陕西师范大学附属中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

陕西师大附中2026—2027学年度第一学期 高二年级月考数学试题 满分：120分　　时间：120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线的倾斜角是（ ） A． B． C． D． 2．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知直线与直线平行，直线到的距离与到的距离相等，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，，则（ ） A． B． C． D． 5．如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，，分别为母线、的中点，则异面直线和所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 6．由曲线围成的图形的面积为（ ） A． B． C． D． 7．若既是，的中点，又是直线与直线的交点，则线段的垂直平分线的方程是（ ） A． B． C． D． 8．如图，三棱锥中，，，为的中点．点满足，则平面与面所成角得正弦值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分） 9．已知平面与平面的法向量分别是，，直线的方向向量为，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则D若，则 10．设坐标原点为，直线，，则（ ） A．的充要条件是或 B．若，则 C．点到直线的距离的最大值是2 D．若经过点的直线与始终垂直，则垂足与原点距离的最大值是 11．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法正确的是（ ） A．当时，点在线段上； B．当时，三棱锥的体积随着的变化而变化； C．当时，有且仅有一个点，使得平面； D．若，则点的轨迹所围成的面积为． 三、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分） 12．已知点关于坐标平面的对称点为，点关于坐标平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则________． 13．已知点在圆的外，则实数的取值范围为________． 14．已知的面积为8，，则的取值范围为________． 四、解答题（本大题共5小题，第15-16题每小题10分，第17-18题每小题12分，第19题每小题14分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点，． （1）求圆的标准方程； （2）已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 16．如图所示，在四棱锥中，，，，底面，为的中点 （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．已知在中，点，角的角平分线为，边上的中线所在直线为．（注：结果都写成直线方程的一般式） （1）求过点且两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程． （2）求点的坐标； （3）求边所在直线方程． 18．如图，在平行六面体中，，，，为和的交点． （1）求； （2）求平行六面体的体积； （3）设四面体外接球球心为，求点到平面的距离． 19．已知平面直角坐标系内的直线与直线，过平面内一点向直线，作垂线，垂足分别为，，记，，定义点的“距离坐标”为． （1）当时，求点的轨迹方程； （2）若点的“距离坐标”为，求点的坐标； （3）已知一束光线从轴上一点出发，经由直线上一点反射后，再经直线上的点反射，最终回到出发点．若点在线段上，求点的“距离坐标”． 学科网（北京）股份有限公司 $陕西师大附中2026一2027学年度第一学期 高二年级月考数学试题参考答案 满分：120分时间：120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.D 2.A 3.D 4.A 5.c 6.B 7.A 8.c 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的不得分) 9.AB 10.BC 11.ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分） 12.2V13 13.(3 0)U(0,+∞) 14.,当 四、解答题（本大题共5小题，第15-16题每小题10分，第17-18题每小题12 分，第19题每小题14分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(1) -5+1 2 二2 将x=-2代入x-2y+4=0: -2-2y+4=0 y=1 得圆心C(-2,1),半径： T=V(-2-1)2+(1-0)2=√10 圆C的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=10。 (2)设M(x,),P(o,0),由中点坐标公式得： x=20+2 2 (=6+1 2 即0=2-2 (0=2y-1° 将xo,0代入圆C的方程： (2x-2+2)2+(2-1-1)2=10 4x2+4y-1)2=10 x2+g-12=5 线段PQ中点M的轨迹方程为z2+(g-1)2= 2 16.(1)证明：取PD中点N,连结AN,MN, Z M,N分别为PC,PD中点， ∴MN/ICD,MN=号CD, AB⊥AD,CD⊥AD,A,B,C,D四点共面， AB/CD,又AB=CD, .AB//MN,AB=MN, :.四边形ABMN为平行四边形 B ∴.BM/AN,又BMC平面PAD,ANc平面PAD, ∴.BM//平面PAD. → (2)解：以A为坐标原点，AB,AD,AP的正方向为x,y,轴正方向，可建立如图空间直角坐标 系， P(0,0,2),C(2,2,0),B(1,0,0),D(0,2,0), .PC=(2,2,-2),PB=(1,0,-2),BD=(-1,2,0), PB.=x-22=0 设平面PBD的法向量n=(x,,),则 (BD.元=-2+2划=0 令y=1,解得：x=2,z=1,则n=(2,1,1), lcos(PC,元1= PC.nl 2V3×√6 PCn 即直线PC与平面PBD所成角的正弦值为y2 3 17.(1) 解：设直线l的方程为y=kx+b或x=a。 由题意，直线1过点C(2,-1),且两坐标轴上截距互为相反数。 ①当直线l过原点时，设方程为y=kx。 将点C(2,-1)代入得：-1=2k,解得k=-1 -29 此时直线方程为y=,即：十2=0。 ②当直线1不过原点时，设方程为后+名=1。 因为截距互为相反数，所以b=-a。 方程化为二-y=1,即x-y=a。 将点C(2,-1)代入得：2-（-1)=a,解得a=3。 此时直线方程为x-y=3,即x-y-3=0。 综上所述，直线1的方程为x+2y=0或x-y-3=0。 (2) 解：因为∠A的角平分线为1：x=1,所以点A在直线x=1上。 设点A的坐标为(1，yA)。 设4C的中点为D,则D的坐标为（生2，“。，即（停，， 2’2 因为AC边上的中线2过点D,且2的方程为y=卫一2 3 所以A-1_33 2 -221 解得A=1。 所以点A的坐标为(1,1)。 (3) 解：点C(2,-1)关于直线x=1的对称点为C'(0,-1)。 因为1是∠A的角平分线，所以点C在直线AB上。 设直线AB的方程为y=kx+b。 将A(1,1)和C(0,-1)代入得： 6±，能器{6=21 1b=-1° 所以直线AB的方程为y=2x-1。 联立直线AB与中线12的方程： y=2x-1 3 y=- 解得 ，即点B的坐标为（分-2列 = (y=-2 设直线BC的方程为y=x+b。 将B(-2 1 -2)和C(2,-1)代入得 ∫-2N+H=-2 2k+b=-1 2 K= 解得 9 所以直线BC的方程为y=号-号即2-列-9=0， 18.(1) 解：以A为原点，AB,AD所在直线分别为x,y轴，过A且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立 空间直角坐标系。 由题意得A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0)。 设A1(,,2),由|AA=2,∠BAA1=∠DAA1=60°解得A1(1,1,V2)。 则C(3,3,V2)。 因为M为A1C1的中点，所以M(2,2,√2)。 所以BM=(0,2,V2) 1BM=/02+22+(2)2=v6。 答：BM的长为√6。 (2) 解：平行六面体底面ABCD为边长为2的正方形，面积S=4。 高h为点A1到平面ABCD的距离，即A1的z坐标，h=√2。 体积V=Sh=4×√2=4V2。 答：平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为4V2。 (3) 解：设四面体A1一ABD外接球球心为O(x,,)。 由OA=OB=1OD1=1OA1解得O(1,1,0). B1(3,1,V2),C1(3,3,V2)。 0B1=(2,0,V2),0C1=(2,2,V2)。 设平面OB1C1的法向量为元=(c,,2,则元·OB1=0,元·OC1=0。 解得元=(1,0，-√2)。 又0B=(1,-1,0)。 点B到平面OB,C的距离d=1OB元-1V3 答：点B到平面OB,C的距离为V3。 30 19.(1)解：设点M的坐标为(x,) V3x-= 2 |v3x-=2 等价于V3x-y=2y或V3x-y=-2y 整理得V3x-3y=0或√3x+y=0 答：点M的轨迹方程为V3x+y=0或√3x-3y=0。 (2)解：由题意得 (W3x-=1 2 (y=2 由y=2得y=2或y=-2 当y=2时，N3x-2=2,解得=4Y3或=0 3 当)=-2时，1W3+2引=2，解得x=0或=-4y3 3 答点的坐5为a外0-2八252(- 3,-2。 解：由反射原理及点HW瓦，在线段QM上，解得M的坐标为(V包 p=v3×v3-3 .=0 2 q=3=3 答：点M的“距离坐标”为(0,3)。