精品解析：北京市平谷区平谷中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

高三数学月考试卷 共150分，时长120分钟 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1. 已知集合，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出集合，根据可得出实数的取值范围. 【详解】，，考虑，则， 因此，当时，. 故选：B. 2. 若，且，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，结合幂函数的单调性判断即可；对于BCD，举特例判断即可. 【详解】对于A，由，且函数在上单调递增，则，故A正确； 对于B，当时，满足，而，故B错误； 对于C，当时，满足，而，故C错误； 对于D，当时，满足，而，故D错误. 故选：A 3. 在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边绕着原点逆时针旋转后与轴的非负半轴重合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，结合诱导公式即可求解. 【详解】由题意可得， 所以， 则. 故选：B 4. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用定义分别判断每个函数的奇偶性，求导判断单调性，得到答案. 【详解】A选项，定义域关于原点对称，，所以是奇函数， 但是在和上分别单调递减，在定义域内不是减函数， 如，A错误， B选项，由得，所以定义域是，不关于原点对称，是非奇非偶函数，B错误； C选项，定义域为关于原点对称，是奇函数， ，所以是上的减函数，C正确； D选项，由得，所以定义域是关于原点对称， ，所以是偶函数，D错误. 故选：C. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设条件结合正弦函数的性质由可得或，由可得或，进而分析求解即可. 【详解】由， 则或， 即或， 因为，则为正整数，可以为或， 由， 则或， 即或， 由于为正整数，则可以为或， 综上所述，可以为则的最小值为2. 故选：B 6. 在中的角的对应边分别为，且，则三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角或等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】将式子中的余弦转化为边的表达式并化简，得到边的等量关系，进而判断三角形形状. 【详解】将用余弦定理展开， 得. 由题设，故. 故选：A 7. 设无穷等比数列的公比为，前项积为，则“有最大值”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】充分性：， 例如，则，在时，取最大值，因此是不充分的， 必要性：当时，对任意的无穷等比数列， 若，必存在正整数，使得时，，时，，所以时，最大（若，则是最大值）， 若，则是中的最大值，若，只要比较前后的正项的大小即可得（注意中正负项是两项两项间隔的） 若，则，是递减数列，中第一个正项即为最大值， 因此是必要的， 所以应为必要不充分条件， 故选：B． 8. 已知某种垃圾的分解率为v，与时间月满足函数关系式其中a，b为非零常数，若经过12个月，分解率为，经过24个月，分解率为，那么分解率达到，至少需要经过（ ）参考数据： A. 36个月 B. 40个月 C. 47个月 D. 64个月 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，利用待定系数法求出a，b的值，可得，结合对数的运算性质，即可求出t的近似值． 【详解】依题意有 解得，，故， 令，得， 故. 故选：B 9. 已知函数在 处取到最小值，且在区间上存在极大值，的最小整数解是（ ） A. 2 B. 8 C. 10 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得且，利用在区间上存在极大值，可得，进而求解即可. 【详解】因为在处取到最小值，所以， 所以，所以， 又，所以. 当，所以， 又因为在区间上存在极大值，所以, 所以，所以，即，解得， 所以且， 当时，，所以的最小整数解是8. 故选：B. 10. 学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为、、、、五个等级．某班共有名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为的学生有人，这两科中仅有一科等级为的学生，其另外一科等级为，则该班（ ） A. 物理化学等级都是的学生至多有人 B. 物理化学等级都是的学生至少有人 C. 这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人 D. 这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意分别计算出物理等级为，化学等级为的学生人数以及物理等级为，化学等级为的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项. 【详解】根据题意可知，名学生减去名全和一科为另一科为的学生人（其中物理化学的有人，物理化学的有人）， 表格变为： 物理 化学 对于A选项，物理化学等级都是的学生至多有人，A选项错误； 对于B选项，当物理和，化学都是时，或化学和，物理都是时，物理、化学都是的人数最少，至少为（人），B选项错误； 对于C选项，在表格中，除去物理化学都是的学生，剩下的都是一科为且最高等级为的学生， 因为都是的学生最少人，所以一科为且最高等级为的学生最多为（人）， C选项错误； 对于D选项，物理化学都是的最多人，所以两科只有一科等级为且最高等级为的学生最少（人），D选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题. 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上. 11. 函数 的定义域是______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意有解出即可. 【详解】由题意有且， 所以的定义域为. 故答案为：. 12. 写出函数最大值为1的一个值，__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】展开并化简函数表达式，分析其最大值的表达式，通过最大值为1的条件求解的取值. 【详解】. 化简得： . 的最大值为，令其等于1，得，解得， 所以. 故答案为：（答案不唯一） 13. 公差为的等差数列的前项和为．若，则______，使得对所有都成立的一个的取值为_________． 【答案】 ①. ②. （答案不唯一，满足即可） 【解析】 【详解】由数列是公差为的等差数列， 则，解得； 由，则等差数列为递减数列， 又对所有都成立，即为前项和的最大值， 即该数列的前项非负，第项及后面的项非正， 即，解得， 所以的一个取值为（答案不唯一，满足即可）． 14. 设函数 ①当时， _________； ②若恰有2个零点，则a的取值范围是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由分段函数解析式先求，再求的值，结合零点的定义分段求零点，由条件求a的取值范围. 【详解】当时，， 所以， 所以， 令，可得 当时，， 所以或， 当或时，方程在上有唯一解， 当或时，方程在上的解为或， 当时，， 所以当时，， 当时，方程在上无解， 综上，当时，函数有两个零点， 当时，函数有两个零点， 当时，函数有三个零点， 当时，函数有两个零点， 因为恰有2个零点，所以或， 所以a的取值范围是. 故答案为：；. 15. 已知数列满足，且，给出下列四个结论： ①可能为等比数列； ②若，则为递减数列； ③不可能为递增数列； ④存在实数a，使得， 都有 其中所有正确结论的序号是______ 【答案】①②④. 【解析】 【分析】构建，分析的值域以及与4的大小关系.分、、、和五种情况，分析数列的单调性以及取值范围，结合相应项逐项分析判断即可. 【详解】构建， 可得，当且仅当时，等号成立； 令，解得或；令，解得或；令，解得. 因为， 则，且， （1）若，则，即； 可得，且，可得， 依次类推可得； （2）若，则，； 依次类推可得； （3）若，则，且，可得， 可得，且，可得， 依次类推可得； （4）若，则，， 依次类推可得； （5）若，则，且，可得， 可得，且，可得， 依次类推可得； 对于①：由（4）可知：若，则， 此时数列为公比为1的等比数列，故①正确； 对于②：由（5）可知：若，则， 此时数列为递减数列，故②正确； 对于③：由（3）可知：若，则， 此时数列为递增数列，故③错误； 对于④：由（3）可知：若，则， 即， 都有，故④正确； 故答案为：①②④. 三､解答题：本大题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知等比数列为递增数列，其前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设出公比，根据条件得到方程组，求出公比，得到通项公式； （2）利用等差数列通项公式得到，然后分组求和得到结果. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，由，且等比数列为递增数列，所以， ，解得（负值舍去）， 所以，即； 【小问2详解】 由数列是首项为1，公差为3的等差数列，所以， 所以， . 17. 在中，，且． （1）求角的大小； （2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． 条件①：； 条件②：边上的高为； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选条件①：不存在； 选条件②：存在且唯一确定，其面积为； 选条件③：存在且唯一确定，其面积为 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理边化角即可求解； （2）选①，由余弦定理求出，再结合（1）即可求解；选②，结合（1）及正弦函数的定义得到，再根据余弦定理得到，进而根据三角形的面积公式即可求解；选③，先利用平方关系求出，再结合（1）及两角和的正弦公式求出，再结合正弦定理求出，从而根据余弦定理求出，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 由，则由余弦定理得， 又在中，，所以． 【小问2详解】 选条件①，， 由，且，则由余弦定理得， 结合（1）得，显然不成立，所以不存在； 选条件②：边上的高为， 结合（1）得， 由边上的高为，则，解得， 又，则由余弦定理得， 化简得，解得，或（舍去）， 所以存在且唯一确定，此时其面积为；    选条件③：， 因为， 又在中，，所以， 又结合（1）得，， 所以， 则由正弦定理得，则，即， 又，即，解得，， 由余弦定理得，解得， 所以存在且唯一确定，此时其面积为． 18. 已知函数. （1）若，求的值； （2）已知在区间上单调递增，，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值. 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 选条件②：； 选条件③：. 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式化简函数解析式，利用代入法进行求解即可； （2）若选条件①：根据函数的单调性进行判断即可；若选条件②：根据函数的单调性，结合正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可；若选条件③：根据函数的单调性判断函数的最小值，结合条件②的结论进行求解即可. 【小问1详解】 ， 若， 所以， 因为，所以令，即； 【小问2详解】 若选条件①： 已知条件为在区间上单调递增，，. 因为， 在区间上单调递增， 所以，显然，不能同时成立， 故不存在函数，不能选择该条件； 若选条件②：已知条件为在区间上单调递增，，. 因为， 在区间上单调递增， 所以有，显然，同时能成立， 由可知该函数的最小值为， 于是有，即， 又因为， 所以， 因为，所以令，即， 所以可以选择本条件，此时； 若选条件③：已知条件为在区间上单调递增，，在区间上单调递减. 因为在区间上单调递增，上单调递减. 所以函数，此时， 所以由条件②可知可以选择本条件，此时. 19. 已知函数在处的切线为. （1）求； （2）证明：函数有最小值. 【答案】（1）； （2） 由，得， . 令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 时，；时，. ， 所以在处的极小值为函数的最小值，故有最小值. 【解析】 【分析】（1）将函数转化为乘积形式求导，结合切线斜率与切点导数的关系，求解参数； （2）求导后分析导数符号得到单调区间，结合极限趋势，确定极小值为最小值. 【小问1详解】 ， . 当时，. 切线斜率为，故，即，解得. 【小问2详解】 略 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数在区间上的极值点的个数； （3）若函数在区间上有唯一零点，证明：. 【答案】（1）； （2） 当或时，函数在上无极值点； 当时，函数在上有唯一的极小值点，无极大值点. （3） 由（2）可知，当时，函数在上单调递减，且， 所以函数在上无零点； 当时，函数在上单调递增，且， 所以函数在上无零点； 当时，函数在有唯一的极小值点，且， 要使函数在区间上有唯一零点，所以. 所以， 令，得，即. 再令，， 所以在上单调递增， 且. 所以函数在上有唯一零点， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）直接根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）先对函数求导，再分，，三种情况对导数讨论可得函数的极值点； （3）由（2）解析过程知，函数要有唯一零点t，必有函数的唯一极小值点，再通过构造函数，，只需用导数证明的零点即可. 【小问1详解】 当时，函数， 所以，. 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 由函数，. 令，，. ①若时，，所以在上单调递增，且， 即在上单调递增，且， 所以函数在上单调递增，函数无极值点； ②当时，，， 当，所以. 所以函数在上单调递增且有唯一零点， 即函数在上单调递增且有唯一零点， 当；当， 所以函数在有唯一的极小值点，无极大值点； ③当时，因为，所以， 所以函数在上单调递减，无极值点. 综上所述：当或时，函数在上无极值点； 当时，函数在上有唯一的极小值点，无极大值点. 【小问3详解】 略 21. 已知行列的数表的分量都是非零整数.对于正整数，若数表满足如下两条性质，则称数表具有性质： ①对任意中有个，个； ②存在，使得都是正整数. （1）分别判断数表是否具有性质，请直接写出结果.若具有性，则写出相应的值； （2）当时，是否存在数表满足，并且具有性质？若存在，请写出一个这样的数表；若不存在，请说明理由； （3）当时，是否存在数表满足，并且具有或者性质？若存在，对两种情况分别求出的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）数表具有性质，；数表具有性质，； （2） 不存在数表，满足且具有性质. 下面用反证法证明： 假设存在数表满足且具有性质性质： 即第一行， 记第行的各项积，则； 根据性质①可知，， 所以对任意，； 又由性质②，存在，使； 故产生矛盾，所以假设不成立，即不存在符合题意数表. （3）都存在.具有性质，的最小值；具有性质，的最小值. 【解析】 【分析】（1）直接根据数表的性质判断可得； （2）利用反证法，根据数表每行的数的乘积符号的变化规律分析可得； （3）两类情况都采取先构造再证明的方法，先构造满足题意的数表，再根据数表每行的数乘积正负变化规律及的个数，结合性质探索取值，证明所构造数表即为最小时满足性质的数表. 【小问1详解】 数表，， 当时，，，中有个，个； 当时，，，中有个，个； 故满足性质①； 存在，当时，均为正整数，满足性质②， 所以数表具有性质，即； 数表，， 当时，，，中有个，个； 当时，，，中有个，个； 故满足性质①； 存在，当时，均为正整数，也满足性质②， 所以数表也具有性质，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 情况一：当时，存在数表满足，并且具有性质. I.令，按如下方法构造数表： 第一行； 且任意，相邻两行与 满足对成立， 由构造可知，从第一行到第行逐行变换（共变换次）， 第次行变换中，即相邻两行第行到第行的变换中， 由可知，仅第列这一列的分量与相同，其余各列分量都变号， 故在次变换中， 每一分量都经过次变号，次不变号的变换，得到分量. 因此， 故第行. 由上分析可知这样的数表满足性质①②. II.证明：当为偶数，若数表满足性质，则. 根据性质①第一行的数， 记第行的各项积， 记表示数表中第行中的个数， 则，为偶数. 且； 因此，即为偶数，为奇数，. 根据性质②存在，使得都是正整数，则为奇数. 由性质①相邻两行恰有（奇数）列的分量互为相反数，即仅一列的分量相同； 由第行中的个数，则的个数为， 下面分类研究第行与第行的的个数关系： 第一类：若第行与第行分量相同的一列为， 则第行所有分量中的个数为，的个数为； 若第行与第行分量相同的一列为， 则第行所有分量中的个数为； 若第行与第行分量相同的一列为， 则第行所有分量中的个数为； 第二类：若第行与第行分量相同的一列为， 则第行所有分量中的个数为，的个数为； 若第行与第行分量相同的一列为， 则第行所有分量中的个数为； 若第行与第行分量相同的一列为， 则第行所有分量中的个数为； 综合以上两类可知，. 设第行为各分量都是正整数的首行，， 则，又，且为奇数， 故 ， 故，又，所以. 已知，由II所证结论，则. 故综合I、II可知，若数表具有性质，则的最小值为； 情况二：当时，存在数表满足，并且具有. 由性质①可得，相邻两行中恰有列的分量互为相反数，列的分量相同. I.令，构造如下数表： 第一行； 第二行， 第三行 第四行 此数表满足性质①②. II.证明：当时不存在数表满足性质. 假设时，存在数表满足性质，由数表仅行， 则由性质①，，则中有个，个； 则第二行中的个数，又； 但由性质②，存在，使得都是正整数，即； 故产生矛盾，即时不存在数表满足性质； 假设时，存在数表满足性质，数表有行， 由上性质①分析可知，第二行中的个数，的个数为. 当，则中也有个，个， 即第行与第行分量相同的恰有两列，其余列分量互为相反数. 由性质②，存在，使得都是正整数，， 又，均不为，则. 下面分类研究第行中的个数： 第一类：若第行与第行分量相同的两列为都为， 则第行所有分量中的个数为，这与矛盾； 第二类：若第行与第行分量相同的两列都为， 则第行所有分量中的个数为，这也与矛盾； 第三类：若第行与第行分量相同的两列中一列为，一列为， 则第行所有分量中的个数为，这也与矛盾； 综合以上三类可知，当时也不存在数表满足性质. 由I、II可知，若数表具有性质，则的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学月考试卷 共150分，时长120分钟 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1. 已知集合，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 若，且，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边绕着原点逆时针旋转后与轴的非负半轴重合，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 6. 在中的角的对应边分别为，且，则三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角或等腰三角形 7. 设无穷等比数列的公比为，前项积为，则“有最大值”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知某种垃圾的分解率为v，与时间月满足函数关系式其中a，b为非零常数，若经过12个月，分解率为，经过24个月，分解率为，那么分解率达到，至少需要经过（ ）参考数据： A. 36个月 B. 40个月 C. 47个月 D. 64个月 9. 已知函数在 处取到最小值，且在区间上存在极大值，的最小整数解是（ ） A. 2 B. 8 C. 10 D. 14 10. 学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为、、、、五个等级．某班共有名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为的学生有人，这两科中仅有一科等级为的学生，其另外一科等级为，则该班（ ） A. 物理化学等级都是的学生至多有人 B. 物理化学等级都是的学生至少有人 C. 这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人 D. 这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上. 11. 函数 的定义域是______ 12. 写出函数最大值为1的一个值，__________. 13. 公差为的等差数列的前项和为．若，则______，使得对所有都成立的一个的取值为_________． 14. 设函数 ①当时， _________； ②若恰有2个零点，则a的取值范围是_________． 15. 已知数列满足，且，给出下列四个结论： ①可能为等比数列； ②若，则为递减数列； ③不可能为递增数列； ④存在实数a，使得， 都有 其中所有正确结论的序号是______ 三､解答题：本大题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知等比数列为递增数列，其前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和. 17. 在中，，且． （1）求角的大小； （2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． 条件①：； 条件②：边上的高为； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 已知函数. （1）若，求的值； （2）已知在区间上单调递增，，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值. 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 已知函数在处的切线为. （1）求； （2）证明：函数有最小值. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数在区间上的极值点的个数； （3）若函数在区间上有唯一零点，证明：. 21. 已知行列的数表的分量都是非零整数.对于正整数，若数表满足如下两条性质，则称数表具有性质： ①对任意中有个，个； ②存在，使得都是正整数. （1）分别判断数表是否具有性质，请直接写出结果.若具有性，则写出相应的值； （2）当时，是否存在数表满足，并且具有性质？若存在，请写出一个这样的数表；若不存在，请说明理由； （3）当时，是否存在数表满足，并且具有或者性质？若存在，对两种情况分别求出的最小值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $