精品解析：山东德州市同济中学2026-2027学年上学期八年级数学第一次学情自测

2026-2027年八上数学素养测试 一、选择题（本题共10小题，共40分，请把答案写在答题卡上.） 1. 把一根的铁丝按下面选项长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了能够构成三角形的条件．根据在组成三角形的三条边中，任意一边大于其他两边之差，任意一边小于其他两边之和，即可求得结果，掌握组成三角形的条件是解题的关键． 【详解】解：A、，故不能组成三角形，该选项不符合题意； B、，故不能组成三角形，该选项不符合题意； C、，故不能组成三角形，该选项不符合题意； D、，故能组成三角形，该选项符合题意； 故选：D． 2. 如图，、、是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（ ） A. 三条中线的交点位置 B. 三条角平分线的交点位置 C. 三条高的交点位置 D. 三边的垂直平分线的交点位置 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【详解】解：∵要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等， ∴加油站应该在三条角平分线的交点处． 故选：B． 3. 如图在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是8，则的面积是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，由点为的中点得出，由点为的中点得出，最后再由点为的中点即可得出答案． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴，即， ∵点为的中点， ∴， 故选：A． 4. 下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是（ ） A. 两条直角边对应相等的两个直角三角形. B. 两个锐角对应相等的两个直角三角形. C. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形. D. 有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定：SSS、AAS、SAS、ASA、HL分别进行分析即可． 【详解】解：A、根据SAS可证明两个直角三角形全等，故此选项不合题意； B、两个锐角对应相等的两个直角三角形不一定全等，故此选项符合题意； C、根据HL可判定两个直角三角形全等，故此选项不合题意； D、根据AAS可判定两个直角三角形全等，故此选项不合题意； 故选B． 【点睛】此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理． 5. 如图，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，三角形外角和定理等知识，理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键．根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可知，，结合三角形内角和定理可得，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵，， 又∵， ∴． 故选：A． 6. 如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析碎片保留的边角信息，匹配全等三角形判定定理即可解答． 【详解】解：第③块碎片保留了原三角形的两个角以及这两个角的夹边，根据两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，即判定依据为． 7. 用我们常用的三角板，作的高，下列三角板位置放置正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高线的定义即可得出结论． 【详解】A、B、C都不是△ABC的边上的高． 故选：D． 【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键． 8. 如图，，，要使，则以下条件错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法依次判断即可． 【详解】解：∵， ∴即， ∵，， ∴，故选项A不符合题意； ∵，， ∴，故选项B不符合题意； 添加，无法得出，故选项C符合题意； ∵，， ∴，故选项D不符合题意． 9. 如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点，然后小明在自己家阳台处测得处的俯角为，小华站在处测得眼睛到楼端点的仰角为，发现与互余，已知米，米，米，试求单元楼AB的高度为（ ）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质及俯角仰角的知识，采用数形结合的方法并巧妙借助辅助线是解题的关键． 过点作，再根据已知条件，证明与全等，结合全等三角形的性质再进行计算即可得出． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得： ，米，米，，， ， ， ， 米， 米， ≌， 米， 米， 单元楼的高为米． 故选B． 10. 如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义可判断①；由结合①的结论可得，利用角平分线和公共边可证得，可得，，，可判断②；由，结合平分，可知，可证得，可得，由可判断③；由全等三角形的性质可得，，进而可判断④． 【详解】解：∵在中，、分别平分、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，，，故②正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴．故③正确； ∵，， ∴，， ∵， ∴，故④不正确； 综上，正确的有①②③，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，角平分线与三角形内角和定理．根据三角形内角和定理以及角平分线定义，再由此证明，，是解决问题的关键． 二、填空题：本题共5小题，共20分，请把答案写在答题卡上． 11. 如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是______． 【答案】##平方厘米 【解析】 【分析】先利用角平分线的性质得到O点到各边的距离相等，再将三角形分成3个三角形，将它们的面积相加即可． 【详解】解：过点O作于点E，过点O作于点F，连接，如图所示： ∵点O为与的平分线的交点，且， ∴， ∵，的周长是，， ∴ = = = =； 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题关键是将三角形分成三个等高的三角形，利用周长来求面积． 12. 1751年，瑞士数学家欧拉（Euler，1707-1783）向德国-俄国数学家哥德巴赫（Goldbach，1690-1764）提出了一个边形的三角剖分有多少种不同方法的问题，并归纳得出了边形的不同三角剖分方法数（）的公式，则八边形的三角剖分方法数为：___________． 当时， 【答案】132 【解析】 【分析】根据题意得出，然后根据公式依次计算即可得出结果． 【详解】解：根据题意得：四边形的三角剖分方法有两种，即两对角线各一种， ∴， ∵ ∴， ∴， ， ， ， ∴八边形的三角剖分方法数为132． 13. 有下列条件：①；②；③；④．其中能确定是直角三角形的是______（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，根据有一个角是90度角三角形是直角三角形，结合三角形内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：中， ①时，，能确定是直角三角形； ②时，，，能确定是直角三角形； ③时，，，能确定是直角三角形； ④时，最大的角为，，，不能确定是直角三角形； 综上可知，能确定是直角三角形的是①②③， 故答案为：①②③． 14. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为__________． 【答案】##24厘米 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，，结合即可求得答案． 【详解】解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为： 15. 当三角形中一个内角是另一个内角的2倍时，则称此三角形为“倍角三角形”，其中角称为“倍角”.若“倍角三角形”中有一个内角为36°，则这个“倍角三角形”的“倍角”的度数可以是________________. 【答案】72°、96°、36°. 【解析】 【分析】“倍角三角形”中有一个内角为36°，则有三种情况：①另两个角为72°、72°，72°为倍角；②另两个角分别为48°、96°，96°为倍角；③另两个角分别为18°、126°，36°为倍角，分别求解即可． 【详解】解：∵“倍角三角形”中有一个内角为36°， ∴有三种情况： ①三角形的三个内角为：36°、72°、72°，另两个角为72°、72°，72°为倍角； ②三角形的三个内角为：36°、48°、96°，另两个角分别为48°、96°，96°为倍角； ③三角形的三个内角为：36°、18°、126°，另两个角分别为18°、126°，36°为倍角， 【点睛】本题考查了三角形内角和定理知识，熟知三角形内角和为180°是解题的关键。 三、解答题：本题共8小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线．已知∠B=40°，∠C=70°.求∠DAE的度数. 【答案】 【解析】 【分析】在△ABC中由三角形内角和定理可求得∠BAC，由角平分线的定义可求得∠BAE，再利用三角形外角的性质可求得∠AED，在Rt△ADE中由直角三角形的性质可求得∠DAE． 【详解】解：∵∠B=40°,∠C=70°， ∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−40°−70°=70°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠BAC=35°， ∴∠AED=∠B+∠BAE=40°+35°=75°， ∵AD⊥BC， ∴∠DAE=90°−∠AED=90°−75°=15°， 即∠DAE为15°. 17. 已知，如图，△ABC，∠ACB=90°，∠B=2∠A． （1）用直尺和圆规作△ABC的角平分线BD，保留作图痕迹； （2）在(1)的基础上，求∠ADB的度数． 【答案】 （1）如图，线段BD即为所求． （2）∠ADB=120°． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作角平分线的步骤作图即可； （2）根据∠ACB=90°，∠B=2∠A可求出∠A=30°，∠ABC=60°，根据角平分线定义可得∠ABD=30°，然后由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：（1）略 （2）因为∠ACB=90°， 所以∠A+∠ABC=90°， 因为∠ABC=2∠A， 所以∠A=30°，∠ABC=60°， 又因为BD平分∠ABC， 所以∠ABD=∠ABC=30°， 因为∠ADB+∠A+∠ABD=180°， 所以∠ADB=180°－30°－30°=120°． 【点睛】本题考查了尺规作角平分线，三角形内角和定理的应用，熟知三角形内角和等于180°是解题的关键． 18. 如图，已知，，， （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2） 证明：由（1）知， ∵， 又∵，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，找准对应关系是解答的关键． （1）可以先证，再利用全等三角形的性质，可得； （2）由（1）的结论结合已知条件，根据三角形内角和定理，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 某乡村规划山地休闲游园，如图，地块形如三角形的山地，中间有湖泊，三边划分功能区：边为绿地，长为4千米，边为临溪护栏，长为2千米，边为山间土路．在土路的中点处修建观景驿站，同时修建索道，连接地块顶点与驿站． （1）直接写出山间土路边长的取值范围_________； （2）在中，延长到点，使，连接，与全等吗？请说明理由； （3）在（2）的条件下，求索道长度的取值范围． 【答案】（1） （2），理由如下： ∵点是的中点， ∴， 在与中， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边关系确定第三边范围即可； （2）利用证明三角形全等即可； （3）先求出，在中，根据得出结论即可； 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 20. 如图，平分，，于点，，， （1）求证： （2）求线段的长度 【答案】（1）证明：如图，过点C作交的延长线于点F， ∵平分，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，再证明，即可求证； （2）由（1）得：，可得，证明，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21. 如图，在中，平分，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，过点作，垂足分别为，，若，求的长． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）根据角平分线得出，，再由三角形外角的性质求解即可； （2）连接，作于点F，根据角平分线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：连接，作于点F， ∵平分，， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴． 22. 【问题探究】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是______． （2）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． 【拓展与应用】 （3）如图3，在四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，求的度数；（用含，的式子表示） （4）如图4．平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，则______． 【答案】（1）;（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的应用，轴对称的性质； （1）在中， ，结合角平分线的含义可得，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案； （2）求解，再进一步利用内角和定理可得答案； （3）延长，交于点，同（2）可得，证明，，结合外角的性质可得，，可得，进一步求解即可； （4）求解，，可得，由（1）得：． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． （2）∵与分别是的两个外角，且， ∴， ∴； 故答案为：． （3）延长，交于点， ∵，， 同（2）可得， ∵为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （4）∵，结合折叠， ∴，， ∴， ∵平分，平分， 由（1）得：． 23. 【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． （1）图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） （2）【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1） ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2） ．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）21 【解析】 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ∵，， ，， ， ， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长，过点作于，如图所示：   ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年八上数学素养测试 一、选择题（本题共10小题，共40分，请把答案写在答题卡上.） 1. 把一根的铁丝按下面选项长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，、、是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（ ） A. 三条中线的交点位置 B. 三条角平分线的交点位置 C. 三条高的交点位置 D. 三边的垂直平分线的交点位置 3. 如图在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是8，则的面积是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 7 4. 下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是（ ） A. 两条直角边对应相等的两个直角三角形. B. 两个锐角对应相等的两个直角三角形. C. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形. D. 有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等. 5. 如图，的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（ ） A. B. C. D. 7. 用我们常用的三角板，作的高，下列三角板位置放置正确的是(　　) A. B. C. D. 8. 如图，，，要使，则以下条件错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点，然后小明在自己家阳台处测得处的俯角为，小华站在处测得眼睛到楼端点的仰角为，发现与互余，已知米，米，米，试求单元楼AB的高度为（ ）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共5小题，共20分，请把答案写在答题卡上． 11. 如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是______． 12. 1751年，瑞士数学家欧拉（Euler，1707-1783）向德国-俄国数学家哥德巴赫（Goldbach，1690-1764）提出了一个边形的三角剖分有多少种不同方法的问题，并归纳得出了边形的不同三角剖分方法数（）的公式，则八边形的三角剖分方法数为：___________． 当时， 13. 有下列条件：①；②；③；④．其中能确定是直角三角形的是______（填序号）． 14. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为__________． 15. 当三角形中一个内角是另一个内角的2倍时，则称此三角形为“倍角三角形”，其中角称为“倍角”.若“倍角三角形”中有一个内角为36°，则这个“倍角三角形”的“倍角”的度数可以是________________. 三、解答题：本题共8小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线．已知∠B=40°，∠C=70°.求∠DAE的度数. 17. 已知，如图，△ABC，∠ACB=90°，∠B=2∠A． （1）用直尺和圆规作△ABC的角平分线BD，保留作图痕迹； （2）在(1)的基础上，求∠ADB的度数． 18. 如图，已知，，， （1）求证：； （2）求证：． 19. 某乡村规划山地休闲游园，如图，地块形如三角形的山地，中间有湖泊，三边划分功能区：边为绿地，长为4千米，边为临溪护栏，长为2千米，边为山间土路．在土路的中点处修建观景驿站，同时修建索道，连接地块顶点与驿站． （1）直接写出山间土路边长的取值范围_________； （2）在中，延长到点，使，连接，与全等吗？请说明理由； （3）在（2）的条件下，求索道长度的取值范围． 20. 如图，平分，，于点，，， （1）求证： （2）求线段的长度 21. 如图，在中，平分，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，过点作，垂足分别为，，若，求的长． 22. 【问题探究】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是______． （2）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． 【拓展与应用】 （3）如图3，在四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，求的度数；（用含，的式子表示） （4）如图4．平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，则______． 23. 【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． （1）图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） （2）【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $