精品解析：福建省厦门市集美区厦门集美中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

集美中学2026-2027学年第一学期高二年段十月质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 命题人：陈娟兰 审题人：方娟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于yOz平面对称，x值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可． 【详解】在空间直角坐标系Oxyz中， 点A（1，2，3）关于yOz平面对称的点的坐标为（﹣1，2，3）． 故选A． 【点睛】本题考查空间向量的坐标的概念，考查空间点的对称点的坐标的求法，属于基础题． 2. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线列方程，然后解方程即可. 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 3. 已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系求解. 【详解】直线的斜率为，又因为直线的一个方向向量为，所以该直线的斜率也为，故. 故选：C. 4. 已知四棱锥中，平面，底面为正方形，，则四棱锥的外接球（四棱锥各顶点都在球的表面上）的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由平面，底面为正方形，且， 可将四棱锥补成一个棱长均为 2 的正方体，四棱锥的外接球与该正方体的外接球完全相同， 正方体的体对角线即为外接球直径，所以 得外接球半径， 所以四棱锥的外接球的表面积为 . 5. 在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D. 6. 如图，线段、在平面内，，，且，，.则、两点间的距离为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由题可得，，，然后由，及，可得，据此可得答案. 【详解】设，因为，且，平面， 可得，，且， 可得，，， 根据向量的线性运算，可得， 则 . 即，解得（舍）或，故. 故选：A 7. 已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出在法向量上的投影向量，结合平行四边形法则得到答案 【详解】向量在法向量上的投影向量为 ， 设向量在平面上的投影向量，由平行四边形法则可得， 故. 8. 正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，延长，，至点，，，使得，，，得到，结合空间向量的共面定理，得到，，，四点共面，把到平面的距离转化为点到平面的距离的一半，结合正四棱锥的性质，即可求解. 【详解】如图所示， 延长，，至点，，，使得，，， 所以， 又由，所以，，，四点共面， 所以的最小值，即为点到平面的距离， 因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半， 又因为，所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接，，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为， 所以的最小值为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下能确定空间中四点 共面的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用共面向量定理及推论判断AB；利用两条直线共面的条件判断CD. 【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 10. 已知空间非零向量，，，则（ ） A. ，可以相互垂直 B. ，为平面的共面向量 C. 是平面的一个法向量 D. ，不能作为其确定平面内的一组基底 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间向量平行垂直的坐标运算和平面向量基本定理逐个判断选项正误. 【详解】若，相互垂直，则，解得， 与题意为非零向量矛盾，所以，不可以相互垂直，所以选项A错误； ，的竖坐标均为0，所以，均在平面内， 所以，为平面的共面向量，所以选项B正确； ，非零向量，则，所以是非零向量，且平行于竖轴， 是平面的一个法向量，所以选项C正确； 因为，是非零向量，所以，所以，不共线， 所以，可以作为其确定平面内的一组基底，选项D错误. 11. 在棱长为2的正方体中，点P满足，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则 C. 若，则P到平面的距离为 D. 若，时，直线与平面所成角为，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用面面平行判断线面平行，即可判断A，建系后写出相关点的坐标，对于B，利用向量的数量积的坐标公式计算即可判断；对于C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D，由条件求得，利用线面角的向量求法得到，借助于函数的单调性即可求得的范围. 【详解】连结，，，由可知，点在线段上， 因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且，平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确； 如图以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 对于B，，， 则，得， 所以，，， 故不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又，， 设平面的法向量为，则， 故可取，又， 则到平面的距离为，故C错误； 对于D，当，时，，则， 又由C已得平面的法向量为， 则， 当时，， 当时，， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点、，直线过点且一个方向向量为，则点到的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】由题意可得，且直线过点且一个方向向量为， 所以点到的距离为. 故答案为：. 13. 在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】 如图所示，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设点，即， 可得，即， 所以， 则， 根据二次函数性质可知当时取得最小值，此时最小值为. 所以的最小值为. 14. 棱长为1的正方体的各顶点均在过点的平面的同侧，若和与平面所成的角的大小均为，则点到平面的距离为___________． 【答案】． 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，再根据和与平面所成的角的大小均为可解得法向量，进而可求点到平面的距离. 【详解】如图：以A点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量为，因为与平面所成的角的大小均为， 所以，即——① 再由与平面所成的角的大小均为，所以 ，即——②. 联立①②得，解得或. 当时，代入①得，，， 解得，令，得，， 则到平面的距离为； 当，代入①得，， ，即，因为，所以方程无解，舍去. 综上所述，点到平面的距离为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在棱长为的正四面体中，分别是的中点，设. （1）求（用表示）； （2）求直线和夹角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算进行计算； （2）根据向量夹角的计算公式进行求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ，， 所以 . 又和都是等边三角形，， 设直线和的夹角为，则， 所以. 16. 已知的顶点，，，为的中点． （1）求直线的斜率； （2）判断的形状； （3）设分别为的中点，求直线的斜率． 【答案】（1）； （2）等腰直角三角形； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用中点坐标公式及斜率的两点式求斜率； （2）根据已知求得，，，则有、，即可得三角形形状； （3）由题设有，结合（2）可得直线的斜率. 【小问1详解】 因为为的中点，结合已知坐标有，则； 【小问2详解】 由，，， 由，，知是直角三角形． 又，结合已知，则是的垂直平分线， 所以是等腰直角三角形． 【小问3详解】 由于分别为的中点，所以是的中位线，则， 所以，故直线的斜率为． 17. 已知四棱锥的底面是菱形，，交于点，底面，点为棱上的点.在空间坐标系中，点，，，. （1）求点坐标； （2）求直线与平面所成的角； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质及点的坐标确定垂足的坐标； （2）由已建立的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角公式计算； （3）分别求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式计算二面角的余弦值. 【小问1详解】 因底面，且均在平面上，所 以面即为平面. 又因为，所以平行于轴且在平面上， 故点的横、纵坐标与点相同，竖坐标为，所以. 如图，作出符合题意的图形， 【小问2详解】 直线的方向向量可取， 已知，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，解得，，取得. 设直线与平面所成角为，且，， 则，因为，故. 因此直线与平面所成的角为. 【小问3详解】 平面，，, 设平面的法向量为，则， 即，令，得，，即. 由（2）的分析知，平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则. 因此​​​平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点． （1）证明：平面平面； （2）设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； （3）求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】（1）因为底面为正方形，所以， 又底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 在中，，为的中点，所以， 平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处). （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系后，将用两种不同的方式表示，列方程组求解； （3）先求平面的一个法向量，再表示平面的一个法向量，接着表示出夹角的余弦值，从而求出最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为，则，则得， 则，，，， 设， 若A，E，G，F四点共面，则存在实数使得 即，得方程组： ，解得 即存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处). 【小问3详解】 由（2）可知 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 设平面的一个法向量为， 则故可取， 设平面与平面夹角为，则 ， 当时，取得最大值， 所以平面与平面夹角的余弦值的最大值是 . 19. 已知一组空间向量，，，，，记，如果存在（），使得，那么称是该向量组的“向量”． （1）已知，，，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围． （2）四面体内接于以为球心，为半径的球，且. ①记，，，向量组，，中是否存在“向量”？若存在，指出哪个是“向量”并证明；若不存在，请说明理由． ②求四面体体积的最大值． 【答案】（1） （2）①因为四面体内接于球，所以， 因为，所以，所以 等式两边同时平方得，所以，即， 所以，且，，，在同一平面内． 如图所示，以为原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系， 则点，，所以，， 将其代入中，得， 所以 ， 由“向量”的定义，得，都是向量组，，的“向量”． ② 【解析】 【分析】（1）根据题干信息求出，再代入题干关系得到不等式，解得的取值范围； （2）①由结合向量的运算可得，且，，，在同一平面内，随之将问题转化为平面向量的问题，再依次分析，，哪个满足“向量”的定义； ②由①可知过球心，平面时，四面体的体积取得最大值. 【小问1详解】 因为，，， 所以，，． 又因为是向量组，，的“向量”， 所以，所以， 解得， 所以实数m的取值范围为． 【小问2详解】 ①略 ②由①得，且，，，在同一平面内，所以在过球心的截面上， 又因为，所以， 等式两边同时平方可得， 所以，所以， 同理可得， 等式两边同时平方可得， 所以，所以， 则 当平面时，四面体的体积取得最大值， 此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集美中学2026-2027学年第一学期高二年段十月质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 命题人：陈娟兰 审题人：方娟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 2. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知四棱锥中，平面，底面为正方形，，则四棱锥的外接球（四棱锥各顶点都在球的表面上）的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（    ） A. B. C. D. 6. 如图，线段、在平面内，，，且，，.则、两点间的距离为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 7. 已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 8. 正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下能确定空间中四点 共面的条件是（ ） A. B. C. D. 10. 已知空间非零向量，，，则（ ） A. ，可以相互垂直 B. ，为平面的共面向量 C. 是平面的一个法向量 D. ，不能作为其确定平面内的一组基底 11. 在棱长为2的正方体中，点P满足，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则 C. 若，则P到平面的距离为 D. 若，时，直线与平面所成角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点、，直线过点且一个方向向量为，则点到的距离为___________． 13. 在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________． 14. 棱长为1的正方体的各顶点均在过点的平面的同侧，若和与平面所成的角的大小均为，则点到平面的距离为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在棱长为的正四面体中，分别是的中点，设. （1）求（用表示）； （2）求直线和夹角的正弦值. 16. 已知的顶点，，，为的中点． （1）求直线的斜率； （2）判断的形状； （3）设分别为的中点，求直线的斜率． 17. 已知四棱锥的底面是菱形，，交于点，底面，点为棱上的点.在空间坐标系中，点，，，. （1）求点坐标； （2）求直线与平面所成的角； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点． （1）证明：平面平面； （2）设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； （3）求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 19. 已知一组空间向量，，，，，记，如果存在（），使得，那么称是该向量组的“向量”． （1）已知，，，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围． （2）四面体内接于以为球心，为半径的球，且. ①记，，，向量组，，中是否存在“向量”？若存在，指出哪个是“向量”并证明；若不存在，请说明理由． ②求四面体体积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $