3.4 相似三角形的性质 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 练习以相似三角形性质为核心，通过基础选择填空、中档综合应用、提高探究题三阶分层，覆盖从单一性质到跨图形综合应用的巩固路径，培养抽象能力、推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一相似性质（相似比、面积比）|直接应用性质（如第7题相似比计算）| |中档|相似与四边形结合（菱形、矩形、正方形）|融合图形性质（如第3题四边形判定）| |提高|动态问题与综合证明（折叠、动点、多步推理）|创设生活情境与探究证明（如第14题河宽估算、第17题正方形证明）|

3.4相似三角形的性质 一、单选题 1.如图，在菱形ABCD中，AC=8,BD=6,DE⊥AB,垂足为E,DE与AC交于点F,则DC:CF值 为() E B 3 4 3 A.4 B.3 c.5 D 2.如图，点E是正方形ABCD对角线BD上的一点，连接CE、AE,延长CE交AD于点F,若 ∠DCE=26°，则∠AEF的度数是() D E B A.25° B.30° C.38 D.40° 3.如图，在四边形ABCD中，AB=BC,AD=DC,AC、BD相交于点O,关于四边形ABCD的形状， 甲、乙、丙三人的说法如下： 甲：若添加AB‖CD,则四边形ABCD为菱形： 乙：若添加∠BAD=90°，则四边形ABCD为矩形： 丙：若添加∠ABC=∠BCD=90°，则四边形ABCD为正方形. 他们说法正确的是() A.甲、乙 B.甲、丙 C.乙、丙 D.都正确 4.如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD.己知AB∥CD,AB=2m,CD=5m,点 P到CD的距离是3m,则CD到AB的距离是() A B D 6 7 9 15 5 B.6m C. -m 5 D.2m 5.如图，在正方形ABCD中，AC与BD相交于点O,∠BDC的平分线分别交BC、AC于M、N两点. 如果BM-V2 那么线段N的长为《) M A号 2 2 B.2 C.3 D.1 6.如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E,A,B三点共线，AB=4,则阴影部 分的面积是() D A B A.8 B.9 C.10 D.12 4BC△MA,G△4，C,△4S与△4B,C的相似比为2：L,△44G与△MBC 7.已知 的相似 比为3：1，那 么△4B,G与△4B,C的相似比为() A.1:6 B.2:3 C.3:2 D.6:1 8.如图，△ABCn△DEF,AB:DE=I:2,则下列结论一定成立的是() B D BC 1 ∠的度数1 A.DF2 B.∠D的度数2 S.AnC=1 C.unc=1 C.S.DEF 2 D.C,DEr2 二、填空题 9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15cm,AC=12cm,点P从点B出发，以2cm/s的速度向点 移动，同时点”从点C出发，以lcm/s。 m/s的速度向点4移动.设运动时间为，当人 .△CPO∽△CAB 时， 10.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连接AE,过点D作DF⊥AE,垂足为点F.若AB=6, BE=8,AD=12,则DF= D B E C 11.如图，在△1BC中，BCIDE,AD=3,BD=6若SE=2Sa装形x= ”,若 ’则 12.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A 落在A'处，如果A'恰在矩形的对角线AC上，则AE的长为一· A------- 13.如图，在正方形ABCD中，E,F分别为AB,BC上的点，连接EC,DF,若EC⊥DF于点G, BE=2,则CF的长为 A D E B 三、解答题 14.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A,在近岸取点B和点C,观察者在点 E.适当调整，使得AB与EC都与河岸BC垂直.此时AE与BC相交于点D,若测得 BD=100m,DC=50m,EC=45m,请利用这些数据计算河的宽度. A 15.如图所示，旗杆顶部Q,标杆顶部D,观测者的眼睛B在同一直线上，测得观测者的脚到旗杆底部的 距离AP=75m,观测者的脚到标杆底部的距离AC=2.5m,若AB=1.5m,标杆CD的高为2m,那么旗 杆有多高. D 16.如图，矩形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H,四边形EFGH是怎样的特殊 四边形？证明你的结论 H E 17.如图，AC是口ABCD的对角线，AB=BC,点E是边CD的延长线上一点，连接AE,过点C作 CF⊥AE于点F,交AD于点G,且∠E=∠CGD. B G (1)求证：四边形ABCD是正方形： (2)若点F是AE的中点，AB=2,求CE的长 l8.如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E,F,ABCD的 面积为24.求图中阴影部分的面积. E B F 19.如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点，BE+DF=EF.求∠EAF的度数 E 《3.4相似三角形的性质同步练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A 75 9.14 10.7.2 11.16 2. 9 13.2 14.90m 15.解：如图，作BH1PO于H,交CD于E,则四边形ABEC和四边形ABHP为矩形， B E .'EC=PH=AB=1.5m,BH AP=75m,BE AC=2.5m, .DE=CD-CE=2-1.5=0.5, DE∥QH, .△BED△BHQ DE_BE0.5_2.5 QHBH,即QH-75,解得：QH=15, :0P=0H+HP=l15+1.5=16.5m) 答：旗杆的高度为16.5m. 16.四边形EFGH是正方形. 证明：，矩形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H, .∠BAE=∠FAD=∠ADF=∠CDG=∠DCG=∠BCH=∠CBH=∠ABE=45°， .∠AEB=∠F=∠H=∠CGD=90°， ,∠AEB=∠HEF,∠CGD=∠HGF, .∠HEF=∠F=∠H=∠HGF=90°， ∴.四边形EFGH是矩形， ,在矩形ABCD中，AB=CD,∠BAE=∠ABE=45°，∠CDG=∠DCG=45°， .△AEB≌ADGC(ASA) ∴AE=DG, ∠FAD=∠ADF=45°， .AF DF, .AF-AE=DF-DG,EF=GF, .四边形EFGH是正方形. 17.(I)证明：：ABCD中AB=BC, .四边形ABCD是菱形， CF⊥AE, .∠CFE=90°， .∠E+∠ECF=90° .∠E=∠CGD ∴.∠CGD+∠ECF=90°， .∠ADC=90°， “四边形ABCD是正方形： (2)解：，四边形ABCD是正方形，AB=2, .BC=AB=2,∠B=90° ACBC=22 点F是AE的中点，CF⊥AE, .CF垂直平分AE, CE=4C-2 18.解：，ABCD的对角线AC,BD相交于点O, .AD/IBC,AO=CO. .∠OAE=∠OCF, 又，∠AOE=∠COF ,△OAE=△OCF(ASA) 阴影部分的而积=m+8x+8m=5m方5分×24=2 l9.解：如图，延长CB到点H,使得BH=DF,连接AH. D H BEC.∠ABE=90°，∠D=90° ∴.∠D=∠ABH=90° 在△ABH和△ADF中， AB=AD, ∠ABH=∠ADF=90°， BH=DF, ∴.△ABH≌△ADF(SAS) .AH=AF,∠BAH=∠DAF ∴∠BAH+∠BAF=∠DAF+∠BAF,即LHAF=∠BAD=90° .BE +DF =EF, BE+BH=EF,即HE=EF. 在△AEH和△AEF中， 「AH=AF, AE=AE, EH=EF, ∴△AEH≌△AEF(SSS) .∠EAH=∠EAF, ·∠EAF=∠HAF=45° 2