数量关系． 【答案】2，4 【解答】（1）解： ∵22＝4， ∴（2，4）＝2． ∵（﹣3）4＝81， ∴（﹣3，81）＝4．故答案为：2，4． （2）证明： ∵（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c， ∴4a＝12，4b＝5，4c＝60， ∴4a×4b＝12×5＝60＝4c， ∴a+b＝c． （3）解：设（e，5）＝（f，125）＝k， ∴ek＝5，fk＝125＝53， ∵（ek）3＝53， ∴（e3）k＝53， ∴（e3）k＝fk，当k为偶数时，e3+f＝0或e3＝f；当k为奇数时，e3＝f． （来源：2026春•江宁区校级月考） 25．（10分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上（不含端点）的动点，且∠EDC＝∠ECD． （1）如图1，若CD恰好是△ABC的角平分线，试说明DE∥BC； （2）如图2，若DF平分∠BDE交BC于点F，在D、E运动的过程中，试用一个等式表示∠A与∠CDF的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若CD是△ABC的中线，过点E作EG∥AB交CD于点G，连接BE交CD于点Q，当S△ADE＝3，S△DEG＝2时，求DQ：CQ的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵CD恰好是△ABC的角平分线， ∴∠ACD＝∠BCD，又 ∵∠EDC＝∠ECD， ∴∠EDC＝∠BCD， ∴DE∥BC； （2）∠CDF=∠A，理由如下：设∠EDC＝∠ECD＝α， ∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∠BDE＝∠BDC+∠CDE， ∴∠BDE＝∠A+2α，又 ∵DF平分∠BDE， ∴∠EDF=∠BDE=(∠A+2α)=∠A+α， ∴∠CDF＝∠EDF﹣∠EDC=A+α﹣α=∠A． （3）过点E作EM∥CD，连接MG，AG，MC，BG．又 ∵EG∥AB， ∴S△DEG＝S△DMG＝S△DME＝S△AEG＝S△MEC＝2， ∵S△ADE＝3， ∴S△AME＝S△ADE﹣S△DME＝3﹣2＝1， ∴AE：EC＝S△AME：S△CME＝1：2， ∴S△ADE：S△DEC＝1：2， ∴S△DEC＝2S△ADE＝6， ∴DG：DC＝S△DEG：S△DEC＝2：6＝1：3， ∴GC＝2DG，过点D作DH⊥BE，垂足为H，过点G作KG⊥BE，垂足为K， ∵EG∥AB，S△DEG＝S△BEG＝2， ∵CD是△ABC的中线，即AD＝BD， ∴S△ADE＝S△BDE＝3， ∵S△BDG=BE•KG，S△BDE=BE⋅DH， ∴==， ∴==， ∴==， ∴DQ=DG，GQ=DG， ∴CQ=CG+GQ=DG， ∴DQ：CQ=：=1：4． （来源：2025春•泉州期末） 26．（10分）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE． （1）求证：AB＝AC； （2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形． 【答案】见解析 【解答】证明： （1）过点A作AF⊥BC于点F， ∵AD＝AE， ∴DF＝EF， ∵BD＝CE， ∴BF＝CF， ∴AB＝AC． （2） ∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC， ∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC， （来源：2020秋•平房区期末） 27．（10分）综合与实践在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干正方形纸片． （1）【操作判断】将正方形纸片ABCD与等腰直角三角尺DEF按如图1放置，三角尺DEF的边DE，DF分别与正方形ABCD的边AB，BC交于P，Q两点．小明将△DQC绕点D顺时针旋转90°，此时点C与点A重合，点Q的对应点为Q，通过推理小明得出了△PDQ≌△PDQ'．根据以上信息，请填空：①∠PDQ'＝ °；②线段AP，PQ，QC之间的数量关系为 ， （2）【迁移探究】小明将正方形纸片ABCD换成了图2中的形状，若∠ADC＝2α，∠PDQ＝α，AD＝CD，P，Q分别在AB，BC上，且∠BCD+∠DAB＝180°，线段AP，PQ，QC之间的数量关系是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明； （3）【拓展应用】如图3，已知Rt△ADC，∠ADC＝90°，AD=CD=6．小明以点D为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺EDF，其中射线DE，DF分别交射线AC于点M，N，当点M恰好为线段AC的三等分点时，请直接写出MN的长． 【答案】45° 【解答】解： （1） ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝90°，由旋转变换可知：△DQC≌△DQ'A， ∴∠ADQ'＝∠CDQ，CQ＝AQ'，DQ＝DQ'，∠DAQ'＝∠DCQ＝90°， ∴∠DAP+∠DAQ'＝180°， ∴P、A、Q'三点共线， ∵∠PDQ＝45°， ∴∠ADP+∠CDQ＝45°， ∴∠ADP+∠ADQ'＝45°，即∠PDQ'＝45°， ∴∠PDQ'＝∠PDQ＝45°，在△PDQ和△PDQ'中，， ∴△PDQ≌△PDQ'（SAS）， ∴PQ＝AQ'＝AP+AQ'＝AP+QC．故答案为：45°；PQ＝AP+QC． （2）线段AP，PQ，QC之间的数量关系仍成立，理由如下：如图2，延长BC至E，使CE＝AP，连接DE． ∵∠QCD+∠DAP＝180°，∠QCD+∠DCE＝180°， ∴∠DAP＝∠DCE，在△DAP和△DCE中，， ∴△DAP和≌△DCE（SAS）， ∴∠ADP＝∠CDE，DP＝DE， ∵∠ADC＝2α，∠PDQ＝α， ∴∠ADP+∠CDQ＝α， ∴∠CDE+∠CDQ＝α， ∴∠EDQ＝α＝∠PDQ，在△PDQ和△EDQ中，， ∴△PDQ和≌△EDQ（SAS）， ∴PQ＝EQ＝CE+CQ＝AP+CQ． （3）如图3，将△DNC绕D点顺时针旋转90°至△DFA，连接FM．则CN＝AF，DN＝DF，∠FDA＝∠NDC，∠FAD＝∠NCD＝∠MAD＝45°， ∴∠FAM＝90°， ∵∠EDF＝45°， ∴∠ADM+∠NDC＝45°， ∴ADM+∠ADF＝45°， ∴∠FDM＝45°＝∠NDM，在△FDM和△NDM中，， ∴△FDM和≌△NDM（SAS）， ∴FM＝NM， ∵AD＝CD=6， ∴AC＝12， ∵M恰好为线段AC的三等分点（靠近A点）， ∴AM＝4，CM＝8，设MN＝FM＝x，则AF＝CN＝8﹣x，在Rt△AMF中：AM2+AF2＝FM2， ∴16+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5， ∴MN＝5；如图4，M为靠近C点的三等分点，CM＝4，AM＝8，作DH⊥AC于H，则AH＝DH＝CH＝6， ∴HM＝CH﹣CM＝2， ∴DM===2， ∵∠MDC+∠CDN＝45°，∠CDN+∠CND＝∠DCM＝45°， ∴∠CND＝∠MDC， ∴△DMC∽△NMD， ∴MD2＝MC•MN， ∴MN＝10．综上所述，MN＝5或10． （来源：2025春•金水区校级期中） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $