精品解析：福建莆田第十中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

莆田第十中学2026~2027学年上学期10月月考试卷 高二数学 本卷满分：150分，考试时间：120分钟； 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系计算即可. 【详解】因为直线方程为，所以该直线的斜率为1， 所以该直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 已知数列的通项公式为，则80是该数列的（ ） A. 第8项 B. 第7项 C. 第6项 D. 第5项 【答案】A 【解析】 【详解】令，得 ，解得 ，或（舍去）. 3. 已知数列是等差数列，是等比数列，且，则数列（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设数列的公差为，数列的公比为， 因为，则，所以，， 又，则，，解得， 所以. 4. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，从第二层开始，第层比第层多个球，则第100层球的个数为（ ） A. 4949 B. 4950 C. 5049 D. 5050 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出第层球的个数与层数的递推关系，利用累加法求出通项公式，代入求解. 【详解】设第层球的个数为，． 由题意可知，． 当时，第层比第层多个球，即． 所以  ． 当时，，满足上式． 故第层球的个数为，． 所以当时，． 5. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用构造等比数列的方法结合等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以．所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以，所以． 6. 若等比数列中的，是方程的两个根，则（ ） A. B. 1015 C. D. 1014 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质得到，进而得到，再根据对数的运算性质计算即可. 【详解】由韦达定理可知，由等比数列的性质可知 ，所以， 所以 . 7. 等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据已知有得，再结合求公差. 【详解】前项中，奇数项共项，偶数项共项， 由前项和为，奇数项和为， 因此偶数项和为， 设等差数列的公差为， 每一个偶数项比对应前一个奇数项多1个公差，共组， 因此 ， 由，得， 两式相减 ， 因此数列公差为. 8. 设正整数，其中，记.则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误. 【详解】对于A选项，，， 所以，，A选项错误； 对于B选项，取，，， 而，则，即，B选项错误； 对于C选项，， 所以，， ， 所以，，因此，，C选项正确； 对于D选项，，故，D选项错误. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据倾斜角和斜率的函数关系，对选项一一分析即可得出答案. 【详解】对于A，取，则，则，故A错误； 对于B，若，即，故B正确； 对于C，若，则直线，的斜率存在且不为， 因为，又因为正切函数在，上单调递增， 所以，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误; 故选：AD. 10. 已知公差为的等差数列，其前项和为，且，则下列说法正确的为（ ） A. B. 为等差数列 C. 当取得最小值时， D. 为递减数列 【答案】BC 【解析】 【分析】利用等差数列前项和的中项性质，先根据、推导、的符号与公差的正负，再结合等差数列的定义、前项和的最值判断规则逐一验证选项. 【详解】∵ 在等差数列中，，， ∴ ，，即，公差. 对于A，∵ ，故 A错误； 对于B，∵ ，∴ ， 则为常数， 所以为等差数列，故 B正确； 对于C，∵ ，，即数列前项都为负，从第项起都为正， ∴ 当取得最小值时，，故 C正确； 对于D，∵ ，∴ 为递增数列，故 D错误. 11. 若数列{an}满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，从内到外依次连接通过正方形的四分之一圆弧，得到的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中扇形的面积为，数列的前n项和为．下列结论正确的有（ ） A. B. 是奇数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A列出前9项即可判断；找出奇偶三循环规律，计算2026除以3的余数判断奇偶得出B；C项通过裂项计算偶数项和，对比即得；D项通过结合扇形面积公式与平方和结论化简验证等式. 【详解】对于A，数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，所以，故A正确； 对于B，将斐波那契数列从第一项起按每三个数分成一段，则在每一段中前两个为奇数，后一个为偶数， 因为，所以是在第676段的第一个数，为奇数，故B正确； 对于C，由，得，，…，， 累加得，故C错误； 对于D，由，得 , 因,则 ,所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率公式及点与线段的位置即可求解． 【详解】由题知，，， 由图像可知，． 13. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块．已知上、中、下每层均有9圈（共27圈），则下层比上层多______块石板． 【答案】1458 【解析】 【详解】设第圈的石板数为，由条件可知数列是等差数列，且上层的第一圈为，且， 所以， 则上层的石板数为，下层的石板数为． 所以下层比上层多块石板． 14. 已知数列满足，，若数列满足，则数列的前n项和=____________ 【答案】 【解析】 【分析】先对递推式变形构造等差数列求出的通项，进而得到的通项，再分段计算的前15项和即可. 【详解】由题意得：，所以， 所以，即，， 所以数列是以首项为，公差为的等差数列， 所以，所以， 所以， 所以， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）设等差数列的公差为，前项和为，若，，，求； （2）已知数列是等比数列且公比，前项和为，若，，求； 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式列出方程求解即可； （2）利用等比数列的前项和公式列出方程求解即可； 【详解】（1）由题可得：，解得：， 所以,解得：或（舍去），所以 （2）当时，，此时无解，所以， 则，因为，解得：，所以. 16. 设公比为的等比数列的前项和为，且. （1）求和； （2）记，数列的前项和为，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由分别取得到关于和的方程组，解方程组即可求出和； （2）由求出，将裂项为，求和后中间项抵消即得. 【小问1详解】 由， 当时：①， 当时：②， 由①得，代入②得，解得 代入，得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，所以， 于是， 所以 17. 2026年6月底，某厂的废水池已储存废水75吨，以后每月新产生的6吨废水也存入废水池.该厂2026年7月开始对废水处理后进行排放，7月底排放4吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加1吨. （1）若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕? （2）该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用.该厂欲从2027年1月开始对废水池中的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力.试问：哪一年的几月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化？（参考数据：，） 【答案】（1）2027年9月底 （2）2027年11月份开始 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式得到不等式，解出即可； （2）设从2026年7月起第个月深度净化的废水量为吨，写出数列的前项和，再计算即可. 【小问1详解】 设从2026年7月起第个月处理后的废水排放量为吨， 则由已知条件知:数列是首项为，公差为的等差数列，故， 令，化简得，解得， 故该厂在2027年9月底第一次将废水池中的废水排放完毕. 【小问2详解】 设从2026年7月起第个月深度净化的废水量为吨， 由已知条件，， 当时，数列是首项为5，公比为的等比数列， 故，（为正整数）， 则数列的前项和为， 从2026年7月起第个月废水存量为， 当时，， 当时，， 故2027年11月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化. 18. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. （3）求数列的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）使用等比中项的性质求解，再计算数列的通项公式； （2）先计算数列的通项公式，再使用错位相减法求解； （3）使用作差法分析数列的增减性求解最大值. 【小问1详解】 由题意知，即，解得，则. 【小问2详解】 因为， 则， 可得， 两式相减得 即， 所以. 【小问3详解】 由（2）知 当为奇数时，， 当为偶数时，令，，令， ， 时，因为，所以，即是递减函数， 则是递减数列，， 综上，数列的最大值为：. 19. 对于数列，若存在正整数，使得对任意的，都有（为常数），则称数列从第项起为 “等差比数列”. （1）已知数列满足，试判断数列是否为 “等差比数列”，若是，求出的值；若不是，请说明理由. （2）若数列从第项起为 “等差比数列”，，，求数列的通项公式. （3）在（2）的条件下，设数列的前项和为，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）是， （2）（） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“等差比数列”定义计算求解； （2）应用“等差比数列”定义，可判断为等差数列，故可求通项； （3）应用等差数列前n项和公式计算求参即可. 【小问1详解】 已知，则，. 所以数列是 “等差比数列”，. 【小问2详解】 因为数列从第项起为 “等差比数列”，所以时，. 所以，故， 整理得到：，故， 所以为常数列，故， 而，故即，故， 故，故为等差数列，其首项为，公差为， 故. 【小问3详解】 ，由得，即对任意的成立. 因为的最小值为，所以，即实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第十中学2026~2027学年上学期10月月考试卷 高二数学 本卷满分：150分，考试时间：120分钟； 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列的通项公式为，则80是该数列的（ ） A. 第8项 B. 第7项 C. 第6项 D. 第5项 3. 已知数列是等差数列，是等比数列，且，则数列（ ） A. B. C. D. 4. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，从第二层开始，第层比第层多个球，则第100层球的个数为（ ） A. 4949 B. 4950 C. 5049 D. 5050 5. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若等比数列中的，是方程的两个根，则（ ） A. B. 1015 C. D. 1014 7. 等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（ ） A. B. C. D. 8. 设正整数，其中，记.则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知公差为的等差数列，其前项和为，且，则下列说法正确的为（ ） A. B. 为等差数列 C. 当取得最小值时， D. 为递减数列 11. 若数列{an}满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，从内到外依次连接通过正方形的四分之一圆弧，得到的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中扇形的面积为，数列的前n项和为．下列结论正确的有（ ） A. B. 是奇数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为___________． 13. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块．已知上、中、下每层均有9圈（共27圈），则下层比上层多______块石板． 14. 已知数列满足，，若数列满足，则数列的前n项和=____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）设等差数列的公差为，前项和为，若，，，求； （2）已知数列是等比数列且公比，前项和为，若，，求； 16. 设公比为的等比数列的前项和为，且. （1）求和； （2）记，数列的前项和为，求. 17. 2026年6月底，某厂的废水池已储存废水75吨，以后每月新产生的6吨废水也存入废水池.该厂2026年7月开始对废水处理后进行排放，7月底排放4吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加1吨. （1）若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕? （2）该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用.该厂欲从2027年1月开始对废水池中的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力.试问：哪一年的几月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化？（参考数据：，） 18. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. （3）求数列的最大值. 19. 对于数列，若存在正整数，使得对任意的，都有（为常数），则称数列从第项起为 “等差比数列”. （1）已知数列满足，试判断数列是否为 “等差比数列”，若是，求出的值；若不是，请说明理由. （2）若数列从第项起为 “等差比数列”，，，求数列的通项公式. （3）在（2）的条件下，设数列的前项和为，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $