湖北省荆州市石首市九年级数学上学期单元作业（人教版九年级上学期第二十七章）

作业大赛 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 第二十七章《反比例函数》单元整合作业设计 学段学科 初中 数学 适用年级 九年级 教材版本 人教版 2024 版 对应内容 第二十七章 反比例函数（单元课后整合作业） 作业类型 单元课后作业 + 跨学科实践探究作业 完成时长 基础必做题 22 分钟；提升选做题 13 分钟；实践探究题 10‑15 分钟 设计者 曾小平 二、设计背景与意图 1.课标与教材分析 课标要求：课标要求：依据《义务教育数学课程标准（2022 版）》，落实模型观念、数形结合、抽象能力核心素养；达成能识别反比例函数、探究函数图象性质、建立反比例函数数学模型解决实际问题的学业质量标准。 教材地位：反比例函数是初中阶段三大函数之一，承接一次函数学习，为后续二次函数学习铺垫，是函数模型思想重要载体；本单元包含反比例函数概念、图像与性质、实际应用三大板块，同时可与物理学科电路、压强、杠杆知识跨学科融合。 教学重难点：重点：反比例函数概念、双曲线图像性质、待定系数法求解析式、实际情境建立反比例模型。难点：忽略自变量现实取值范围；脱离象限直接套用增减性；利用函数增减性解决 “至少、至多” 实际应用问题。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已经学习一次函数，掌握函数基本概念、待定系数法，具备基本读图能力；生活中接触大量总量固定的现实情境。 现有困惑 容易混淆反比例函数形式，分不清与；忽略自变量不为 0 以及实际情境取值限制；没有注意增减性必须强调 “在每一个象限内”；实际问题不会结合函数性质分析最值。 差异分析 学生层次分化明显：基础薄弱学生需要巩固概念识别；中等学生可以完成基础并尝试综合应用题；优等生可以完成综合题以及实践创编任务，需要拓展探究空间。 3. 设计意图 本单元作业落实 “双减” 分层弹性作业理念，分为基础必做、提升选做、实践探究三类习题；以课本例题变式、生活真实情境、物理跨学科素材为载体，强化数形结合与模型观念，既夯实概念、图像性质基础知识，又训练学生从现实情境抽象函数模型、利用函数解决实际问题的能力；兼顾纸笔习题与实践探究，满足不同层次学生学习需求，控制作业总时长，避免课业负担。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 辨别、识别反比例函数；掌握形式，理解自变量；掌握图像象限与增减规律；会待定系数法求解析式 数感、符号意识 选择题、填空题正确率，解析式书写，自变量范围书写 能力运用 B 读取反比例函数图像信息；从行程、工程、物理情境抽象反比例函数模型；结合自变量现实约束，利用增减性求解 “至少、至多” 实际应用题 模型观念、运算能力 解答题解题步骤，会写自变量取值范围，会结合性质分析实际最值 思维发展 C 经历 “实际情境→抽象函数模型→图像性质求解→解释现实结果” 完整建模流程；对比正比例、反比例的本质区别；能寻找生活反比例实例 几何直观、推理能力 应用题说理过程，实践探究的实例分析、草图绘制 情感态度 D 体会数学在生活、物理学科中的应用价值；愿意用数学眼光观察现实世界；小组合作完成实践探究任务 应用意识 实践作业记录、简答、草图完成情况 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 选择题 判断哪一个是反比例函数 A 辨析反比例函数定义形式，区分正比例、一次函数、伪反比例（分母为） 答案 B；要点：可化为， 2 选择题 根据双曲线图像判断 k 符号与增减性 A 考察图像象限与的关系，强调增减性前提：每个象限内 答案 C；要点：二四象限，每一象限 y 随 x 增大而增大 3 选择题 已知图像上一点，判断哪个点不在函数图像上 A 巩固反比例核心，点在图像则横纵坐标乘积等于 答案 D；要点：先求，验证各选项横纵坐标乘积 4 填空题 已知一组，写反比例解析式，写自变量范围 A 待定系数法求解析式；牢记分式分母不为零 ； 5 填空题 根据图像一支在第一象限求参数范围 A 掌握符号和图像象限关系，解简单不等式 ；要点： 6 填空题 卸货实际情境写函数关系式 A、B 现实情境建立模型，自变量要考虑实际意义 ；时间不能取 0 和负数 7 解答题 蓄电池电流电阻反比例（物理情境），求解析式；限制电流求电阻范围 A、B 跨物理学科；会根据图像点求 k；结合不等式、函数性质解决实际约束问题 (1)；(2)；注意电阻现实大于 0 8 解答题 矩形面积固定，长与宽反比例；给定宽上限求长最小值 B、C 几何实际模型；训练 “至多、至少”，利用反比例增减性分析最值 (1)；(2) 长至少 40 米；必须结合增减性说理 9 解答（选做） 给定反比例，两点横坐标一负一正，比较 y 大小 A、C 区分不同象限点，不能跨象限使用增减性，根据图像象限判断符号比较大小 ；M 在第二象限，N 在第四象限 10 解答（选做） 搬运物资，搬运效率和时间反比例；三小问求解析式，两个最值问题 B、C 复杂实际应用题，多次训练结合现实自变量范围、增减性求最值 (1)；(2) 至少 7.5 吨；(3) 至少 4 小时 11 解答（选做） 反比例与一次函数交点；给定 x 范围求 y 取值；给定 y 求 x 范围 A、C 结合图像读取取值范围，强化数形结合 (1)；(2)；(3)；(4) 12 实践探究（选做，小组） 寻找生活反比例实例，写关系式、草图，思考自变量取值，正反比例区别 C、D 跨学科、生活化实践，体会模型来源，对比正反比例本质 评价要点：实例合理；关系式正确；能解释自变量不能取 0；分清乘积定值与比值定值；草图大致画出双曲线 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题全部正确；反比例解析式、自变量范围书写准确，概念无错误 基础题少量计算失误；自变量范围偶尔遗漏 存在概念理解错误，部分基础题不会做 概念多处错误，无法识别反比例函数 能力运用 解题过程完整，应用题会结合增减性说理；“至少至多” 问题分析逻辑完整 解题思路正确，个别应用题缺少说理步骤 能列式，不会结合函数性质分析实际最值 不会建立函数模型，列式错误 思维发展 实践探究完成质量高，实例选取恰当；取值分析论证清晰，有自己思考；选做题大部分完成 选做题完成 1‑2 道；实践任务基本完成，说理简单 选做题几乎未做；实践作业部分空白 不会分析情境，无推理过程 情感态度 主动完成实践探究；愿意小组合作；做题认真，主动反思错题 态度端正，完成规定作业；可以参与小组活动 被动完成必做题；实践探究敷衍 作业完成度低，不愿参与探究任务 6、 试题详情 第一部分 基础・必做题（预估用时 22 分钟） 一、选择题 1.下列函数中，属于反比例函数的是（） A. B. C. D. 2.反比例函数图象如图所示，下列判断正确的是（） A.，每个象限内随增大而减小 B.，每个象限内随增大而增大 C.，每个象限内随增大而增大 D.，每个象限内随增大而减小 3.已知点在反比例函数图象上，则下列点一定不在这个函数图象上的是（） A. B. C. D. 二、填空题 4.已知是的反比例函数，当时，，函数解析式为 ，自变量取值范围 。 5.反比例函数的一支在第一象限，则取值范围是 。 6.一批货物总质量 840t，平均卸货速度，卸完全部货物时间，写出关于函数关系式 。 三、解答题 7.蓄电池电压恒定，电流是电阻的反比例函数，图象如图。 (1) 求关于的反比例函数解析式； (2) 如果限制电流不能超过 4A，求可变电阻的取值范围。 8.一块面积固定为矩形实践基地，设矩形长为，宽。 (1) 写出关于函数解析式，写出自变量取值范围； (2) 如果基地宽不大于 30m，则长至少为多少米？ 第二部分 提升・选做题（预估用时 13 分钟，选做） 9.某外卖站点，配送总订单数量固定，配送员人均配送量与配送员人数成反比例函数。现有两点、在该函数图象上，已知，请比较与的大小，并说明理由。 10.社区准备租用小型储物仓堆放救灾物资，物资总质量不变。已知仓储的搬运效率(吨 / 小时) 和完成全部物资搬运所需时间(小时) 成反比例关系。若每小时搬运 5 吨物资，6 小时可以搬运完成。 (1) 求关于的函数关系式，写出自变量取值范围； (2) 社区要求搬运时间不超过 4 小时，那么每小时至少要搬运多少吨物资？ (3) 若受人力设备限制，每小时搬运最多只能搬运 7.5 吨物资，则完成搬运至少需要多少小时？ 11.一家文创小店售卖手工书签，销售利润相关模型：某一部分利润（元）与销售数量（件）满足反比例函数，该反比例函数与一次函数图象交于、两点。 (1) 求这个反比例函数解析式； (2) 结合图象，当时，请直接写出的取值范围； (3) 文创店规定销售数量满足，请结合图象，写出对应利润的取值范围； (4) 拓展：当利润时，请直接写出自变量的取值范围。 第三部分 实践探究・选做（课后弹性作业，10‑15 分钟，可小组） 1.观察现实生活，寻找 1‑2 个 “两个量乘积为定值” 的反比例实例，可以来自物理、生活劳动、出行场景（压强与受力面积、速度时间、杠杆等）。 2.记录：变量名称、现实约束、写出反比例函数关系式，画出简易草图（参照课本双曲线）。 3.思考简答：这个实际情境中自变量能不能取 0？为什么？ 4.拓展思考：正比例和反比例的核心区别是什么？ 7、 答案与解析 基础・必做题 答案：B【解析】反比例函数标准形式或。A 是正比例函数；C 分母是，不是；D 是一次函数；B 变形得，属于反比例函数。 答案：C【解析】双曲线分布第二、四象限，故；当时，在每一个象限内，随的增大而增大。不能跨象限讨论增减。 答案：D【解析】点代入得，函数上所有点横纵坐标乘积等于；D 选项，不在图像上。 答案：；【解析】将代入，；分式分母不能等于 0，自变量。 答案：【解析】图像一支在第一象限，说明比例系数大于 0：，解得。 答案：【解析】总货物；现实卸货时间大于 0，故。 7.【解】 (1) 设，图像过点，代入得，解得； 解析式：。 (2) 由题意，即，，不等式两边乘得，解得。 【解析】物理欧姆定律情境；电阻现实取值大于 0；不能直接去掉分母忽略的前提。 8.【解】(1) 矩形面积，； (2) ，，第一象限内随增大而减小；当，；时，。答：长至少为 40 米。【解析】实际问题 “至少至多” 要结合反比例增减性分析，不可以单纯代数解方程。 提升・选做题 答案： 【解析】，反比例图像在二、四象限；，点在第二象限，；，点在第四象限，；。 10.【解】(1) 物资总质量，。(2) ，第一象限随增大而减小；代入，；。答：每小时至少搬运 7.5 吨。(3)，即，，解得。【解析】同一个函数模型，从两个不同方向考查最值，训练现实约束与增减性结合。 11.【解】(1) 将代入，，；解析式：。(2) ，第一象限内随增大而减小，。(3) 时；时；时，。(4) 现实，，解得。【解析】数形结合，给定自变量范围求函数值范围；给定函数值反求自变量。 实践探究・选做参考答案示例 示例：压力固定，压强与受力面积，关系式；自变量不能取 0；现实物体受力面积不可能为 0，分母不能为 0。 正反比例核心区别：正比例：，比值定值；反比例：，乘积定值。 评价要点：实例只要满足两个变量乘积固定即可；草图只需要画出双曲线大致两支；简答言之有理即可。 学科网（北京）股份有限公司 $