精品解析：河南南阳市第三中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九年级数学作业训练（一） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 请选出使在实数范围内有意义的的值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故只有选项A符合题意. 2. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A，被开方数含分母，不是最简二次根式． 选项B满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 选项C，被开方数含分母，不是最简二次根式． 选项D，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先整理方程为一般式，再根据一元二次方程根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：原方程变形为， 这里，，， 则， ∴原方程有两个不相等的实数根． 4. 下列各组线段中，是成比例线段的是（ ） A. 2，3，5，6 B. 1，2，3，5 C. 1，3，3，7 D. 2，3，4，6 【答案】D 【解析】 【分析】由成比例线段知，证明线段、、、成比例，则需，分别求出比值是否相等即可得出答案． 【详解】A.，故A选项错误； B.，故B选项错误； C.，故C选项错误； D.，故D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查成比例线段的定义，对于四条线段、、、，如果两条线段之比与另两条线段之比相等，我们就说这四条线段成比例，本题解题关键是熟练掌握成比例线段的定义，正确找出对应比值． 5. 根据以下程序，当输入，输出结果为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据程序求解即可． 【详解】解：当输入时，，不符合要求，不能输出， 当输入时，，不符合要求，不能输出， 当输入时，，符合要求，可以输出， 故输出结果为． 6. 下面是小王同学与的对话，在深度思考后，给出的答案是（ ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，把结果扩大为原来的3倍后，再减去这个数的4倍，运算结果是这个数的2倍？ A. 0 B. 0或2 C. D. 没有 【答案】B 【解析】 【分析】设这个数为x，根据题意列方程，然后解方程，根据根的情况可得答案． 【详解】解：设这个数为x， 根据题意，得，则 ∴ 解得，， 故存在满足条件的数，这个数为0或2． 7. 为了绿化学校附近的荒山，某校九年级学生已连续三年春季上山植树，至今已成活了1805棵，已知这些学生在七年级时植树400棵，若平均成活率，求这些学生后两年植树棵数的年平均增长率．若设年平均增长率为，下面根据题意得到的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据至今已成活了1805棵，得到三年的成活树木总和为1805，列出方程即可. 【详解】解：由题意，可得. 8. 小明把一张边长为10dm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图所示： 随着底面积的变化，剪去的正方形的边长和侧面积也跟着变化，变化情况如下表 折叠成的长方体底面积 81 64 49 36 25 16 9 4 剪去的正方形边长： 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 侧面积： 18 32 42 48 50 48 42 32 根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由表格知：当和时，的值都是32，据此求解即可. 【详解】解：由表格知：当和时，的值都是32， ∴方程的实数根是. 9. 若直线和双曲线在同一坐标系内的图象没有交点，则关于的一元二次方程的根的情况： 嘉嘉说：m、n符号相反，方程有两个不相等的实数根； 琪琪说：一定不是方程的根． 他俩的说法，正确的是（ ） A. 嘉嘉正确，琪琪不正确 B. 嘉嘉不正确，琪琪正确 C. 他俩说的都正确 D. 他俩说的都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】先由直线与双曲线无交点推出与异号，再分别判断两人说法的正误． 【详解】解：联立与，得， 整理得， ∵两函数图象无交点， ∴没有实数解， ∴，即，与符号相反． 判断嘉嘉的说法： 一元二次方程的判别式为， ∵， ∴， 又， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，嘉嘉说法正确； 判断琪琪的说法： 将代入，得， ∵， ∴一定不是方程的根，琪琪说法正确， 综上可得，他俩说的都正确． 10. 小刘在学完《一元二次方程根与系数的关系》后，对一元二次方程根与系数关系又进行了新的探究． 一元二次方程根与系数的探究 因为是方程的根，那么方程左边的一定会有因式 因此， 展开右边得到． 所以整理后得到． 如果是一元三次方程的三个根，请你类比小刘的方法探究的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵是一元三次方程的三个根， ∴， 展开右边得， ∴， ∴. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是和，这个方程可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，计算得到方程的系数，即可写出符合要求的方程． 【详解】解：∵两根分别为和， ∴两根之和为：， 两根之积为：， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系得：，， 代入得：，，即，， ∴这个方程可以是：． 12. 若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可． 【详解】解∶∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知在数轴上的位置如图所示，化简：______． 【答案】## 【解析】 【分析】先由点在数轴上的位置确定字母及式子符号，再由二次根式性质化简，然后去绝对值，最后合并同类项即可． 【详解】解：由在数轴上的位置可得，且， ， 则． 14. 为了庆祝国庆，三中计划将总面积为（）的盆栽花圃摆放为一个圆形花圃．花圃周围用白色栅栏围起来，栅栏紧挨花圃周边盆栽；则所需栅栏的长度为_______；（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用面积求出圆的半径，根据周长公式计算出栅栏总长度即可． 【详解】解：设圆形花圃的半径为， 根据题意得， 解得（负值舍去）， 所以所需栅栏的长度为． 15. 等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】当底边长为4时，则腰长为方程的两个根，利用判别式得到m的值,再求出方程的解，然后运用三角形的三边关系加以判断即可；当腰长为4，则将代入方程求解，然后根据三角形三边的关系加以判断即可． 【详解】解：∵方程， ∴方程， 当底边长为4时，则腰长为方程的两个根， ∴，解得； 方程可化为，解得， ∵， ∴4、3、3符合三角形三边的关系． 当腰长为4，则为方程的一个根， ∴，解得， 方程可化为，解得， ∵， ∴2、4、4符合三角形三边的关系． 综上，m的值为或． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）． （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 18. 观察下面两式计算的结果，； 我们发现：一般地，设，有 这是什么道理呢？下面我们来证明这个结论，并在下面括号中填上依据： 一方面，__________． __________． 另一方面， 根据算术平方根的意义，可得是_________的算术平方根，即． 于是我们得到二次根式的乘法法则： （1）填空：将以上横线处填写完整． （2）计算： ① ② 【答案】（1）积的乘方法则；算术平方根的意义； （2）①4，② 【解析】 【分析】（1）根据积的乘方法则和算术平方根的相关定义进行填写即可； （2）根据二次根式的乘法法则和性质进行计算和化简即可． 【小问1详解】 解：（积的乘方法则） （算术平方根的意义）， 是的算术平方根． 【小问2详解】 解：①原式 ； ②原式 ． 19. 关于的一元二次方程． （1）当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； （2）若方程有两个实数根且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式，求解即可； （2）利用根与系数关系，完全平方公式的变形计算，解答即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程有两个不相等的实数根 ， ； 【小问2详解】 解：根据题意，得， ， ， ， 整理得： 解得或 方程有两个实数根， ， 故， 舍去， 故符合要求． 20. 观察下列等式：…，根据你观察后所发现的规律，解答下列问题： （1）若等式及具有上述规律，则_________；_________； （2）请你用含的等式表示上述规律（是大于等于2的整数）； （3）证明你得到的结论． 【答案】（1）， （2） （3）证明： 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，规律型：数字的变化类，熟练掌握二次根式的化简是解决本题的关键． （1）仔细观察从上式中找出规律即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）利用二次根式的性质及化简公式证明即可． 【小问1详解】 解：∵； ； ∴， ． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵； ； ， …… ∴（的整数）． 【小问3详解】 略 21. 某文具店销售一款笔记本，每本进价20元，售价定为每本40元时，每天能售出30本．经市场调研发现：每本笔记本的售价每降低1元，每天会多售出5本． （1）该文具店为了提升利润，决定降价销售．若每天利润达到800元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； （2）该文具店通过降价销售，每天利润能够达到850元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）每本笔记本应降低10元 （2）解：每天利润不能够达到850元， 理由如下：假设每天利润能够达到850元，设每本笔记本售价降低元，则每本笔记本销售利润为元，每天能售出本， 根据题意得：， 整理得：， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即每天利润不能够达到850元． 【解析】 【分析】（1）设每本笔记本的售价降低x元，根据题意列方程解方程即可； （2）假设每天利润能够达到850元，根据题意列一元二次方程，根据根的判别式判断方程根的情况即可． 【小问1详解】 解：设每本笔记本的售价降低x元，则每本的销售利润为元，每天能售出本， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵要尽可能让利于顾客， ， 答：每本笔记本应降低10元． 【小问2详解】 略 22. 在一元二次方程求根公式出现之前，人们利用“图解法”求解一元二次方程． 方法一：如图1，这是阿拉伯数学家阿尔•花拉子米利用图形求解的过程．构造一个以未知数为边长的正方形，在其四条边上向外作长和宽分别为和的矩形，再把这个图补成边长为的正方形，于是大正方形的面积为．又因为，所以大正方形的面积为，于是大正方形的边长为8，所以．因此正数解． 方法二：如图2，这是欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法．以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根． （1）仿照方法一，请在图3中画出求解方程的正数解的图形（图中正方形为补成的大正方形），并直接写出方程的正数解：_________； （2）对方法二进行推导验证： 对方程进行配方， 得， 因为，所以由勾股定理得： …… 请你继续完成上述推导，从而说明的长就是所求方程的正根． （3）已知关于的一元二次方程，利用上述图2的方法求解时，有，求的值 【答案】（1）；正数解为 （2）， 将和，代入得：， 由配方结果，所以， 可知：， ∵在斜边上截取， ∴， ∴，， ∴的长就是所求方程的正根； （3）4 【解析】 【分析】（1）首先根据题意画出图形，将大正方形的面积表示为，结合，易得大正方形的面积，进而可得大正方形的边长为6，即可获得答案； （2）根据勾股定理可得，将和代入并整理，可得，进一步求解即可； （3）关于的一元二次方程，对应图解法中，易得；根据图解法原理，方程的正根对应图中的，且，进而可得，将其代入方程并求解，可得，即可获得答案． 【小问1详解】 解：图略， 大正方形的面积为：， 又已知：， ∴大正方形的面积为：， ∴大正方形的边长为6， ∴， ∴正数解为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 已知关于的一元二次方程， 对应图解法中，因为所以， 根据图解法原理，方程的正根对应图中的，且， 由题意可知，即，化简得， ∴是方程的正根， 将代入方程，得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即的值为4． 23. 《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．下面同学们试着自主学习探索解决下列问题， 【理解观察】 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如，化简．解：将分子、分母同乘以得，． 【类比应用】 （1）①化简：_________； ②计算：_________； 【拓展延伸】 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的帕特农神庙等． （2）如图①，已知黄金矩形的宽，则黄金矩形的长_________； （3）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论； （4）在图②中，请连接，并直接写出点到线段的距离． 【答案】（1）①；② （2） （3）矩形是黄金矩形，证明如下： 由题意得， 四边形是正方形， ， ， ， 矩形是黄金矩形； （4） 【解析】 【分析】（1）①将分子、分母同时乘以，进一步求解即可；②首先进行分母有理化，然后进一步求解即可； （2）根据题意可得，然后代入数值进一步求解即可； （3）由题意得，结合正方形的性质解得，然后证明矩形是黄金矩形即可； （4）过点作于点，结合正方形的性质证明，然后在中，由三角函数解得的长度，即可获得答案． 【小问1详解】 解：① ； ②计算： ； 【小问2详解】 解：∵黄金矩形的宽，宽与长的比是， 即， ∴， ∴黄金矩形的长； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 ∵四边形为矩形，且， ∴， 如下图，过点作于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∴在中，可得 ， 即点到线段的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学作业训练（一） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 请选出使在实数范围内有意义的的值（ ） A. B. C. D. 2. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 4. 下列各组线段中，是成比例线段的是（ ） A. 2，3，5，6 B. 1，2，3，5 C. 1，3，3，7 D. 2，3，4，6 5. 根据以下程序，当输入，输出结果为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 下面是小王同学与的对话，在深度思考后，给出的答案是（ ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，把结果扩大为原来的3倍后，再减去这个数的4倍，运算结果是这个数的2倍？ A. 0 B. 0或2 C. D. 没有 7. 为了绿化学校附近的荒山，某校九年级学生已连续三年春季上山植树，至今已成活了1805棵，已知这些学生在七年级时植树400棵，若平均成活率，求这些学生后两年植树棵数的年平均增长率．若设年平均增长率为，下面根据题意得到的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 小明把一张边长为10dm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图所示： 随着底面积的变化，剪去的正方形的边长和侧面积也跟着变化，变化情况如下表 折叠成的长方体底面积 81 64 49 36 25 16 9 4 剪去的正方形边长： 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 侧面积： 18 32 42 48 50 48 42 32 根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（ ） A. B. C. D. 9. 若直线和双曲线在同一坐标系内的图象没有交点，则关于的一元二次方程的根的情况： 嘉嘉说：m、n符号相反，方程有两个不相等的实数根； 琪琪说：一定不是方程的根． 他俩的说法，正确的是（ ） A. 嘉嘉正确，琪琪不正确 B. 嘉嘉不正确，琪琪正确 C. 他俩说的都正确 D. 他俩说的都不正确 10. 小刘在学完《一元二次方程根与系数的关系》后，对一元二次方程根与系数关系又进行了新的探究． 一元二次方程根与系数的探究 因为是方程的根，那么方程左边的一定会有因式 因此， 展开右边得到． 所以整理后得到． 如果是一元三次方程的三个根，请你类比小刘的方法探究的值为（ ） A. 3 B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是和，这个方程可以是__________． 12. 若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为___________． 13. 已知在数轴上的位置如图所示，化简：______． 14. 为了庆祝国庆，三中计划将总面积为（）的盆栽花圃摆放为一个圆形花圃．花圃周围用白色栅栏围起来，栅栏紧挨花圃周边盆栽；则所需栅栏的长度为_______；（用含的代数式表示） 15. 等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则为_______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）． （2） 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 观察下面两式计算的结果，； 我们发现：一般地，设，有 这是什么道理呢？下面我们来证明这个结论，并在下面括号中填上依据： 一方面，__________． __________． 另一方面， 根据算术平方根的意义，可得是_________的算术平方根，即． 于是我们得到二次根式的乘法法则： （1）填空：将以上横线处填写完整． （2）计算： ① ② 19. 关于的一元二次方程． （1）当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； （2）若方程有两个实数根且满足，求的值． 20. 观察下列等式：…，根据你观察后所发现的规律，解答下列问题： （1）若等式及具有上述规律，则_________；_________； （2）请你用含的等式表示上述规律（是大于等于2的整数）； （3）证明你得到的结论． 21. 某文具店销售一款笔记本，每本进价20元，售价定为每本40元时，每天能售出30本．经市场调研发现：每本笔记本的售价每降低1元，每天会多售出5本． （1）该文具店为了提升利润，决定降价销售．若每天利润达到800元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； （2）该文具店通过降价销售，每天利润能够达到850元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 22. 在一元二次方程求根公式出现之前，人们利用“图解法”求解一元二次方程． 方法一：如图1，这是阿拉伯数学家阿尔•花拉子米利用图形求解的过程．构造一个以未知数为边长的正方形，在其四条边上向外作长和宽分别为和的矩形，再把这个图补成边长为的正方形，于是大正方形的面积为．又因为，所以大正方形的面积为，于是大正方形的边长为8，所以．因此正数解． 方法二：如图2，这是欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法．以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根． （1）仿照方法一，请在图3中画出求解方程的正数解的图形（图中正方形为补成的大正方形），并直接写出方程的正数解：_________； （2）对方法二进行推导验证： 对方程进行配方， 得， 因为，所以由勾股定理得： …… 请你继续完成上述推导，从而说明的长就是所求方程的正根． （3）已知关于的一元二次方程，利用上述图2的方法求解时，有，求的值 23. 《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．下面同学们试着自主学习探索解决下列问题， 【理解观察】 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如，化简．解：将分子、分母同乘以得，． 【类比应用】 （1）①化简：_________； ②计算：_________； 【拓展延伸】 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的帕特农神庙等． （2）如图①，已知黄金矩形的宽，则黄金矩形的长_________； （3）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论； （4）在图②中，请连接，并直接写出点到线段的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $