3.4 相似三角形的性质 同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.4 相似三角形的性质 考点1: 相似三角形中对应高、角平分线、中线的比 定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.  · 相似三角形对应线段的比等于相似比. 练习1. 1. 已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应高的比为(　A　). A． B． C． D． 2. 若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为25∶36，则△ABC与△DEF的对应边的比是(　A　). A．5∶6 B．6∶5 C．25∶36 D．36∶25 3. 顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形对应中线的比是(　D　). A．1∶ B．1∶3 C．1∶ D．1∶2 4. 在一个边长为12 cm的正方体箱子的右侧面中心处点(O)有一个小孔，在右侧面小孔正右方有一根点燃的蜡烛AB＝10.5 cm，如图小孔成像示意图．则像A′B′的长是(　B　). A．2.5 cm B．3.5 cm C．4.5 cm D．7.5 cm 5. 如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则S△ADE∶S△ABC等于(　D　). A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶9 6. 如果两个相似三角形的对应边之比为2∶5 ，其中一个三角形的一条角平分线长为7，则另一个三角形的对应角平分线的长为(　C　). A． B． C．或 D．无法确定 7. 如图，△ABC∽△A'B'C',AD，BE分别是△ABC的高和中线，A'D' ,B'E'分别是△A'B'C’的高和中线，且AD＝4，A'D'＝3，BE＝6，则B'E'的长为 4.5 . 考点2: 相似三角形的周长比、面积比 定理：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.  · 证明:如图，已知△ABC∽△A'B'C',设两个三角形的相似比为k, 则有＝＝＝k，＝＝k，即＝k.分别作两个三角形的高CD和C'D'. 因为△ABC∽△A'B'C'，所以＝＝k.所以＝＝·＝k2. 考点3: 相似多边形的性质 1. 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 2. 相似多边形的对应对角线的比等于相似比. 3. 相似多边形被对应对角线分成的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比. · 等底(或等高)的两个三角形，面积比等于两个三角形的对应高(或底)的比. 练习2. 1. 如图，△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，若AD＝3，A'D'＝4，则 的值为(　D　). A． B． C． D． 2. 如果△ABC∽△DEF，相似比为2∶1，且△DEF的面积为4，那么△ABC的面积为(　D　). A．1 B．4 C．8 D．16 3. 两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是(　B　). A．14cm B．18cm C．30cm D．34cm 4. 如图，在7×7的正方形网格中，A，B，C，D是网格线的交点，AC与BD相交于点O，则△ABO的周长与△CDO的周长的比为 1∶2 . 第4题 第5题 5. 如图，△ABC∽△DEF，AC∥DF，直线AD，BE，CF相交于点O，且＝.若△ABC 的周长为15，则△DEF 的周长为 . 巩固练习： 1. 如图，△ADE∽△ABC，若AD＝1，BD＝2，则△ADE与△ABC的相似比是(　B　). A．1：2 B．1：3 C．1：9 D．1：4 2. 若△ABC∽△DEF，AB＝6，DE＝4，则下列说法错误的是(　D　). A．∠B＝∠E B．DF＝AC C．S△ABC＝S△DEF D．BC＝EF 3. 在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD：DB＝2：3，那么能够判断DE∥BC的是(　B　). A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 4. 已知△ABC∽△A'B'C'，△A'B'C'的面积为6，且周长为△ABC周长的一半，则△ABC的面积等于(　D　). A．1.5 B．3 C．12 D．24 5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC＝1：2，那么S△AOD：S△BOC是(　B　). A．1∶3 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶6 6. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为(　D　). A．1.25尺 B．56.5尺 C．6.25尺 D．57.5尺 7. 我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象．墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屈内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像．已知初始状态下，小孔O到人AB的距离、小孔O到所成像CD的距离均为6米，要使像CD的长度变为原来的1.5倍，下列操作正确的是(　B　). A．人向暗室后退2米 B．人向暗室前进2米 C．人向暗室后退4米 D．人向暗室前进4米 8. 如图，△ABC∽△ADE，B，C分别在AD，AE 上，S△ABC∶S四边形BDEC＝1∶3，BC＝，则DE 的长为(　B　). A． B．2 C．3 D．4 9. 如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝(　C　). A． B． C． D． 10. 已知两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为56cm，则较小的三角形的周长为 24cm ． 11. 如图，点D是△ABC内一点，点E在线段BD的延长线上，BE与AC交于点O，分别连接AD，AE，CE，若△ABC∽△ADE，∠ADE＝45°，∠ACE＝21°，则∠CAE＝　24°　 ． 12. 如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则＝ . 13. 四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，它们的面积之比为16∶25，它们的相似比为 ，若四边形A'B'C'D'的周长为15cm，则四边形ABCD的周长为 12cm . 14. 如图，在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE交对角线BD于点F. (1)△ADF与△EBF的面积比为 4∶1 ； (2)若△ADF的周长为24，求△EBF的周长． 解：(2) △EBF的周长为12. 15. 如图，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC＝80，AD＝60，四边形PQRS是由两个并排放置的正方形所组成的矩形，则矩形的面积为多少？ 解：矩形的面积为1152 16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个根，且OA＞OB． (1)直接写出：OA＝　4　 ，OB＝　3　 ； (2)若点E为x轴上的点，且△AOE∽△DAO．求此时点E的坐标． 解：点E的坐标为：(，0)或(－，0)． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4 相似三角形的性质 考点1: 相似三角形中对应高、角平分线、中线的比 定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.  · 相似三角形对应线段的比等于相似比. 练习1. 1. 已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应高的比为(　 　). A． B． C． D． 2. 若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为25∶36，则△ABC与△DEF的对应边的比是(　 　). A．5∶6 B．6∶5 C．25∶36 D．36∶25 3. 顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形对应中线的比是(　 　). A．1∶ B．1∶3 C．1∶ D．1∶2 4. 在一个边长为12 cm的正方体箱子的右侧面中心处点(O)有一个小孔，在右侧面小孔正右方有一根点燃的蜡烛AB＝10.5 cm，如图小孔成像示意图．则像A′B′的长是(　 　). A．2.5 cm B．3.5 cm C．4.5 cm D．7.5 cm 5. 如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则S△ADE∶S△ABC等于(　 　). A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶9 6. 如果两个相似三角形的对应边之比为2∶5 ，其中一个三角形的一条角平分线长为7，则另一个三角形的对应角平分线的长为(　 　). A． B． C．或 D．无法确定 7. 如图，△ABC∽△A'B'C',AD，BE分别是△ABC的高和中线，A'D' ,B'E'分别是△A'B'C’的高和中线，且AD＝4，A'D'＝3，BE＝6，则B'E'的长为 . 考点2: 相似三角形的周长比、面积比 定理：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.  · 证明:如图，已知△ABC∽△A'B'C',设两个三角形的相似比为k, 则有＝＝＝k，＝＝k，即＝k.分别作两个三角形的高CD和C'D'. 因为△ABC∽△A'B'C'，所以＝＝k.所以＝＝·＝k2. 考点3: 相似多边形的性质 1. 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 2. 相似多边形的对应对角线的比等于相似比. 3. 相似多边形被对应对角线分成的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比. · 等底(或等高)的两个三角形，面积比等于两个三角形的对应高(或底)的比. 练习2. 1. 如图，△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，若AD＝3，A'D'＝4，则 的值为(　 　). A． B． C． D． 2. 如果△ABC∽△DEF，相似比为2∶1，且△DEF的面积为4，那么△ABC的面积为(　 　). A．1 B．4 C．8 D．16 3. 两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是(　 　). A．14cm B．18cm C．30cm D．34cm 4. 如图，在7×7的正方形网格中，A，B，C，D是网格线的交点，AC与BD相交于点O，则△ABO的周长与△CDO的周长的比为 . 第4题 第5题 5. 如图，△ABC∽△DEF，AC∥DF，直线AD，BE，CF相交于点O，且＝.若△ABC 的周长为15，则△DEF 的周长为 . 巩固练习： 1. 如图，△ADE∽△ABC，若AD＝1，BD＝2，则△ADE与△ABC的相似比是(　 　). A．1：2 B．1：3 C．1：9 D．1：4 2. 若△ABC∽△DEF，AB＝6，DE＝4，则下列说法错误的是(　 　). A．∠B＝∠E B．DF＝AC C．S△ABC＝S△DEF D．BC＝EF 3. 在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD：DB＝2：3，那么能够判断DE∥BC的是(　 　). A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 4. 已知△ABC∽△A'B'C'，△A'B'C'的面积为6，且周长为△ABC周长的一半，则△ABC的面积等于(　 　). A．1.5 B．3 C．12 D．24 5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC＝1：2，那么S△AOD：S△BOC是(　 　). A．1∶3 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶6 6. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为(　 　). A．1.25尺 B．56.5尺 C．6.25尺 D．57.5尺 7. 我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象．墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屈内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像．已知初始状态下，小孔O到人AB的距离、小孔O到所成像CD的距离均为6米，要使像CD的长度变为原来的1.5倍，下列操作正确的是(　 　). A．人向暗室后退2米 B．人向暗室前进2米 C．人向暗室后退4米 D．人向暗室前进4米 8. 如图，△ABC∽△ADE，B，C分别在AD，AE 上，S△ABC∶S四边形BDEC＝1∶3，BC＝，则DE 的长为(　 　). A． B．2 C．3 D．4 9. 如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝(　 　). A． B． C． D． 10. 已知两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为56cm，则较小的三角形的周长为 ． 11. 如图，点D是△ABC内一点，点E在线段BD的延长线上，BE与AC交于点O，分别连接AD，AE，CE，若△ABC∽△ADE，∠ADE＝45°，∠ACE＝21°，则∠CAE＝ ． 12. 如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则＝ . 13. 四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，它们的面积之比为16∶25，它们的相似比为 ，若四边形A'B'C'D'的周长为15cm，则四边形ABCD的周长为 . 14. 如图，在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE交对角线BD于点F. (1)△ADF与△EBF的面积比为 ； (2)若△ADF的周长为24，求△EBF的周长． 15. 如图，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC＝80，AD＝60，四边形PQRS是由两个并排放置的正方形所组成的矩形，则矩形的面积为多少？ 16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个根，且OA＞OB． (1)直接写出：OA＝ ，OB＝ ； (2)若点E为x轴上的点，且△AOE∽△DAO．求此时点E的坐标． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $