精品解析：福建莆田第五中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

莆田五中2024级高二第一次月考数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数与的等差中项，等比中项分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】根据等差中项定义，若为实数，的等差中项，则满足， 将，代入得，解得， 根据等比中项定义，若为非零实数，的等比中项，则满足， 将，代入得，解得， 综上，2与8的等差中项为，等比中项为. 2. “四个非零实数、、、依次成等比数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】充分性验证： 若非零实数、、、依次成等比数列，不妨设该等比数列的公比为， 则，，， 所以，，因此， 故“四个非零实数、、、依次成等比数列”“”； 必要性验证： 若，当，，则此四数无法形成等比数列， 故“四个非零实数、、、依次成等比数列”“”. 因此，“四个非零实数、、、依次成等比数列”是“”的充分不必要条件. 3. 已知等差数列的公差为，则（ ） A. 2 B. C. D. 20 【答案】C 【解析】 【详解】由题可得， 则， 又因为， 所以. 4. 已知数列中，，，则（ ） A. 1 B. C. －1 D. －2 【答案】D 【解析】 【分析】由题目所给的递推公式可得周期，从而可得答案. 【详解】因为，， 所以，，， 所以是以3为周期的数列， 所以. 故选：D. 5. 已知是公差不为零的等差数列，，若、、成等比数列，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比中项的性质结合等差数列的基本量运算求出公差，再计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 已知，且、、成等比数列， 由等比中项的性质可得：， 根据等差数列通项公式，可得，， 代入上式得：，展开整理得，解得或（舍）， 因此. 6. 若直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数的图像，求出端点处的斜率，从而求出斜率的范围即可. 【详解】如图， 当直线过点时，设直线的斜率为，则； 当直线过点时，设直线的斜率为，则， 所以要使直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是．故选B． 故选：. 7. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）． A. 120 B. 85 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算． 8. 如图，三角形数阵由一个等差数列1，2，3，4，5，⋯排列而成，按照此规律，记第行的第个数为，第行所有数之和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据图得出，求出，再结合题意、等差数列的通项公式及前项和即可逐项判断. 【详解】由图可知，，， 则 . 所以，，故选项A正确； 因为，故选项B正确； 因为， 所以，故选项C错误； 因为，且第11行共有11个数， 所以，故选项D正确． 故选：ABD. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B. 若等比数列是递增数列，则的公比1 C. 若数列的前项和为，则数列是等差数列 D. 若数列为等比数列，其前项和，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A直接由等差数列及等比数列定义判断可得；对B根据等比数列的性质判断可得；对C由数列的前项和可得数列的通项公式，再由等差数列的定义判断可得；对D由等比数列的前项和公式特征判断可得. 【详解】选项A：由等差数列、等比数列的定义，非零常数列既是等差数列，又是等比数列，A正确； 选项B：由等比数列的性质知，等比数列递增有两种情况： ①首项且公比；②首项且公比， 因此由等比数列是递增数列，不一定能得到，B错误； 选项C：因为数列的前项和为， 当时，； 当时，， 显然时，也符合上式，因此. 所以，（）， 因此数列是以为公差的等差数列，C正确； 选项D：因为数列为等比数列，所以（其中）， 又因为，对比系数得，D正确. 10. 已知等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，最大 C. D. 使得成立的最小自然数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据前项和的大小关系推导得，再结合等差数列性质逐一判断选项. 【详解】选项A，由题意得，，所以公差，A错误； 选项B，由可知为递减数列，由A得，故时最大，B正确； 选项C，因为为递减数列且，所以， 由得，所以 ，， 因为，所以，即，C正确； 选项D，， 所以使得成立的最小自然数，D错误. 11. 如果一个人爬楼梯的方式有两种，一次上个台阶或个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据爬楼梯的规则可计算出，并推出，用上述递推关系计算，最后可用数学归纳法证明选项D 【详解】对于选项A，爬上第个台阶的方法有： 走次个台阶，共个方法； 走次个台阶，走次个台阶，共个方法. 所以； 对于选项C，爬上第个台阶的方法有两类： 先爬上第个台阶，再爬次个台阶，共个方法； 先爬上第个台阶，再爬次个台阶，共个方法； 所以； 对于选项B，； 对于选项D，当时，，，所以成立， 假设当时，成立， 则当时，有， 所以成立，其中 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若等比数列的各项均为正数，且，则____. 【答案】9 【解析】 【分析】利用等比数列的性质结合对数运算性质，将所求对数和转化为关于的表达式求解. 【详解】首先根据对数的运算性质：同底对数相加等于真数乘积的对数，可得： ，其中， 根据等比数列的性质得：， 因此， 故. 13. 已知经过两点的直线的倾斜角为，则____. 【答案】 【解析】 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又因为，所以， 即，所以. 14. 已知数列各项都为正整数，，若，则的最小值为______. 【答案】21 【解析】 【分析】利用已知等式得到每一项减前一项与每一项减后一项同时为1或可求； 【详解】因为数列各项都为正整数，且， 故或， 故或， 所以或， 当时，因为各项都为正整数， 所以的最小值为，此时， 当时，因为，故或， 故最小值为； 当时，因为，故或， 故最小值为； 所以的最小值为. 故答案为：21. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前n项和，已知. （1）求的通项公式； （2）求数列的前10项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式与前项和公式，将等式转化为方程组即可求解； （2）通过分析等差数列的通项公式，化简绝对值，结合等差数列的前项和公式即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则根据题目条件有， 解得，， 因此数列的通项公式为. 【小问2详解】 当时，，因此当时，，当时，， 设为数列的前项和， 则， 因为， 故. 16. 已知数列满足. （1）写出数列的前三项，并求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1）前三项为，，，通项公式为 （2）数列的前项和为。 【解析】 【小问1详解】 ： ； ：； ：. 由已知条件可知当时：. 两式相减得：，. 当时，，也满足此公式，所以通项公式为. 【小问2详解】 . 设前n项和为，. 17. 设数列满足 . （1）证明：为等差数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）由题可知， 两边同时除以得：，且， 故是以1为首项，2为公差的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）结合等差数列的定义，利用构造法可证明数列为等差数列； （2）结合等比数列求和公式，利用分组求和及错位相减法可得. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）易知， 前项和， 令， 故， 两式相减得 ， 则， 所以. 18. 我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设从今年起第年绿洲面积为万平方千米. （1）证明：为等比数列； （2）至少经过几年，绿洲面积可超过?） 【答案】（1）由题意，初始时总土地万平方千米，沙漠占，得初始绿洲面积万平方千米. 当且时，第年绿洲面积由第年保留绿洲面积及第年沙漠改造绿洲面积两部分组成， 因此：，，即， 所以，又， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）先根据绿洲面积的年变化规律推导的递推公式，通过构造法证明目标数列为等比数列可得； （2）由（1）的等比数列可解得，再通过取对数法解指数不等式得到最小年数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，，. 要使绿洲面积超过，即，得，移项化简得：， 两边取常用对数，得，即， 因为，所以， 代入，， 化简得：， 因此，即. 又因为，故的最小值为，即至少经过年. 因此至少经过年，绿洲面积可超过. 19. 已知数列的前n项和为，且满足+9. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的最大项； （3）判断中是否存在不同的三项成等差数列，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由如下： 假设存在不同的三项，，成等差数列，其中，且，，为正整数，则， 代入通项公式得，两边同时除以得，， 令，，，为正整数，且，则， 两边同乘得，， 左边是的倍数，末位是，右边末位只能是或，等式左右末位不可能相等，假设矛盾， 因此不存在不同的三项成等差数列. 【解析】 【分析】（1）题目已知和之间的关系，先用求首项，再利用 建立相邻两项的递推关系，从而判定是等比数列； （2）由数列的通项可知其为正项数列，采用“作商法”比较与，由比值与的大小关系判断增减性，进而确定最大项； （3）采用反证法,假设存在不同的三项成等差数列，设出三项的下标，把关系化为整数等式，利用得数末位推出矛盾. 【小问1详解】 当时，，解得 当 时，，则，整理得 ，即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故， 当 时，也满足，因此通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知 ，显然 ，则， 因为各项均为正数，所以 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 故数列的最大项为第项和第项，且； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田五中2024级高二第一次月考数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数与的等差中项，等比中项分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. “四个非零实数、、、依次成等比数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知等差数列的公差为，则（ ） A. 2 B. C. D. 20 4. 已知数列中，，，则（ ） A. 1 B. C. －1 D. －2 5. 已知是公差不为零的等差数列，，若、、成等比数列，则 （ ） A. B. C. D. 6. 若直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）． A. 120 B. 85 C. D. 8. 如图，三角形数阵由一个等差数列1，2，3，4，5，⋯排列而成，按照此规律，记第行的第个数为，第行所有数之和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B. 若等比数列是递增数列，则的公比1 C. 若数列的前项和为，则数列是等差数列 D. 若数列为等比数列，其前项和，则 10. 已知等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，最大 C. D. 使得成立的最小自然数 11. 如果一个人爬楼梯的方式有两种，一次上个台阶或个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若等比数列的各项均为正数，且，则____. 13. 已知经过两点的直线的倾斜角为，则____. 14. 已知数列各项都为正整数，，若，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前n项和，已知. （1）求的通项公式； （2）求数列的前10项和. 16. 已知数列满足. （1）写出数列的前三项，并求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 17. 设数列满足 . （1）证明：为等差数列； （2）求数列的前项和. 18. 我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设从今年起第年绿洲面积为万平方千米. （1）证明：为等比数列； （2）至少经过几年，绿洲面积可超过?） 19. 已知数列的前n项和为，且满足+9. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的最大项； （3）判断中是否存在不同的三项成等差数列，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $