陕西省西安市第八十五中学2024-2025学年高二上学期第二次月考（12月）数学试题

答案第 1页，共 11页 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C B A C A BD ABC 题号 11 答案 BD 1．C 【分析】写出抛物线的标准方程，求出准线方程. 【详解】由题意，抛物线 28 3 y x 的标准方程为 2 3 8 x y ， 所以抛物线 28 3 y x 的准线方程为 3 32 y   . 故选：C. 2．B 【分析】根据向量的坐标运算可得  2, 1,0a b m   rr ，结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】因为    1, , 1 , 1, 1,1a m b     ，所以  2, 1,0a b m   rr ， 又因为  a b b   ，所以      2 1 1 1 0 1 0a b b m            ， 解得： 3.m  故选：B. 3．C 【分析】根据等差数列求和公式结合等差数列性质运算求解即可. 【详解】因为数列 na 是等差数列，且 25 2640, 41a a  ， 所以      1 5050 25 26 50 25 25 40 41 2025 2 a a S a a        . 故选：C. 4．C 【分析】根据点与圆的位置关系可得不等式，解不等式即可. 【详解】由已知圆 2 2 2 2 0x y x y k    ，则1 4 8 0k   ， 又点在圆外，则1 4 1 4 2 0k     ， 即 5 8 0 10 2 0 k k      ， 答案第 2页，共 11页 解得 8 5 5k   ， 故选：C. 5．B 【分析】根据等比数列的性质可得 4 7 9a a  ，即可结合对数的运算性质求解. 【详解】由 5 6 4 7a a a a 和 5 6 4 7 18a a a a  可得 4 7 9a a  ， 故    5 53 1 3 2 3 10 3 1 2 2 10 3 1 10 3log log log log log log 9 10a a a a a a a a a          ， 故选：B 6．A 【分析】直接根据直线经过圆内一点判断出结果. 【详解】由  1 0 1 0 0a     知直线 ( 1) 0x y a y    过 ( 1,0) ，而点 ( 1,0) 在圆 2 2 4x y  内，所以直线与圆相交. 故选：A. 7．C 【分析】由双曲线方程，求得其一条渐近线的方程 0bx ay  ，再由圆C，求得圆心为 (0,5)C ， 半径 2r  ，利用直线与圆相切，即可求得 5 2 c a  ，得到答案． 【详解】由双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     ，可得其一条渐近线的方程为 by x a  ，即 0bx ay  ， 又由圆 2 2: 10 21 0C x y y    ，可得圆心为 (0,5)C ，半径 2r  ， 则圆心到直线的距离为 2 2 5 5 ( ) a ad cb a      ，则 5 2a c  ，可得 5 2 ce a   ， 故选 C． 【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考 查了推理与运算能力，属于基础题． 8．A 【分析】根据动点 P到直线 1 1AD 的距离与点 P到点M的距离的平方差为 25，得到 PM PQ ， 发现点 P的轨迹是抛物线，然后建立平面直角坐标系求解即可. 【详解】 答案第 3页，共 11页 如图所示，作 PQ AD ，Q为垂足，则易知 PQ 平面 1 1ADD A， 过点 Q作QR AD ，交 1 1AD 于 R，则易知 1 1AD 平面 PQR，所以 PR即为 P到直线 1 1AD 的 距离． 因为 2 2 25PR PM  ，且 2 2 2 25PR PQ RQ   ，所以PM PQ ． 所以点 P的轨迹是以 AD为准线，点 M为焦点的抛物线． 如图建立直角坐标系，则点 P的轨迹方程是 2 )4 0 4(y x y   ， 点    1,0 , 4,0A B ，设 2 , 4 yP y       ，所以 22 4 2 24 16 4 16 y yPB y y            2 21 ( 8) 12 16 y   ，所以当 2 8y  ， PB 取得最小值2 3 . 故选：A 9．BD 【分析】根据双曲线和椭圆的方程，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于 A，当 4t  时，曲线为 2 2 1 3 3 x y   ,此时表示圆，故 A错误， 对于 B，当 7t  时，7 0, 1 0t t    ，此时曲线表示焦点在 y上的双曲线， 当 1t  时 7 0, 1 0t t    ，此时曲线表示焦点在 x上的双曲线， 故当 7t  或 1t  时，曲线 C是双曲线，B正确， 对于 C, 若曲线 C是焦点在 x轴上的椭圆，则满足7 1 0t t    ，解得1 4t  ，故 C错误， 答案第 4页，共 11页 对于 D，曲线 C是焦点在 y轴上的双曲线，则7 0, 1 0t t    ，故 7t  ，D正确， 故选：BD 10．ABC 【分析】根据前 n项和与通项之间的关系求得 2nna  .对于 A：根据等比数列定义分析判断； 对于 B：根据等差数列定义分析判断；对于 C：根据等比数列求和公式分析判断；对于 D： 举反例说明即可. 【详解】因为 31 2 42 3 42 2 2 2 2 n n a aa a a n      ， 若 1n  ，则 1 1 2 a  ，即 1 2a  ； 若 2n  ，则 3 11 2 42 3 4 1 12 2 2 2 2 n n a aa a a n       ， 可得 1 2 n n a  ，即 2nna  ； 且 1 2a  符合上式，所以 2nna  . 对于选项 A：因为 0na  ，且 1 1 2 2 2 n n n n a a     ， 所以数列 na 是公比为 2的等比数列，故 A正确； 对于选项 B：因为 11lg lg lg lg 2nn n n aa a a      ， 所以数列 lg na 为等差数列，故 B正确； 对于选项 C：因为   12 1 2 2 2 1 2 n n nS       ，所以 8 7 2 2 254S    ，故 C正确； 对于选项 D：因为 1 2 31 3, 1 7, 1 15S S S      ， 显然 32 1 2 11 1 1 SS S S     ，所以数列  1nS  不是等比数列，故 D错误； 故选：ABC. 11．BD 【分析】先根据 na 与 nS 的关系，求出数列 na 的通项公式，再结合等比数列和等差数列的 前 n和公式逐一判断即可. 【详解】因为 1 11, 2n na a S  ①， 答案第 5页，共 11页 所以 2 1 12 2 2a S a   ， 当 2n  时， 12n na S  ②， 由①②得 1 2n n na a a  ，即 1 3n na a  ， 又 2 12a a ， 所以数列 na 是从第二项开始，以3为公比的等比数列，故 A错误； 对于 C；当 2n  时， 22 3nna   ，所以 35 2 3 54a    ，故 C错误； 对于 B，当 2n  时，   1 1 2 1 3 1 3 1 3 n n nS        ， 当 1n  时， 1 1nS a  ，符合上式 所以 13nnS  ， 则 1 3n n S S   ，所以数列 nS 是等比数列，故 B正确； 对于 D，由 C选项知 3log 1nS n  ， 所以数列 3log nS 的前 n项和为   1 2 n n  ，故 D正确. 故选：BD. 12. 2 【分析】根据题意，由等差数列的前 n项和公式以及等差数列下标和的性质代入计算，即可 得到结果. 【详解】由等差数列的前 n项和可得  1 13 13 7 13 13 2 a a S a    ，  1 9 9 5 9 9 2 a a S a    ， 则 13 7 9 5 13 26 9 9 S a S a   ，所以 7 5 2a a  . 13． 2 4 0x y   【分析】设 1 1 2 2( )A x y B x y, , ( , )，利用点差法即可求出直线��的斜率，根据所给数据，即可得 解. 【详解】设 1 1 2 2( )A x y B x y, , ( , )，设直线 AB的斜率为 k， 有 2 2 1 1 1 16 4 x y   ， 2 2 2 2 1 16 4 x y   ， 答案第 6页，共 11页 两式相减可得 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1( ) ( ) 0 16 4 x x y y    ， 所以 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 0 16 4 y y x x      ， 所以 1 1 0 16 4 M M yk x     ， 由 2, 1M Mx y  ， 所以 1 2 k   ，又直线过  2,1 ， 可得直线方程为 2 4 0x y   ， 故答案为： 2 4 0x y   . 14． 23 3n n 【分析】由     1 2 1 2n nnS n S n n n      化简可证数列  1 nS n n         为等差数列，即可得   1 2nS n n n   ，再利用退一相减法可得 na . 【详解】由     1 2 1 2n nnS n S n n n      ， 则       1 1 1 2 1 n nS S n n n n       ， 则数列  1 nS n n         是以 1 3 1 2 S   为首项，1为公差的等差数列， 即     3 1 2 1 nS n n n n       ， 所以   1 2nS n n n   ， 当 2n  时，    1 1 1nS n n n     ，          21 1 2 1 1 3 1 3 3n n na S S n n n n n n n n n n             ， 当 1n  时， 1 6a  满足上式， 综上所述 23 3na n n  ， 故答案为： 23 3n n . 15．(1)证明见解析 (2) 13 32 2 2 n nS n     答案第 7页，共 11页 【分析】（1）由题意得    12 3 2 2n na a n    ，即可证明结论. （2）由（1）计算数列 na 的通项公式，分组求和即可得到结果. 【详解】（1）∵  13 4 2n na a n   ， ∴ 12 3 6n na a    ，即    12 3 2 2n na a n    ，且 1 2 1 2 3a     ， ∴数列 2na  是以3为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）得， 12 3 3 3n nna     ， ∴ 3 2nna   ， ∴ ( ) ( ) ( ) ( )2 23 2 3 2 3 3 3 22 3 nn nS n= + + + = +- - +- + -  ( ) 13 1 3 3 32 2 1 3 2 2 n n n n +´ - = - = - - - . 16．(1)证明见解析 (2) 3 10 10 【分析】（1）由已知线面关系，证明DE 平面 ACD，有DE CM ，又可证CM AD ， 可证得CM 平面 ADE； （2）以 C为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为 AC 平面 BCDE，DE 平面 BCDE，所以 AC DE ， 由 90BCD  ， //DE BC知，DE CD ， 又CD AC CI ， ,CD AC 平面 ACD，所以DE 平面 ACD， 因为CM 平面 ACD，所以DE CM ， 因为CD CA ，M 是 AD的中点，所以CM AD ， 又 AD DE D  ， ,AD DE 平面 ADE ， 所以CM 平面 ADE． （2） AC 平面 BCDE， 90BCD  ，以C为坐标原点， 以CD，CB，CA所在直线分别为 x， y， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 答案第 8页，共 11页 则  0,0,0C ，  2,0,0D ，  2,2,0E ，  0,0,2A ，  0, 4,0B ，  1,0,1M ，  0,2,1N ， 故 (1,0,1)CM   ， (0, 2,0)DE   ， ( 2,2,1)DN    ， 设平面DEN 的法向量 ( , , )n x y z  ， 则 2 0 2 2 0 n DE y n DN x y z              ，令 1x  ，则 (1,0,2)n   ， 设直线CM与平面DEN 所成角为， 则 1 0 2 3 10sin cos , 102 5 CM n CM n CM n               ， 即直线CM与平面DEN 所成角的正弦值 3 10 10 ． 17．(1) 2 2 1 6 3 x y   (2) 2 3 0x y   或 2 3 0x y   【分析】（1）根据题意可得出关于 a、b、 c的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆 的方程； （2）分析可知，直线MN不与 x轴重合，设直线MN的方程为 3x my  ，设点  1 1,M x y 、  2 2,N x y ，将直线MN的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式结合韦达 定理求出m的值，即可得出直线MN的方程. 【详解】（1）由题意可得 2 2 2 2 2 4 1 1 2 2 a b c a a b c            ，解得 6 3 3 a b c       ， 因此，椭圆的方程为 2 2 1 6 3 x y   . （2）若直线MN与 x轴重合，则 2 2 6MN a  ，不合乎题意， 答案第 9页，共 11页 设直线MN的方程为 3x my  ，设点  1 1,M x y 、  2 2,N x y ， 联立 2 2 3 2 6 x my x y      可得  2 22 6 3 0m y my    ， 则    2 2 236 12 2 24 1 0m m m       ，所以， 2 1m  ， 由韦达定理可得 1 2 2 6 2 my y m     ， 1 2 2 3 2 y y m   ， 所以，   2 22 2 1 2 1 2 2 2 6 121 4 1 2 2 mMN m y y y y m m m              4 2 2 6 1 3 2 2 2 m m     ，解得 2m   ， 所以，直线MN的方程为 2 3x y  或 2 3x y   ，即 2 3 0x y   或 2 3 0x y   . 18．(1) 2 2 1 2 x y  (2) 3 2 4 【分析】（1）根据椭圆上的点与圆上的点距离的最值，结合椭圆离心率即可得椭圆 1C 的标 准方程； （2）根据直线与椭圆相交得交点坐标关系，从而可得 ABF△ 面积，由基本不等式求得其最 大值. 【详解】（1）因为 P为椭圆 1C 上一点，Q为圆 2 22 : 4C x y  上一点， 由 �� 的最大值为2 2 ，得 2 2 2  a ，所以 2a  ． 答案第 10页，共 11页 又 2 22   c c a ，所以 1c  ，所以 2 2 1b a c   ， 所以椭圆 1C 的标准方程为 2 2 1 2 x y  ． （2）在 2 2 4x y  中令 0y  ，得 2x   ，所以  2,0M ， 显然直线 AB的斜率不能为 0，设直线 AB的方程为 2x my  ， 由 2 2 2 1 2 x my x y       ，消去 x得  2 22 4 2 0m y my    ， 所以    2 2 2Δ 16 8 2 8 2 0m m m      ，则 2 2m  ， 设� �1, �1 ，� �2, �2 ，则 1 2 2 4 2 my y m     ， 1 2 2 2 2 y y m   ， 所以   2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 24 2 my y y y y y m         ， 所以 2 1 2 2 1 3 2 2 2 2ABF mS MF y y m       ． 令 2 2 0t m   ，则 2 2 2m t  ， 则 2 3 2 3 2 3 2 4 2 2 4ABF t tS t t      ，当且仅当 2t  ，即 6m   时取得等号， 所以 ABF△ 面积的最大值为 3 2 4 ． 19．(1) 1 5a  (2) 23 2nS n n  (3)证明见解析 【分析】（1）令 2n  ， 3n  解方程即可求解， 答案第 11页，共 11页 （2）利用 nS ， na 的关系，作差可得等差数列，即可求解， （3）利用放缩法可得 2 2 ( 3 2 3 1) 33 2 3 1n b n n n n         ，即可利用累加法求解. 【详解】（1）在 3 ( 1)n nS na n n   ， *nN 中， 3 17a  ， 令 2n  ， 3n  可得 1 2 2 2 1 1 2 3 3 1 2 2 6 6 3 18 16 a a a a a a a a a a a              ， ∴ 1 5a  ． （2） 3 ( 1)n nS na n n   ，① 当 2n  时， 1 1( 1) 3( 1)( 2)n nS n a n n      ，② ① ②可得 1 1( 1) 6( 1) ( 1) ( 1) 6( 1)( 2)n n n n na na n a n n a n a n n             ， ∴ 1 6n na a   ， ∴ na 是公差为 6的等差数列， ∴ 1 6( 1) 6 1na a n n     ， ∴ 23 ( 1) (6 1) 3 ( 1) 3 2n nS na n n n n n n n n         ． （3）证明：由（2）可得 2 1 3 2 3 2n nb n n n     ， ∴ 1 2 2 2( 3 2 3 1) 33 2 2 3 2 3 2 3 1n b n n n n n n             ， ∴ 1 2 2 2[( 5 2) ( 8 5) ( 3 2 3 1)] ( 3 2 2) 3 3n n T b b b n n n                      2 3 2 3 n  ． 高二年级第一学期第二次月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的， 1.抛物线y=x的准线方程为() B.y=-月 D.y启 2.已知向量a=(1,m,-1),b=(0,-1,1),若（à+b)1b,则m=（) A.4 B.3 C.2 D.1 3,已知数列{a,}是等差数列，其中as=40,a6=41,则S0=() A.4050 B.4048 C.2025 D.2024 4.若点P(-l,2)在圆x2+y2-x+2y+2k=0的外部，则实数k的取值范围是（) A.(-5+∞) B.（-o,-5) c. D.(（5 5.等比数列{an}的各项均为正数，且a46+a44,=18,则1og4+log42+…+log4o=() A.12 B.10 C.5 D.2l0g15 6.直线ar+(a-l)y+a=0(aeR)与圆2+y=4的位置关系是（) A.相交 B.相切 C.相离 D.与a的取值有关 7.已知圆C:2+-0y+21-0与双曲线号-苦=a>0b>0的箭近线相切，则该双曲线的高心率是 A.√2 B.} c. D.5 8正方体ABCD-AB,C,D,的棱长为5，点M在棱AB上，且AM=2,点P是正方体下底面ABCD内（含 边界)的动点，且动点P到直线AD的距离与点P到点M的距离的平方差为25，则动点P到B点的 最小值是() A.25 B.6 C.5 D.5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.已知方程二+二=1表示的曲线为C,则下列四个结论中正确的是() 7-tt-1 A,当1<1<7时，曲线C是椭圆 B.当t>7或<1时，曲线C是双曲线 C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则4<t<7 D.若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则>7 10.已知数列a}的前n项和为8，a}满足受+学+号+学++受=，则（) 2 A.数列{a,}为等比数列 B.数列{ga}为等差数列 C.S,=254 D.数列{S,+}是等比数列 11.已知数列{a}的首项为1，前n和为S。,且a=2S,则() A.数列{a,}是等比数列 B.{S}是等比数列 C.a=81 D.数列gS,}的前n项和为n- 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12已知为等差数列的前：项和，且受-苧，则子 13.已知椭圆后+号-1的弦48的中点M的坐标为2)，则8的方程为 14.在数列{a,}中，a=6,且S,-(n+2)Sn=n(n+1)(n+2),则a,=」 四、解答题：本题共5小题，满分77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。 15.已知数列{a}满足4=1，a,=3a+4(n≥2). (1)证明：数列{a+2}是等比数列： (2)求数列{a}的前n项和S. 16.如图，在四棱锥A-BCDE中，AC⊥平面BCDE,∠BCD=90,DE∥BC,且DE=CD=CA=2,BC=4 M是AD的中点，N是AB的中点. (I)求证：CM⊥平面ADE: (2)求直线CM与平面DEN所成角的正弦值. 17.已知椭圆号+号->6>0)经过点4，高心率为要，过点0的直线与精圆交于不 的两点M、N. (1)求椭圆的方程： ②)若M=,，求直线N的方程 2 18.已知椭圆G号+若-6>60)的左焦点为水，离心率为号，P为G上一高.Q为圆C:t+y=4 上一点，P℃的最大值为2+√互. (1)求椭圆G的标准方程： (2)若圆C与x轴正半轴交于点M,过M作直线1，与C相交于不同的两点A,B,求△ABF面积的最 大值. 19.已知数列{a,}的前n项和S4=an-3m(n-l),neN°，且a,=17, (1)求a (2)求数列{a,}的前n项和S,: (3)设数列{也，}的前n项和T.,且满足b= 求证：Z<6m+7.