2026-2027学年湘教版八年级数学上册第一次月考测试卷

2026-2027学年湘教版八年级数学上册第一次月考测试卷 测试范围：第1章因式分解~第2章分式 一、单选题（每题3分，共30分） 1 1.若分式x-2有意义，则x的取值范围是（) A.x≠2 B.x=2 C.x>2 D.x<2 39y2 2.下列多项式中，各项的公因式为的是() A.2-y B.6gy2-12.gy2 c.93-15xy2 D 3x2y-6x2y 3.下列运算正确的是() A.a3÷b2=a B.（m）(-m)°=m c.（y）÷y=-y D.-104÷(-10)2=-100 4、若长和宽分别为和广的长方形的周长为20，面积为16，则代数式y+ 的值() A.36 B.80 c.160 D.320 5.如图，边长为a,b的矩形的周长为14，面积为l0,则a2b+ab的值是() b -a A.70 B.140 C.55 D.24 6.已知2m=20,5”=40,则(m-2n-l)=() A.3 B.5 C.7 D.9 7.己知正实数a,b,x,y,满足a=y+9,四=x+3,若图1中阴影部分的面积为9，则图2中阴 影面积为() 试卷第1页（共3页） 6 x+y 图1 图2 A.8 B.9 C.12 D.15 31 8.对于正数x,规定f)=,x·例如：f3)=3=3,（31少 14,则 1+ 3 的值为() A.2026 B.2025 C.2024.5 D.2025.5 x2+2 一十- 9.若xx+1x+2(A,B,C均为常数)的计算结果为x(x+I)x+2),则A-B+C的值为() A.-3 B.-7 C.3 D.7 10.已知整式4：4+ax+a++a ,其中“为自然数，n,4,4,。 …, 4为正整数，且 n+a+a1+a2+…+an=7 ·下列说法： ①满足条件的所有整式A中有且仅有1个单项式： ②当n=3时，满足条件的所有整式A的和为5x+5x2+5x+1; ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定是非负数的整式A共5个. 其中正确的个数是()个 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（每题3分，共18分） x2-9 11.若代数式2x-6的值等于0，则x=- 12.多项式r+5x+b因式分解的结果为 cr+x+b),则a+b的值为 试卷第2页（共3页） 13.已知x>y,满足(x+)=24,(c+)=12 则y 14,对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、 公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法， 例： 2a-3ab-4+6b=(2a-3ab)-(4-6b)=a(2-3b)-2(2-3b)=(a-2)(2-3b) 请用分组分解法将a-bx+a-2ab+b因式分解为一· 11 15.已知(x"y=x3,(3"y.9=27,则m+n的值是 a10 16.若6=3，则a-b的值为 三、解答题（每题9分，共72分） 17.先因式分解，再求值：mn-mn,其中m-n=-2,mn=3. 18.因式分解： ()3r+6g-3y2 g2-4-12 19.分式的计算 11 .x2-x 0x-1x2-i广x2-2x+1 (2-2 20.对代数式x+4进行因式分解. 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 我们发现，代数式+4可写成平方和（：+2”的形式。要用公式就必须添一顶4化，随即将此顶4减 去，即可得+4=+4x2+4-42-(x+2-4x=(x+2-(2x-(x2+2x+22-2x+2) 试卷第3页（共3页） (1)根据上述方法，因式分解：x+64: (2)小明认为：“对于形如x+4n4(n为正整数)的多项式，都能用这种方法进行因式分解.”请你判断 这个说法是否正确.如果正确，请说明理由；如果不正确，请给出反例并解释原因. 21.观察下列各式： 1 1 第1个等式：-1×。=-1+ 2 2: 111.1 第2个等式：2×3=2+3： 1.11,1 第3个等式：3×4=34： 111.1 第4个等式：-4×5=-4+5 111.1 第5个等式：5×6=5+6 . 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)写出你猜想的第n(n为正整数)个等式： ,并证明. 22.数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等 2+2ab+b2=(a+b)2 式，将一些多项式因式分解.例如：利用图1可以得到 不 6 a b 图1 图2 (1)观察图2，请用两种不同的方法表示图2中大长方形的面积，并写成因式分解的形式： (2)在图2中，若大长方形的周长为30，且b=6,求阴影部分的面积. 23.阅读理解 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母， 试卷第4页（共3页） 求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数. 类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和. 例如： x+1=1+1,x+--+2-1+2 x x-1 x-1 x-1 6 材料2：为了研究字母x和分式x的变化关系，小明制作了如下表格： -3 -2 -1 0 3 6 -3 -6 无意义 6 3 2 请根据上述材料完成下列问题： x+6 2x+2 (I)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式： x-2 6 (②)小茗同学认为：随着x的增大，分式x的值在减小，你同意他的观点吗？请说明理由： 2x+2 (3)当x大于2时，随着x的增大，分式x-2的值无限趋近于一个数，这个数是 24.阅读材料： “糖水不等式”的证明 小聪有一杯糖水重a克，其中溶有糖b克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了C克糖，感觉比原来甜了许多 糖的质量 糖水的甜度取决于糖水浓度（糖水浓度一糖水的质量）· b b+c 小聪这杯糖水原来的浓度为。，添加c克糖后，糖水的浓度变成a+c· 生活经验告诉我们，添加糖后， b+c、b 糖水会更甜。利用不等式来表示这种现象，即a+&>。(a>b>0,c>0.有人把这个不等式趣称为“糖 水不等式”，这个不等式成立吗？怎么证明呢？ 基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”， b+c 6 ()【特例验证】假设a=3,b=2,c=1,则a+c 一a·（填“>、<或=") (2)【推理论证】证明(1)中，你得到的结论 (3)【应用拓展】 试卷第5页（共3页） ①已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为 个，水流速度为 %(Y>2>%>0) 两船同向逆流航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为个么，比较 小的大小，可判断出先返回港的是 A.甲B.乙C.甲乙同时D.无法判断 +6 ta<2 ②若a、hc为。4BC三边的长，证明：a+b+a+c+b+c 试卷第6页（共3页） 2026-2027学年湘教版八年级数学上册第一次月考测试卷 测试范围:第1章因式分解 一、单选题（每题3分，共30分） 1．若分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此即可求得答案． 【详解】解：若分式有意义， 则， 解得：， 即的取值范围是． 2．下列多项式中，各项的公因式为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】公因式是多项式各项系数的最大公约数，与各项都含有的相同字母的最低次幂的乘积，按规则求出各选项的公因式，即可得到答案． 【详解】解：根据公因式的确定规则，对各选项逐一判断： ∵ 选项A：多项式 ，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为 ，∴ 公因式为 ，故不符合题意； ∵ 选项B：多项式，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为，∴ 公因式为，故不符合题意； ∵ 选项C：多项式，系数和的最大公约数为，相同字母的最低次幂为，的最低次幂为，∴ 公因式为，故符合题意； ∵ 选项D：多项式 ，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为，公因式为 ，故不符合题意． 3．下列运算正确的是（ 　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减是解题关键． 底数互为相反数的化成同底数，然后根据同底数幂的除法，底数不变指数相减，计算每个选项的表达式，判断其正确性． 【详解】对于选项A：∵ ∴A错误． 对于选项B：∵， ∴B错误． 对于选项C：∵， ∴C错误． 对于选项D：∵，与右边相等， ∴D正确． 故选：D． 4．若长和宽分别为和的长方形的周长为，面积为，则代数式的值（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形的周长和面积公式得到和的值，对所求代数式提取公因式因式分解后，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵长方形的长和宽分别为，，周长为，面积为， ∴，，即， ∴． 5．如图，边长为，的矩形的周长为，面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的周长公式和面积公式分别求出与的值，再代入计算即可． 【详解】解：矩形的周长为，面积为， ，， ， ∴． 6．已知，，则（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】本题考查本题考查指数的运算性质，将原式进行正确地变形是解题的关键． 利用同底数幂除法法则可得，，设，， 则，从而求得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 设，， 则，． ∵， 又， ∴， ∴． ∴． 故选A. 7．已知正实数，，，，满足，，若图1中阴影部分的面积为，则图2中阴影面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图1阴影部分面积得出，根据图2阴影部分形状得出面积为，利用已知方程组通过平方差公式变形建立与的关系求解． 【详解】解：由图1可知，阴影部分为长方形，长为，宽为； 图1阴影面积． 图2阴影部分为长方形，长为，宽为， 图2阴影面积． 已知，即；，即． ∴， ∴， ， ， ． ， ， ， 即图2中阴影面积为8． 8．对于正数x，规定，例如：，，则的值为（    ） A．2026 B．2025 C．2024.5 D．2025.5 【答案】D 【分析】先推导得到的规律，将原式两两配对求和，再计算单独的，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 原式中，与为一对，与为一对，…，与为一对，共对，这部分的和为． 又， ∴原式． 9．若（，，均为常数）的计算结果为，则的值为（     ） A． B． C．3 D．7 【答案】D 【分析】先将左侧三个分式通分，公分母为，将分子展开并整理，得到．由左右分式相等且分母相同，可知分子对应项系数相等，据此列出三元一次方程组，解得，，，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 10．已知整式：，其中为自然数，n，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定是非负数的整式共5个． 其中正确的个数是（     ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】①可通过分析单项式条件判断；②通过时列出所有符合的整式，然后计算它们的和即可验证；③通过时列出所有的二次三项式，得出非负数的整式的个数，即可求解． 【详解】解：①∵为自然数，n，，，…，为正整数， ∴当时，则有，即， ∴当，时，整式A为，当时，整式A不可能为单项式， 当时， ∵，，，为正整数， ∴整式A不可能为单项式， ∴满足条件的所有整式A有且仅有1个单项式，故①正确； ②当时，，即， 当时，， ∴的解为，，， ∴对应的整式A为，，， 当时，， ∴的解为， ∴对应的整式A为， ∵，，均为正整数， ∴， 而当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， ∴满足条件的所有整式A的和为，故②正确； ③∵多项式为二次三项式， ∴， ∴且， 当时，， ∴的解为，，， ∴对应的整式A为，，， ∵， ，不一定是非负数， ， ∴，两种都满足条件， 当时，， ∴的解为，， ∴对应的整式A为，， ∵，， ∴，都满足条件， 当时，， ∴的解为， ∴对应的整式A为， ∵， ∴满足条件， 当时，不存在符合条件的整式， 综上，当x取任意实数时，其值一定是非负数的整式A共有5个，故③正确， ∴正确的个数是3个． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．若代数式的值等于0，则_________． 【答案】 【分析】由分式值为0得出分式分子为0，且分母不为0，列出不等式组求解即可得出答案． 【详解】解：， ∴， 解得． 12．多项式因式分解的结果为，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式和多项式各项系数的确定； 将因式分解结果展开，与原多项式比较对应项系数，建立方程求解和的值． 【详解】解：∵多项式因式分解结果为， ∴展开得，与多项式比较系数， 二次项系数：；一次项系数：， 代入得，解得； 常数项系数均为， ∴， 故答案为：． 13．已知，满足，，则_________． 【答案】2 【分析】根据题意可得，，则可得到，据此得到，，求出y的值，进而求出x的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 例：． 请用分组分解法将因式分解为___． 【答案】 【分析】观察多项式结构，将后三项分为一组，可利用完全平方公式分解，前两项分为一组，可利用提公因式法分解，分组后再提取公因式即可完成因式分解． 【详解】解： ． 15．已知，，则的值是________． 【答案】 【分析】先利用幂的乘方法则，由第一个等式得到的值，再将第二个等式中各幂化为底数为的幂，根据同底数幂的乘法法则得到的值，最后对所求式子通分后，代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ，即， ， ， ，即， ， 将，代入得， ． 16．若，则的值为__________． 【答案】 【详解】∵， ∴，即， 将代入中，得， 则的值为． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．先因式分解，再求值：，其中，． 【答案】 【详解】解：原式 ； ，， 原式 ． 18．因式分解： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 19．分式的计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对分母因式分解，通分计算括号内的减法，将除法转化为乘法后约分得到结果； （2）先通分计算括号内的异分母减法，因式分解后将除法转化为乘法，约分得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．对代数式进行因式分解． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 我们发现，代数式可写成平方和的形式，要用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得． (1)根据上述方法，因式分解：； (2)小明认为：“对于形如（n为正整数）的多项式，都能用这种方法进行因式分解．”请你判断这个说法是否正确．如果正确，请说明理由；如果不正确，请给出反例并解释原因． 【答案】(1) (2)正确，理由如下： ， 因此，对于形如（n为正整数）的多项式均可用此法因式分解． 【分析】（1）根据新方法，用构造出平方项，再进行因式分解； （2）仿照（1）的方法，进行解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）略 21．观察下列各式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式： ________； (2)写出你猜想的第（为正整数）个等式： ________，并证明． 【答案】(1) (2) ，证明如下： ， ， ． 【分析】本题考查数字规律探究，分式的运算与通分，掌握裂项相消是解题关键． （1）根据前个等式的规律，直接写出第个等式； （2）先归纳出第个等式的猜想形式，再通过分式通分计算，验证等式左右两边相等． 【详解】（1）解：由题可知，． 答：． （2）解：略． 22．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)观察图2，请用两种不同的方法表示图2中大长方形的面积，并写成因式分解的形式； (2)在图2中，若大长方形的周长为30，且，求阴影部分的面积． 【答案】(1)图2面积为，也可以表示为， (2)26 【分析】（1）用两种方式表示出大长方形的面积，从而即可得出结果； （2）由大长方形的周长得出，再结合完全平方公式计算得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：由图可知，图2面积为，也可以表示为， ． （2）解：由图可知，大长方形的周长， ． ，， ， ， ∴阴影部分面积． 23．阅读理解 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． 材料2：为了研究字母x和分式的变化关系，小明制作了如下表格： x … 0 1 2 3 … … 无意义 6 3 2 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；___________，_________； (2)小茗同学认为：随着x的增大，分式的值在减小，你同意他的观点吗？请说明理由； (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是_________． 【答案】(1)， (2) 不同意，理由如下： 根据表格可知，当时，随着x的增大，的值逐渐减小， 当时，随着x的增大，的值逐渐减小， 但是当时，，当时，，此时并不满足随着x的增大，的值逐渐减小， ∴不同意小茗同学的观点； (3)2 【分析】本题主要考查了分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可写出答案； （2）根据表格中的数据可得当时，，当时，，此时并不满足随着x的增大，的值逐渐减小，据此可得结论； （3）将分式转换成形式，利用随着的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0，进而得出结论． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）略 （3）解：∵， ∴当x大于2时，随着x的增大，逐渐增大，则逐渐减小， ∴当x的值越大，的值越大，即此时值越小， ∴当x的值无限大时，分式的值无限趋近于一个数，这个数是2． 24．阅读材料： “糖水不等式”的证明 小聪有一杯糖水重克，其中溶有糖克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了克糖，感觉比原来甜了许多． 糖水的甜度取决于糖水浓度（糖水浓度）． 小聪这杯糖水原来的浓度为，添加克糖后，糖水的浓度变成．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？ 基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”． (1)【特例验证】假设，则______．（填“>、<或=”） (2)【推理论证】证明（1）中，你得到的结论． (3)【应用拓展】 ①已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，水流速度为，两船同向逆流航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，比较的大小，可判断出先返回港的是___________． A．甲  B．乙   C．甲乙同时   D．无法判断 ②若为三边的长，证明： 【答案】(1) (2) 证明： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)①B； ②证明：由题意，， ∴，，， 由“糖水不等式”可知：， ， ， ． 【分析】本题考查分式的加减运算，三角形的三边关系，熟练掌握“糖水不等式”是解题的关键： （1）将字母的值代入，比较分数的大小即可； （2）利用作差法进行计算即可； （3）①根据题意分别表示出、，然后比较大小求解即可； ②利用糖水不等式进行证明即可． 【详解】（1）解：当，，时， ，， ∴， ∴； 故答案为： （2）略 （3）解：①∵，， ∴，由题意可知，，故，即， ∴乙船先返回A港． 故选：B； ②略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $