精品解析：福建省武平县第一中学2026-2027学年高三上学期第二次阶段测试数学试题

武平一中2026-2027学年第一学期第二次阶段检测 高三数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则（ ）. A. B. 0 C. 1 D. 或0 2. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，角与的终边关于直线对称，的终边经过点，则的值为（ ）. A. B. C. D. 6. 某厂准备投资万元生产两种产品，据测算，投产后的年收益，产品是该产品投入值的，产品是该产品投入值开平方的倍．当年收益总和最大时，两种产品的投入值之比是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若当时，恒成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. e D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若 且，则 的最小值为 8 B. 若 且，则 的最小值为 9 C. 若，则 的最小值为 2 D. 若 ，且 ，则 的最小值为 2 10. 某研究性学习小组开展测绘实践活动，为山体隧道工程收集测量数据.如图，，，为山脚同一水平面上共线的三个测量点，在山顶处测得，，三点的俯角分别为，，.现规划沿直线开通穿山隧道，经实地测量得到，，，以下是兴趣小组得出的结论，其中正确的有（ ）. A. B. C. 山顶到水平面的高度为 D. 隧道的长度为 11. 已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，且当时，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如果函数满足，则______． 13. 已知函数（），若过坐标原点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是__________． 14. 已知函数，则的值域是__________．若关于的方程有八个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知幂函数在上单调递减，函数． （1）求实数的值； （2）记集合，集合，若，求实数的取值范围． 16. 如图，在平面四边形中，. （1）若，求； （2）若，，求. 17. 已知函数． （1）若的周期为，求的单调递增区间； （2）若在区间上单调递增，直线为图象的对称轴，求出的解析式． 18. 如图，在三棱锥中，底面为上一点，且平面平面，三棱锥的体积为. （1）求证：为的中点； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知函数，其中，，曲线在点处的切线方程为． （1）求，的值； （2）证明：存在唯一的极大值点且； （3）设，为的导数，若方程有两个不相等的实数根，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武平一中2026-2027学年第一学期第二次阶段检测 高三数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则（ ）. A. B. 0 C. 1 D. 或0 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合与元素的属于关系性质，结合集合元素互异性进行求解即可. 【详解】因为， 所以，或， 当时，解得，此时集合不满足集合元素互异性，舍去， 当时，集合，此时集合满足集合元素互异性， 所以. 2. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数和都是上的增函数，所以函数在上单调递增， 不等式可得，解得， 所以不等式的解集为. 3. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 4. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由偶次根式被开方数非负，结合定义域为的条件，将问题转化为二次不等式恒成立问题，利用判别式求解参数范围. 【详解】要使函数的定义域为， 需满足对任意，被开方数恒成立， 二次函数的二次项系数为，图像开口向上， 其恒大于等于0的充要条件为判别式， ， 解不等式，得， 即实数的取值范围是. 5. 在平面直角坐标系中，角与的终边关于直线对称，的终边经过点，则的值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为角与的终边关于直线对称，的终边经过点， 所以的终边经过点， 由三角函数定义可得， 所以. 6. 某厂准备投资万元生产两种产品，据测算，投产后的年收益，产品是该产品投入值的，产品是该产品投入值开平方的倍．当年收益总和最大时，两种产品的投入值之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设变量表示两种产品的投入金额，建立总收益函数，通过换元转化为二次函数求最值，最终计算投入比值. 【详解】设投入产品的资金为万元，其中，则投入产品的资金为万元，总年收益为万元， 根据题意可得收益函数 ， 令，则，，代入上式得，配方得，  由于二次项系数，因此当时，取得最大值，此时，解得， 即产品投入万元，产品投入万元，因此两种产品的投入值之比为，故D正确. 7. 已知，若当时，恒成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. e D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造辅助函数，求导得到最大值点，将恒成立转化为最大值小于等于 0，再构造关于参数的新函数研究单调性求得参数的范围，从而得到最大值. 【详解】由题意，当时，恒成立， 构造函数，则， 分母，令，得，所以， ，，单调递增，，，单调递减， 所以在处取得最大值，要恒成立， 只需最大值， 设,则， 令,得， ，， 单调递减，，， 单调递增， 且，当，结合单调性知，，不满足， 的最大值为. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根式范围计算化简比较大小，构造函数应用导函数得出函数单调性得出大小. 【详解】设，则，所以， 所以，所以，所以，所以； 设，又因为， 所以当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， ，， 所以，所以， 即，所以，即； 所以. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若 且，则 的最小值为 8 B. 若 且，则 的最小值为 9 C. 若，则 的最小值为 2 D. 若 ，且 ，则 的最小值为 2 【答案】ABD 【解析】 【分析】逐项利用基本不等式求最小值，并核对等号成立条件是否满足题设约束． 【详解】A、由 ，得 当且仅当 时等号成立． 结合 ，得 ，故最小值为 ，A正确． B、由得 ，即 因为 ，所以 ． 令 ，则 ，于是 当且仅当 时等号成立，此时 ，故最小值为 ，B正确． C、由 且 ，得 ． 于是 当且仅当 时等号成立，此时 ，故最小值为 ，C错误． D、设 ． 由 及 ，得 ，且 又所以即 因为 ，所以 ． 当 时满足题设条件，且 ，故最小值为 ，D正确． 10. 某研究性学习小组开展测绘实践活动，为山体隧道工程收集测量数据.如图，，，为山脚同一水平面上共线的三个测量点，在山顶处测得，，三点的俯角分别为，，.现规划沿直线开通穿山隧道，经实地测量得到，，，以下是兴趣小组得出的结论，其中正确的有（ ）. A. B. C. 山顶到水平面的高度为 D. 隧道的长度为 【答案】BD 【解析】 【分析】首先根据俯角定义将空间角度转化为平面三角形的内角，利用三角形内角和定理及正弦定理求解边长和角度，进而逐一判断选项. 【详解】 由题意及图形可知，，， 因为为的俯角，根据平行线性质（内错角相等），可知. 对于A：在中，， 所以， A错误； 对于B：由选项A的分析可知，，而。 因为， 所以为等腰三角形，且， B正确； 对于C：在中，，， 所以 ， 由正弦定理 ，得 . 设山顶到水平面的高度为， 则 ， C错误； 对于D：在中，由正弦定理， 得， 因为共线，且， 所以， 解得，D正确. 11. 已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，且当时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项运用偶函数的性质，再进行变式；对于B选项先利用中心对称求出再代入解析式中求出k；对于C选项联立轴对称和中心对称从而推导出周期；对于D选项先计算出一个周期的函数值，再看求和取了几个周期. 【详解】对于A，由题可得，即，令， 则，故，因此，则A选项正确； 对于B，由题可得，则， 令，则，，因为，所以， 解得，故B选项错误. 对于C，已知，，则， 令，则，即， ，所以，故C选项正确； 对于D，已知时，，则， 因为，令，解得，又因， 所以函数的周期，， 所以， 故，因此D选项正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如果函数满足，则______． 【答案】 （或） 【解析】 【分析】令，可得，代入求值即可. 【详解】令，则，所以， 则 13. 已知函数（），若过坐标原点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设切点坐标，利用导数几何意义写出切线方程，代入原点坐标将切线条数转化为方程实根个数，构造函数求值域即可得到的取值范围. 【详解】设过原点的切线与曲线相切于点，， 对求导得，因此切线斜率， 切线方程为：  ， 将原点代入切线方程，得：  整理得， 由于过原点可作两条切线，故关于的方程有两个不同的实根。 构造函数，，求导得：  ，令，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 因此的最小值为， 又当时，；当时，，且， 因此当且仅当时，直线与的图象有两个不同交点，对应存在两条切线， 故的取值范围是. 14. 已知函数，则的值域是__________．若关于的方程有八个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，再应用分类去绝对值得出函数及值域即可；令，求出的范围，得出关于的一元二次方程有两个实数根，再由一元二次方程根的分布得出实数的取值范围. 【详解】因为函数定义域为，且， 所以为偶函数，所以当时，， 所以； 当时，，所以； 所以的值域是； 关于的方程有8个不同的实数根， 令，则， 故关于的一元二次方程有两个实数根，且这2个实数根大于0小于. 令， 则由，求得. 综上可得，的范围为 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知幂函数在上单调递减，函数． （1）求实数的值； （2）记集合，集合，若，求实数的取值范围． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）结合幂函数的定义与单调性求解； （2）利用函数性质得到，，再利用得到，结合子集知识求解. 【小问1详解】 由题意得，，解得或， 当时，，在上单调递减，满足题意； 当时，，此时在上单调递增，不满足题意. 综上，. 【小问2详解】 由（1）知，，又，则， . . ，解得， 即实数的取值范围为. 16. 如图，在平面四边形中，. （1）若，求； （2）若，，求. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦定求出，结合勾股定理的逆定理得解.. （2）在中，利用余弦定理求出，　在中，利用余弦定理求出，通过联立方程组结合得到的值，从而得到. 【小问1详解】 ， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 则，则，故. 【小问2详解】 ， 在中，由余弦定理得， 则， 则，　① 在中，由余弦定理得， 则，　② 联立①②可得. 因为，所以， 所以. 17. 已知函数． （1）若的周期为，求的单调递增区间； （2）若在区间上单调递增，直线为图象的对称轴，求出的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用和差角的正弦公式展开，再用三角恒等变换进行化简，最后利用周期公式求和整体换元求单调增区间即可. （2） 先利用正弦函数的增区间求出的范围，结合正弦函数的对称轴，整体代入求解确定唯一的即可 【小问1详解】 ， 又因为的周期为，所以，解得，则， 令，解得， 即的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为的单调递增区间为， 又在区间上单调递增， 所以，即必须取0， 且，所以，又，所以， 又因为直线为图象的对称轴，所以， 所以，解得， 又，所以当时，满足条件，此时. 18. 如图，在三棱锥中，底面为上一点，且平面平面，三棱锥的体积为. （1）求证：为的中点； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）过作于点，由平面平面， 平面平面平面， 平面， 又底面平面， ，平面， 所以底面平面，， 又为的中点； （2） 【解析】 【分析】（1）过作于点，利用面面垂直的性质定理得平面，值域线面垂直的判定定理性质定理可得答案； （2）设，利用求出，以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用线面角的向量求法可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， ， ， 如图建系，， ， 设平面的一个法向量， ，令，得， 所以， 设直线与平面所成角为， . 【点睛】 19. 已知函数，其中，，曲线在点处的切线方程为． （1）求，的值； （2）证明：存在唯一的极大值点且； （3）设，为的导数，若方程有两个不相等的实数根，，证明：． 【答案】（1） （2）由上知，则， 设，则，令，即， 即， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， ，且，且在单调递减， 由零点存在性定理得在存在唯一零点，记为， ，，且在单调递增， 由零点存在性定理得在存在唯一零点，记为， 综上，当时，，单调递增， 当时，， 单调递减， 所以是唯一的极大值点，且， 所以有，即， 将其代入到中得， 因为，所以，且， 两式相乘得， 两边同时加上得，即证. （3）不妨设，由上知的极大值点， 因为在单调递增，在单调递减，所以. 要证，即证，即， 因为，所以， 又因为，且在上单调递增，故可证， 由于，问题等价于证明， 设，其中， 则， ，则， 其中，则， 因此， 因为，则， 当且仅当时等号成立， 由于，故等号不成立，所以，所以恒成立， 则在上单调递减， 因为，所以当时，， 代入，可得， 即， 即，整理得， 代入，即证. 【解析】 【分析】（1） 利用切点在曲线上与切点处导数值等于切线斜率这两个条件建立方程组，并结合参数为整数的条件解出未知数. （2） 通过二次求导分析一阶导数的单调性与零点，从而确认唯一极大值点的位置，接着利用极值点处导数为零的条件进行不等式的放缩与证明. （3）构造辅助函数，利用求导证明其单调性，从而将函数值的大小关系转化为两根之和的不等关系. 【小问1详解】 ，由题意得， 且，代入得， 因为，所以，显然时等式成立， 设，当时， 即在上单调递增，故是唯一正整数解，解得， 则. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $