3.4 相似三角形的性质周末学情自检2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.4 相似三角形的性质 周末学情自检2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 2．如图，，交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，相似比是，上的中线长为1，则边上的中线长为（     ） A． B． C．4 D．3 4．中，，分别是，的中点，．下面四个结论：①；②；③的面积与的面积之比为；④的周长与的周长之比为，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．如图，在中，，若，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 6．小亮在测量一根电线杆的高度时，制定了如下的测量方案：如图，先在地面的适当位置O处平放一面镜子，然后沿着电线杆的底部N与镜子所在的直线向后退，退到在镜子中刚好能看到电线杆的顶端Q为止．此时，测得小亮眼睛P到地面的距离，小亮到O处的距离，电线杆底部N到O的距离．电线杆的高度的值为（   ） A． B． C． D． 7．魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 8．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，实像的高为，则小孔到的距离为（    ）    A． B． C． D． 9．如图，平面直角坐标系中，，，C为的中点，D在x轴上，若以A，C，D组成的三角形与相似，则D的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D．或 10．如图1，在中，，点是线段上一点，点在边上从点向点运动，连接．设．图2是点在边上运动时，随变化的函数图象（图中所标数据分别为图象右端点与最低点的横、纵坐标），则的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是________． 12．物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为______． 13．如图，在中，，，点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为，当______时，与相似． 14．如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为______，的面积为______． 15．如图，在中，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，，，则线段的长为__________． 三、解答题 16．（1）如图1，仅用无刻度的直尺在上找一点，使． （2）如图2，点为的边的延长线上一点，请用尺规作图法在的延长线上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 17．如图，在中，，点D，E在边上（在的左边），且． (1)求证：； (2)若，求BD的长． 18．【模型建立】 （1）如图1，正方形中，E为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，连接，当点恰好落在上时，求的值； 【模型应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，求的值（用含的式子表示）． 19．淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 20．已知：矩形中， ，，点是对角线上的一个动点，连接，以为边在的右侧作等边． (1)①如图①，当点运动到与点重合时，记等边为等边，则点到的距离是 ； ②如图②，当点运动到点落在上时，记等边为等边．则等边的边的长是 ； (2)如图③，当点运动到与点重合时，记等边为等边，过点作交于点，求的长． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C D D A A C C 1．【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【详解】∵，对应中线比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 2．【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质．由得到，进而根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C 3．【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【详解】解：∵，相似比为， ∴边上的中线与边上的中线的比为， ∵边上的中线长为， ∴边上的中线长为. 4．【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．根据题意做出图形，点、分别是、的中点，可得，，则可证得，由相似三角形面积比等于相似比的平方，证得的面积与的面积之比为，然后由三角形的周长比等于相似比，证得的周长与的周长之比为，选出正确的结论即可． 【详解】解：在中，、分别是、的中点，如图， ∴，， ∴，故正确； ∵，， 的面积与的面积之比为，故正确； 的周长与的周长之比为，故错误． 故选：C． 5．【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】证明，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 6．【答案】D 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 根据与可判断，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， ，，， ， ． 经检验，是方程的解， 故电线杆的高度的值为， 故选：D． 7．【答案】A 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．根据，可得，从而得到，进而得到，再由比例的性质可得，从而得到，进而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，，，， ∴． 故选：A 8．【答案】A 【知识点】相似三角形实际应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的应用，先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后代入数据计算即可．解题的关键是利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 【详解】解：由题意知：，，， ∴ 由， ∴， ∴， 由， ∴， ∴， ①+②，得：， ∵，， ∴， ∴， ∴小孔到的距离为． 故选：A． 9．【答案】C 【知识点】已知两点坐标求两点距离、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查坐标与图形，相似三角形的性质，当A，C，D组成的三角形与相似时，则为直角三角形，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，，C为的中点， ∴， ∴， 当A，C，D组成的三角形与相似时，则为直角三角形， ∴当为直角顶点时，此时轴， ∴， 当为直角顶点时，设：，则：， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 故选C． 10．【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质综合、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】由图2中函数图象最低点纵坐标为2.5，结合的中位线，求出的高为，图2中的最大值为6，即，代入面积公式得． 【详解】， 为的中位线， ， ， 图2中函数图象最低点的纵坐标为， 与之间的距离为． 的边上的高为． 由图2可知的最大值为， ， 的面积为． 11．【答案】120° 【知识点】利用相似三角形的性质求解、等边三角形的性质 【分析】由△BPM∽△PAN，可得出∠BPM=∠A，进而再由等边三角形的性质以及角之间的转化，即可得出结论． 【详解】解：∵ △BPM∽△PAN， ∴ ∠BPM＝∠A， ∵ △PMN是等边三角形， ∴ ∠A+∠APN＝60°，即∠APN+∠BPM＝60°， ∴ ∠APB＝∠BPM+∠MPN+∠APN＝60°+60°=120°． 故答案为：120°． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题． 12．【答案】5 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，根据，证明，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：， ， ， ， 的高为,为,为, ， 故答案为：5 13．【答案】2或 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是根据题意分类讨论，列出比例式，根据比例式求出运动时间． 【详解】解：点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为， 则，，， ∵， 当时，， ∵，， ∴， 解得，； 当时，， ∵，， ∴， 解得，； 故答案为：或． 14．【答案】 【知识点】矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据勾股定理可得，过点A作于点H，进而可得，最后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ 由折叠的性质可知：， ∴， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴，， 过点A作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 15．【答案】/ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了作图--复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证明是解答本题的关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 根据作法得平分，垂直平分，得，，从而证明，可得，然后利用相似三角形性质可得，解比例方程即可求解． 【详解】解：连接， 由作法得平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．【答案】 （1）如图所示， （2）根据作一个角等于已知角的方法作图如下，点即为所求点的位置． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题主要考查网格作平行线，作一个角等于已知角，掌握以上作图方法是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例即可求解； （2）根据作一个角等于已知角的方法即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴在线段上取一点，使得， 作交于点， ∵， ∴， ∴点即为所求点的位置； （2）使得， ∴若，且，即可求解， 17．【答案】(1) 证明：， ， ， 又， ， 又， ； (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理： （1）根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，进而根据平角的定义求出的度数，再根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，即， ． 18．【答案】（1）2；（2） 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、折叠问题 【分析】本题属于四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，合理构造相似三角形是解决本题的关键． （1）根据翻折的性质，全等三角形的性质，平角的概念得到，再根据相似三角形的性质，得出与的关系即可求解； （2）根据（1）中三角形的全等与相似条件不变，得出不变，再根据与的关系，与的关系即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴，， 由翻折的性质可知，， ∴， 由正方形的性质和折叠的性质可得，， ∴, 在与中， ， ∴， ∴， 由翻折的性质可得，，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）由（1）知，，， ∵， ∴， ∴，即． 19．【答案】(1)旗杆的高度为 (2)旗杆的高度米 【知识点】相似三角形实际应用、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【详解】（1）解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 20．【答案】(1)①；② (2) 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形——动点问题、等边三角形的性质 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形和矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键． （1）①作于，交于点，利用等边三角形三线合一的性质与矩形的性质求解即可；②作于点，判断出，从而利用相似三角形的性质求解即可； （2）作于点，延长交于点，综合等边三角形的性质以及平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】（1）①∵四边形ABCD为矩形， ∴BC=AD=8，作于N，交AD于M点，如图所示， 则， ∵为等边三角形， ∴，AM=4， ， ， 即点E1到BC的距离是， 故答案为：； ②作于点，如图所示，则， 设等边的边长， 则，， ， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴， 故答案为：； （2）作于点，延长交于点，如图所示，则， 为等边三角形， ， ， ， ， ，即：， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $