福建南平市2026-2027学年高三上学期9月月考数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“，”的否定是 A．， B．， C．， D．， 2．已知函数的导函数为，且的部分图象如图所示，则 A． B． C． D． 3．已知是幂函数，则“”是“的图象经过点”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．不等式的解集为 A． B． C． D． 5．已知集合，，则的子集个数为 A．0 B．2 C．4 D．8 6．深海发光生物单次发光释放的光能（单位：焦耳）与发光强度等级之间的关系为，则发光强度为10级的发光生物单次发光释放的光能约是发光强度为5级的发光生物单次发光释放的光能的（参考数据：） A．316倍 B．31600倍 C．3160倍 D．316000倍 7．设函数在上的导函数为，且，则当时，必有 A． B． C． D． 8．的最大值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合，若，，则的值可以是 A． B．1 C． D．2 10．定义两个正数，的运算：，，则 A． B． C．的最小值为0 D．当时，的最小值为 11．已知是定义在上的偶函数，为奇函数，，且对任意，当时，恒成立，则 A．的图象关于点对称 B． C．在上单调递增 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．曲线在点处的切线方程为_________． 13．已知定义域为的函数的图象如图所示，则函数的零点个数为_________． 14．已知函数若，且，则的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数． （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度后得到奇函数的图象，求． 16．（15分） 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 17．（15分） 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若的最小值为，求的最大值． 18．（17分） 已知函数． （1）若，求在上的值域； （2）若对恒成立，求的取值范围； （3）讨论在上的零点个数． 19．（17分） 已知函数． （1）当时，证明：． （2）已知有三个极值点，记为，，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学参考答案 1．D 2．C 3．A 4．A 5．C 6．B 7．D 8．B 9．BC 10．AD 11．ABD 12． 13．3 14． 15．解：（1）（方法一）因为， 3分 所以． 6分 （方法二）令，则， 2分 得， 5分 所以． 6分 （2）由题意得． 9分 因为是奇函数，所以，得． 11分 故，． 13分 [备注]还可以这样求：因为是奇函数，所以，得． 16．解：（1）由，得， 3分 得． 4分 当时，，所以． 6分 （2）由（1）得． 8分 当时，． 9分 当时， 12分 解得．故的取值范围是． 15分 17．解：（1）由题意得的定义域为，． 1分 当时，，在上单调递增． 3分 当时，令，得，令，得， 5分 则在上单调递增，在上单调递减． 7分 （2）当时，在上单调递增，没有最小值． 8分 当时，． 10分 ，令，得，令，得， 12分 则在上单调递增，在上单调递减． 14分 故的最大值为． 15分 18．解：（1）当时，易得是增函数， 1分 所以，， 3分 故在上的值域为． 4分 （2）． 令，由，得，得， 5分 由，得，得． 7分 设函数，，要使恒成立，则 9分 得，即的取值范围为． 10分 （3）令，由，得，设函数，则在上的零点个数等于在上的零点个数． 11分 当时，，令，得，所以在上的零点个数为1． 12分 当时，令，得或． 13分 ①当，即时，在上的零点个数为1． 14分 ②当，即时，在上的零点个数为1． 15分 ③当且，即且时，在上的零点个数为2． 16分 综上，当或或时，在上的零点个数为1； 当且时，在上的零点个数为2． 17分 19．（1）证明：当时，，则． 1分 令，得，在上单调递减，令，得，在上单调递增， 2分 所以，即． 3分 （2）（i）解：由，得或， 5分 因为有三个极值点，所以有三个异号零点， 所以关于的方程有两个不等于1的解． 6分 易知不是方程的解，设，则． 令，得或，在，上单调递减，令，得，在上单调递增． 7分 当时，，若，则，若，则． 8分 当时，，若，则，若，则． 9分 所以，即的取值范围是． 10分 （ⅱ）证明：不妨设． 由（ⅰ）知，当时，有三个极值点，且1为其中一个极值点，则， 11分 且，，等式两边取对数并整理得，，． 设，则， 12分 则，则在上单调递减，在上单调递增， 先证，即证，因为，且在上单调递增，所以只需证，即证． 13分 令，， 则， 则在上单调递减，所以，则，则，则． 14分 再证，即证，因为，且在上单调递减，所以只需证，即证． 15分 令，，则，则在上单调递增，所以，则，则，所以． 16分 故． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $