精品解析：江苏宿迁市泗阳县部分校2026-2027学年九年级上学期数学学情自测试题

初三数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若反比例函数的图象经过点，则它的图象分别位于（ ） A. 第一、第二象限 B. 第二、第四象限 C. 第一、第三象限 D. 第三、第四象限 4. 若是方程的一个根，则实数m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 5. 若点，在双曲线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 下列方程的两个实数根的和为的是（ ） A. B. C. D. 7. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 8. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 函数图象在第一、三象限 B. 当时，y的值随x的增大而减小 C. 当时， D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上 9. 如图，正比例函数的图像与反比例函数图像交于A，B两点，点C在x轴负半轴上，，的面积为11，则的值为（ ） A. B. C. 11 D. 10. 对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（ ） ①若方程的两个根为和1，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 把一元二次方程化为一般形式，结果是___________． 12. 已知反比例函数的图像经过点，则k的值为___________． 13. 关于的方程是一元二次方程，则_____． 14. 现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是___． 15. 已知关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是___________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值为___________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点为轴上的点，点是第一象限内的一点，轴，轴于，已知线段交反比例函数的图像于点，连接，连接，交反比例函数图像于点．若的面积为4，则梯形的面积为___________． 18. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是___________． 三、解答题（本大题共10小题，共88分，解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤．） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知反比例函数，且当时，． （1）求a的值； （2）在图中画出该函数图象． 21. 已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）当时，求的值． 22. 已知反比例函数与一次函数的图象交于点． （1）求的值及反比例函数的解析式； （2）求这两个函数图象的另一个交点B的坐标． 23. 某商店销售一种商品，进价为每件40元，当售价为每件60元时每月可售出100件．为增加利润，商店决定涨价销售．经市场调查发现：售价每上涨2元，月销量就减少4件．要使每月销售这种商品的利润达到2400元，每件应该涨价多少元？ 24. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设，是方程的两个实数根，若，求实数的值． 25. 【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为．① 解：由方程①，得，． 当时，即，此方程无解； 当时，即，， 原方程的解为， 【解决问题】 （1）在由原方程到方程①的过程中，是利用换元法达到_________．（选填“降次”或“消元”）的目的，体现了数学的转化思想； （2）请仿照材料的方法，解下列方程：． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴相交于点C，已知点B的坐标为． （1）求反比例函数的解析式及点A的坐标； （2）观察图象，不等式的解集为______； （3）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 27. 智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． （1）填空： ①当时，与之间的函数关系式是_________； ②当时，与之间的函数关系式是_________； ③_________； （2）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 28. 在平面直角坐标系中，对于点，，线段的中点坐标为，当满足时，称点，互为“对消点”．如，是互为“对消点”． （1）已知函数图象上的点，互为“对消点”． ①若的横坐标为2，则的坐标是_________； ②记，的横坐标分别为，，点为线段的中点，若，求点坐标； （2）已知四边形的四个顶点的坐标分别为，，，，若的两个“对消点”连线能将该四边形的面积平分，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把A、B、C、D各选项中可以化简的方程化简，再根据一元二次方程的定义分别对各个方程进行判断即可得答案. 【详解】解：A.化简得：，故不是一元二次方程，A错误. B.方程 只有一个未知数，且的最高次数为2，是关于的一元二次方程，不是关于的一元二次方程，故B错误. C.方程 只有一个未知数，且的最高次数为2，是关于的一元二次方程，故C正确. D. 把化简为，当时，不是一元二次方程，故不一定是关于的一元二次方程，故D错误. 2. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数． 根据反比例函数的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．为一次函数，不符合题意； B．为二次函数，不符合题意； C．是反比例函数，符合题意； D．为正比例函数，不符合题意． 故选C． 3. 若反比例函数的图象经过点，则它的图象分别位于（ ） A. 第一、第二象限 B. 第二、第四象限 C. 第一、第三象限 D. 第三、第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得的值，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、第四象限. 4. 若是方程的一个根，则实数m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】把代入方程，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得：． 5. 若点，在双曲线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由确定双曲线的象限分布，结合点的横坐标符号判断函数值正负即可比较． 【详解】解：∵， ∴双曲线的两支分别位于第二、第四象限， ∵点的横坐标， ∴该点在第二象限，， ∵点的横坐标， ∴该点在第四象限，， ∴． 6. 下列方程的两个实数根的和为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据判别式判断方程是否有两个实数根，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：A． ，，该方程有实根，，不符合题意； B． ，，该方程有实根，且，不符合题意； C． ，，该方程有实根，且，符合题意； D． ，，该方程无实根，不符合题意 7. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定第一个月到第三个月的增长次数为，结合月平均增长率列方程． 【详解】解：∵第一个月新建个充电桩，月平均增长率为， ∴第二个月新建充电桩个数为， ∴第三个月新建充电桩个数为， ∵第三个月新建个充电桩， ∴可列方程为． 8. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 函数图象在第一、三象限 B. 当时，y的值随x的增大而减小 C. 当时， D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，图象在第一象限，随的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵当时，图象在第三象限，随的增大而减小， ∴当时，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围是或，故C错误，符合题意； 若点在函数图象上，则，即， ∴，即点也在函数图象上，故D正确，不符合题意． 9. 如图，正比例函数的图像与反比例函数图像交于A，B两点，点C在x轴负半轴上，，的面积为11，则的值为（ ） A. B. C. 11 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，以及反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质，以及反比例函数系数的几何意义是解答本题的关键，依据题意，过点A作轴，，结合的面积得出，进而可得的值． 【详解】解：由题意，过点A作轴， ∵A点反比例函数图像上， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， 又∵该反比例函数图像在第二、四象限， ∴ ， ∴． 故选：B． 10. 对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（ ） ①若方程的两个根为和1，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由根与系数的关系得到，则可推出，据此可判断①；当时，可证明是原方程的解，据此可判断②；根据题意可得都是关于的一元二次方程的实数根，而关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，据此可判断③；可证明，，则可证明，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断④. 【详解】解：①若方程的两个根为和，由根与系数的关系得，， ，， ，故①正确； ②， 将代入方程得， 是方程的根，即方程一定有解，故②正确； ③若，则都是方程的实数根， 一元二次方程可以有两个不相等的实数根， 不一定等于，故③错误； ④若，则， ，，与异号， ，即， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系，两根之和为， 方程的两实数解一定互为相反数，故④正确， 故正确的有①②④，共3个. 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 把一元二次方程化为一般形式，结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】把原方程化为的形式即可． 【详解】解： ． 12. 已知反比例函数的图像经过点，则k的值为___________． 【答案】６ 【解析】 【分析】直接将点坐标直接代入，即可求得值． 【详解】解：将代入得：， 解得： 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握其基础性质是解题的关键． 13. 关于的方程是一元二次方程，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得：未知数的最高次数为，且二次项系数不为零．解题的关键是掌握：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数的整式方程，叫做一元二次方程． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， ∴且， ∴． 故答案为：． 14. 现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是___． 【答案】﹣1或4 【解析】 【详解】解：根据题中的新定义将x★2=6变形得：x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0， 将左边因式分解得：（x﹣4）（x+1）=0， 解得：x1=4，x2=﹣1． ∴实数x的值是﹣1或4． 故答案为：﹣1或4 15. 已知关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】令，则方程可变为方程，根据题意可得关于的方程的解是，，据此代入求解即可． 【详解】解：令，则方程可变为方程， ∵关于的方程的解是，， ∴关于的方程的解是，， ∴或， 解得或， ∴方程的解是或． 16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数和一次函数的性质可得，，即，，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点为轴上的点，点是第一象限内的一点，轴，轴于，已知线段交反比例函数的图像于点，连接，连接，交反比例函数图像于点．若的面积为4，则梯形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用反比例函数的几何意义：图象上的点与坐标轴围成的直角三角形面积为；由得，减去即为梯形的面积． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴， ∴（反比例函数的几何意义）， ∵， ∴． ∵点在反比例函数图象上，轴， ∴， ∴， ∴梯形的面积为． 18. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用公式法解方程得到或，根据“邻根方程”的定义得到，则可推出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵关于的方程是“邻根方程”， ∴关于的方程有两个实数根， 解方程得或， 由“邻根方程”的定义可得， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴t的最大值为． 三、解答题（本大题共10小题，共88分，解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤．） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法即可解答； （2）利用公式法即可解答； 【小问1详解】 解：因式分解得， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：，，， ， ∴ 解得，． 20. 已知反比例函数，且当时，． （1）求a的值； （2）在图中画出该函数图象． 【答案】（1） （2） 函数图象如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象的画法： （1）将，代入解析式求解． （2）根据函数解析式及表格作图． 【小问1详解】 解：把，代入得，， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知反比例函数的解析式为， ∴当时，， 描点，连线，图象略． 21. 已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，从而可得，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）将代入（1）中所求的函数解析式，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设，， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得， ∴关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，． 22. 已知反比例函数与一次函数的图象交于点． （1）求的值及反比例函数的解析式； （2）求这两个函数图象的另一个交点B的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将代入一次函数计算即可得出，再将代入反比例函数，计算即可得出解析式； （2）联立得，由此计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：将代入一次函数得， ∴， ∴， 将代入反比例函数得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：联立得， 整理得， 解得，， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴． 23. 某商店销售一种商品，进价为每件40元，当售价为每件60元时每月可售出100件．为增加利润，商店决定涨价销售．经市场调查发现：售价每上涨2元，月销量就减少4件．要使每月销售这种商品的利润达到2400元，每件应该涨价多少元？ 【答案】每件应该涨价10元或20元． 【解析】 【详解】解：设每件商品涨价x元，则每件利润元，月销量件， 根据题意得， 展开整理得， 解得：，， 当，销量，有效； 当，销量，有效； 答：每件应该涨价10元或20元． 24. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设，是方程的两个实数根，若，求实数的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，再根据，并结合完全平方公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：方程有两个实数根， ， 即， 解得． 实数的取值范围是． 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系可得：，． 则 ， ∵， ∴，即， ∴ 或， ， 当时，． 25. 【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为．① 解：由方程①，得，． 当时，即，此方程无解； 当时，即，， 原方程的解为， 【解决问题】 （1）在由原方程到方程①的过程中，是利用换元法达到_________．（选填“降次”或“消元”）的目的，体现了数学的转化思想； （2）请仿照材料的方法，解下列方程：． 【答案】（1）降次 （2）， 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：对于方程， 设， 原方程化为， 因式分解得， 解得，， 当时，， 整理得， 因式分解得， 解得，； 当时，， 整理得， ，方程没有实数根， 综上，原方程的解为，． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴相交于点C，已知点B的坐标为． （1）求反比例函数的解析式及点A的坐标； （2）观察图象，不等式的解集为______； （3）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3）点P的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）先将点B的纵坐标代入直线中，得到点B的完整坐标；其次将点B坐标代入反比例函数中，推出k的值，得到反比例函数解析式；最后联立两个函数的方程，求出交点A的坐标． （2）首先明确不等式的几何意义，对应图象中一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，然后结合两个交点确定解集． （3）首先根据直线与x轴交点求出点C坐标，得到的长度，即两个三角形的底边均为的长；然后结合点A纵坐标计算出，从而得到；设出点P坐标，根据反推出点P纵坐标，代入反比例函数解析式，即可得到点P坐标． 【小问1详解】 解：将点B的坐标代入中，得 解得，即点． 将代入到中，得 解得 ∴反比例函数的解析式为． 联立， 得 解得，． 当时，代入，得 ∴点A的坐标为． 【小问2详解】 解:不等式表示一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 两个函数的交点为和，反比例函数自变量取值范围为，观察图象可得：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值， 因此不等式的解集为或． 【小问3详解】 解:将代入直线中，得，即点，． ∵点A纵坐标为2， ∴， ∴． 设点，则，得． 当时，代入反比例函数得，解得； 当时，点P与点B重合，为． ∴点P的坐标为或． 27. 智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． （1）填空： ①当时，与之间的函数关系式是_________； ②当时，与之间的函数关系式是_________； ③_________； （2）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】（1）①；②；③ （2）9分钟 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法分别求解一次函数和反比例函数表达式，再把 代入反比例函数表达式求解； （2）把分别代入两个函数表达式求解即可． 【小问1详解】 解：①由题意得，当时，与之间的函数关系是一次函数关系， 设与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则； ②设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， ∴与之间的函数表达式为， ③把代入，则； 【小问2详解】 把代入，则，解得 把代入，则， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 28. 在平面直角坐标系中，对于点，，线段的中点坐标为，当满足时，称点，互为“对消点”．如，是互为“对消点”． （1）已知函数图象上的点，互为“对消点”． ①若的横坐标为2，则的坐标是_________； ②记，的横坐标分别为，，点为线段的中点，若，求点坐标； （2）已知四边形的四个顶点的坐标分别为，，，，若的两个“对消点”连线能将该四边形的面积平分，求的值． 【答案】（1）①或；②点M的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）①先求解，结合函数图象上的点，互为“对消点”，可得，进一步求解即可；②由，，可得，再进一步求解即可； （2）证明与互相平分．可得四边形为平行四边形，且中心为．设A“对消点”为，可得点P所在的直线为．该直线过平行四边形的对角线的交点，进一步求解即可. 【小问1详解】 解：①∵，点在函数图象上， ∴， ∵函数图象上的点，互为“对消点”， ∴， 解得：或， B的坐标为或． ②由题意，∵点A，B为函数图象上互为“对消点”．且A，B的横坐标分别为a，b， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为线段的中点， ∴，， ∴点M的坐标为 【小问2详解】 解：由题意，∵，，，， ∴的中点为，的中点为． ∴与互相平分． ∴四边形为平行四边形，且对角线的交点坐标为． 设A“对消点”为， ∴，即点P所在的直线为． 又∵A的“对消点”所在的直线能将该四边形的面积平分， ∴该直线过平行四边形的对角线的交点， ∴， ∴． 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $