精品解析：陕西西北工业大学附属中学2026-2027学年第一学期高二年级第一次月考数学试题

西工大附中2026-2027学年第一学期高二年级 第一次月考数学试题 一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 设是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 如图，在三棱台中，，、分别为、的中点，设，，，则可用表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与直线则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 7. 在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1 次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ） A. 和为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件 8. 已知，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（ ） A. B. C. D. 1 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论正确的有（ ） A. 倾斜角为的直线的一个方向向量是 B. 已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 C. 直线与直线之间的距离是 D. 已知直线（，不同时为0），若直线过点，则直线的方程可化为 10. 某市文化和旅游局制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长．现为进一步发展该市文旅，提升经济，2025年5月份对该市旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度得分成绩绘制成如下频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列结论正确的是（ ） A. 频率分布直方图中 B. 2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的平均数近似值为79.5 C. 2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的第60百分位数近似值为82.5 D. 若落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，则落在的平均成绩为87，落在的成绩的方差为23 11. 已知正方体的棱长为，其中，点为线段的中点，则下列选项正确的是（ ） A. 时， B. 时，三棱锥的体积为定值 C. 当点落在以为球心，为半径的球面上时，的最小值为1 D. 时，直线与面的交点轨迹长度为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线方程为，则直线的倾斜角为________． 13. 直线l过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是___________. 14. 是棱长为2的正方体的内切球的一条直径，点为的中点．若空间内动点满足，则的最小值为________． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 16. 在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，，且． （1）求的值； （2）若点，分别在边和上，且与的面积之比为，求的最小值． 17. 甲、乙两人组成“光之队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响． （1）求“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率； （2）求“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率； （3）求在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求平面与平面的夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知函数的部分图象如图1所示， 分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于点，点为该部分图象与轴的交点. （1）求的解析式； （2）将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成的二面角，如图2所示. （i）求直线与平面所成的角的正弦值； （ii）求以线段的中点为球心，半径为的球与二面角所围成的几何体的体积. 注：球缺的定义：如图3，一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫球缺的底面，垂直于底面的直径被截下的线段长叫球缺的高.设球的半径为，球缺的高为，则球缺的体积公式为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西工大附中2026-2027学年第一学期高二年级 第一次月考数学试题 一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在空间直角坐标系中，两点关于轴对称的坐标变换规律为：竖坐标保持不变，横坐标、纵坐标均变为原坐标的相反数， 所以点关于轴对称的点的坐标为. 2. 设是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线面之间的位置关系逐一判断即可. 【详解】对于A，如图，在正方体中，记为，为，为， 平面为，则有， 但与平面不垂直，故A错误； 对于B，若，则，又，存在，满足， 因为，则，所以，故B正确； 对于C，如图，在正方体中，记为，平面为， 记为，平面为，则有， 但平面平面，故C错误； 对于D，若，则或，故D错误. 故选：B 3. 如图，在三棱台中，，、分别为、的中点，设，，，则可用表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理表示向量即可. 【详解】由题意：. 故选：B 4. 已知直线与直线则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两直线平行的充要条件，即可判断求解. 【详解】由，可得，解得或1， 当时，，即，此时与重合不合题意， 当时，，，符合题意， 所以是的充要条件. 故选：B. 5. 已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的加法及线性运算及四点共面结论得出点在平面内，再应用三棱锥体积公式计算求解. 【详解】如图，由点为的中点，可得， 所以. 因为，所以点在平面内， 的最小值就是三棱锥的高， 由， 得，得. 故选：C. 6. 在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成角的向量法求解即可. 【详解】因为直三棱柱，所以底面， 又底面，所以，， 又因为，所以两两垂直， 以为轴建立如图所示坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：B 7. 在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1 次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ） A. 和为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件 【答案】B 【解析】 【分析】A选项利用对立事件的定义判断；B选项利用相互独立事件的定义判断；C选项利用相互独立事件的定义判断；D选项利用互斥事件的定义判断. 【详解】事件的基本事件有，，，，； 事件的基本事件有，，，，； 事件的基本事件有，，，. 和都有事件，所以和不是对立事件，故A错误； ，， 事件的基本事件有，，则， 所以和为相互独立事件，B正确； ，， 事件的基本事件有，，则， 故和不为相互独立事件，C错误； 和都有事件，所以和不是互斥事件，故D错误. 8. 已知，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】求出四边形四个顶点的坐标，表示出四边形面积，借助函数思想求最小值. 【详解】过定点，也过定点，如图所示， 在的方程中，令，则， 在的方程中，令，则， 则点，， ． 由二次函数性质可得，当时，S取得最小值． 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论正确的有（ ） A. 倾斜角为的直线的一个方向向量是 B. 已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 C. 直线与直线之间的距离是 D. 已知直线（，不同时为0），若直线过点，则直线的方程可化为 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项A：倾斜角为的直线斜率，因为，，所以是直线的一个方向向量，A正确； 选项B：记，计算得，，直线与线段相交，得斜率，B正确； 选项C：将化为，所以两直线平行，则两平行线距离，C错误； 选项D：因直线过，故，即，代入原方程得，整理为，D正确. 10. 某市文化和旅游局制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长．现为进一步发展该市文旅，提升经济，2025年5月份对该市旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度得分成绩绘制成如下频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列结论正确的是（ ） A. 频率分布直方图中 B. 2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的平均数近似值为79.5 C. 2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的第60百分位数近似值为82.5 D. 若落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，则落在的平均成绩为87，落在的成绩的方差为23 【答案】ABCD 【解析】 【分析】先用“各矩形面积之和为”求出；再用各组的频率乘以组中点值求和得平均数；求百分位数时先比较累计频率确定所在的组，再在该组内按频率比例插值；最后利用“两组数据合并后方差”的关系求出合并后的方差. 【详解】对于A，由频率分布直方图，可得，解得，A正确. 对于B，各组频率依次为、、、（对应区间、、、）， 取各组的中点值、、、， 则平均数约为，B正确. 对于C，因为累计频率为，为， 所以第百分位数落在内，为，C正确. 对于D，与的频率之比为，故可设两组数据个数分别为、. 则总平均数 ，与选项吻合； 总方差， 其中， 同理， 所以，D正确. 11. 已知正方体的棱长为，其中，点为线段的中点，则下列选项正确的是（ ） A. 时， B. 时，三棱锥的体积为定值 C. 当点落在以为球心，为半径的球面上时，的最小值为1 D. 时，直线与面的交点轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量法求解，写出点的坐标，选项A，及，求出的坐标，根据点的坐标求出的坐标，将用和表示，求出的坐标，利用数量积的坐标公式求出，从而得到；选项B，求出平面法向量及的坐标，可以得到，继而得到平行于平面，得点到平面距离为定值，从而得解；选项C，题中可知等于球半径，由此可得，令，利用正弦函数的图像求出的最小值；选项D，由和得到，即点在线段上.连接，分别交于，故，即为交点轨迹.由，得到相似比，计算得解. 【详解】如图，建立以为原点的空间直角坐标系.则 .A选项，因 ，则， 又，则. 又，则，即，故A正确. B选项，，设平面法向量为， 则，取，又时，， 则，即平行于平面，得点到平面距离为定值， 故为定值.故B正确； C选项，因，点落在以为球心，为半径的球面上， 则， 令，因为，则. 则， 当且仅当时取等号，则的最小值为，故C错误. D选项，因， 则， 即点在线段上.连接，分别交于， 故，即为交点轨迹.又， 则.故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线方程为，则直线的倾斜角为________． 【答案】 ## 【解析】 【详解】， ， 由得， 所以，即，故直线的斜率为， 设直线倾斜角为，其中，则，解得. 13. 直线l过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是___________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①直线过原点，又由直线经过点，由点斜式方程即可得出答案. ②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点，代入求出，即可求出直线l的方程. 【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①直线过原点，又由直线经过点，此时直线的方程为，即； ②直线不过原点，设其方程为， 又由直线经过点，则有，解可得， 此时直线的方程为， 故直线l的方程为或. 故答案为：或. 14. 是棱长为2的正方体的内切球的一条直径，点为的中点．若空间内动点满足，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算可得，故只需求的最小值，又根据线面垂直可得在平面上，进而利用空间向量求出点面距离即可． 【详解】设内切球的球心为，连接，可得 ， 设的中点分别为，连接， 由于E为的中点，所以， 又，所以， 因此，故， 又，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因此点在平面上不同于点处运动， 故当平面时，此时最小， 建立如图所示的空间坐标系， 则， ， 设平面法向量为，则， 取，可得， 故到平面的距离为， 所以的最小值为． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程； （2）求出点的对称点，利用两点之间直线最短可求答案. 【小问1详解】 联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； 【小问2详解】 设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为. 16. 在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，，且． （1）求的值； （2）若点，分别在边和上，且与的面积之比为，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式可得，结合三角形角的关系与两角和的正弦公式可得； （2）设，由三角形面积关系可得，再根据余弦定理及基本不等式可得的最小值. 【小问1详解】 由已知，即， 由正弦定理有，即，得， 又，则，所以， 又，则， 所以； 【小问2详解】 设，，则，， 与的面积之比为，由，， 则有， 在中，由余弦定理可得： ， 则，当且仅当时，等号成立，符合题意， 所以的最小值为. 17. 甲、乙两人组成“光之队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响． （1）求“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率； （2）求“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率； （3）求在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用对立事件“两个都没猜中”计算概率； （2）分成甲猜中2个乙猜中1个和甲猜中1个乙猜中2个分别计算后再相加； （3）分成三个互斥事件计算：甲猜中1个乙猜中0个，甲猜中2个乙猜中1个，甲猜中2个乙猜中0个. 【小问1详解】 记“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜为事件， 则， 即“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率为. 【小问2详解】 记事件表示在两轮活动中甲猜对个灯谜，其中，事件表示在两轮活动中乙猜对个灯谜，其中， 所以，， ， ，， ， 记事件表示“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜，则， 所以， 即“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率为; 【小问3详解】 记事件表示在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量，则， 所以， 即在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率为． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求平面与平面的夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 取PD中点N，连接MN，AN， 因为M，N分别为PC，PD中点， 所以，且， 因为，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）（i）； （ii）假设线段上存在点满足条件，设，， 则， 所以点到平面的距离， 解得，则， 所以存在，使得点到平面的距离是. 【解析】 【分析】（1）取PD中点N，连接MN，AN，根据中位线的性质，可得，且，根据条件，可得，且，所以四边形为平行四边形，所以，根据线面平行的判定定理，即可得证. （2）（i）根据面面垂直的性质定理，结合条件，可证两两垂直，如图建系，求得各点坐标，即可得坐标，分别求出平面与平面的法向量，根据夹角公式，可得其余弦值，根据同角三角函数的关系，即可得答案. （ii）假设存在，设，根据点到平面距离的向量求法，可得点到平面的距离，即可求得值，分析计算，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为平面平面，平面平面， 平面，， 所以平面， 因为平面， 所以，， 因为， 所以，即，所以两两垂直， 以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 因为平面，为棱的中点， 所以即为平面的法向量， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，所以， 所以， 则， 所以平面与平面的夹角的正弦值. （ii）略 19. 已知函数的部分图象如图1所示， 分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于点，点为该部分图象与轴的交点. （1）求的解析式； （2）将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成的二面角，如图2所示. （i）求直线与平面所成的角的正弦值； （ii）求以线段的中点为球心，半径为的球与二面角所围成的几何体的体积. 注：球缺的定义：如图3，一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫球缺的底面，垂直于底面的直径被截下的线段长叫球缺的高.设球的半径为，球缺的高为，则球缺的体积公式为. 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）由图有先求周期，进而求，最后代点求出即可； （2）（i）法一：如图①，设在平面上的射影为，连接、，在平面上过作轴的平行线，过点作交于，交轴于，由在平面上的射影为，所以在平面上的射影为，故和平面所成角为，在计算即可；法二：建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解； （ii）法一：取线段的中点，线段的中点为，连，则点在球上，且球被平面所截的图形是以点的圆，计算圆的半径，同理可得，球被平面所截的图形也是半径相同的圆，最后利用球缺和球的体积公式即可求解；法二：建立空间直角坐标系， 设线段的中点为，在平面上的射影为，计算以为球心，半径为的球被半平面和平面所截所截的图形为圆的半径，最后利用球缺和球的体积公式即可求解. 【小问1详解】 由图可得，，周期，所以， 由，得，所以， 所以，因为，所以当时，， 所以； 【小问2详解】 （i）法一 如图①，设在平面上的射影为，连接、，则，，. 在平面上过作轴的平行线，过点作交于，交轴于，则，，，， 因为在平面上的射影为，所以在平面上的射影为，故和平面所成角为， ，所以和平面所成角的正弦值为. 法二 如图，以的方向为轴的正方向，在平面内过且垂直轴的直线为轴，过且垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图②， 设在平面上的射影为，则，，，，，， 平面的法向量为 设直线和平面所成角为，则 （ii）法一 由图①，设与轴相交于点，如图③所示，由，得，，则，即与重合，即，，三点共线 取线段的中点，则，得，，即，则，且，又轴，故轴 设线段的中点为，连，则，且.又平面，则平面 ，则点在球上，且球被平面所截的图形是以点为圆心、为半径的圆.同理可得， 球被平面所截的图形也是半径为的圆. 所以球与二面角所围成的几何体如图④所示.不妨设其体积为，则 因为，得球缺的高，故，，故. 法二 如图，以的方向为轴的正方向，在平面内过且垂直轴的直线为轴，过且垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图⑤所示 设线段的中点为，在平面上的射影为，则，，，，，，，到平面的距离为 以为球心，半径为的球被半平面所截的图形为圆，不妨设其半径为，圆心为，则，则， 即，所以所截的圆恰与轴相切，同理可得，球被平面所截的图形也是半径为的圆. 所以球与二面角所围成的几何体如图④所示.不妨设体积为，则 因为，得球缺的高，故 ，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $